2010년 10월 16일 토요일

무한 급수(無限級數, infinite series)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 급수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


무한 급수(infinite series)의 원론적 의미는 항들을 무한히 더해가는 것이다. 무한히 더해가기 때문에 어떤 경우는 수렴하고 어떤 경우는 발산한다. 그래서 무한 급수 공부는 해당 급수를 계속 더해갈 때 수렴할 지 발산할 지를 판단하는 것에서부터 시작한다. 상식적으로는 수렴하는 무한 급수만 중요할 것 같지만 경우에 따라서는 발산하는 무한 급수도 요긴하게 쓰인다. 대표적인 발산 무한 급수는 계승(階乘, factorial) 을 근사화하는 스털링의 공식(Striling's formula)이다. 스털링 공식 자체는 발산하지만 항들을 적당히 더하면 계승을 거의 완벽하게 근사화할 수 있다.
무한 급수라는 말뜻에서 항들을 쉴 새 없이 더한다는 의미가 부여되지만 수학적으로 무한 급수를 이렇게 생각하면 안된다. 수학에서 무한 급수는 함수를 정의하는 아주 유용한 방법이다. 그래서 "무한 급수 ≡ 함수 정의"라고 생각해야 한다. 대표적인 것이 실함수(real function)에 쓰이는 테일러 급수(Taylor series)와 복소 함수(complex function)에 나오는 로랑 급수(Laurent series)가 있다.

무한 급수를 논하기 전에 수열(數列, sequence)이 수렴(收斂, convergence)한다는 의미부터 확립해보자.
수열 $\{a_n\}$ ($\equiv a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots$)이 수렴한다는 표현은 아래와 같이 한다.

                                    (1)

식 (1)은 극한의 정의와 비슷하게 표현할 수 있다.

임의의 작은 $\epsilon > 0$에 대해 $n > N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 항상 존재한다.

수열의 수렴 표현법를 이용해서 무한 급수의 수렴을 정의할 수 있다. 무한 급수를 수열처럼 만들기 위해 부분합(partial sum) 개념을 도입한다.

              (2)

식 (1)과 유사하게 부분합 $S_n$을 이용하여 무한 급수의 수렴을 표현할 수 있다.

                                    (3)

무한 급수의 부분합 $S_n$이 수렴하면 무한 급수를 구성하는 수열 $a_n$은 어떻게 되어야 할까?

[무한 급수와 수열]
무한 급수가 수렴하면 무한 급수를 구성하는 수열은 $n$이 커짐에 따라 0에 수렴한다.

[증명]
극한의 특성을 이용하면 아래 관계를 얻을 수 있다.

                             (4)
______________________________

무한 급수 중에서 가장 기초적이며 유용한 것은 무한 등비 급수(infinite geometric series)일 것이다.

                             (5)

먼저 식 (5)의 등비 급수 합을 계산하자.

                             (6)

따라서, 식 (6)에 의해 $|r| < 1$인 경우에만 무한 등비 급수는 수렴하게 된다. (∵ 수열 $r^n$이 0으로 수렴한다)

                             (7)

무한 등비 급수처럼 수열의 부호에 관계없이 절대값(absolute value) 차원에서 수렴하는 급수는 절대 수렴(absolute convergence) 급수라 한다. 절대 수렴하는 무한 급수는 수학적으로 완전한 성질을 가지고 있기 때문에 자유롭게 계산할 수 있다.

함수와 무한 급수는 아래 성질이 성립한다.

[연속 함수와 무한 급수]

                             (8)

여기서 $L$은 무한 급수의 수렴값이며 $f(x)$는 연속이다.

[증명]
극한 증명에 사용한 $\epsilon$-$\delta$ 정의를 사용하면 다음과 같다.

                             (9)
______________________________

무한 급수 이론에서 헷갈리면서도 중요한 부분은 수렴 판정법(convergence test)일 것이다. 아래에 유용한 몇 가지 판정법을 소개한다.

1. 절대 수렴 판정(absolute convergence test)
절대 급수(absolute series)가 수렴하면 해당 무한 급수는 절대 수렴(absolutely convergent)한다.

[증명]
아래 부등식을 먼저 고려하자.

                             (10)

식 (10)의 가장 우변항을 절대 수렴 급수라 가정했으므로 좌변쪽에 있는 급수들도 수렴해야 한다. 왜냐하면 단조 증가(monotonous increase)하는 수열들이 유계(有界, bounded)이기 때문이다. 그러면

                             (11)

식 (11)에서 좌변이 절대 수렴하기 때문에 우변도 반드시 절대 수렴해야 한다.
______________________________

식 (11)에서 한가지 생각할 부분은 좌변 무한 급수들의 항들을 교환하여 우변을 만들었다는 것이다. 이것이 성립하는가?
다행히 절대 수렴하는 무한 급수는 각 항들을 합치는 순서를 바꾸어도 원래값으로 수렴한다.

2. 비교 판정(comparison test)
$\Sigma|a_n| < \Sigma |b_n|$인 경우 $\Sigma|b_n|$이 절대 수렴하면 $\Sigma|a_n|$도 절대 수렴한다.

[증명]
$\Sigma|b_n|$이 절대 수렴한다는 것은 유계라는 것이므로 $\Sigma|a_n|$도 유계가 된다. 또한 $\Sigma|a_n|$은 단조 증가하고 있다.
이를 종합하면 $\Sigma|a_n|$은 유계이면서 단조 증가하므로 절대 수렴한다.
______________________________

3. 비율 판정(ratio test)
$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}|/ |a_n| < 1$을 만족하는 무한 급수는 절대 수렴한다.

[증명]
식 (7)에 있는 무한 등비 급수를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

                    (12)

여기서 $r_\text{max}$는 $n > N$인 $r$ 중에서 가장 큰 값이다.
$r < 1$이면 식 (12)의 무한 등비 급수가 수렴하기 때문에 절대급수가 수렴한다. 식 (11)에 의해 절대급수가 수렴하면 해당 무한 급수도 절대 수렴한다.
______________________________

만약 $r > 1$이면 더할수록 값이 계속 커지기 때문에 무한 급수는 발산하게 된다.
$r = 1$이면 이 급수의 수렴은 판정할 수 없다. 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 그래서 다른 판정법을 사용해야 한다.
비율 판정법은 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert)가 최초로 제안했기 때문에 달랑베르 비율 판정(d'Alembert ratio test)이라고도 한다.

4. 극한비율 판정(limit comparison test)

                             (13)

여기서 $L$은 0보다 크며 무한대는 아니다.

[증명]
편하게 수열 $a_n, b_n > 0$이라 가정하자. 그러면 식 (13)의 조건에 의해 $a_n, b_n$은 다음 조건을 만족한다.

                             (14)

식 (14)에 의해 $b_n < a_n/(L - \epsilon)$이므로 비교 판정에 의해 무한 급수 $a_n$이 수렴하면 무한 급수 $b_n$도 수렴한다. 마찬가지로 $a_n < b_n(L + \epsilon)$이므로 $b_n$이 수렴하면 $a_n$도 수렴한다.
무한 급수가 발산하는 경우도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다.
______________________________

$L = 0$인 경우에는 식 (13)이 성립하지 않는다. 즉, 무한 급수 $b_n$이 수렴하는 경우에만 무한 급수 $a_n$이 수렴한다. 반대 경우는 알 수 없다. 혹은 무한 급수 $a_n$이 발산하는 경우에만 무한 급수 $b_n$도 발산한다. 이렇게 되는 이유는 $a_n < \epsilon \cdot b_n$이 되기 때문이다.
또한, 식 (13)에서 무한 급수 $b_n$이 수렴하고 $L$이 유한하면 무한 급수 $a_n$은 항상 수렴한다.

[다음 읽을거리]
1. 테일러 급수
2. 복소수
3. 아름다운 숫자, 오일러 수
4. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수
5. 무한곱

댓글 9개 :

  1. 정리해 주신 내용들에 큰 도움 받고 있습니다.
    다시 한 번 진심으로 감사드립니다.^ ^
    보태어 식(6)의 두번째 항등식이 좀 잘못된것 같습니다. 확인 부탁드립니다.

    답글삭제
    답글
    1. 칭찬 감사합니다. ^^

      식 (6)은 다시 봐도 문제가 없는데요. 어떤 부분이 잘못 되었나요?

      삭제
  2. 글 정말 쉽고 재밌게 잘 읽고 있습니다.

    (8)은 현재 식으로는 자명한 내용인것 같습니다.
    결국 A=B 이면 f(A) = f(B) 라는 말이니 함수의 정의에 의해 성립하는 식이 아닌가요?

    아마 f가 연속이라는 조건을 주신 것을 보면 의도 하셨던 식은
    lim_(n->infinity) { f( sum_(k=1)^(n) {a_{k}} } = f(L) 일것 같습니다.
    그런데 이렇게 이해하고 (9)를 보니 |x-L| < δ=ε_1 ⇒ |f(x)-f(L)|<ε_2 부분이 이해가 되지 않습니다...

    답글삭제
    답글
    1. 아 연속이기에 성립하는 부등식이었네요

      삭제
    2. 익명님, 방문 감사합니다.

      말씀하신 대로 식 (8)은 자명한 것이지만 연속 함수 정의를 이용해 증명한 것입니다.

      삭제
  3. 잘 읽었습니다. 두 가지 질문이 있습니다.
    1. 식 (12)에, an의 절댓값의 합보다 a(n+1) 절댓값 * (r^n)의 합이 더 크다는 부분이 이해되지 않습니다. 동일한 항이 아닌가요?
    2. 식 (12) 밑 설명 중 r=1 일 때 수렴할 수도 발산할 수도 있다고 하셨는데, an=0 일 때 외에도 수렴하는 예가 있는지 궁금합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 1. 무한 등비 급수와 비교하시면 됩니다. 본문에 $r$ 정의를 더 자세히 추가했습니다.

      2. 복소 지수 함수로 만들어진 급수를 생각해보세요.

      삭제
  4. ratio test 의 정의를 "n>N인 경우 항상 |an+1|<|an|을 만족하는 무한 급수는 절대 수렴한다" 라고 하는것은 오해의 소지가 있을것 같습니다. an=1/n 만 해도 정의에는 부합되지 않는걸요.

    답글삭제
    답글
    1. 익명님, 지적 감사합니다. ^^
      엄밀성이 부족했네요. 본문 수정했습니다.

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.