연분수(連分數, Continued Fraction)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "연분수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 무한 급수

2. 무한 곱

3. 2의 제곱근은 무리수

4. 나눗셈과 진법

거듭제곱(power)은 같은 수를 여러 번 곱하는 곱셈의 일반화 연산이다. 거듭제곱에 반대되는 연산으로써 어떤 수를 정수(整數, integer)와 소수(小數, decimal fraction)로 분리한 후 소수 부분을 분수로 한없이 거듭해서 표현하는 수는 연분수(連分數, continued fraction)라 부른다. 즉, 연분수는 소수처럼 실수를 표기하기 위한 반복적인 나눗셈이다. 예를 들면, 무리수(無理數, irrational number)인 오일러의 수(Euler's number) $e$를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있다.

                  (1)

연분수를 식 (1)처럼 표기하면 너무 복잡해서 보통 $e$ = $[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]$처럼 쓴다. 그래서 임의의 실수 $x$를 명시적으로 공식화하는 연분수를 다음과 같이 정의한다.

                  (2)

여기서 $a_0$은 정수부(integer part), $0$ 혹은 자연수인 $a_n$[$n\ge 1$]은 부분 분모(partial denominator), $\mathrm{K}$는 독일어 연분수(Kettenbruch, 케텐브루흐)의 첫자이며 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)에서 유래한다. 식 (2)처럼 $a_n$이 사라지지 않고 계속 이어지는 연분수는 무한 연분수(infinite continued fraction)라 한다.

실수(實數, real number)를 쉽게 표현할 수 있는 소수 개념이 있는데도 수학자들은 왜 다소 복잡한 연분수를 고안했을까? 이 질문의 해답은 무리수 판정에 있다. 유리수중에는 소수가 계속 이어지는 무한 소수도 있기 때문에, 소수의 무한성만 가지고는 유리수와 무리수를 구별할 수 없다. 그래서 무한 소수를 정수의 비율로 표현할 수 있는지 혹은 없는지로 유리수와 무리수를 판정한다. 이 과정은 쉬워보이지만, 실제로 해보면 증명 과정이 만만하지 않다. 하지만 연분수는 이런 복잡한 과정을 거칠 필요가 없다. 식 (2)에서 $0$이 아닌 $a_n$이 계속 나온다면, 이 연분수는 항상 무리수가 된다. 반대로 $a_n$이 이어지다가 $0$이 되면, 이 실수는 유리수이다.

[무한 연분수와 무리수]

수렴하는 무한 연분수는 항상 무리수이고 연분수의 계수는 유일하게 결정된다.

[증명]

무한 연분수가 유리수에 수렴한다면, 무한 연분수를 다음과 같이 표기할 수 있다.

                 (3)

여기서 $a_n>0$[$n\ge 1$], $m_0,r_0>0$, $r_0<m_0$이다. 식 (3)의 우변은 나눗셈의 유일성에 의해 다음 관계가 성립한다.

                  (4)

여기서 유일한 $q_1,r_1$에 대해 $m_0$ = $q_1{r}_0+r_1$, $a_1$ = $q_1$, $r_1<r_0$이다. 식 (4)에도 나눗셈의 유일성을 다시 적용한다.

                  (5)

여기서 $r_0$ = $q_2{r}_1+r_2$, $a_2$ = $q_2$, $r_2<r_1$이다. 식 (4), (5)처럼 연분수를 계속 만들어가면, $m_0>r_0>r_1>\cdots >r_n$이 반드시 성립해야 한다. 하지만 $r_n$이 줄어들 수 있는 한계는 $0$이므로, 결국에는 $a_{n+1}$ = $0$이 나온다. 따라서 무한 연분수는 단순한 정수비로 표현될 수 없어서 무리수가 되어야 한다.

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밀접히 연결되는 연분수와 무리수의 관계를 이용해서, 어떤 양의 실수에 대한 제곱근이 무리수인지 아닌지를 쉽게 결정할 수 있다. 곱셈 공식에 따라 임의의 양의 실수 $x$를 다음과 같은 연립 관계로 공식화한다.

                  (6)

여기서 $x>0$, 자연수인 $m$은 $m$ = $\lfloor \sqrt{x}\rfloor$를 만족, $\lfloor x\rfloor$는 바닥 함수(floor function) 혹은 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다. 식 (6)은 $\sqrt{x}$에 대한 순환 관계이므로 $x$의 제곱근을 연분수로 표현할 수 있다.

                  (7)

식 (7)은 아름다운 연분수 표현식이면서도 어떤 수의 제곱근을 유리수로 근사하기 위한 효율적인 공식일 수도 있다. 예를 들어, $\sqrt{2}$는 다음과 같은 연분수와 동일하다.

                  (8)

여기서 $x$ = $2$, $m$ = $1$이다. 또한 식 (8)의 우변은 무한 연분수이므로, $\sqrt{2}$는 반드시 무리수여야 한다. 식 (7)에서 유도한 연분수는 식 (2)를 더 확장한 다음과 같은 일반화 연분수(generalized continued fraction)의 일종이다.

                  (9)

여기서 $0$ 혹은 자연수인 $b_n$은 부분 분자(partial numerator)이다. 식 (9)에 대비되는 식 (2)를 단순 연분수(simple continued fraction)라고도 한다. 식 (9)의 부분 분자와 분모에 동일한 상수 $c_n$을 곱해서 약간 변형된 연분수를 만들어본다.

                  (10)

식 (10)에서 $c_{n-1}{c}_n{b}_n$ = $1$인 조건을 부여하면, 식 (9)의 일반화 연분수는 부분 분자가 모두 $1$인 단순 연분수가 된다.

                  (11)

여기서 $c_0$ = $1$, $c_n$ = $1/(c_{n-1}{b}_n)$이다. 혹은 $c_n{a}_n$ = $1$인 조건에 의해 부분 분모가 항상 $1$인 연분수를 만들 수도 있다.

                  (12)

여기서 $c_0$ = $1$, $c_n$ = $1/a_n$이다.

식 (9)에 정의한 일반화 연분수의 수렴을 판정하기 위해, 연속된 분수 표현을 다음처럼 단일 분수로 바꾸어서 생각한다.

                  (13a)

                  (13b)

                  (13c)

여기서 $A_{-1}$ = $0$, $A_0$ = $1$, $B_{-1}$ = $1$, $B_0$ = $a_0$이다. 식 (13)에서 정의한 $A_n,B_n$은 각각 부분 분모와 분자에 대한 제$n$차 연속식(連續式, continuant)이며, $x_n$은 제$n$차 수렴식(收斂式, convergent)이다. 연속식 $A_n,B_n$에 대한 재귀 관계(recurrence relation)는 다음과 같다.

                  (14)

따라서 일반화 연분수의 수렴은 연속식 $A_n,B_n$의 비율인 수렴식 $x_n$의 극한이 유한함으로 정의한다.

                  (15)

연속식 $A_n,B_n$의 상호 관계는 다음처럼 표현된다.

                  (16)

식 (13)에 따라 $D_0$ = $1$이므로, 간략화된 $D_n$의 공식은 다음과 같다.

                  (17)

연분수의 수렴성을 간단하게 증명하기 위해 식 (2)에 있는 단순 연분수를 고려한다. 식 (9)와 같은 일반화 연분수는 식 (11)과 같은 과정을 거쳐 단순 연분수로 바뀔 수 있다. 단순 연분수는 $b_n$ = $1$이므로, 수렴식 $x_n$의 차이가 굉장히 간단히 표현된다.

                  (18)

여기서 $A_n>0$이다. 식 (18)의 우변에 의해 수렴식은 증가와 감소를 반복한다. 그래서 식 (18)을 다음처럼 짝수와 홀수 수렴식(even and odd convergents)으로 구분해서 생각한다[1].

                  (19)

여기서 $a_n>0$이다. 만약 $n$이 짝수라면, $x_0<x_2<x_4<\cdots$가 성립한다. 혹은 $n$이 홀수인 경우는 $x_1>x_3>x_5>\cdots$를 만족한다. 또한 식 (18)과 (19)에 의해, $x_{2n}<x_{2n+1}<x_{2n-1}$ 및 $x_{2n}<x_{2n+2}<x_{2n+1}$도 얻는다. 이를 모두 종합하면, 최종적으로 $n$에 대한 수렴식 $x_n$의 대소 관계가 다음처럼 표현된다: $x_0<x_2<x_1$, $x_0<x_2<x_3<x_1$, $\cdots$,

                  (20)

따라서 단순 연분수의 수렴 특성을 다음처럼 확립할 수 있다.

[단순 연분수의 수렴]

부분 분모가 양수인 단순 연분수는 항상 수렴한다.

[증명: 수렴 정의]

단조 증감 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해 짝수와 홀수 수렴식은 모두 수렴하며, 각 수렴값을 $x_e,x_o$라고 한다. 두 수렴값의 차이는 다음과 같다.

                  (21)

식 (21)에 의해 연속식 $A_n$이 무한대로 발산하면 단순 연분수는 $x$에 수렴한다. 그러면 부분 분모가 어떤 값일 때 $A_n$이 발산할까? 증명을 위해, 무한대로 가는 $n$에 대해 $a_n$의 적당한 최소값 $\alpha$는 $a_n\ge \alpha$을 만족한다고 생각한다. 이 경우 연속식 $A_n$의 재귀 관계는 다음과 같다.

                  (22)

여기서 $\alpha >0$이다. 식 (22)를 풀기 위해 Z 변환(Z-transform)을 도입한다.

                  (23)

여기서 $f[n+1]$ = $A_n$, $f[0]$ = $A_{-1}$ = $0$, $f[1]$ = $A_0$ = $1$, $n$이 음수이면 $f[n]$ = $0$이다. 식 (23) 분모의 인수 분해는 다음과 같다.

                  (24)

식 (24)를 이용해서 $F(z)$를 부분 분수로 분해한다.

                  (25)

따라서 $A_n$의 표현식은 다음처럼 공식화된다.

                  (26)

식 (24)에 의해 $z_0>1$이 항상 성립하므로, $n$이 커질 때 $A_n$은 무한대로 발산한다.

[증명: 라이프니츠 기준]

식 (18)을 이용해서 수렴식 $x_n$의 수렴값 $x$를 교대 급수(alternating series)로 기술한다.

                  (27)

식 (26)에 의해 $n$이 증가하면 $A_n$도 함께 증가한다. 이에 따라 식 (27)에서 각 항의 절대값은 단조 감소한다. 그러면 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)에 의해 식 (27)의 교대 급수는 수렴한다.

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일반화 연분수의 부분 분자와 분모가 음수가 될 때는 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1744년오일러 37세, 조선 영조 시절에 증명한 오일러의 연분수 공식(Euler's continued fraction formula)이 유용하다.

[오일러의 연분수 공식]

                  (28)

여기서 거듭된 분수에 있는 모든 분모는 $0$이 아니다.

[증명: 라이프니츠 기준]

식 (28)에 대한 부분 합(partial sum) $x_n$을 정의한다.

                  (29)

식 (28)의 마지막식을 기반으로 유한한 $n$에 대한 연분수도 거듭된 나눗셈으로 표현한다.

                  (30)

부분 합 $x_n$과 수학적 귀납법(數學的歸納法, mathematical induction)을 써서 식 (28)을 증명해본다. 먼저 $x_1$은 식 (30)이 잘 성립한다.

                  (31)

부분 합 $x_n$이 식 (30)을 만족할 때, $x_{n+1}$도 식 (30)처럼 공식화된다.

                  (32)

여기서 $c_2$는 $b_2$에서 $b_{n+1}$까지 연속된 분수이다. 따라서 $n$을 무한대로 보내면, 수학적 귀납법에 의해 식 (28)이 증명된다.

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오일러의 연분수 공식은 다양한 연분수의 성질을 증명할 때 매우 유용하다.

   1. 함수 표현식(function representation)   

[지수 함수(exponential function)]

                  (1.1)

[증명: 라이프니츠 기준]

테일러 급수(Taylor series)를 이용해 지수 함수를 식 (28)의 첫째식처럼 표현한다.

                  (1.2)

식 (1.2)와 오일러의 연분수 공식으로 $e^x$를 연분수 형태로 바꾼다.

                  (1.3)

식 (10)처럼 부분 분자에서 분수를 없애기 위해 식 (1.3)에 적당한 계수를 곱해서 정리하면, 식 (1.1)이 쉽게 유도된다.

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식 (1.1)에서 $x$ = $1$을 대입하면, 오일러의 수(Euler's number) $e$는 무리수임을 편하게 증명할 수 있다.

[탄젠트 역함수(arctangent function)]

                  (1.4)

[증명: 라이프니츠 기준]

그레고리의 급수(Gregory's series)를 조정해서 식 (28)의 첫째식처럼 만든다.

             (1.5)

식 (1.5)의 항을 이용해서 ${\tan }^{-1}x$를 연분수로 바꾼다.

                  (1.6)

식 (10)처럼 부분 분자에 적당한 계수를 곱해서 식 (1.4)로 만든다.

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식 (1.4)에 $x$ = $1$을 대입해서 원주율(ratio of circumference) $\pi$를 무한 연분수로 나타낸다.

                  (1.7)

식 (1.7)은 $\pi$가 무리수임을 보여준다.

[람베르트 W 함수(Lambert W function)]

                  (1.8a)

                  (1.8b)

[증명: 라이프니츠 기준]

람베르트 W 함수의 정의인 $w{e}^w$ = $x$를 변형하고 $w$ = $x/e^w$로 표현해 식 (1.8a)를 얻는다. 식 (1.8b)를 만들기 위해 로그 함수를 정의식에 적용해 $w$ = $\log (x/w)$를 만든다.

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람베르트 W 함수는 다가 함수(multi-valued function)이므로, 이 함수가 정의되는 가지(branch)를 구별해야 한다. 식 (1.8)은 주요 가지의 함수값을 나타낸다.

[참고문헌]

[1] Math Online, "Convergence of infinite continued fractions," Math Online. (방문일 2020-12-23)