2의 제곱근은 무리수(Irrational Number)

[그림 1] 무리수 $\sqrt{2}$의 기하학적 표현(출처: wikipedia.org)

피타고라스 시절부터 알려진 2의 제곱근이 무리수(無理數, irrational number)라는 사실은 실수의 성질을 연구할 때에 두루 두루 쓰인다. 아주 오래전부터 알려진 무리수의 성질이 극한(limit)과 미분(differentiation)의 기저를 이루는 실수의 완비성(completeness of real numbers)과 관계가 있음은 매우 재미있는 사실이다. 무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수이므로 상상의 수라 생각할 수 있다. 하지만 [그림 1]을 보면, 밑변과 높이의 길이가 1인 직각 삼각형의 빗변은 $\sqrt{2}$이므로 분명히 현실에 존재하는 수이다. 또한 무리수의 반대는 유리수(有理數, rational number)라고 한다. 유리수는 두 정수의 비율로 표현할 수 있는 합리적인 수이다. 일설에는 합리성(rational)이라는 개념[4]이 들어간 유리수와 무리수 명칭 대신에 비율(ratio)을 명시한 유비수(有比數, 비율이 있는 수)와 무비수(無比數, 비율이 없는 수)가 더 타당하다는 의견이 있다. 

2의 제곱근이 무리수임을 증명하기는 매우 쉽다. 이미 기원전 300년경한반도 철기 시대 시작에 유클리드Euclid(대략 기원전 325–265)가 쓴 원론(Elements)에도 이 증명이 소개되어 있기 때문이다[1]. 2의 제곱근이 무리수임을 증명하기 위해 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정한다. $1 < \sqrt{2} < \sqrt{4}$ = $2$가 성립하므로 분모가 1이 아닌 분수로 표현된다.

                        (1)

여기서 $m, n$은 서로 약분할 수 없고 $n$ = $2p$로 가정하였다. 식 (1)에서 짝수$^2$ = 짝수[$2a \cdot 2a$ = $4a^2$ = $2(2a^2)$], 홀수$^2$ = 홀수[$(2a+1)(2a+1)$ = $2(2a^2+2a)+1$]가 되므로 $m, n$은 짝수가 되어 약분할 수가 있게 된다. 이 사실은 가정을 위배하므로 $\sqrt{2}$는 식 (1)로 표현할 수 없다. 즉, 분수로 표현할 수 없기 때문에 무리수가 되어야 한다. 이 개념을 확장하면 모든 제곱근에 대해 아래 명제를 증명할 수 있다.

[거듭제곱수가 아닌 모든 거듭제곱근은 무리수]

거듭제곱해서 자연수가 되지 않는 모든 거듭제곱근은 무리수이다.

                         (2)

여기서 $p, q$는 자연수이다.

[증명]

식 (2)를 조금 더 쉽게 말하면 $p$는 자연수이고 $p$의 거듭제곱근이 자연수가 아닌 경우, $p$의 거듭제곱근은 항상 무리수이다. 이런 이해를 바탕으로 식 (2)를 증명한다. 기본적인 증명 방법은 식 (1)과 유사하다. 식 (2)에서 $p$의 거듭제곱근은 거듭제곱수가 아니기 때문에[혹은 $p$는 어떤 수의 거듭제곱이 아니기 때문에] $p$의 거듭제곱근을 분모가 1이 아닌 분수로 표현할 수 있다.

            (3)

$m_1, m_2, \cdots, m_M$은 $n_1, n_2, \cdots, n_N$과 서로소(素, relative prime)이지만 식 (3)과 같이 $p$를 거듭제곱하면 $m_1, m_2, \cdots, m_M$은 $n_1, n_2, \cdots, n_N$을 나눌 수 있어야 한다. 하지만 이 사실은 가정에 위배되므로 식 (3)과 같은 유리수로 표현할 수 없다. 혹은 배수 개념으로 보더라도 마찬가지이다. $(m_1 m_2 \cdots m_M)^q$의 배수 중 하나는 $(n_1 n_2 \cdots n_N)^q$이어야 한다. 하지만 $m_1^q$의 배수는 $(n_1 n_2 \cdots n_N)^q$이 될 수 없다. 그 다음 모든 수인 $m_2^q, \cdots, m_M^q$도 마찬가지이다. 그래서 식 (3)은 유리수로 표현할 수 없다.

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식 (3)의 증명이 깔끔하기는 하지만 소인수 분해(素因數分解, prime factorization)에 대한 이해가 있어야 완벽한 증명이 된다. 모든 수는 솟수(素數, prime number)만으로 분해할 수 있는가? 분해 관점에서 솟수 외에 다른 수가 필요한가? 솟수만으로 처리한 소인수 분해는 유일한가? 이 질문에 답할 수 있다면, 아래 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)를 쉽게 증명할 수 있다[2], [3]. 그러면 수학의 여왕이라고 하는 정수론(整數論, number theory)으로 성큼 다가가게 된다.

[산술의 기본 정리]

1을 제외한 모든 자연수는 솟수의 곱으로 유일하게 표현된다.

[증명]

모든 자연수가 솟수(素數, prime number)로만 표현되는지부터 증명해본다. 솟수는 1과 자기 자신을 제외한 수로는 나눌 수 없는 수이다.[1989년부터 시행된 한글맞춤법에 따르면 소수(素數, prime number)로 해야 타당하나, 소수(小數, decimal fraction)와 구별되지 않으므로 옛날 표기인 솟수를 고집한다.] 관찰을 통해 합성수 $n$은 1이 아닌 어떤 두 수의 곱 $n_1, n_2$로 표현됨을 쉽게 알 수 있다.[∵ 솟수 정의에 의해 합성수(合成數, composite number)는 나눌 수 있기 때문에 두 수의 곱으로 항상 표현 가능하다.] 이를 이용하면 아래를 얻는다.

                        (4)

식 (4)에서 분해한 수가 솟수가 되면 더 이상 진행하지 않는다. 이런 식으로 합성수를 두 수의 곱으로 분해하면 최종적으로 솟수만 남는다는 성질은 쉽게 증명된다. 그런데 이렇게 찾은 소인수 분해가 유일한가를 다시 증명해야 한다. 소인수 분해가 유일하지 않다면 두 가지 다른 종류의 솟수로 합성수를 분해할 수 있다. 이런 합성수 중에서 가장 작은 수를 $n$이라 둔다.

                         (5)

여기서 $p_1, p_2, \cdots, p_M$과 $q_1, q_2, \cdots, q_N$은 크기순으로 배열했으며[$p_1 \le \cdots \le p_M$, $q_1 \le \cdots \le q_N$] $p_i$와 $q_i$는 서로 같지 않다.[∵ 같으면 서로 나누어주면 된다.] 또한, $q_1$은 $p_1$보다 크다고[$p_1 < q_1$] 가정했다. 식 (5)의 셋째 줄에서 $q_1$ = $a p_1 + b$를 대입하여 새롭게 정의한 합성수 $m$은 공통 인수 $p_1$이 있으므로 전체는 $p_1$으로 나누어진다. 하지만 우변은 $p_1$대신 $b$가 있으므로 새로운 소인수 분해가 된다.[∵ $b$를 가진 소인수 분해인 $bq_2 \cdots q_N$은 절대 $p_1$ 인수를 가질 수 없기 때문이다. 즉, $b < p_1$이며 $q_2, \cdots, q_N > p_1$.] 증명을 위한 가정에서 $n$이 두 가지 소인수 분해가 가능한 최소수라고 했지만 $m$은 항상 $m < n$이 되므로 가정에 위배된다. 이는 두 가지로 소인수 분해할 수 있는 최소 합성수는 없다는 결론을 이끈다. 합성수는 최소수가 있는데 두 가지로 소인수 분해할 수 있는 최소 합성수가 없기 때문에 합성수를 두 가지 방식으로 소인수 분해할 수 없다는 뜻이다. 따라서, 소인수 분해는 유일해야 한다.

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위의 증명 중 $q_1$ = $a p_1 + b$라고 확정한 부분은 놓치기 쉬운 허점 중 하나이다. 나눗셈의 원리에 속하는 이 명제는 증명이 필요한 부분이다. 이에 대한 증명은 나눗셈의 유일성에 제시되어 있다. 또한 $1$이 솟수인지 아닌지에 대한 논란이 있었지만, 산술의 기본 정리로 인해 $1$은 더 이상 솟수가 아니다. 만약 $1$이 솟수라면 산술의 기본 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어 $1$을 포함하면 $6$ = $2 \times 3$ = $1 \times 2 \times 3$ = $1 \times 1 \times 2 \times 3$ =$ \cdots$이 성립하므로, 솟수의 소인수 분해는 무한하게 된다. 이와 같이 풍성한 결과를 만들어내는 산술의 기본 정리를 정수론의 대가인 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)가 1801년가우스 24세, 조선 순조 시절에 엄밀하게 다시 증명한 사실은 우연이 아니다[2]. 산술의 기본 정리는 정수론으로 가는 손쉬운 지름길이므로, 위의 기본 정리 증명을 이해할 때까지 계속 본다.

   1. 기본(basics)   

[곱셈의 역수(multiplicative inverse)]

                         (1.1a)

                         (1.1b)

[증명]

식 (1.1)의 우변에 있는 분수의 분모와 분자에 $1 - \sqrt{1+x}$ 혹은 $a - \sqrt{a^2+x^2}$을 각각 곱해서 분모에 제곱근을 없애며 정리한다.

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식 (1.1)은 거듭제곱을 분모로 보내는 공식이라서, 역쌍곡 함수(inverse hyperbolic function) 공식을 계산할 때 유용하다.

[참고문헌]

[1] Euclid, Elements, 300 BC.

[2] A. G. Ağargün and E. M. Özkan, "A historical survey of the fundamental theorem of arithmetic," Historia Mathematica, vol. 28, no. 3, pp. 207–214, Aug. 2001.

[3] 강윤수, "소인수분해정리와 유클리드의 원론", 한국수학사학회지, 제17권, 제1호, pp. 33–42, 2004년 2월.

[4] 허민, "수학에 쓰이는 한자말에 대한 소고", 한국수학교육학회 시리즈 E: 수학교육 논문집, 제30권, 제2호, pp. 121–138, 2016년 5월.

[다음 읽을거리]
1. 나눗셈과 진법

2. 연분수

3. 리만 제타 함수