2011년 7월 28일 목요일

2의 제곱근은 무리수(square root of 2 is an irrational number)

[그림 1] $\sqrt{2}$의 기하학적 표현(출처: wikipedia.org)

피타고라스 시절부터 알려진 "2의 제곱근이 무리수(無理數, irrational number)"라는 사실은 실수의 성질을 연구할 때 두루두루 쓰인다. 아주 오래전부터 알려진 무리수의 성질이 극한(limit)과 미분(differentiation)의 기저를 이루는 실수의 완비성(completeness of real numbers)과 관계있다는 것은 매우 재미있는 사실이다. 무리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수이므로 상상의 수라 생각할 수 있다. 하지만 [그림 1]을 보면 밑변과 높이의 길이가 1인 직각 삼각형의 빗변이 $\sqrt{2}$가 되므로 분명히 존재하는 수이다.
2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하는 것은 매우 쉽다. 이미 기원전 300년경(한반도 철기 시대 시작)에 유클리드(Euclid)가 쓴 원론에도 이 증명이 소개되어 있기 때문이다[1]. 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하기 위해 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하자. $1 < \sqrt{2} < \sqrt{4} = 2$가 성립하므로 분모가 1이 아닌 분수로 표현된다.

                        (1)

여기서 $m, n$은 서로 약분할 수 없고 $n = 2p$로 가정하였다. 식 (1)에서 짝수$^2$ = 짝수($2a \cdot 2a = 4a^2 = 2(2a^2)$), 홀수$^2$ = 홀수($(2a+1)(2a+1) = 2(2a^2+2a)+1$)가 되므로 $m, n$은 짝수가 되어 약분할 수가 있게 된다. 이것은 가정을 위배하는 것이므로, $\sqrt{2}$는 식 (1)로 표현할 수 없다. 즉, 분수로 표현할 수 없기 때문에 무리수가 되어야 한다.
이 개념을 확장하면 모든 제곱근에 대해 아래를 증명할 수 있다.

[거듭제곱수가 아닌 모든 거듭제곱근은 무리수]
거듭제곱해서 자연수가 되지 않는 모든 거듭제곱근은 무리수이다.

                        (2)

여기서 $q$는 자연수이다.

[증명]
식 (2)를 조금 더 쉽게 말하면 $p$는 자연수이고 $p$의 거듭제곱근이 자연수가 아닌 경우, $p$의 거듭제곱근은 항상 무리수라는 것이다. 이런 이해를 바탕으로 식 (2)를 증명해보자. 기본적인 증명 방법은 식 (1)과 유사하다. 식 (2)에서 $p$의 거듭제곱근은 거듭제곱수가 아니기 때문에(or $p$는 어떤 수의 거듭제곱이 아니기 때문에) $p$의 거듭제곱근을 분모가 1이 아닌 분수로 표현할 수 있다.

            (3)

$m_1, m_2, \cdots, m_M$은 $n_1, n_2, \cdots, n_N$과 서로소(素, relative prime)이지만 식 (3)과 같이 $p$를 거듭제곱하면 $m_1, m_2, \cdots, m_M$은 $n_1, n_2, \cdots, n_N$을 나눌 수 있어야 한다. 이것은 가정에 위배되므로 식 (3)과 같은 유리수로 표현할 수 없다.
______________________________

식 (3)의 증명이 깔끔하기는 하지만 소인수 분해(素因數分解, prime factorization)에 대한 이해가 있어야 완벽한 증명이 된다. 모든 수는 솟수(素數, prime number)만으로 분해할 수 있는가? 분해 관점에서 솟수 외에 다른 수가 필요한가? 솟수만으로 처리한 소인수 분해는 유일한가? 이 질문에 답할 수 있다면, 아래 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)를 쉽게 증명할 수 있다. 그러면 수학의 여왕이라고 하는 정수론(整數論, number theory)으로 성큼 다가가게 된다.

[산술의 기본 정리]
모든 자연수는 솟수의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.

[증명]
모든 자연수가 솟수로만 표현되는지부터 증명해보자. 솟수는 1과 자기자신을 제외한 수로는 나눌 수 없는 수이다. (1989년부터 시행된 "한글맞춤법"에 따르면 소수(素數, prime number)로 해야 타당하나, 소수(小數, decimal fraction)와 구별되지 않으므로 옛날 표기인 솟수를 고집하기로 한다.) 관찰을 통해 합성수 $n$은 1이 아닌 어떤 두 수의 곱($n_1, n_2$)으로 표현된다는 것은 쉽게 알 수 있다. (∵ 솟수 정의에 의해 합성수(合成數, composite number)는 나눌 수 있기 때문에 두 수의 곱으로 항상 표현가능하다.) 이를 이용하면 아래를 얻는다.

                        (4)

식 (4)에서 분해한 수가 솟수가 되면 더 이상 진행하지 않는다. 이런 식으로 합성수를 두 수의 곱으로 분해하면 최종적으로 솟수만 남는다는 것은 쉽게 증명된다. 그런데 이렇게 찾은 소인수 분해가 유일한가를 다시 증명해야 한다. 소인수 분해가 유일하지 않다면 두 가지 다른 종류의 솟수로 합성수를 분해할 수 있다. 이런 합성수 중에서 가장 작은 수를 $n$이라 하자.

                         (5)

여기서 $p_1, p_2, \cdots, p_M$과 $q_1, q_2, \cdots, q_N$은 크기순으로 배열했으며 ($p_1 < \cdots < p_M$, $q_1 < \cdots < q_N$) $p_i$와 $q_i$는 서로 같지 않다. (∵ 같으면 서로 나누어주면 된다.) 또한, $q_1$은 $p_1$보다 크다고($p_1 < q_1$) 가정했다. 식 (5)의 세째 줄에서 $q_1 = a p_1 + b$를 대입하여 새롭게 정의한 합성수 $m$은 공통 인수 $p_1$이 있으므로 전체는 $p_1$으로 나누어진다. 하지만 우변은 $p_1$대신 $b$가 있으므로 새로운 소인수 분해가 된다. (∵ $b$를 가진 소인수 분해인 $bq_2 \cdots q_N$은 절대 $p_1$ 인수를 가질 수 없기 때문이다. 즉, $b < p_1$이며 $q_2, \cdots, q_N > p_1$.) 증명을 위한 가정에서 $n$이 두 가지 소인수 분해가 가능한 최소수라고 했지만 $m$은 항상 $m < n$이 되므로 가정에 위배된다. 따라서, 소인수 분해는 유일해야 한다.
______________________________

위의 증명 중 허점 하나는 $q_1 = a p_1 + b$라고 확정한 것이다. 나눗셈의 원리에 속하는 이 명제는 증명이 필요한 부분이다. 이에 대한 증명은 나눗셈의 유일성에 제시되어 있다.
$1$이 솟수인지 아닌지에 대한 논란이 있었지만, 산술의 기본 정리로 인해 $1$은 더 이상 솟수가 아니다. 만약 $1$이 솟수라면 산술의 기본 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어 $1$을 포함하면 $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots$이 성립하므로, 솟수의 소인수 분해는 무한하게 된다.
이와 같이 풍성한 결과를 만들어내는 산술의 기본 정리를 정수론의 대가인 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)가 1801년(가우스 24살, 조선 순조 시절)에 엄밀하게 다시 증명한 것은 우연이 아니다[2]. 산술의 기본 정리는 정수론으로 가는 손쉬운 지름길이므로, 위의 기본 정리 증명을 이해할 때까지 계속 보자.

[참고문헌]
[2] A. G. Ağargün and E. M. Özkan, "A historical survey of the fundamental theorem of arithmetic," Historia Mathematica, vol. 28, no. 3, pp. 207-214, Aug. 2001.

[다음 읽을거리]
1. 나눗셈과 진법

댓글 39개 :

  1. 이해하고 말꺼야....

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  2. 음... 일단은 이런게 있구나 하고 넘어갈래요.
    정수론쪽 보다는 함수 관련이 더 끌려요.ㅋㅋ

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  3. 아무튼 고맙습니다^^
    앞으로도 이런글 많이많이 써주세요~~ㅎㅎ

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  4. 식 (1) 아래에
    짝수(2a*2a = 4a^2 = 2(2a) 에서 2(2a) -> 2(2a^2)으로 수정되어야 할 듯 합니다.
    확인 부탁 드립니다^ ^

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    1. 아이고, 틀렸네요. 지적 감사합니다. ^^

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  5. n=p1p2...pM=q1q2...qN
    q1=ap1+b
    n=p1p2...pM=(ap1+b)q2q3...qN=ap1q2q3...qN+bq2q3...qN
    p1p2..pM-ap1q2q3...qN=bq2q3...qN=m
    m=p1(p2p3...pM-aq2q3...qN)=bq2q3...qN
    이제 이해한 것 같습니다. 이삼일 걸린것 같군요
    거북이는 엄청 빠르다는 느낌입니다.
    거북이 스승님, 감사합니다 - 달팽이로부터

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    1. 달팽이님, 거북이 블로그 방문 감사합니다. ^^

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  6. 1번 질문

    (2)번 식 위에

    거듭제곱해서 자연수가 되지 않는 모든 거듭제곱근은 무리수이다.

    라는 문장의 뜻이 헷갈려서 질문드립니다.

    (2)번식에서 p와 q가 모두 자연수이면 그 거듭제곱근을 q번 제곱하면 p라는 자연수를 얻을 수 있는 것 아닌가요? 그러면 여기서 자연수가 되지 않으려면 q가 정수가 아닌 유리수여야 하는 건지 궁금합니다.


    2번 질문

    거듭제곱해서 자연수가 되지 않는 모든 거듭제곱근은 무리수이다. 라는 문장이 (2)번 식과 다른 의미를 지니는 건가요?

    왜냐하면 (2)번 식은 p가 자연수이고 p^(1/q)가 자연수가 아닐 때, p^(1/q)가 무리수라는 것인데 여기서 p^(1/q)를 거듭제곱하면 자연수가 될 수 있는 것 아닌가요?

    3번 질문

    (3)번 식에서 n/m을 q번 거듭제곱한다고 해서 서로소였던 n과 m의 성분들이 어떻게 나눠질 수 있는 것인지 잘 이해가 안됩니다. ㅠㅡㅠ

    n1,n2,n3와 m1,m2,m3들이 서로소라면 서로를 제곱해도 서로소여서 약분이 안되는 게 맞지 않나요?

    수학을 잘 못해서 기본적인 것들을 질문하네요.

    항상 좋은 내용 감사드리며 잘보고 있습니다.

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^

      1. 명확히 하기 위해 $q$는 자연수라고 명시했습니다.
      질문하신 문장은 식 (2)를 풀어쓴 부분입니다. $p$는 자연수인데, $p$의 거듭제곱이 자연수가 아닌 경우를 뜻합니다.

      2. 같은 뜻을 가진 문장입니다.

      3. 나누어지지 않기 때문에 가정이 틀렸다는 것을 증명하고 있습니다. 수학의 강력한 도구인 귀류법(歸謬法)입니다.

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  7. 산술의 기본정리 증명과정에서 제일 작은 합성수에 대해 증명하는 거에 고개를 갸웃했었는데, 생각해보니 최소가 존재하지 않는다는 것만 증명하면 그러한 합성수가 존재하지 않는다는 것은 자명해지는군요..... 놀라운 테크닉입니다.
    그런데 이것도 사실 정수들의 집합에서 최소값이 항상 존재해야 한다는 사실을 증명해야할텐데, 누군가 했겠죠? ㅎㅎㅎ

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    1. 멋진 증명이죠, 익명님. ^^

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    2. 정수집합에서 최소값이 아니라 자연수 집합에서 최소값이겠죠? 아예 애초에 최소인 n이 아니라 그냥 다른 소인수분해로 나타낼 수 있는 수 n으로 잡아도 무한강하법으로 증명이 되겠군요?

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    3. 네, 적절한 지적입니다, ywpaaap님. ^^

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  8. 안녕하세요 거북이 선생님.
    산술의 기본 정리 증명을 이해하기 위해서 몇번을 보고 또 봅니다...
    (보고 또 본 횟수가 몇 번째인지 모르겠지만, 드디어 증명 과정은 이해한 것 같습니다.)

    그 중 합성수에 대해서 제 생각이 맞는지 궁금해서 질문하려고 합니다...

    합성수 중 가장 작은 수는 n이라는 가정을 하고 이 증명을 시작하는 것에 대해서,
    합성수 중 가장 작은 수는 4이지 않나요?

    그렇다면, 산술의 기본정리를 귀납법을 사용해서 증명하고자 할 때
    결국 부정하게 되는 주장은 '4가 가장 작은 합성수가 아니다.'가 되는 것인가요?

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  9. Donghoon님, 선생님은 아닙니다, 인터넷의 전파거북이입니다. ^^
    지금처럼 이해하기를 계속 노력하면 좋은 결과가 있을 것입니다.

    가장 작은 합성수는 4가 맞지만, 증명에서 사용한 것은 소인수 분해의 유일성을 깨뜨리는 합성수(실제로는 존재하지 않죠.) 중 제일 작은 것을 $n$이라 가정한 것입니다.

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  10. 질문입니다!

    1. 식 (1)에서 2p는 왜 갑자기 튀어나오는지 궁금합니다.
    2. "식 (1)에서 짝수 2 = 짝수(2a⋅2a=4a 2 =2(2a 2 ) ), 홀수 2 = 홀수((2a+1)(2a+1)=2(2a 2 +2a)+1 )" 라는 부분에서 짝수, 홀수 식은 어떻게 이렇게 세우게 되는 것인지 궁금합니다..

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    1. 1. 어떤 수를 제곱해서 짝수가 되면 어떤 수는 반드시 짝수여야 합니다. 이걸 표현한 것입니다.

      2. 2로 나눈 경우 짝수는 나머지가 없어 $2a$로 쓸 수 있고, 홀수는 나머지가 1이어서 $2a+1$로 쓸 수 있습니다.

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  11. 그렇지 않아도 공학 수학을 한번 정리 하려고 했었는데 너무 잘 보고 있습니다. 감사합니다... ㅎㅎ
    그런데 본문중 "식 (2)를 조금 더 쉽게 말하면 p는 자연수이고 p의 거듭제곱근이 자연수가 아닌 경우, p의 거듭제곱근은 항상 무리수라는 것이다." 에서 뒤의 "p의 거듭제곱근" 은 "p의 거듭제곱"의 오타가 아닌가요?

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 원래 본문 내용이 맞습니다.

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  12. 산술에 기본 정리에서 q1,q2,...,qN<p1 이게 왜이렇게 되는 지 이해가 안되네요 ㅠㅠ
    전공공부하면서 항상 도움받고 있습니다 감사합니다!

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    1. 아 q2,...,qN<p1입니다

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    2. 에고, 오랫동안 틀려있었네요. 지적 정말 감사해요, 익명님. ^^

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  13. 필요한것만 찾아 보다가 결국 정주행 중입니다.... 제가 내공이 부족해서 1번식에서 p가 무슨 수일가 고민하다.. 결국 다른 사이트를 찾아서 알아냈는데요....n이 2의 배수이고 p = n/2 라가정한다는 설명을 더 적어주시면 좀더 이해하기 쉬울것 같습니다. ㅎㅎ 자주 이용하는데요 언제나 감사합니다.

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    1. 계속 정주행해서 좋은 성과 쌓으시길 빕니다, 익명님. ^^
      말씀하신 부분은 추가할게요.

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  14. 전에 이해를 한줄알았는데 친구에게 설명을 하려다보니깐 갑자기 이해가 안가는 부분이 생겼습니다. 모든 자연수는 솟수의 곱으로 유일하게 설명할수 있다. 라는 명제의 증명에 관한 부분인데 예를들어서 n= 3*5*7 m = 2*5*7 이라고 하였을때 당연히 m < n이 될것이고요 이것이 n은 두가지 수로 분해가능한 최소수라고 하였는데 m 이 n보다 작아서 n이 최소 값이라는 명제에 모순이라고 설명된것 같은데.... 어차피 m이라는 숫자는 새로 가정한 숫자이기 때문에 명제에 관련 없는 새로운 수라고 생각해야하지 않나요? 그래서 m, n은 서로 연관성이 없는 별개의 수라는 생각이 머릿속에 맴돌아서... 증명이 이해가 가지 않습니다... 제 생각에 어느부분이 잘못 된 것일가요??

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    1. 아 이해갔습니다 m = p1*... = b*q2*... 에서 좌변은 p1을 갖고있지만 b<q1 이므로 약분이 되지 않는다는 이야기 였네요 ㅎㅎ

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  15. 읽기 시작했습니다! 다만 사진이 나오지않는게있네요! 잘 읽고있습니다!

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    1. 사진 자체는 괜찮은데, 가끔씩 블로거에서 안 나오는 경우가 있어요. 이때는 F5 한 번씩 눌러주세요.

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  16. "여기서 p1,p2,⋯,pMp1,p2,⋯,pM과 q1,q2,⋯,qNq1,q2,⋯,qN은 크기순으로 배열했으며 (p1<⋯p1q2,⋯,qN>p1.) 증명을 위한 가정에서 nn이 두 가지 소인수 분해가 가능한 최소수라고 했지만 mm은 항상 m<nm<n이 되므로 가정에 위배된다. 따라서, 소인수 분해는 유일해야 한다."

    이 부분이 이해가 안 가서, 수십 번은 읽었네요. 간신히 이해했습니다. 좋은 글 감사드립니다.

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    답글
    1. 지속적인 노력에 박수를 보냅니다, YS J님. ^^
      산술의 기본 정리는 수의 기본 체계에 대한 부분이라서, 완벽한 증명이 매우 어려워요. :)

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  17. 그런데 혹시 책으로 출판하실 생각이 있으신지요?

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  18. 답글
    1. 방문과 칭찬 모두 감사합니다, 김동환님. ^^

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  19. 답글
    1. 질문: 2차모멘트 정의 증명부분도 알고 싶은데 기계공학적는 어디서 구할수 있을까요?
      추천: 에버노트 사용하는데 괜찮은 것같네요
      느낀점: 공대학사졸업한놈인데. 퓨리에 찾다가 왔어요.. 너무 부족함느껴. 시간내서 수학적 공학적 지식 배우도록 하겠습니다.
      이 포스팅 이해하는데 일주일정도 꿈양꿈양대면서 걸렸는데 댓글 달아주신분들 감사하구여 도움많이 됬습니다.

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