[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
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잘 알려진 삼각 함수의 성질인 $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$을 이용해서 타원의 자취를 식 (2)처럼 손쉽게 기술할 수 있다. 하지만 [그림 1]에 제시한 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)에도 비슷한 논리를 적용할 수 있을까? 식 (2)에 있는 쌍곡선의 방정식은 식 (1)과 비슷하면서도 다르다.
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삼각 함수의 항등식인 $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi$ = $1$을 이용해서 $x$ = $a \sec \phi$, $y$ = $b \tan \phi$로 좌표점 $(x, y)$를 구성할 수 있다. 하지만 $\phi$ = $\pi/2$에 다가갈수록 $(x, y)$가 발산하는 귀찮은 문제가 생긴다. 그래서 식 (3)을 만족하면서도 $(x, y)$는 유한하도록, 식 (2)와 비슷하게 $(x, y)$의 자취를 다음처럼 공식화한다.
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분명히 식 (4)는 식 (3)을 만족하지만 중대한 문제가 있다. 좌표점 중에서 $y$값이 복소수이므로, 2차원 평면에 표시할 수 없다. 또한 $\phi$가 아무리 변하더라도 $x, y$가 매우 커지거나 작아질 수 없다. 타원의 매개변수인 식 (2)의 접근법을 유지하면서도 식 (3)을 만족하는 매개변수를 어떻게 하면 찾을 수 있을까? 우리의 고민을 해결하기 위해 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하자.
(5)
식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.
(6)
식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.
(7)
식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.
유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 및 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.
(8)
식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.
(9)
삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.
(10)
식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.
(11)
쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다. 비슷하게 쌍곡 시컨트(hyperbolic secant)와 쌍곡 코시컨트(hyperbolic cosecant) 함수는 각각 $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$, $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$로 만든다.
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식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.
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식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFwsz1AQ_6w7PVDeXMO8GZc7OWosbbwoLEiPUFKO2ViaE3ky3LS91RPF9WSfVtfK7g7MNe5KuE7JeY1sH8sn2xXyb6gKOZA47htC7cW9floL3xIqzfkbivIVnVNZqZsalc1bpPWctWC9WI/s1600/hyp7.png)
식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.
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[그림 2] 쌍곡선 함수의 특성(출처: wikipedia.org)
유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 및 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.
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식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.
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삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.
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식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.
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쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다. 비슷하게 쌍곡 시컨트(hyperbolic secant)와 쌍곡 코시컨트(hyperbolic cosecant) 함수는 각각 $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$, $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$로 만든다.
쌍곡선 함수의 여러 공식은 새롭게 유도될 필요가 없다. 우리가 흔히 쓰는 삼각 함수 공식에 식 (10)의 관계를 대입하여 편리하게 쌍곡선 함수 공식을 생성할 수 있다.
(12)
1. 기본(basics)
[쌍곡선 함수의 합차 공식]
(1.1)
(1.2)
[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
______________________________
[기본 항등식]
(1.3)
(1.4)
여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.
[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
______________________________
2. 함수 표현식(function representation)
[역쌍곡 함수(inverse hyperbolic function)]
(2.1)
(2.2)
(2.3)
3. 급수 표현식(series representation)
[기본 함수]
(3.1)
[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
______________________________
[베르누이 수]
(3.2)
(3.3)
(3.4)
여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.
[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (3.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (3.4)도 증명할 수 있다.
______________________________
(3.5)
(3.6)
4. 미분(differentiation)
[기본 함수]
(4.1)
(4.2)
[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.
(4.3)
______________________________
[역함수]
(4.4a)
(4.4b)
[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.
(4.5a)
(4.5b)
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1. 기본(basics)
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[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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[기본 항등식]
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여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.
[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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2. 함수 표현식(function representation)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaX7EqWNwsHLLLBhyphenhyphenhJ31gzUx6vEDBPc7jqK496RfaBhwvqpYoJVKwUz6buKOAJP8JUpPA42obFt_CXQt_NW2-n07azLgZD78H7TyOVCaVczGm5tCqVSjU9ubR58fM26LVFrUuIpfHbG_jMcxs_8gNgCJHsD6ZtyRWOzFW66x8PYqN5VM54HJ-80HmZ3Ru/s16000/hf.png)
[증명]
식 (8)에서 $x, y$를 바꾸고 2차 방정식에 대한 근의 공식을 써서 식 (2.1)을 만들어낸다. 예를 들어, $\sinh^{-1} x$의 결과는 다음처럼 유도한다.
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함수값 $\sinh 0$ = $0$을 만족해야 하므로, 식 (2.2)에서 ($+$) 부호를 택한다.
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식 (2.1)의 $x$를 $1/x$로 바꾸어서 쌍곡선 함수의 역수에 대한 역함수도 도출한다.
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여기서 식 (2.1)을 이용해 식 (2.2)의 정의역도 바꾼다.
3. 급수 표현식(series representation)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGvya1KcvQnRVHbWEqxMn1X8fqIFrmsN-aieZEY8aAB9RXK5BQkW0YiEARCUOopLH_eUJwVTh9zv20ZKBRYL72UZwGZWivHuF10J6GwKnuvaJHR3T8Ph6sDlxNCWXTnAZYOhSnahMY3VQn/s1600/hyp11.png)
[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
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[베르누이 수]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzVxuwk6V5u8Chn9VFB9i6_i1nWR6TijBo5vhZw2lTM3ZwuU-hBaz74h-haLX3zbUwn8Cnho0WdxJQRl_NrY_PPTOgCCTpUqiOKY1TY2BApgCAurbogrX5qLS7T00i7l0M1FwVlAJxGRNd/s1600/ber9.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKeXPDnC0COmY4bphQgou5U0n4n0WnfFtZp2wGMDf4mRAfiJKdAxSPdEFGcaj6MjX_WuPdd_z6fzjbc46pGVeSx--omfgzr5UbJPbucSzSzU0kWxHbGpNngtZHsBS8O12S23TK1-xDIuooXoYf7f-bBJg1F2wpSzh1Dh4X2QzDjuvYMqB3PvUJqaB1Ng/s16000/hf1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNs31eEuzHBDEv4LUW3SzhIO9Hj07iopCKB18L6p9-_tTK7GwIV8RQXvpM_g5f0RmkZp5KY_50I7Igwhj8CirZnihnHhFY65UT3YH5kAyjxDzgkVwW-onn0cBnnEJGmAAbjepKG6Kg7EMj/s1600/hyp4.png)
여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.
[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (3.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (3.4)도 증명할 수 있다.
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식 (3.3)에 식 (11)을 대입해서 탄젠트에 대한 테일러 급수도 얻을 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1c3ntUaE5pa6bY6V-ikLpGsoglJ_mfVBQHu0bHmf8T6VuZBuPWQo5aaEn2GfcZgFr9yljox3AGeRy93s9W1wdFC-fZ-f7FR-jAugkrWT2rPkPsqGqID5UC_xFLzQ4tgQ-NaQPDwShTYq_fMzUS3GOo_dMiq7gNSgC6bK6lJ4hbpKX9KwZl4__0Dp3NQ/s16000/hf2.png)
여기서 $\tan x$ = $-i \tanh (ix)$이다.
[오일러 수]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4sZA277uGnktRJ83_jDwTjI800AHveR0C-ffcgJyejCb6eEe5CJUqOYg2jOKJZJ_lSupIL-zyKQ3VRgu2vq5lJgg3Z98uwHgTvpsJAInTIhe3k3j3APIprbyyeLVYg19l6KFA1bBQ5zOy5UtCn3p0jFT4IiEwqsHSjJ9WxqyeoupXwhugUSVGqtrUZQ/s16000/sn18.png)
여기서 $E_{2m}$은 오일러 수(Euler number)이다.
4. 미분(differentiation)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicCec22rsbguRiU8emRIfqmDQDX49_ShKBsYpnyV-BMhl9fI8RmIt6SRHnhairjkDK3nfB9IOFQm-Cq0rVbjZi2B8Zohjq1H-lqeg6EhBRdJ91umc-qaA82tGv915cpyipzyy9djBxktpb/s1600/hyp5.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXwrq5ajpIdzXF0t0eEUx1ThNA3DCtJe5HVdhz-Bs2mR7rT9X87w-l5uB-5ynXFwGv3kL5_i0213Y8wQ9mECfDYAvg3oI1cyehOHGcSlA-_tfYZNTyVC5GAZxS24mYhuq0vR1YU8BrlTmD/s1600/hyp3.png)
[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQtXzO1UHQn0JgdnNbBxOPlJybs2pi33hj-_i6dKywiP2DvCbnHDNdDhJlBKEv9KurVtjn6EftB5M0qk07c6P_V4RBStxPMquo-wklEYFOvGNe9XQWroB6tEoJXQKw1i4gIbU3-eBpypwJ/s1600/hyp4.png)
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[역함수]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWVkrBR5DWmDSjhXDty-u1pnLZjIMQ5qpE2U8Zo8FUh3ouIoJ2l8SVoJ_8cktW6jNTZ5_7EaCCvdE2AiUYt1MktIuQFns4pV0B5bfs93BT-v2PrNfnaNIazmYBeMvr_ODEEQF1Gd_Eui4B/s1600/hyp6.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgr_58gSJMpOjMMst3MOXrWploqY8GpPs9F0Ia0yBLC5btL5FlNALvhF5jxrzHO6CFy_91eiZObNce7KLUdDs84EjAJRedh0aGOK-e8iLJaSLwhwxbF_fgk5wZe7khGczBifkRIJ6BXfZiWy5svreXwc0S_faMt9_6NtQL3MY_AFZdkwCSBWDEB2owRzww_/s16000/hf.png)
[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.
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______________________________
5. 부정적분(indefinite integral)
[역함수]
(5.1a)
(5.1b)
여기서 $C$는 적분 상수이다.
[증명]
식 (4.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.
(5.2)
______________________________
5. 부정적분(indefinite integral)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjU8UkwwrUCRaQupptIExv_gls_LSuy8r7LT3ujvVSE87Dwgi6vf9jS1Ge4IFBkWFtsiEJdHpmscEzKNrCeLtG26Vvlkj3x6oHbEOBIXsapmNGLM5PUGFnLMDQ29mApHIJbN5Tt_DUBxrO3/s1600/hyp9.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGWLTxGkb7dO73qhtYTGSTwClIudXXni_JBiHxRH9ZoSMdz6PnDZKb5bvDMH3pmtyrNw9SHvJ14-k8wb87Z5L-w6HwxvwaTxjqmLdJRYjSBsjCdTAYHc62cv2OIaQNg3Wzni6OHMxdV5AagQ6mBxPIzjcM3eyzYT3UMH6_UQACyn7LSZ_oxrP8RZR6_S-R/s16000/hf.png)
여기서 $C$는 적분 상수이다.
[증명]
식 (4.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha4r5yW0UAinG4ztbabAVxweW8l-ZjIkCXGwvE37EPGeGvxNTCoGX_sPnRduuyfEv9CADODTOdQ2WR1y-gXMi9beTWs5ZW_koTX9FcohMReNVhNlXOu0aogmMpvrJdJaviwWcErnmaghKE/s1600/hyp10.png)
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쌍곡선 함수가 나오는 부정적분을 할 때는 피적분 함수의 대소 관계를 반드시 확인해야 한다.
tanh 2x 는 한식으로 어떻게 나타낼수 있나요?
답글삭제식 (1.1)의 셋째식에서 $x = y$로 두고 풀어보세요.
삭제2tanhx / 1 + tanh^2x = 2tanhx / 2 - sech^2x
삭제까지는 구했는데
여기서 더 변환할 수 없나요?
일반수학초보님이 지향하는 목표에 맞게 바꾸면 됩니다. 답이 있지 않아요.
삭제보통은 식 (1.1)의 셋째식에서 끝냅니다.
근데 울프람 알파만 해도 쌍곡선 함수의 매개변수를 x =sec(t) , y = tan(t) 이렇게 표현 하더라고요
답글삭제그외 다른 개념 설명에서도 저렇게 이야기합니다 왜그럴까요?
이거 댓글 삭제 어떻게 하나요....
삭제본문에 내용을 더 추가했어요.
삭제X^2 - Y^2 = -1 은 하이퍼볼릭으로 어떻게 표현하나요?
답글삭제식 (9)에 있는 $x$와 $y$를 바꾸면 됩니다. 예를 들면, $x$ = $\sinh t$, $y$ = $\cosh t$로 두면 됩니다.
삭제