2020년 6월 24일 수요일

쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
타원(楕圓, ellipse) 표현에 성공적으로 사용한 매개변수인 삼각 함수(三角函數, trigonometric function)를 다시 보자.

                  (1)

                  (2)

잘 알려진 삼각 함수의 성질인 $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$을 이용해서 타원의 자취를 식 (2)처럼 손쉽게 기술할 수 있다. 하지만 [그림 1]에 제시한 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)에도 비슷한 논리를 적용할 수 있을까?

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

식 (2)에 있는 쌍곡선의 방정식은 식 (1)과 비슷하면서도 다르다.

                  (3)

식 (3)을 만족하도록 식 (2)처럼 $x, y$의 자취를 표현하면 다음과 같다.

                  (4)

분명히 식 (4)는 식 (3)을 만족하지만 중대한 문제가 있다. 좌표점 중에서 $y$값이 복소수이므로, 2차원 평면에 표시할 수 없다. 또한 $\phi$가 아무리 변하더라도 $x, y$가 매우 커지거나 작아질 수 없다. 타원의 매개변수인 식 (2)의 접근법을 유지하면서도 식 (3)을 만족하는 매개변수를 어떻게 하면 찾을 수 있을까? 우리의 고민을 해결하기 위해 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하자.

                         (5)

식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.

                         (6)

식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.

                         (7)

식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.

[그림 2] 쌍곡선 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine)쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.

                  (9)

삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.

                         (10)

식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.

                         (11)

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다.
쌍곡선 함수의 여러 공식은 새롭게 유도될 필요가 없다. 우리가 흔히 쓰는 삼각 함수 공식에 식 (10)의 관계를 대입하여 편리하게 쌍곡선 함수 공식을 생성할 수 있다.

                         (12)


   1. 기본(basics)   

[쌍곡선 함수의 합차 공식]

                         (1.1)

                         (1.2)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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[기본 항등식]

                         (1.3)

                         (1.4)

여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.

[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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   2. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                         (2.1)

                         (2.2)

[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.

                         (2.3)
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[역함수]

                         (2.4)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                         (2.5)

                         (2.6)
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   3. 적분(integration)   

[역함수]

                         (3.1)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (2.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                         (3.2)
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   4. 테일러 급수(Taylor series)   

[기본 함수]

                         (4.1)

[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
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[베르누이 수]

                         (4.2)

                         (4.3)

                         (4.4)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (4.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (4.4)도 증명할 수 있다.
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댓글 4개 :

  1. tanh 2x 는 한식으로 어떻게 나타낼수 있나요?

    답글삭제
    답글
    1. 식 (1.1)의 셋째식에서 $x = y$로 두고 풀어보세요.

      삭제
    2. 2tanhx / 1 + tanh^2x = 2tanhx / 2 - sech^2x
      까지는 구했는데
      여기서 더 변환할 수 없나요?

      삭제
    3. 일반수학초보님이 지향하는 목표에 맞게 바꾸면 됩니다. 답이 있지 않아요.
      보통은 식 (1.1)의 셋째식에서 끝냅니다.

      삭제

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