쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 삼각 함수
2. 타원의 방정식
3. 쌍곡선의 방정식
4. 복소수

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원(楕圓, ellipse) 표현에 성공적으로 사용한 매개변수인 삼각 함수(三角函數, trigonometric function)를 다시 보자.

                  (1)

                  (2)

잘 알려진 삼각 함수의 성질인 $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$을 이용해서 타원의 자취를 식 (2)처럼 손쉽게 기술할 수 있다. 하지만 [그림 1]에 제시한 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)에도 비슷한 논리를 적용할 수 있을까? 식 (2)에 있는 쌍곡선의 방정식은 식 (1)과 비슷하면서도 다르다.

                  (3)

삼각 함수의 항등식인 $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi$ = $1$을 이용해서 $x$ = $a \sec \phi$, $y$ = $b \tan \phi$로 좌표점 $(x, y)$를 구성할 수 있다. 하지만 $\phi$ = $\pi/2$에 다가갈수록 $(x, y)$가 발산하는 귀찮은 문제가 생긴다. 그래서 식 (3)을 만족하면서도 $(x, y)$는 유한하도록, 식 (2)와 비슷하게 $(x, y)$의 자취를 다음처럼 공식화한다.

                  (4)

분명히 식 (4)는 식 (3)을 만족하지만 중대한 문제가 있다. 좌표점 중에서 $y$값이 복소수이므로, 2차원 평면에 표시할 수 없다. 또한 $\phi$가 아무리 변하더라도 $x, y$가 매우 커지거나 작아질 수 없다. 타원의 매개변수인 식 (2)의 접근법을 유지하면서도 식 (3)을 만족하는 매개변수를 어떻게 하면 찾을 수 있을까? 우리의 고민을 해결하기 위해 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하자.

                         (5)

식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.

                         (6)

식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.

                         (7)

식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.

[그림 2] 쌍곡선 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 및 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.

                          (8)

식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.

                  (9)

삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.

                          (10)

식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.

                          (11)

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다. 비슷하게 쌍곡 시컨트(hyperbolic secant)와 쌍곡 코시컨트(hyperbolic cosecant) 함수는 각각 $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$, $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$로 만든다.

쌍곡선 함수의 여러 공식은 새롭게 유도될 필요가 없다. 우리가 흔히 쓰는 삼각 함수 공식에 식 (10)의 관계를 대입하여 편리하게 쌍곡선 함수 공식을 생성할 수 있다.

                         (12)

   1. 기본(basics)   

[쌍곡선 함수의 합차 공식]

                         (1.1)

                         (1.2)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
______________________________

[기본 항등식]

                         (1.3)

                         (1.4)

여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.

[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
______________________________

   2. 함수 표현식(function representation)   

[역쌍곡 함수(inverse hyperbolic function)]

                         (2.1)

[증명]

식 (8)에서 $x, y$를 바꾸고 2차 방정식에 대한 근의 공식을 써서 식 (2.1)을 만들어낸다. 예를 들어, $\sinh^{-1} x$의 결과는 다음처럼 유도한다.

                         (2.2)

함수값 $\sinh 0$ = $0$을 만족해야 하므로, 식 (2.2)에서 ($+$) 부호를 택한다.

______________________________

식 (2.1)의 $x$를 $1/x$로 바꾸어서 쌍곡선 함수의 역수에 대한 역함수도 도출한다.

                         (2.3)

여기서 식 (2.1)을 이용해 식 (2.2)의 정의역도 바꾼다.

   3. 급수 표현식(series representation)   

[기본 함수]

                         (3.1)

[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
______________________________

[베르누이 수]

                         (3.2)

                         (3.3)

                         (3.4)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (3.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (3.4)도 증명할 수 있다.
______________________________

식 (3.3)에 식 (11)을 대입해서 탄젠트에 대한 테일러 급수도 얻을 수 있다.

                         (3.5)

여기서 $\tan x$ = $-i \tanh (ix)$이다.

[오일러 수]

                       (3.6)

여기서 $E_{2m}$은 오일러 수(Euler number)이다.

   4. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                         (4.1)

                         (4.2)

[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.

                         (4.3)
______________________________

[역함수]

                         (4.4a)

                         (4.4b)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                         (4.5a)

                         (4.5b)

                         (4.5c)

______________________________

   5. 부정적분(indefinite integral)   

[역함수]

                         (5.1a)

                         (5.1b)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (4.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                         (5.2)
______________________________

쌍곡선 함수가 나오는 부정적분을 할 때는 피적분 함수의 대소 관계를 반드시 확인해야 한다.