1. 유클리드 기하학
2. 타원의 방정식
3. 포물선의 방정식
생긴 모양은 타원(楕圓, ellipse)과 매우 다르지만, 이란성 쌍둥이처럼 2차 곡선(quadratic curve)의 생성 원리와 방정식이 타원과 완전 비슷한 곡선이 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)이다.
[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)
타원의 생성 원리가 두 초점(focus)에서 나온 직선 길이의 합이 같다는 규칙이라면, 쌍곡선은 두 초점에서 나온 직선 길이의 차가 같다는 규칙을 사용한다.
[그림 2] 쌍곡선의 작도(출처: wikipedia.org)
[그림 2]에 있는 쌍곡선의 작도 방식을 방정식으로 표현하면 다음과 같다.
(1)여기서 점 $\bar P$는 쌍곡선의 자취 $(x, y)$, $\bar F_1$ = $(c, 0)$, $\bar F_2$ = $(-c, 0)$, $2a$는 쌍곡선 사이의 길이이다. 식 (1)을 정리해 쌍곡선 방정식으로 표현하면 다음과 같다.
(2)여기서 $c^2$ = $a^2 + b^2$이다. 쌍곡선의 점근선(漸近線, asymptote)을 구하기 위해 식 (2)를 변형한다.
(3)따라서 쌍곡선은 $x, y$가 커짐에 따라 직선 $y$ = $\pm (b/a) x$로 수렴한다.
[그림 3] 쌍곡선의 이심률(출처: wikipedia.org)
[그림 3]에 정의한 이심률(離心率, eccentricity) $e$를 이용해 쌍곡선의 방정식을 다시 한 번 유도한다. 초점 $\bar F$에서 2차 곡선 위의 점 $\bar P$까지 거리와 준선(準線, directrix)에서 $\bar P$까지 거리의 비율을 이용해 이심률을 기술하면 다음과 같다.
(4)여기서 $L$은 준선에서 $\bar P$까지 거리이다. 원점 $(0, 0)$을 지나는 2차 곡선의 초점이 $\bar F$ = $(f, 0)$, 준선이 $x$ = $p$일 때, 방정식 형태로 식 (4)를 써본다.
(5)
여기서 $\bar P$ = $(x, y)$, $L$ = $|x-p|$, 왼쪽 식에 $\bar P$ = $(0, 0)$을 대입해 $p$를 정한다. 결과적으로 $p$ = $\pm f/e$이지만, $x$의 1차 항을 살리기 위해 $p$ = $-f/e$를 택해 식 (5)의 오른쪽 식을 얻는다.[∵ 포물선과 비슷하게 만들기 위해서] 이심률 $e$ = $1$일 때, 식 (5)가 포물선임은 자명하다. 그래서 $e \ne 1$이라 가정해서 식 (5)를 완전 제곱식으로 고친다.
(6)
식 (6)에서 $e < 1$이면 타원이 되고, $e > 1$이면 쌍곡선이 된다. 이러한 성질은 [그림 4]에서 볼 수도 있다.
[그림 4] 이심률에 따른 2차 곡선의 형태(출처: wikipedia.org)
식 (2)와 (6)을 비교하면 쌍곡선의 이심률을 다음처럼 얻을 수 있다.
(7)
(8)
[그림 5] 카세그렝 망원경의 광 경로(출처: wikipedia.org)
[그림 6] 쌍곡선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)
쌍곡선의 반사 원리를 증명하기 위해 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$를 고려한다. 식 (1)에 제시한 쌍곡선의 특성을 활용해서, 선분 $\overline{PF_2}$ 상에 $\overline{PF_1}$과 같은 길이를 가지도록 점 $L$을 선택한다. 또한 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$가 이루는 각의 이등분선을 $w$라 한다. 직선 $w$의 점 중에서 점 $P$가 아닌 임의의 점을 $Q$라 한다. 그러면 삼각형 $\triangle PQL$과 $\triangle PQF_1$이 합동이어서, 선분 $\overline{QL}$과 $\overline{QF_1}$은 서로 같다. 따라서 점 $Q$에 대해 다음 관계가 성립한다.
(9)
식 (9)에 의해 점 $P$와 다른 $Q$는 식 (1)을 만족하지 못하므로, 절대 쌍곡선 위의 점일 수 없다. 이로 인해 직선 $w$는 점 $P$에서만 쌍곡선과 만나므로 쌍곡선의 접선이 된다. 최종적으로 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$는 [그림 6]과 같은 반사 원리를 만족한다.
매개변수를 이용해서 쌍곡선 위의 점 $\bar P$ = $(x, y)$를 표현한다. 어떻게 하면 쉽게 할까? 타원의 매개변수 구성과 유사하게, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)를 도입해서 점 $\bar P$의 움직임을 간단하게 쓴다.
(10)
여기서 $t$는 임의의 실수가 된다. 식 (10)의 관계를 이용하면 쌍곡선이 등장하는 다양한 기하학적 문제를 대수적으로 해결할 수 있다.
식 (2)에 정의한 쌍곡선의 방정식을 이용하면, 다소 유도가 복잡한 여러 가지 쌍곡선의 성질을 밝힐 수 있다.
[점근선과 수선이 만드는 면적]
쌍곡선 위의 한 점에서 각 점근선에 내린 수선이 만드는 면적은 항상 같다.
쌍곡선 위의 한 점에서 각 점근선에 내린 수선이 만드는 면적은 항상 같다.
[증명]
(11)
[다음 읽을거리]
1. 쌍곡선 함수
점과 직선 사이의 거리(distance from a point to a line) 공식을 써서 두 수선이 만드는 면적 $\square$를 계산하여 증명한다.
(11)여기서 점근선의 방정식은 $bx \pm ay$ = $0$, $(x, y)$는 쌍곡선 위의 점이라서 $(bx)^2 - (ay)^2$ = $(ab)^2$을 만족한다.
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특이하게도 쌍곡선의 점근선과 수선이 만드는 면적은 쌍곡선의 모양을 결정하는 $a, b$와 직접적인 연관이 있다.
1. 쌍곡선 함수
식(5)는 어떻게 나온건가요??
답글삭제식 (5) 밑에 내용을 조금 추가했어요.
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