쌍곡선의 방정식(Equation of Hyperbola)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 유클리드 기하학
2. 타원의 방정식
3. 포물선의 방정식

생긴 모양은 타원(楕圓, ellipse)과 매우 다르지만, 이란성 쌍둥이처럼 2차 곡선(quadratic curve)의 생성 원리와 방정식이 타원과 완전 비슷한 곡선이 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)이다.

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원의 생성 원리가 두 초점(focus)에서 나온 직선 길이의 합이 같다는 규칙이라면, 쌍곡선은 두 초점에서 나온 직선 길이의 차가 같다는 규칙을 사용한다.

[그림 2] 쌍곡선의 작도(출처: wikipedia.org)

[그림 2]에 있는 쌍곡선의 작도 방식을 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                  (1)

여기서 점 $\overline{P}$는 쌍곡선의 자취 $(x,y)$, ${\overline{F}}_1$ = $(c,0)$, ${\overline{F}}_2$ = $(-c,0)$, $2a$는 쌍곡선 사이의 길이, $c$는 초점의 위치이다. 식 (1)을 정리해 쌍곡선 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                   (2)

여기서 $c^2$ = $a^2+b^2$이다. 쌍곡선의 점근선(漸近線, asymptote)을 구하기 위해 식 (2)를 변형한다.

                  (3)

따라서 쌍곡선은 $x,y$가 커짐에 따라 직선 $y$ = $\pm (b/a)x$로 수렴한다.

[그림 3] 쌍곡선의 이심률(출처: wikipedia.org)

[그림 3]에 정의한 이심률(離心率, eccentricity) $e$를 이용해 쌍곡선의 방정식을 다시 한 번 유도한다. 초점 $\overline{F}$에서 2차 곡선 위의 점 $\overline{P}$까지 거리와 준선(準線, directrix)에서 $\overline{P}$까지 거리의 비율을 이용해 이심률을 기술하면 다음과 같다.

                     (4)

여기서 $L$은 준선에서 $\overline{P}$까지 거리이다. 원점 $(0,0)$을 지나는 2차 곡선의 초점이 $\overline{F}$ = $(f,0)$, 준선이 $x$ = $p$일 때, 방정식 형태로 식 (4)를 써본다.

                  (5)

여기서 $\overline{P}$ = $(x,y)$, $L$ = $|x-p|$, 왼쪽 식에 $\overline{P}$ = $(0,0)$을 대입해 $p$를 정한다. 결과적으로 $p$ = $\pm f/e$이지만, $x$의 1차 항을 살리기 위해 $p$ = $-f/e$를 택해 식 (5)의 오른쪽 식을 얻는다.[∵ 포물선과 비슷하게 만들기 위해서] 이심률 $e$ = $1$일 때, 식 (5)가 포물선임은 자명하다. 그래서 $e\ne 1$이라 가정해서 식 (5)를 완전 제곱식으로 고친다.

                  (6)

식 (6)에서 $e<1$이면 타원이 되고, $e>1$이면 쌍곡선이 된다. 이러한 성질은 [그림 4]에서 볼 수도 있다.

[그림 4] 이심률에 따른 2차 곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

식 (2)와 (6)을 비교하면 쌍곡선의 이심률을 다음처럼 얻을 수 있다.

                   (7)

또한 [그림 1, 3]에 있는 초점의 좌표를 이용해 $f$ = $c-a$ = $a(e-1)$ = $b^2/[a(e+1)]$임도 알 수 있다. 따라서 쌍곡선인 경우 식 (6)을 간단히 표현할 수 있다.

                  (8)

[그림 2]에 제시한 쌍곡선의 작도 원리는 [그림 5]와 같은 부반사경을 가진 망원경 설계에 직접 적용할 수 있다.

[그림 5] 카세그렝 망원경의 광 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 5]처럼 포물선(抛物線, parabola)과 쌍곡선 궤적을 가진 부반사경 망원경은 카세그렝 망원경(Cassegrain telescope)이라 부른다. 프랑스의 천주교 사제 겸 천문학자인 카세그렝Laurent Cassegrain(1629–1693)이 1672년조선 현종 시절 무렵에 제안했다. 카세그렝 망원경은 반사경 안테나의 가장 표준적인 형태이다. 다만 [그림 5]와 같은 광 경로가 성립하려면 쌍곡선에 입사하는 광과 반사하는 광 사이에 [그림 6]과 같은 반사의 원리가 성립해야 한다.

[그림 6] 쌍곡선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)

쌍곡선의 반사 원리를 증명하기 위해 선분 $\overline{P{F}_1}$과 $\overline{P{F}_2}$를 고려한다. 식 (1)에 제시한 쌍곡선의 특성을 활용해서, 선분 $\overline{P{F}_2}$ 상에  $\overline{P{F}_1}$과 같은 길이를 가지도록 점 $L$을 선택한다. 또한 선분 $\overline{P{F}_1}$과 $\overline{P{F}_2}$가 이루는 각의 이등분선을 $w$라 한다. 직선 $w$의 점 중에서 점 $P$가 아닌 임의의 점을 $Q$라 한다. 그러면 삼각형 $\mathrm{△}PQL$과 $\mathrm{△}PQ{F}_1$이 합동이어서, 선분 $\overline{QL}$과 $\overline{Q{F}_1}$은 서로 같다. 따라서 점 $Q$에 대해 다음 관계가 성립한다.

                  (9)

식 (9)에 의해 점 $P$와 다른 $Q$는 식 (1)을 만족하지 못하므로, 절대 쌍곡선 위의 점일 수 없다. 이로 인해 직선 $w$는 점 $P$에서만 쌍곡선과 만나므로 쌍곡선의 접선이 된다. 최종적으로 선분 $\overline{P{F}_1}$과 $\overline{P{F}_2}$는 [그림 6]과 같은 반사 원리를 만족한다.

매개변수를 이용해서 쌍곡선 위의 점 $\overline{P}$ = $(x,y)$를 표현한다. 어떻게 하면 쉽게 할까? 타원의 매개변수 구성과 유사하게, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)를 도입해서 점 $\overline{P}$의 움직임을 간단하게 쓴다.

                  (10)

여기서 $t$는 임의의 실수가 된다. 식 (10)의 관계를 이용하면 쌍곡선이 등장하는 다양한 기하학적 문제를 대수적으로 해결할 수 있다.

식 (2)에 정의한 쌍곡선의 방정식을 이용하면, 다소 유도가 복잡한 여러 가지 쌍곡선의 성질을 밝힐 수 있다.

[점근선과 수선이 만드는 면적]
쌍곡선 위의 한 점에서 각 점근선에 내린 수선이 만드는 면적은 항상 같다.

[증명]

점과 직선 사이의 거리(distance from a point to a line) 공식을 써서 두 수선이 만드는 면적 $◻$를 계산하여 증명한다.

                  (11)

여기서 점근선의 방정식은 $bx\pm ay$ = $0$, $(x,y)$는 쌍곡선 위의 점이라서 $(bx{)}^2-(ay{)}^2$ = $(ab{)}^2$을 만족한다.

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특이하게도 쌍곡선의 점근선과 수선이 만드는 면적은 쌍곡선의 모양을 결정하는 $a,b$와 직접적인 연관이 있다.

아래 2차 곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선이 될 수 있다. 2차 곡선의 종류를 결정하는 공식은 원뿔 곡선의 판별식(discriminant of conic section) $D$이다.

                  (12)

식 (12)에 나온 2차 항으로 만든 행렬의 행렬식을 원뿔 곡선의 판별식으로 사용한다. 만약 $D$ = $ac-b^2<0$이라면, 이 행렬로 계산한 고유치의 부호가 서로 달라서 식 (12)를 변형한 방정식은 식 (2)와 같은 모양이 된다. 그래서 $D<0$인 경우에만 식 (12)는 쌍곡선을 표현한다.

[다음 읽을거리]
1. 쌍곡선 함수