2022년 7월 22일 금요일

가우스 광학(Gaussian Optics)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 광학"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


수학자 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)가 기여한 기하 광학(geometrical optics)의 특별한 경우를 가우스 광학(Gaussian optics)이라 부른다. 가우스는 광학계(光學系, optical system)를 손쉽게 분석하기 위해 3가지 주요점(主要點, cardinal point)을 제안했다. 가우스 광학에 사용되는 주요점은 광학계를 규정하는 광축(optical axis)에 존재하는 중요한 점이다. 여기서 광축은 광학계가 가진 회전 대칭성(rotational symmetry)을 표현하는[회전 대칭성의 중심을 따라가는] 선이다. 가우스가 제안한 주요점 3개는 초점(焦點, focal point or focus), 주점(主點, principal point), 절점(節點, nodal point)이다. 

(a) 전방과 후방에 생긴 초점과 주점

(b) 전방 및 후방 절점
[그림 1] 초점, 주점, 절점의 정의(출처: wikipedia.org)

유명한 용어인 초점은 이름에서도 알 수 있듯이 불 태우는 점이며, 아주 먼 곳에서 광학계로 들어온 빛이 한 곳으로 모이는 한 점이다. 빛이 모이기 때문에 불을 붙이기 좋은 위치가 되므로 초점이라 부른다. [그림 1(a)]에 보인 렌즈(lens)에는 전방과 후방에 $F$와 $F'$로 표기된 초점이 하나씩 있다. 파면에 수직으로 빛이 직선으로 움직이는 경로인 광선(光線, ray)빨간색 화살표 표시한다. 여기서 점 $F$와 $F'$을 지나는 점선이 광축이며, 광축을 기준으로 렌즈를 돌리면 회전 대칭성이 보인다. 초점을 포함하면서 광축에 수직인 평면은 초점면(focal plane)이라 한다. 전방 초점(front focal point)에서 나온 광선은 렌즈에 의해 광축과 평행인 직사광선으로 바뀐다. 광축에 평행하게 렌즈로 들어온 광선이 렌즈를 통과하면, 이 광선은 후방 초점(back focal point)에 집중된다. 가우스 광학에서 초점에 모이는 광선은 면적이 없는 점 하나로 수렴한다.[현실에서는 당연히 불가능하지만, 단순화를 위해 필요한 근사이다.]
[그림 1(a)]에서 전방 및 후방 주점(front and back principal points) $P$와 $P'$은 스넬의 법칙(Snell's law) 때문에 생긴다. 광선이 렌즈로 입사하면 스넬의 법칙에 따라 굴절한다. 렌즈속에서 진행하던 광선은 공기로 빠져나갈 때 다시 굴절한다. 그래서 렌즈에 들어간 광선은 [그림 1(a)]처럼 정확히 두 번 꺾인다. 최대한 단순화하기 위해, 가우스 광학에서는 [그림 1(a)]의 빨간색 점선처럼 렌즈 내부에서 광선은 딱 한 번만 구부러진다고 근사화한다. 광축에 수직이면서 모든 광선이 한 번만 꺾이는 점들을 가진 평면은 주점면(principal plane)이라 부른다. 주점면은 렌즈의 특성을 규정하는 기준 평면이다. 이 주점면이 광축과 만나는 점은 렌즈의 기준이 되는 주점이다. 주점은 초점과의 거리를 정할 때 매우 요긴하다. 렌즈와 초점과의 거리인 초점 거리(focal length)를 가시적으로 정할 때는 정점(頂點, vertex)이 편리하다. 정점은 광축과 렌즈의 표면이 만나는 꼭대기 점이고, [그림 1(a)]에 있는 $V$와 $V'$의 기호처럼 전방과 후방에 하나씩 있다. 전방 초점과 전방 정점의 길이는 전방 초점 거리(front focal length, FFL) 혹은 제1 초점 거리(the first focal length)라 한다. 당연히 후방 초점 거리(back focal length, BFL)제2 초점 거리(the second focal length)는 후방 초점과 후방 정점 사이의 길이이다. 다만 정점으로 초점 거리를 정의하면, 쉽기는 하기는 광선의 특성을 제대로 반영하지 못한다. 그래서 초점과 주점 사이의 길이인 유효 초점 거리(effective focal length, EFL)를 정의함으로써 렌즈 내부에서 근사적으로 광선이 굴절되어 광선이 수렴 혹은 발산되는 특성을 거의 정확하게 계산한다. 만약 렌즈 구경에 비해 두께가 매우 얇다면, 주점 및 정점 $P, P', V, V'$은 동일점으로 근사한다.
전방 및 후방 절점(front and back nodal points) $N$과 $N'$을 정의하고 있는 [그림 1(b)]를 고려한다. 광선이 렌즈에 입사하여 다시 빠져나가는 경로를 보면, [그림 1(a)]처럼 광선은 렌즈 내부에서 두 번 꺾인다. 주점과 같은 단순화를 위해 광선은 렌즈 표면에서 구부러지지 않고 광축까지 직진한다고 가정한다. 이때 여러 광선 중에서 렌즈에 들어온 각과 렌즈를 나간 각이 $\theta$로 서로 같은 광선을 [그림 1(b)]처럼 선택한다. [그림 1(b)]에서 실선인 광선이 광축과 만나는 점은 광심(光心, optical center)이 되고, 점선인 가상 광선이 광축과 만나는 점은 바로 절점이다. 얇은 렌즈에서는 $N$과 $N'$이 같다고 생각하므로, 광중심을 통과하는 광선은 구부러지지 않은 그냥 직선으로 간주된다. 초점, 주점, 절점의 정의에 기반을 둔 가우스 광학의 광선이 이동하는 규칙은 다음과 같다.
  • 동일 매질을 전파할 때에 광선은 직선 경로를 따르고, 거울(mirror)이나 굴절기(refractor)를 만나면 각각 반사 및 굴절 법칙에 따라 경로가 직선 형태로 바뀐다.
  • 굴절기의 광심을 지나는 광선은 입사와 투과 각도가 같다.
  • 초점에서 나온 광선이 굴절기를 통과하면 광축과 평행한 직선이 된다.
  • 광축과 평행하게 입사한 광선은 굴절기를 통과한 후 초점에 모인다. 
가우스 광학은 빛의 반사 및 굴절을 정확하게 예측하기보다 근사이지만 직관적이고 간단한 결과식을 도출하려는 목적으로 사용한다. 그래서 가우스 광학은 근축 근사(近軸近似, paraxial approximation)를 기본적으로 사용한다. 근축 근사는 광축 근방으로 입사하는 광선에서만 잘 맞는 근사이다. 여기서 광축을 따라가는 광선은 축 광선(光線, axial ray), 광축 근처에 있는 광선은 근축 광선(近軸光線paraxial ray)이라 이름 붙인다. 근축 근사에서 광선 처리에 사용하는 삼각 함수는 다음처럼 근사화된다.

                  (1)

코사인 함수를 더 잘 근사할 때는 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 식 (1)의 둘째식에 2차항까지 포함시킨다.

                  (2)

식 (1), (2)와 같은 근축 근사를 가우스 광학에 적극적으로 사용하므로, 가우스 광학을 근축 광학(近軸paraxial optics)으로 명하기도 한다. 가우스 광학에서 사용하는 식 (1)의 근사에 따라 스넬의 법칙을 간략화한다.

                  (3)

그 다음 단계로 삼각 함수 없는 단순한 곱셈을 가진 스넬의 법칙인 식 (3)을 도구로 활용해서 광학계에 가우스 광학을 적용한다. 

[그림 2] 렌즈에 의해 집속되는 직사광선(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 구면 굴절기에 입사하여 굴절되는 광선

가우스 광학에 가장 기본이 되는 구면 굴절기(spherical refractor)의 굴절 방정식을 유도한다[3]. 구면 굴절기는 [그림 2]에 보인 렌즈에 기본적으로 사용된다. 렌즈는 납작한 콩인 편두(扁豆)를 닮아서 편두의 라틴어 이름인 렌즈(lens)를 [그림 2]처럼 빛을 모아주는 광학 기기의 이름으로 선택했다. [그림 3]에 있는 구면 굴절기의 내부와 외부 매질에 존재하는 굴절률은 각각 $n_2, n_1$으로 생각한다. 광축(optical axis)과 광선 경로가 함께 만드는 삼각형에 정의된 각도 관계는 다음과 같다.

                  (4)

                  (5)

여기서 $r$은 구면 굴절기의 반지름이다. 식 (4)와 (5)를 식 (3)에 유도한 근사화된 스넬의 법칙에 대입해서 정리하면, 매우 쉽게 구면 굴절기의 굴절 방정식(refraction equation of spherical refractor)을 얻을 수 있다. 

                  (6)

광원을 무한대로 보내기 위해 $s \to \infty$를 취한다. 그러면 가우스 광학에 의해 $f$ = $s'$이 되므로, 초점 거리 $f$에 대한 구면 굴절기의 굴절 방정식도 새롭게 공식화된다.

                  (7)

구면 굴절기의 초점은 굴절기의 굴절률에 따라 심하게 변한다. 다만 식 (1)을 사용한 식 (6), (7)은 광축 근처에서만 잘 성립하고 광축을 벗어나면 오차가 많이 생긴다.

[그림 4] 구면 거울에 입사하여 반사되는 광선

[그림 4]는 구면 거울(spherical mirror)에 입사하여 반사 법칙(law of reflection)에 따라 변하는 광선의 경로를 보여준다. 광축을 기준으로 여러 직선 경로가 만드는 삼각형은 다음 각도 관계를 만족한다.

                  (8)

식 (8)에 식 (4)를 대입해서 간소화하면, 구면 거울의 반사 방정식(reflection equation of spherical mirror)을 구할 수 있다.

                  (9)

구면 거울의 초점 거리 $f$ = $s'$를 구할 때는 $s \to \infty$를 적용해서 초점 거리 $f$에 대한 구면 거울의 반사 방정식도 만든다.

                  (10)

특이하게도 구면 거울의 초점은 반지름의 반인 위치에 존재한다. 하지만 이 초점은 모든 경우에 성립하는 만능 점이 아니고, 식 (1)이 성립하는 광축 근방에서만 맞다.

[그림 5] 볼록 및 오목 렌즈가 만드는 상과 배율(출처: wikipedia.org)

가우스 광학은 기하 광학의 부분 집합이라서 가우스 광학의 모든 결과를 기하학적으로 설명할 수 있다. 하지만 현상이 복잡해지면 기하학을 적용하기가 너무 어렵기 때문에, 식 (7), (10)과 같은 대수 방정식으로 광선의 수렴과 발산을 더 쉽게 예측한다. 다만 대수 방정식을 효율적으로 계산하기 위해서는 $s, s', f, r$에 대한 부호 약속(sign convention)이 꼭 필요하다. 먼저 편의성을 위해 입사 광선은 [그림 3, 4]처럼 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 들어온다고 가정한다. 부호 기준으로 광선의 원점(origin)은 광심이다. 굴절기의 광심은 절점으로 찾고, 거울의 광심은 광축과 거울이 만나는 점이다. 원점 정의에 기반을 두고, 광선이 원점으로 들어가는(incoming) 편과 원점을 떠나는(outgoing) 편을 다시 정의한다.[그림 5에서 왼쪽이 들어가는 편, 오른쪽이 떠나는 편] 들어가는 편의 반대편이 항상 떠나는 편이지는 않다. [그림 4]를 보면 들어가는 편과 떠나는 편은 반대편이 아니고 같은편이다.[그림 4에서는 광선이 들어가고 떠나는 편이 모두 왼쪽]

[표 1] 가우스 광학의 매개변수를 위한 부호 약속[3]
Parameter
(매개변수)
Name
(이름)
($+$) 경우($-$) 경우
$s$물체 거리
(object distance)
광선이 원점으로 들어가는 편에 위치
[혹은 원점 기준으로 물체가 왼쪽에 위치]
($+$)와는 반대편에 위치
[혹은 원점 기준으로 물체가 오른쪽에 위치]
$s'$상 거리
(image distance)
광선이 원점을 떠나는 편에 위치
[원점 기준으로 왼쪽 혹은 오른쪽에 위치]
($+$)와는 반대편에 위치
[원점 기준으로 왼쪽 혹은 오른쪽에 위치]
$h$높이
(height)
물체나 상이 위를 보며 똑바로 섬물체나 상 아래를 보며 거꾸로 섬
$M$횡배율
(lateral magnification)
똑바로 선 물체의 상이 위를 보며 똑바로 섬똑바로 선 물체의 상이 아래를 보며 거꾸로 섬
$r$곡률 반경
(radius of curvature)
광선이 원점을 떠나는 편에 구의 중심이 위치($+$)와는 반대편에 위치
$f$초점 거리
(focal length)
광선이 원점을 떠나는 편에 초점이 위치($+$)와는 반대편에 위치

높이를 가진 물체가 거울이나 굴절기에 의해 변화된 모양은 (像, image)이라 한다. [그림 5]의 볼록 렌즈는 광선이 원점을 떠나는 방향으로 실제 상인 실상(實像, real image)을 만든다. 오목 렌즈는 광선을 발산시키지만, 광선을 거꾸로 따라가보면[혹은 원점을 떠나는 방향과 반대로 가면] 가짜이기는 하지만[∵ 광선이 그 점에서 나오지 않는다.], 상 자체를 인지할 수 있어서 허상(虛像, virtual image)이라 부른다. 기하 광학에서 배율(倍率, magnification)은 다양하게 정의되지만, 보통은 횡배율(橫倍率, lateral or transverse magnification)을 의미한다. 횡배율은 물체의 높이[높이 방향은 광축에 수직]에 대한 상의 높이 비율이다. [그림 5]에서 볼록 렌즈의 실상은 거꾸로 서있으므로, 음수가 되는 배율 $M$의 관계식은 다음과 같다.

                  (11)

여기서 [표 1]에 따라 $h_i < 0$, $d_i$ = $s'$ $>$ $0$, $f > 0$이다. 반대로 오목 렌즈는 허상은 위를 보며 제대로 서있어서 $M$은 양수이며, $h_i > 0$, $d_i$ = $s'$ $<$ $0$, $f < 0$도 성립한다.

(a) 렌즈의 종류: 양볼록, 평볼록, 양반월, 음반월, 평오목, 양오목 순서

(b) 렌즈의 모양과 곡률 반경의 부호
[그림 6] 렌즈의 다양한 특성(출처: wikipedia.org)

[그림 6]에 제시된 형상처럼 다양한 모양을 가진 렌즈는 다양한 곡률 반경(radius of curvature)과 부호를 만들어낸다. [그림 6(a)]에 있는 렌즈의 구체적인 이름은 양볼록(biconvex or double convex), 평볼록(plano-convex or planar convex), 양반월(陽半月, positive meniscus) 혹은 볼록 반월(convex meniscus), 음반월(陰半月, negative meniscus) 혹은 오목 반월(concave meniscus), 평오목(plano-concave or planar concave), 양오목(biconcave or double concave)이다. 양볼록 렌즈는 양면이 모두 볼록 렌즈이고, [표 1]에 따라 양쪽 렌즈에 형성된 곡률 반경의 부호를 정한다. 곡률 반경 $r_1$을 기준으로 보면, 광선이 떠나는 편[렌즈 내부]에 구의 중심이 있어서 $r_1 > 0$이다. 반대편에 있는 $r_2$는 광선이 떠나는 편이 공기이고 구의 중심은 렌즈 내부에 있으므로 $r_2 < 0$이다. 양볼록과 정반대 모양인 양오목 렌즈에 있는 곡률 반경의 부호는 정반대이다. 오목 렌즈에 광선이 입사하는 경우, 광선이 떠나는 편은 당연히 렌즈 내부이고 구의 중심은 공기에 있다. 그래서 [표 1]에 따라 $r_1 < 0$이 되어야 한다. 반면에 렌즈를 투과한 광선이 떠나는 편은 공기 영역이고 구의 중심까지 있어서 $r_2 > 0$이 된다.


   1. 거울(mirror)   

[그림 1.1] 평면 거울에 비친 상(출처: wikipedia.org)

[평면 거울(plane mirror)]
평면 거울의 상 거리는 $s'$ = $-s$이다.

[증명]
평면 거울의 곡률 반경 $r$은 무한대이고 언제나 식 (10)은 성립해야 하므로, $s'$ = $-s$가 된다.
______________________________

평면 거울에서 상 거리 $s'$은 물체 거리 $s$와 같지만 부호가 반대이어서, [그림 1.1]처럼 거울 속의 물체는 마치 거울 내부에 있는 것처럼 느껴진다.


   2. 굴절기(refractor)   

[평면 굴절기(plane refractor)]
평면 굴절기의 상 거리는 $s'$ = $-(n_2 / n_1) s$이다.

[증명]
곡률 반경 $r$이 무한대인 평면 조건을 식 (7)에 대입해서 증명한다.
______________________________

[얇은 렌즈의 굴절 방정식(refraction equation of thin lens)]

                  (2.1)

[증명]
[그림 5]와 식 (11)에 나온 닮은 삼각형의 비례 관계로부터 $s'/f - 1$ = $s'/s$이다. 이 관계를 정리해서 식 (2.1)을 얻는다.
______________________________

식 (2.1)은 가우스의 렌즈 공식(Gaussian lens formula)이라고도 부른다. 초점과 물체 및 상 거리의 차이를 표현하는 매개변수를 각각 $x$ = $s - f$, $x'$ = $s'-f$로 정의한 후, 식 (2.1)을 더 간략화해서 뉴턴의 렌즈 공식(Newtonian lens formula)으로 바꿀 수 있다.

                  (2.2)

가우스와 뉴턴의 렌즈 공식은 동일하지만 매개변수만 약간 다른 형태이다. 식 (2.1)에 나온 초점 거리를 결정하는 공식은 유명한 렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation)이다.

[그림 2.1] 얇은 렌즈의 초점과 곡률 반경

[렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation)] [3]

                  (2.3)

여기서 $n_1 < n_2$이다.

[증명]
[그림 2.1]에서 곡률 반경이 $r_1$과 $r_2$인 렌즈에 대해 식 (6)을 각각 적용한다.

                  (2.4)

여기서 렌즈의 두께는 매우 얇아서 $r_1$의 왼쪽에 있는 물체가 만드는 상은 $r_2$를 기준으로 다시 물체가 되어서 렌즈를 투과한 상을 만든다. [그림 2.1]과 같은 초점 거리를 만들기 위해, 먼저 $s_1 \to \infty$로 둔다.

                  (2.5)

얇은 렌즈의 조건으로 인해 거리 $s_1'$과 $s_2$의 관계는 독립이 아니고 종속적이다. 먼저 $r_1$을 가진 왼쪽 렌즈가 오목해서 $r_1 < 0$이라 가정한다. 그러면 음수인 상 거리 $s_1'$은 렌즈의 왼쪽에 생긴다. 이 상은 다시 오른쪽 렌즈에 대한 물체가 되고, 광선이 들어가는 편에 있어서 $s_2$의 부호는 양수가 된다. 따라서 상 거리와 물체 거리의 크기는 서로 같고 부호는 다르므로, 항상 $s_2$ = $-s_1'$이 성립한다. 증명을 위해 식 (2.5)를 식 (2.4)의 둘째식에 대입해서 정리한다.

                  (2.6)

왼쪽 렌즈가 오목하지 않고 볼록한 경우는 $r_1 > 0$이다. 양수인 $r_1$은 광선이 떠나는 편에 $s_1' > 0$인 상을 구성한다. [표 1]을 기반으로 오로지 수학적으로만 판단하면, 왼쪽 렌즈의 상을 오른쪽 렌즈에 대한 가상 물체(virtual object)로 간주한다. 이 가상 물체는 광선이 들어가는 편의 반대에 있어서 $s_2 < 0$이 된다. 결국 왼쪽이 볼록 렌즈라 하더라도 $s_2$ = $-s_1'$이 성립해서 식 (2.6)이 잘 맞는다.
______________________________

가상 물체는 왼쪽이 볼록한 얇은 렌즈에 생기는 굴절을 표현한다. 광선이 볼록한 왼쪽 렌즈를 통과해서 오른쪽 렌즈로 갈 때, 왼쪽 렌즈가 만드는 상은 오른쪽 렌즈의 너머인 $s_1'$에 생긴다. 이 상을 만드는 광선은 당연히 오른쪽 렌즈에서 재굴절되어 새로운 상을 $s_2'$ 위치에 만든다. 이 과정에서 물체와 상의 광선 방향을 거꾸로 보면 식 (6)이 쉽게 적용된다.[스넬의 법칙이든 식 (6)이든 광선 방향을 바꾸어도 똑같이 성립한다.] 마치 $s_2'$에 위치한 물체가 광선을 발사하여 오른쪽 렌즈에서 굴절되어 발산하는 광선을 만든다고 생각할 수 있다. 발산하는 광선의 허상이 바로 가상 물체이다. 왜냐하면 광선 방향을 바꾸어서 굴절 과정을 설명하고 있기 때문에, 이 허상은 광선이 나오는 물체가 되지만 굴절로 인해 그 위치에 존재하지 않기 때문이다. 그래서 $s_2$가 음수인 이상한 성질을 가진 물체는 바로 가상 물체가 된다.

[그림 2.2] 두꺼운 렌즈의 구조

[두꺼운 렌즈용 렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation for thick lens)]

                  (2.7)

여기서 초점 거리 $f$는 후방 주점 $P'$부터 재며, $d$는 렌즈의 두께이다.

[증명]
전방 정점 $V$ 및 후방 정점 $V'$부터 각각 정의한 상 거리 $s_1'$ 및 물체 거리 $s_2$는 [그림 2.2]에 따라 $s_1'$ = $d - s_2$, $s_2$ = $d-s_1'$이다. 왜냐하면 식 (2.2)의 증명에서 논의한 대로 $s_1'$과 $s_2$는 부호가 다르기 때문이다. [그림 2.2]에 예시적으로 보인 왼쪽 렌즈는 볼록 렌즈라서 오른쪽 렌즈의 물체는 가상 물체가 된다. 먼저 광축에 평행하게 들어오는 광선은 왼쪽 렌즈에서 굴절되어 식 (2.5)에 나온 상 거리 $s_1'$에 상을 만든다. [그림 2.2]의 구조를 가지고 오른쪽 렌즈에 대해 식 (2.6)을 다시 기술한다.

                  (2.8)

두꺼운 렌즈의 초점 거리 $f$를 구하기 위해, [그림 2.2]에 있는 닮은 삼각형 $\triangle ADV$ $\backsim$ $\triangle BDV'$와 $\triangle H'CP'$ $\backsim$ $\triangle BCV'$에 집중한다. 잘 알려진 닮은 삼각형의 단순한 비례에 따라 다음 방정식이 구해진다.

                  (2.9)

식 (2.9)에 식 (2.5)와 (2.8)을 대입해서 깔끔하게 정리한다.

                  (2.9)
______________________________

렌즈의 두께가 아주 작아지면, 두꺼운 렌즈 방정식은 식 (2.3)에 있는 렌즈 제작자의 방정식이 된다. 또한 식 (2.3) 혹은 (2.7)로 계산하는 초점 거리 $f$는 두 종류의 굴절기가 형성하기 때문에, 두 유효 초점 거리를 합산한 전체 초점 거리(total focal length)이다.

[굴스트란드의 방정식(Gullstrand's equation)]

                  (2.10)

여기서 $f_1, f_2$는 각각 첫째와 둘째 유효 초점 거리이다.

[증명]
두꺼운 렌즈용 렌즈 제작자의 방정식인 식 (2.7)을 다음과 같이 변형한다.

                  (2.11)

여기서 구면 굴절기의 유효 초점 거리는 식 (7), 서로 부호가 다른 $s_1'$과 $s_2$로 인해 $f_1$과 $f_2$의 부호도 달라진다.
______________________________

[그림 2.3] 웁살라 대학교의 모습(출처: wikipedia.org)

스웨덴의 유서 깊은 대학교인 웁살라 대학교(University of Uppsala)의 굴스트란드Allvar Gullstrand(1862–1930) 교수가 식 (2.10)을 제안했다.[동식물의 학명을 붙이는 방법을 제안한 린네, 우리가 쓰는 섭씨를 발명한 셀시우스 등이 웁살라 대학교의 교수였다. 또한 웁살라 대학교의 노벨상 수상자는 8명이다.] 안경 광학의 대가이자 노벨상 수상자인 굴스트란드는 본인의 업적도 유명하지만, 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)이 상대성 이론으로는 노벨상을 받지 못하도록 했던 악마의 대변인(devil's advocate)으로도 알려져있다.


[참고문헌]
[1] R. Fitzpatrick, Paraxial Optics, Electromagnetism and Optics, University of Texas at Austin, USA, 2007. (방문일 2022-07-23)
[2] 홍경희, 제3장 가우스 광학, 기초광공학, 상학당, 2012.
[3] T. Weideman, Waves, Sound, Optics, Thermodynamics, and Fluids, University of California, Davis, USA, 2019. (방문일 2022-07-23)
[4] 이상수, 기하광학, 교학연구사, 1985.

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