2022년 7월 30일 토요일

기하 광학(幾何光學, GO: Geometrical Optics)

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[그림 1] 기하 광학과 렌즈(출처: wikipedia.org)

고전적(classical) 기하 광학(幾何光學, geometrical optics, GO)유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 작도법과 빛의 반사 및 굴절 법칙을 활용해서 [그림 1]처럼 광선(光線, ray)의 움직임을 추적한다[1]. 기하 광학 혹은 GO의 또 다른 이름은 광선 광학(ray optics)이다. 요즘에 와서 연구하는 기하 광학은 균일 평면파(uniform plane wave) 개념과 전력 보존 법칙(conservation of power)으로 광선을 정의하고, 프레넬 방정식(Fresnel equation)으로 광선의 반사와 굴절을 계산하는 방식을 주로 택한다[2]. 이를 위해 현대적 기하 광학에서는 전자기장을 고주파 근사(high-frequency approximation)로 정의한다. 고주파 근사는 아주 높은 주파수에서 점근적으로 잘 맞는 근사 기법이다. 기하 광학에 대표적으로 사용되는 고주파 근사 방정식은 아래에 제시한 룬버그–클라인 점근 전개(Luneburg–Kline asymptotic expansion)이다[2], [3].

                  (1)

여기서 기하 광학은 자성체(magnetic material)를 다루지 않아서 $\mu$ = $\mu_0$, $k$ = $\omega \sqrt{\mu_0 \epsilon}$, 실수 함수(real function)인 $\Psi(\bar r)$은 위치 벡터 $\bar r$에서 정의된 위상 함수(phase function)이다. 룬버그–클라인 점근 전개로 표현한 전자기장 $\bar E(\bar r, \omega), \bar H(\bar r, \omega)$는 광선 광학장(光線光學場, ray-optic field), 무한 급수의 제$n$차 항인 $\bar E_n(\bar r), \bar H_n(\bar r)$은 광선 광학 항(ray-optic term)이라 명한다. 주파수가 아주 높아지면 광선 광학장은 제$0$차 항만 남아서 기하 광학장(geometrical optics or GO field) 혹은 고주파장(high-frequency field) $\bar E(\bar r), \bar H(\bar r)$이 된다.

                  (2)

여기서 $\bar E_0(\bar r), \bar H_0(\bar r)$는 기하 광학 항(geometrical optics or GO term)이다. 

[그림 2] 룬버그 렌즈의 동작 원리(출처: wikipedia.org)

룬버그–클라인 점근 전개를 제안한 룬버그Rudolf Luneburg(1903–1949) 교수는 [그림 2]에 표시한 룬버그 렌즈(Luneburg lens)의 단순해를 만들어서 유명해졌다. 미국인인 룬버그는 독일 이민자라서 이름을 독일식인 뤼네부르크(Lüneburg)라 읽기도 한다. [그림 2]를 자세히 보면, 룬버그 렌즈는 구 표면의 어떤 위치든지 렌즈의 초점(focus)이 되는[혹은 어떤 방향에서 오는 신호든지 구 표면에 집속되는] 신기한 특성을 가지고 있다.
식 (1)에 정의한 고차 광선 광학장과 기하 광학장의 상호 관계를 구하기 위해, 식 (1)을 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 넣고 $\omega$ 차수별로 모은다[2], [4]. 먼저 패러데이의 법칙부터 계산을 시작한다.

                  (3)

여기서 $v$ = $1/\sqrt{\mu_0 \epsilon}$은 매질속의 광속이다. 식 (3)에서 기하 광학 항을 뽑아내서 다시 기술한다.

                  (4)

모든 $\omega$에 대해 식 (4)가 만족되므로, 식 (4)는 $\omega$에 대한 항등식이 되어야 한다. 그래서 광선 광학과 기하 광학 항은 다음과 같은 관계를 이룬다.

                  (5)

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\mu_0 / \epsilon}$은 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 비슷하게 암페어의 법칙도 다음 결과를 만든다.

                  (6)

                  (7)

나머지 맥스웰 방정식에도 식 (1)을 대입해서 정리한다.

                  (8)

                  (9)

                  (10)

                  (11)

위상 함수 $\Psi(\bar r)$의 조건을 구하려고 식 (7)의 첫째식에 식 (5)의 첫째식를 대입해서 좌변과 우변을 비교한다.

                  (12)

여기서 $\Psi(\bar r)$는 실수 함수(real function)로 생각한다. 따라서 $\Psi(\bar r)$의 크기는 항상 $1$이라는 아이코날 방정식(eikonal equation)이 유도된다.

                  (13)

아이코날(eikonal)은 아이콘(εικων, eikon)의 독일어 표현이며, 아이콘은 (像, image)을 뜻하는 고대 그리스어이다. 기하 광학 혹은 GO에서 아이코날은 위상 함수 $\Psi(\bar r)$과 동일하다. 예를 들어, 식 (13)을 만족하며 각각 평면, 원통면, 구면을 나타내는 위상 함수는 다음과 같다.

                  (14)

여기서 $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ = $1$이다. 맥스웰 방정식으로 만든 전기장의 파동 방정식(wave equation)에도 식 (1)을 대입해서 아래와 같은 벡터 항등식(vector identity)을 적용한다.

                         (15)

                         (16)

                  (17)

식 (17)의 최종식에서 $\omega$ 차수별로 모든 항이 $0$이라 두면, 다음 등식을 증명할 수 있다.

                  (18)

자기장에 대해서도 당연히 식 (18)과 동일한 결과를 얻는다.

                  (19)

식 (18)과 식 (19)의 둘째식과 셋째식은 파동이 전달하는 전자기장 혹은 전력의 운반 특성을 보여주고 있어서 운송 방정식(transport equation)이라 부른다.
기하 광학장의 전력 흐름은 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector) $\bar S$로 쉽게 구한다.

                  (20)

여기서 $\hat s$는 실수 벡터(real vector)이며 포인팅 단위 벡터(Poynting unit vector: 포인팅 벡터의 단위 벡터)가 된다. 따라서 식 (13)에 따라 크기가 $1$인 $\Psi(\bar r)$의 구배(gradient)는 전자파가 전달하는 전력 방향을 표현하는 단위 벡터 $\hat s$와 같다.

                  (21)

식 (21)을 이용해서 운송 방정식인 식 (18), (19)에 등장하는 요상한 연산자를 보다 쉽게 바꾼다.

                  (22)

식 (22)에서 변경한 미분 연산자는 전력을 전달하는 방향을 따라 변하는 매개변수 $s$에 대한 단순 미분이 된다. 식 (22)의 연산자로 식 (13)의 아이코날 방정식을 다시 쓸 수도 있다.

                  (23)

또한 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2 \Psi(\bar r)$은 $\hat s$의 발산(divergence)인 $\bar \nabla \cdot \hat s$로 계산된다. 벡터 미적분학(vector calculus)으로 $\hat s$를 보면, $\hat s$는 위치 벡터 $\bar r$의 접선 벡터인 $\hat T$가 된다.

                  (24)

여기서 위치 벡터 $\bar r$은 광선을 따라가는 매개변수 $s$의 함수이다. 따라서 $s$가 정해지면 위치 벡터 $\bar r$도 정해지므로, $\bar r$을 $\bar r(s)$로 더 구체화하고 $\Psi(\bar r), \bar E_n(\bar r), \bar H_n(\bar r)$을 $\Psi(s), \bar E_n(s), \bar H_n(s)$로 바꾸어도 무방하다. 식 (24)에 따라 $\bar r(s)$의 2차 미분은 다음과 같이 계산된다.

                  (25)

결국 $\bar r(s)$의 궤적은 매우 간단하게 정해진다.

                  (26)

여기서 $\bar C_0$는 상수 벡터이다. 즉, $s$를 따라갈 때 $\hat s$는 변화가 없기 때문에[∵ 식 (25)에 의해 $d \hat s / ds$는 $0$이어서], 전자파의 전력은 $\hat s$를 따라서 선형적으로 전달된다. 이와 같은 결과가 나온 이유는 $\epsilon$이 전영역에서 동일한 균질 매질(homogeneous medium)을 가정하기 때문이다. 유전율 $\epsilon$ 혹은 굴절률이 위치마다 변하는 비균질 매질(inhomogeneous medium)에서 $\hat s$는 직선이 아닌 곡선으로 변한다. 위상 함수 혹은 아이코날 $\Psi(s)$ = $\Psi(\bar r)$에 대한 식 (23)을 직접 적분한다.

                  (27)

위상 함수는 1차 함수이므로, $s$에 선형적으로 비례하여 증가한다. 즉, 위상 함수는 기하 광학장이 만드는 동위상 파면의 움직임을 표현하고 있다. 또한 전기장 $\bar E_0 (s)$ = $\bar E_0 (\bar r)$에 대한 운송 방정식인 식 (18)에 식 (22)를 적용해서 간략화한다.

                  (28)

전기장의 크기 $|\bar E_0 (s)|$의 변화도 운송 방정식이 관장한다. 전기장은 복소 벡터라서 식 (28)에 켤레 복소 벡터를 내적해서 크기의 제곱을 구한다.

                  (29)

식 (29)의 결과식을 다시 미분해서 $s$에 대해 $|\bar E_0 (s)|$가 움직이는 성질을 얻는다.

                  (30)

식 (28)에 보인 $s$에 대한 1차 선형 상미분 방정식(the first order linear ordinary differential equation)을 풀기 위해서는 전기장의 벡터적 성질을 구해야 한다. 이를 위해 기하 광학 항에 대한 편파 단위 벡터(polarization unit vector) 혹은 전기장 단위 벡터(electric-field unit vector) $\hat e$와 자기장 벡터(magnetic-field unit vector) $\hat h$를 정의한다.

                  (31)

여기서 $\hat e, \hat h$는 모두 복소 벡터(complex vector)이다. 그러면 편파 단위 벡터의 변화율 $d \hat e / ds$를 식 (31)의 첫째식으로 계산할 수 있다.

                  (32)

식 (32)에 식 (28)과 (30)을 대입해서 $d \hat e / ds$ = $0$임을 증명한다.

                  (33)

그러므로 아무리 $s$를 따라 움직여도 $\hat e$는 전혀 바뀌지 않는다. 식 (27), (33)에 따라 식 (2)에 정의한 기하 광학장을 명시적으로 표현한다.

                  (34a)

                  (34b)

여기서 $\bar E_g$ = $\bar E (0)$ = $\bar E_0 (0) e^{i k \Psi(0)}$, $\bar E_g$는 기하 광학 관점의 전기장 계수(electric-field coefficient), $A(0)$ = $1$, $A(s)$는 광선이 퍼지는 정도를 나타내는 확산 인자(spreading factor)이다. 식 (34)를 식 (28)에 넣어서 미분 방정식의 해를 얻는다.

                  (35)

식 (35)는 매우 훌륭한 결과이지만 약간 문제가 있다. 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2 \Psi(s)$가 복잡하기 때문에, 기하 광학 항의 해를 식 (35)처럼 공식으로 만들 수 있지만, 답을 명시적으로 구하기 어려운 난관에 빠진다.

[그림 3] 광선 관의 개념

확산 인자 $A(s)$를 가진 기하 광학의 전자기장은 [그림 1]에 그린 직선 같은 광선보다 [그림 3]에 그린 부피를 가진 광선 관(光線ray tube) 형태가 더 적합하다. 광선 관은 축 광선(axial ray)을 따라가지만 부피가 없는 직선과 다르게 단면적을 가지고 있다. 더 쉽게 생각해서 광선 관은 두께를 가진 광선이라 상상할 수도 있다. 광축(optical axis)을 따라 광선 관은 관의 내부에 전자기장을 도파하기 때문에, 전력 밀도가 작아지거나 커질 수 있지만 광선 관이 가진 전력 자체는 항상 일정해서 보존된다.

[그림 4] 구(sphere: 3축 반지름 동일), 회전 타원체(spheroid: 2축만 반지름 동일), 타원체(ellipsoid: 3축 모두 다름)의 모양(출처: wikipedia.org)

정확히 풀기 어려운 식 (35)를 근사화하기 위해 광선 관의 표면적은 구 형태라고 가정한다. 점 전원에서 나온 전자기장은 원역장에서 구면파 모양이라서 이는 괜찮은 근사이다. 이때 포인팅 단위 벡터는 $\hat s$ = $\hat r$이 된다. 그러면 구 좌표계의 발산 연산자를 써서 $\nabla^2 \Psi(s)$를 계산할 수 있다.

                  (36)

여기서 $\bar F$ = $\hat r$ = $(F_r, F_\theta, F_\phi)$ = $(1, 0, 0)$, $r_0$는 $s$ = $0$에서 곡면의 곡률 반경(radius of curvature)이다. 파면을 일반화해서 구면이 아닌 [그림 4]와 같이 각 축의 반지름이 모두 다른 타원체(楕圓體, ellipsoid)라고 가정한다. 그후 구면에 대한 식 (36)을 타원체에 대한 결과로 근사화한다.

                  (37)

여기서 $\rho_1, \rho_2$는 서로 직교하는 좌표축의 곡률 반경이다. 파면의 믿을 만한 근사인 식 (37)을 식 (35)에 대입해서 $A(s)$를 유도한다.

                  (38)

                  (39)

확산 인자 $A(s)$를 정의할 때 사용되는 $G(s)$의 성질을 살펴본다. [그림 3]에 따라 $G(s)$는 임의의 $s$에서 다음 항등식을 만족한다.

                  (40)

여기서 $\phi_1, \phi_2$는 각각 $\rho_1, \rho_2$에 대응하는 독립적인 방위각이다. 광선의 성질에 의해 광선 관의 양쪽 뚜껑을 제외한 영역으로 나가는 벡터[혹은 $\hat s$에 수직으로 나가는 벡터]는 없으므로, 식 (40)을 닫힌 표면 적분으로 쓰고 발산 정리(divergence theorem)를 적용한다.

                  (41)

발산이 $0$인 결과에 벡터 항등식을 사용해서 다시 정리한다.

                  (42)

식 (42)는 $A(s)$에 대한 미분 방정식인 식 (35)와 매우 유사하다.

[그림 5] 광축에 평행한 광선이 구면 거울에 반사되어 만드는 소작 현상(출처: wikipedia.org)

현재까지 유도 과정이 완벽해 보이지만, 식 (39)에서 $s$ = $-\rho_1$ 혹은 $-\rho_2$인 경우에 전기장이 발산하는 문제가 있다. [그림 5]처럼 기하 광학에서 여러 광선이 모여서 광선 묶음의 윤곽선인 포락선(包絡線, envelope)을 만드는 현상[그림 5에서 짙은 파란색으로 보이는 윤곽선]은 불사른다는 뜻인 소작(燒灼, caustic)으로 부른다. 광선이 포락선이 아닌 점으로 모이는 경우에 소작은 바로 불 태우는 점인 초점(焦點, focus)이 된다. [그림 5]에서 광선이 한 곳으로 모이는 점이 소작점(燒灼caustic point)이며, 이 소작점은 구면 거울의 초점이다. 소작 개념으로 생각하면, $s$ = $-\rho_1$ 혹은 $-\rho_2$에서는 소작점이나 소작선(燒灼線, caustic line)이 만들어진다. 따라서 식 (34)는 꼭 소작 영역을 피해서 사용되어야 한다.

[그림 6] 초점 부근에서 광선의 움직임(출처: wikipedia.org)

[그림 6]에 보인 초점과 같은 소작점 혹은 소작선 부근에서는 광선의 파면이 심하게 변한다. 초점에 가까이 갈 때는 파면이 수렴하는 광선(converging ray)이고, 초점에서 멀어지면 발산하는 광선(diverging ray)이 되기 때문이다. 식 (34)에 보인 기하 광학장 $E(s)$는 소작에서 전혀 맞지 않지만, 소작 근방의 특성까지는 포함시키기 위해 곡률 반경 $\rho$에 부호 개념을 추가한다.
  • 곡률 반경 ($+$): [그림 1]처럼 $s > 0$에서 광선이 전진할 때는 파면이 발산한다.
  • 곡률 반경 ($-$): [그림 6]과 같이 $s > 0$이면서 소작을 지나기 전인 조건에서 광선이 전진할 때는 파면이 수렴한다. 광선이 소작을 지난 후 파면은 다시 발산한다.
곡률 반경에 음수를 허락하면 식 (39)에 있는 확산 인자 $A(s)$는 복소수가 될 수 있어서, [그림 7]에 그린 복소 영역의 가지 자름(branch cut)을 이용해서 다가 함수인 제곱근 함수를 다시 정의해야 한다.

[그림 7] 위상 $\phi = \pi$에 생긴 제곱근 함수를 위한 가지 자름

포인팅 단위 벡터 $\hat s$를 따라가는 매개변수 $s$가 [그림 7]의 $x$축보다 약간 위에서 변하면[$s$ = $x + 0i$이며 $x$는 그림 7의 실수값], 소작을 지나기 전의 $s + \rho$는 위상 $\phi$ = $\pi$인 음수라서 $\sqrt{s + \rho}$의 위상은 $\phi/2$ = $\pi/2$가 된다. 여기서 $\rho$는 음인 곡률 반경[$\rho < 0$]으로 가정, $\phi$는 복소 평면에서 $s + \rho$의 위상이다. 광선이 소작을 지나면, $s + \rho$는 양수이므로 위상은 그냥 $0$이다. 이상의 논의를 바탕으로 광선이 소작을 지날 때에 $A(s)$가 변하는 특성을 정리한다.
  • 광선이 진행하는 방향으로 소작을 통과할 때: 광선이 소작을 통과하기 전의 $A(s)$에 $e^{-i \pi/2}$를 곱해서 소작을 통과한 후의 $A(s)$를 계산한다.
  • 광선이 진행하는 방향과 반대로[혹은 거꾸로] 소작을 통과할 때: 광선이 소작을 통과한 후의 $A(s)$에 $e^{i \pi/2}$를 곱해서 소작을 통과하기 전의 $A(s)$를 구한다.
가지 자름으로 제곱근 함수를 확장해서 $A(s)$가 복소 영역에서 해석적이 되도록 기하 광학을 구성하는 방식을 광선 광학적 연속(ray optical continuation)이라 이름 붙인다.

[참고문헌]
[1] 이상수기하광학, 교학연구사, 1985.
[2] D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius, J. A. G. Malherbe, Introduction to the Uniform Geometrical Theory of Diffraction, Boston, USA: Artech House, 1990.
[3] R. K. Luneburg, Mathematical Theory of Optics, Providence, USA: Brown University Press, 1944.
[4] R. G. Kouyoumjian, "Asymptotic high-frequency methods," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 864–876, Aug. 1965.

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