1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 완전 미분
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6a)
(6b)
(6c)
선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation, linear ODE)은 일반적인 해법이 존재하지 않아서 각 경우마다 고민을 해서 새로운 풀이법을 찾아야 한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRvD923VCLGxj2ObzPtMKxovcm6JeGxgON5Tuh84RO0VAMRxHpPrwcKTbfDfrnGC77cDQUzEh_kNQMNOHA2VwW-EDHs284XG5-WH5COGXXG7oX7miXsfM_J_Su2aaHNO93E6L7hyphenhyphennALMPl/s1600/diff35.png)
하지만 1계(階) 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)인 경우는 일반 해법이 있다. 모든 경우에 적용되는 일반 해법의 핵심은 바로 적분 인자(integrating factor)이다. 적분 인자를 이해하기 위해서, 식 (1)의 미분 방정식에 $n$ = $1$을 대입하고 강제적으로 $m(x)$라는 함수를 곱한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoVRt4W117cZIIicmXPcd-Dg8LAOXLA-lJ_neRwfrKIjXbemYWTzdGnbkMtJ3VTf2r6juPdiBup3YAvCSytNYVdF5injHrBK8wwtW4QWjVRXGOdmJSAxe4LPBEg0ti-dSk5tZDenAOGuOg/s1600/diff69.png)
우리 짐작대로 식 (2)에 곱한 $m(x)$가 적분 인자이다. 함수 $p(x)$가 주어진 경우, 미분 관계를 이용해 적분 인자를 구할 수 있다. 먼저 식 (2)의 둘째식에서 좌변만 집중하며 아래처럼 $m(x) y$의 미분을 기계적으로 구한다. 그런 다음에 강제적으로 이 두 식이 같다는 조건을 적용해서 적분 인자 $m(x)$를 결정한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgGBLl_PjlbIkn5sXz2xNMO0JQZdgcighcrwLBPUXsphdJcCnhhRx5z96cHKZOERq4chD5Qb9Ia1TBnc-QCI1j60zVZ668bWk5FC71AtWxy5_s1mPUyjb5H_RWZno0rkeVsO2oysBdWfFG/s1600/diff70.png)
식 (3)에서 구한 적분 인자 $m(x)$는 이미 정해진 함수 $p(x)$의 적분이므로, $m(x)$는 $p(x)$에 의해 딱 하나로 정해진다. 그 다음에 식 (2)의 좌변을 $m(x) y$의 미분으로 바꾼 후 단순 적분을 하면, 1계 선형 상미분 방정식의 일반해를 다음과 같은 부정적분으로 간단하게 표현할 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh54uozeEaKFCLgu58y0KZe0JZJjyN9ghfPSAtk_-ghuq0d50rnzAyIH6pHDvIhSR9uqU-4ZBQMvJEzUQQqxdTKNHkrcntSnaYu-xagJpHzMfcSforym3N_oGdyv-YxeUlOSJFQPyEM4-R8/s1600/diff71.png)
식 (4)에 공식화한 해를 구체적으로 결정하려면, 식 (4)의 부정적분(indefinite integral)을 정적분(definite integral)해야 한다. 이때 필연적으로 나타나는 적분 상수는 초기값(initial value)이나 경계 조건(boundary condition) 등을 이용해 계산된다.
완전 미분(exact differential)을 도입해서 적분 인자 $m(x)$를 더 확장한 일반화 적분 인자(generalized integrating factor) $\mu(x, y)$를 정의할 수 있다[1].
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPmFNND2yvcDhQws6Gn-Q8NuKrfAHXZYE_0L3Wj3OY1nA_pNG9xFo1lupp6V7dKdR6clYWydtU3RxS9GUDgEzYzATDQqs581eHuZ0l0bHUHKp1Nnu7DommKyAN7VmOCVMqCzsscVh1s_EGZPlfrcUx4tkG_ltgYA9ygU1PoUMCnxeAoU4E7Uiav5_chg/s16000/de.png)
여기서 $\phi(x, y)$ = $C$, $C$는 $x, y$에 대해 상수이다. 두 변수 $x, y$를 연결하는 함수 $\phi(x, y)$ = $C$가 있고 식 (5)의 첫째식이 완전 미분 방정식(exact differential equation)을 구성하므로, 일반화 적분 인자 $\mu(x, y)$는 아래처럼 항상 존재한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlLLQ8_vkXB2i3fysbnMdVaFrnviX4nMw6B0eYmRDD8dkO0CO_hWm7cJbT1wNcjIUORo3IvNQ82RYj2CXhzgp03HppojncBx44j4EUBVp-LCBUqLA1Yj5tHUyKB_HounaAmgWYypPbawvL6Mk51LIGkhIEr7hmU-pOS6vcwlPkGVW4tmzDrvcpvCmhsw/s16000/de.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibF9ey1GIW00XrpOzdjXqDjFVlsMKkGfuJI-1Ype2wXlVM43J1PNspGj1Lc6lQkMYCnb7V18S_B2ZvRbt9Xdf8-EzuFM0iC8cTTmTttxv86tqMxptjHuVC7AbcIh9aXt0AuEjT74mcKQmrZt8y0fWSdqIHKPFqZIAOGjzLc2MyN4MCTiHlPFncRQLtDQ/s16000/de.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgioH1PEv4Dcfs2xVrn2Vri1O5Pw9dnxDHKFoLMpXYmc8vF-Zieb1Z9z6HvzPWhogp1thpwtLkuo5-1wJ475DKRLbZXe9g_a0d9ZokB6AHo9nSZZjLPdjjjV25PS3VcN-jF3rvCN2bJACfd071nXOOTB-YeDUNI2Je3g52_SlQ7YkbXO3DvUsXm5CgCoQ/s16000/de.png)
함수 $\phi(x, y)$의 값어치는 $x, y$의 연결 관계에서 분명해진다. 원래 $y$ = $f(x)$이지만 완전 미분을 만들기 위해 $x, y$를 독립 변수로 취급한다. 다만 이 방식이 제대로 풀리려면 식 (5)만으로는 부족하고 방정식 하나가 더 있어야 $y$를 분명하게 정할 수 있다. 이때 사용되는 $x, y$의 연결 고리가 바로 $\phi(x, y)$이다. 또한 적분 인자는 유일하지 않고 무한대로 존재한다. 예를 들어, $\phi$를 입력 변수로 하는 함수 $M(\phi)$를 식 (6c)에 곱해본다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhki9gwEeh3I1GtKI8cZ4ZVmFm9lVjwZKNj6UaAALUBmywHkzMGlGgeKICEHqRcN5CcttquzB8VfdP7497enqNrN6ohgpv82Q6m3Vc2EPZLssI-WgWSIPLfsc5mVpAK2eKf0mOHVIE5MqoOaz_rSDXPUFRrQnHe_E7wqf4R-5EJBsOt3XWnRODREI6mFg/s16000/de.png)
우리가 $F(\phi)$를 곱하지만 $d\phi$ = $0$이라서, 실제로는 상수 함수 $F(C)$를 곱한 셈이다. 그러면 $F(\phi) \mu(x, y)$는 새로운 적분 인자 $\mu'(x, y)$로 작용한다. 따라서 우리 선택한 함수 $F(\phi)$의 임의성으로 인해 적분 인자는 유일하지 않고 무한하게 실재한다.
적분 인자가 존재한다고 해서 바로 구해진다는 뜻은 아니라서, $\mu(x, y)$에 대한 편미분 방정식(partial differential equation)이 필요하다. 완전 미분의 조건을 식 (5)의 둘째식에 적용해서 $\mu(x, y)$를 결정하기 위한 새로운 편미분 방정식을 하나 만든다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIhgnxvJxi6XNx-Pz3P0flMpgtud2cB2TIoXZBtPYig1KdL-dIFuqFDNJWQXw3n76o3PEkp_FgGetBUbSWylraqCaN4WW5CE-wMJxVKdqC8cv_mQ7eiJkxEiyF2nXWVJXtNvEGcPltxydISI0fVw3uPr2SmrupM0X4yg9zkxeuxTUm_dtEaaIjSsOcNQ/s16000/de.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip3dWZhdIkFHjoqUV0PpN260S0yjdPX3XQ10Swm1a_SnhUa9m7ilBgxDR1ocT2MjjrSqrV1XjaMOtguFrVXwzzapa6be_wiQRae4Fgzb03A34lwbYV0TnMG_6lIAYu7m4O9UCMDuMMiB52l_S1AZ1-VXjwHowPRdOKnQkRk7AHMQRK006CkZoJSkhAtw/s16000/de.png)
예를 들어, 식 (2)의 첫째식을 완전 미분 형태로 바꾸어서 식 (9)를 적용하면, 일반화 적분 인자 $\mu(x)$로부터 식 (3)에 유도한 적분 인자 $m(x)$가 그대로 도출된다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgak_xJ8EKSe45p7QWiPaqwroMku_Zcq5HmaaDRCBYxEa0KpbFpJ5Nkz0mb9H89Q3DblafnMlbsUg_UoHLqq43977dZvOyS-x0tiWts1pVPHDUds48G74EhaAAc1apjl7FgbxP8Dn_3xTeMonHN1A4B7-Q0gARVklbBbclf6rrkk6CMSn-CFb8OoGb4VA/s16000/de.png)
여기서 $A(x, y)$ = $p(x) y - q(x)$, $B(x, y)$ = $1$, $m(x)$ = $\mu(x)$이다.
[참고문헌]
[1] E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1926, pp. 27–29. (방문일 2022-11-13)
[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용
2. 스튀름–리우빌 이론
(4)식 마지막에 적분상수 C가 빠진거 같아요
답글삭제식 (4)의 부정적분 기호 $\int$는 적분하라는 뜻이므로 $\int$ 안에 적분 상수가 포함되어 있습니다. 감사합니다. ^^
삭제식 (3)의 두 번째 줄이 어떻게 성립하는지 잘 이해되지 않습니다.. 설명해주시면 감사하겠습니다.
답글삭제질문자입니다. 식을 식(4)의 첫 번째 줄과 같은 꼴로 만들기 위한 m(x)를 찾기 위함인가요?
삭제1. 단순히 좌변과 우변을 비교하면 됩니다.
삭제2. 본문의 주제는 모든 1차 선형 상미분 방정식은 적분 인자를 사용하면 풀린다는 것입니다.
식 (4)에서 $m(x)$를 찾지는 않아요, 대입만 할 뿐입니다. $m(x)$는 이미 식 (3)에서 구했어요. ^^
저도 식 (3) 의 두 번째 줄에서 왜 q에 대한 term 이 없는지 한참을 헤매다
답글삭제Integrating factor method is the idea to set m(x) satisfy d/dx(m(x)y) = m(x)q(x)
라는 한문장을 발견했습니다 ㅜㅜㅜ
잘 읽고 있습니다 감사합니다!
앗차; 질문 쓴다는 것을 깜박했네요
삭제위의 문장처럼 처음부터 저렇게 생각하고 들어가면 (3)의 전개가 이해되는데 그렇지 않다면 좌변과 우변이 왜 같은가요? (3)의 전개를 역순으로 (let r = exp(integral(p(x)dx), r is integral factor) 만 배워서 저 등식 성립을 잘 모르겠습니다...
문장을 좀 더 추가했습니다. 다시 한 번 보세요. ^^
삭제계속 보다보니 저 위의 문장도 결국 전개가 역순인 것처럼 보이네요...ㅜㅜ
삭제(3) 식의 두 번째 줄은 왜 첫줄과 같은 것일까요... q 는 어디로 간 것인가요?
앗 답변이 달린 줄 몰랐습니다 감사합니다!
삭제다시 읽어보겠습니다!
공수 예습하다가 이해가 안 돼서 서칭하던 중 본 글을 봤는데 정말 이해가 잘 됐습니다ㅎㅎㅎ 감사합니다!! 코로나 조심하세요ㅠㅠ
답글삭제방문 감사합니다, Unknown님 ^^ 건강 잘 챙기세요~~
삭제전파거북이님 베셀방정식때문에 들어왔다가 아름다운 공학 수학 전체 정독중이네요 ㅎㅎㅎ 정리가 너무 잘되어있고 고민하면서 읽게되어요. 감사합니다
답글삭제방문과 칭찬 모두 감사합니다, 밥짓님. ^^
삭제앞선 질문들 처럼, 저도 식 3의 2번째줄이 어떻게 성립되는 지 잘 이해가 되지 않아서 질문드립니다.
답글삭제임의의 함수 M(x)를 곱한 상태에서, d/dx(m(x)y)가 식2의 좌변과 등호관계가 성립하는 것으로 진행되는 부분이 뭔가 비어있는 것 같습니다.
뒷 문장까지 읽었을 때, 등호관계가 성립한 상태가 아니고
성립하기 위해서는 m(x)가 식 (3)의 최종형태가 되어야하고,
그 m(x)를 이용해서, 일반해를 구할 수 있다는 것 같은데, 제가 이해한 방식이 의도하신 바가 맞을까요??
익명님, 특별한 내용은 없습니다. 식 (2)처럼 계산하고 식 (3)처럼도 계산해서 두 식을 서로 비교해서 적분 인자 $m(x)$를 구할 수 있다는 뜻입니다.
삭제답변 감사드립니다. 정말 도움 많이 받고 있습니다.
삭제