2011년 11월 16일 수요일

1차 선형 상미분 방정식의 해법(solution of the first order linear ordinary differential equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "1차 선형 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식


다음과 같은 선형 상미분 방정식(linear ODE)의 일반 해법은 존재하지 않는다. 경우에 따라 각각 풀이법을 찾아야 한다는 뜻이다.

             (1)

하지만 1차 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)인 경우는 일반 해법을 찾을 수 있다. 일반 해법의 핵심은 바로 적분 인자(integrating factor)에 있다. 적분 인자를 이해하기 위해, $n = 1$을 식 (1)의 미분 방정식에 대입하고 강제적으로 $m(x)$라는 함수를 곱하자.

                       (2)

짐작했겠지만 식 (2)에 곱한 $m(x)$가 적분 인자이다. 함수 $p(x)$가 주어진 경우, 미분 관계를 이용해 적분 인자를 구할 수 있다. 먼저 식 (2)에서 좌변만 집중해서 $m(x) y$의 미분을 구하자.

                       (3)

식 (3)을 적용해 식 (2)의 좌변을 $m(x) y$의 미분으로 바꾸어 단순 적분하면, 1차 선형 상미분 방정식의 일반해를 다음처럼 구할 수 있다.

                       (4)

일반해를 찾기 위해서는 식 (4)를 적분해야 하며 이때 적분 상수가 필연적으로 출현하게 된다. 적분 상수는 초기치(initial value) 등을 이용해 하나의 값으로 결정한다.

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용
2. 스투름-리우빌 이론

댓글 10개 :

  1. 전산유체실험실2013년 4월 2일 오전 12:45

    (4)식 마지막에 적분상수 C가 빠진거 같아요

    답글삭제
    답글
    1. 식 (4)의 부정적분 기호 $\int$는 적분하라는 뜻이므로 $\int$ 안에 적분 상수가 포함되어 있습니다. 감사합니다. ^^

      삭제
  2. 식 (3)의 두 번째 줄이 어떻게 성립하는지 잘 이해되지 않습니다.. 설명해주시면 감사하겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 질문자입니다. 식을 식(4)의 첫 번째 줄과 같은 꼴로 만들기 위한 m(x)를 찾기 위함인가요?

      삭제
    2. 1. 단순히 좌변과 우변을 비교하면 됩니다.

      2. 본문의 주제는 모든 1차 선형 상미분 방정식은 적분 인자를 사용하면 풀린다는 것입니다.
      식 (4)에서 $m(x)$를 찾지는 않아요, 대입만 할 뿐입니다. $m(x)$는 이미 식 (3)에서 구했어요. ^^

      삭제
  3. 저도 식 (3) 의 두 번째 줄에서 왜 q에 대한 term 이 없는지 한참을 헤매다
    Integrating factor method is the idea to set m(x) satisfy d/dx(m(x)y) = m(x)q(x)
    라는 한문장을 발견했습니다 ㅜㅜㅜ
    잘 읽고 있습니다 감사합니다!

    답글삭제
    답글
    1. 앗차; 질문 쓴다는 것을 깜박했네요
      위의 문장처럼 처음부터 저렇게 생각하고 들어가면 (3)의 전개가 이해되는데 그렇지 않다면 좌변과 우변이 왜 같은가요? (3)의 전개를 역순으로 (let r = exp(integral(p(x)dx), r is integral factor) 만 배워서 저 등식 성립을 잘 모르겠습니다...

      삭제
    2. 문장을 좀 더 추가했습니다. 다시 한 번 보세요. ^^

      삭제
    3. 계속 보다보니 저 위의 문장도 결국 전개가 역순인 것처럼 보이네요...ㅜㅜ
      (3) 식의 두 번째 줄은 왜 첫줄과 같은 것일까요... q 는 어디로 간 것인가요?

      삭제
    4. 앗 답변이 달린 줄 몰랐습니다 감사합니다!
      다시 읽어보겠습니다!

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.