프로베니우스 방법의 적용(Application of Frobenius Method)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프로베니우스 방법 적용"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 멱급수 기반 상미분 방정식 해법
4. 1계 선형 상미분 방정식의 해법

[그림 1] 정칙 특이점(regular singular point) $x$ = $0$에서 발산하는 함수(출처: wikipedia.org)

프로베니우스 방법(Frobenius method)은 [그림 1]처럼 발산으로 인해 정상적인 멱급수(power series) 방법이 통하지 않을 때 사용하는 획기적인 기법이다.

                      (1)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. [그림 1]과 같이 발산하는 특이점이지만, 프로베니우스 방법으로 해가 구해지는 점은 정칙 특이점(regular singular point)으로 부른다. 식 (1)의 해를 구하려면 다음처럼 해를 가정하면 된다.

                      (2)

여기서 지수에 대한 상수 $r$은 다음에 나오는 지표 방정식(indicial equation)을 만족해야 한다.

                      (3)

식 (3)은 2차 방정식이므로 상수 $r$은 두 가지 해 $r_1$과 $r_2$를 가진다. $r_1$, $r_2$에 따라 프로베니우스 방법을 적용하는 법이 달라진다. 또한, 식 (1)은 2계(階) 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation, 2nd linear ODE)이므로 서로 다른 두 가지 해를 반드시 가져야 한다. 먼저 첫번째 해는 식 (2)를 이용해 쉽게 결정할 수 있다.

                       (4)

여기서 계수 $a_m$은 식 (4)를 식 (1)에 대입해 항등식 조건[$x^{r+m}$의 계수가 0]을 이용해서 구한다. 두번째 해 $y_2$는 $r_2$의 특성에 따라 달라진다.

   1. $r_1 \ne r_2$인 경우   

지수 상수 $r_2$가 $r_1$과 다르다면 두번째 해 $y_2$는 다음처럼 쉽게 표현된다.

                       (1.1)

하지만, $r_1, r_2$가 서로 다르더라도 $r_1 - r_2$가 정수가 되면 식 (4) 및 (1.1)과 같은 경우가 생긴다. 이때는 식 (3.3)을 적용해야 한다.

   2. $r_1$ = $r_2$인 경우   

선형 상미분 방정식 경우와 동일하게 두번째 해 $y_2$를 다음처럼 정해서 식 (1)에 대입한다.

                      (2.1)

치환을 통해 식 (1)의 미분 방정식을 식 (2.1)로 단순화시킬 수 있다. 다음으로 프로베니우스 방법 증명 때와 동일하게 $x$ = $0$ 근방에서 $y_2$가 만족해야 하는 특성을 생각한다. 먼저 $y_1$은 코쉬-오일러 방정식(Cauchy-Euler equation)에 의해 다음을 만족해야 한다.

                      (2.2)

여기서 $c_0$는 임의의 상수이다. 식 (2.2)의 특성을 식 (2.1)에 대입하면 $u'$에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                      (2.3)

여기서 $y_1$ = $x^{r_1}$, $a$ = $p(0)$, $c_0$는 적분에서 얻어진 상수이다. 식 (2.3)의 셋째식은 식 (3)의 지표 방정식이 중근을 갖기 위한 조건[$[r + (a-1)/2]^2$ = $0$]이다.[이상의 조건을 식 (2.3)의 둘째식에 대입하면 $x u'' + u'$ = $0$이란 미분 방정식을 얻을 수 있다. 이를 풀면 $u$ = $c_0 \log x$란 해를 얻는다.] 그러면 $x$ = $0$ 근방에서 $y_2$는 다음 관계를 만족해야 한다.

                      (2.4)

식 (2.4)를 그대로 식 (2.1)의 세째줄에 대입하기에는 너무 복잡하므로 좀더 단순화한다. 식 (2.4)에서 로그 함수(logarithmic function)가 나온 이유는 $x$ = $0$ 근방에서 함수가 변하는 모양을 규정하기 위함이다. 식 (2.5)를 이용하면 식 (2.4)를 좀더 단순하게 표현할 수 있다.

                      (2.5)

즉, 식 (2.5)가 성립하기 때문에 식 (2.4)에서 $m \ge 1$ 인 경우는 $x$ = $0$에서 테일러 급수(Taylor series)를 전개할 수 있다.

                      (2.6)

또한 식 (2.5)로 인해 최종 결과는 식 (2.6)으로 표현할 수 있다. 왜냐하면 $x$ = $0$ 근방에서는 식 (2.5)에 의해 $y_1(x) \cdot {\rm log}x$처럼 움직이며 $x$ = $0$에서 멀어지면 로그 함수의 특이점이 없어지기 때문에 테일러 급수 전개가 가능해야 한다. 이 두가지 개념을 하나로 합치면 식 (2.5)가 된다. 추가적으로 $x$ = $0$ 근방의 특성을 규정하기 위해 첨자 $m$은 0이 아닌 1부터 시작한다. 첨자 $m$은 1부터 시작하기 때문에 $x$ = $0$ 근방의 특성은 $y_1 (x) \log x$가 나타낸다. 식 (2.6)에 식 (4)를 대입하여 테일러 급수 전개하면 두번째 해 $y_2$를 더 간단하게 표현할 수 있다.

                       (2.7)

여기서 계수 $d_m$을 구하기 위해서는 식 (2.7)을 식 (2.1)에 대입해서 항등식 조건을 이용한다. 재미있는 부분은 식 (2.7)을 사용하더라도 $x$ = $0$ 근방에서 행동하는 방식은 식 (2.4)와 동일함이다.[식 (2.6)과 동일한 이유로 첨자 $m$은 1부터 시작한다.]

   3. $r_1 - r_2$ = $M$인 경우   

$r_1 - r_2$가 정수만큼 차이나는 경우에 식 (4) 및 (1.1)은 같을 수 있다.[항상 이렇지는 않다. 꼭 기억한다.] 편하게 생각하기 위해 $r_1 > r_2$라 가정해서 정수 $M$은 항상 0보다 큰 자연수라고 가정한다.

[표 1] $r_1 - r_2$ = $1$인 경우의 멱급수 예시

예를 들어, [표1]처럼 $r_1 - r_2$ = $1$일 때 $a_0$ = $1$, $a_1$ = $2$, $a_2$ = $3$, $\cdots,$ $b_0$ = $1$, $b_1$ = $0$, $b_2$ = $2$, $b_3$ = $3$, $\cdots$ 이런 식으로 계수가 얻어진다고 가정한다. 만약 $m$ = $0$인 경우는 $a_0$ 혹은 $b_0$ 앞에 식 (3)의 지표 방정식이 항상 곱해지고 지표 방정식은 0이 되어야 하므로 $x^r$의 계수값은 항상 0이다.[∵ 이렇게 지표 방정식이 0이 되어야 $a_0, b_0$을 임의로 택할 수 있다. 식 (3.6)도 함께 참고한다.] 그러면, $r_1, r_2$는 다르지만 [표 1]에 의해 식 (4)와 (1.1)이 같아진다. 즉, 해가 서로 독립이 되지 않는다. 그래서 이 경우는 새로운 방법을 찾아야 한다. 접근 방법은 $r_1$ = $r_2$인 경우와 매우 유사하다. 점 $x$ = $0$ 근방에서 식 (2.3)을 이용하면 다음과 같은 $u$를 얻을 수 있다.

                      (3.1)

여기서 $a$ = $p(0)$이다. 물론 이 결과는 당연하다.[∵ $x$ = $0$ 근방에서 $y_2$는 $x^{r_2}$처럼 움직여야 한다.] 식 (2.4)와 동일한 과정을 이용하면 $y_2$는 다음과 같다.

                      (3.2)

그런데 식 (3.2)는 모양만 다르다 뿐이지 식 (1.1)과 동일하다. 하지만, 위에서 예로 든 $y_1$ = $y_2$인 경우는 $r_1$ = $r_2$인 경우와 동일하므로, 최종해는 식 (2.7)과 동일한 모양을 가져야 한다.

                       (3.3)

여기서 $\eta$는 결정되어야 하는 상수이다. 식 (2.7)과 다르게 상수 $\eta$가 식 (3.3)에 쓰인 이유는 무엇일까? $r_2$를 미분 방정식에 대입한 결과가 $y_1 \ne y_2$라면 $\eta$ = $0$이 되어야 한다. 만약 $y_1$ = $y_2$가 되면, 식 (3.3)에서 로그 항이 살아남아야 하므로 $\eta \ne 0$이 되어야 한다. 이를 위해 상수 $\eta$가 꼭 필요하다.

식 (3.3) 증명에 엄밀성을 더하려면 식 (2.1)을 다시 고려해야 한다. 식 (2.1)을 $u'$ 관점으로 생각하면 $u'$에 대한 1계 선형 상미분 방정식(the first linear ODE)이 보인다. 1계 선형 상미분 방정식은 해법이 있으므로 $u'$은 반드시 다음 식이 되어야 한다.

                      (3.4)

식 (4)를 식 (3.4)에 대입하면 다음을 얻는다.

                      (3.5)

식 (3.5)를 통해 식 (3.3)처럼 로그 함수가 출현하는 경우는 $m$ = $M$인 경우이다. 물론 $c_M \ne 0$인 경우에만 로그 함수가 출현한다. 쉽게 생각하면 식 (2.1)에서 $y_1(x)$와 $p(x)$를 급수 전개하면 $u'(x)$가 $1/x$ 항을 가질 수 있기 때문에 로그 함수가 출현할 수 있다.

이상의 결과를 바탕으로 식 (4) 및 (1.1)에 있는 $a_m, b_m$의 재귀 관계를 구한다. $b_m$ 구하기는 $a_m$ 구하기와 유사하므로 $a_m$만 구해본다.

            (3.6)

재귀 관계를 공식화하는 식 (3.6)을 가지고 $a_0$부터 $a_m$을 순차적으로 얻는다.

  

[다음 읽을거리]
1. 베셀의 미분 방정식