멱급수 기반 상미분 방정식 해법(Solution of ODE Based on Power Series)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "멱급수 기반 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식

[그림 1] 임의 함수를 멱급수로 근사하는 모습(출처: wikipedia.org)

상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE) 해의 존재성과 유일성을 증명할 때 사용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)은 항상 답을 무한 급수(infinite series) 형태로 내놓는다. 이를 다르게 표현하면 상미분 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수(冪級數, power series)로 표현할 수 있다는 뜻이다.

                      (1)

테일러 급수(Taylor series)도 표현식이 식 (1)과 동일하므로 멱급수의 일종으로 생각할 수 있다. 멱급수로 표현하면 좋은 점은 미분과 적분이 매우 쉽고 미분 방정식을 푸는 방법이 멱급수의 계수를 결정하는 문제로 바뀌는 부분이다. 즉, 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ODE)이 식 (1)과 같은 멱급수를 가정해서도 풀린다는 얘기다.

                      (2)

그러면, 식 (1)과 같은 멱급수 방식은 어떠한 2계 선형 상미분 방정식도 풀 수 있는가? 아니다. 피카르의 반복법(Picard's iteration method) 증명에 따라 $p(x)$와 $q(x)$가 유한한 경우에만 식 (1)을 이용할 수 있다. 다른 말로 하면 $p(x), q(x)$가 특정한 점 $x_0$에서 발산한다면, $y_0$ = $y(x_0)$를 가진 초기 조건에 대해서는 피카르의 반복법을 사용할 수 없다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 생각한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (2)처럼 만들려면 식 (3) 전체를 $x^2$으로 나누어야한다. 그러면 $x$ = $0$에서 $p(x), q(x)$는 발산한다. 즉, 식 (1)과 같은 단순한 멱급수 전개로는 $x$ = $0$에서 베셀 미분 방정식의 해를 구할 수 없다.

이때 혜성과 같이 등장하는 방식이 프로베니우스 방법(Frobenius method)이다. 당연히 제안자는 수학자 프로베니우스Ferdinand Georg Frobenius(1849–1917)이다. 미분 방정식에는 수학자 이름이 붙은 풀이법이 꽤 많이 등장한다. 이 해법을 다 외우려는 시도는 멍청한 짓이다. 책을 펼치면 알 수 있는 해법을 굳이 외울 필요는 없다. 핵심적인 관점은 수학자가 왜 이 방법을 제안했는가이다. 프로베니우스도 우리와 동일한 고민을 했을 것이다. 멱급수 전개법은 단순하면서도 매우 유용한데, 식 (3)과 같은 방정식에는 사용할 수가 없다. 무언가 좋은 방법이 없을까? 앞으로 프로베니우스의 고민과 해결책을 상세히 설명한다. 먼저 프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식을 살펴본다.

                      (4)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 베셀 미분 방정식인 식 (3)은 식 (4)와 같은 미분 방정식에 포함된다. 피카르 반복법을 이용하여 $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)의 미분 방정식 해를 구하기는 불가능하므로[∵ 식 (4)를 $x^2$으로 나누면 $dy/dx, y$의 항이 발산할 수 있다.] 머리를 좀 써본다. $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)는 다음과 같은 미분 방정식이 된다.

                      (5)

여기서 $a$ = $p(0)$, $b$ = $q(0)$이다. 식 (5)와 같은 형태는 코쉬–오일러 방정식(Cauchy–Euler equation)이라 부른다. 점 $x$ = $0$ 이외에서는 해의 존재성과 유일성이 성립하기 때문에 다음과 같이 해를 구한다.

                      (6)

식 (6)을 보면 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀌기 때문에, $r$을 쉽게 결정할 수 있다. 즉, 식 (6)은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 2개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (6)의 결과를 식 (5)에 대입하면, 항상 식 (6)이 해임을 보일 수 있다. 그래서 $x$ = $0$을 제외한 모든 영역에서 식 (6)은 식 (5)의 해이다.[혹은 어떤 $r$값에서는 $y(0)$가 수렴할 수도 있으므로 이때는 $x = 0$를 포함할 수 있다.] 그러면 식 (4)의 해도 $x$ = $0$ 근방에서는 다음처럼 식 (6)과 같은 형태를 가진다[1].

                      (7)

점 $x$ = $0$ 근방에서 식 (4)의 해를 찾은 결과가 식 (7)이므로, 계수 $c_0$는 발산하지 않는다.[∵ $x = 0$ 근방에서 $y = x^r$은 식 (5)의 정상적인 해이므로 계수 $c_0$는 일반적인 상수이다.] 따라서, $x$ = $0$ 근방에서 $y/x^r$의 특성은 식 (1)과 같은 단순 멱급수 $c(x)$로 표현할 수 있다. 즉, $x^r$만 곱한 멱급수는 식 (4)를 풀 수 있는 새롭고 강력한 방법론이다. 식 (8)과 같은 급수 전개를 이용해 $p(x), q(x)$가 발산하는 미분 방정식을 푸는 직관적인 기법을 프로베니우스 방법이라 부른다.

                        (8)

여기서 계수 $a_m$은 식 (8)을 식 (4)에 대입해 항등식 조건[$x^{r+m}$의 계수가 0]을 이용해서 구한다. 이렇게 하면 $a_m$은 재귀 관계(再歸關係, recurrence relation)로 얻어지므로 $a_0 \ne 0$이다.[∵ $a_0$ = $0$이 되면 모든 $a_m$이 $0$이 되어서 의미가 없어진다.] 식 (8)에서 먼저 결정해야 하는 값은 $r$이다. 식 (6)을 참고해서 지수에 들어가는 $r$을 결정하는 지표 방정식(indicial equation) 혹은 특성 방정식(characteristic equation)을 공식화한다.

                      (9)

식 (9)에 도입한 지표 방정식은 $x$ = $0$ 부근에서 함수 $y$의 행동을 결정하는 지수 $r$에 대한 중요 방정식이다. 프로베니우스 방법을 사용할 수 있는 미분 방정식을 분류하기 위해 식 (4)를 다음처럼 변형한다.

                      (10)

어떤 값 $x$에서 $f(x)$가 수렴하면 $x$는 정상점(ordinary point)이며 $f(x)$가 발산하면 특이점(singular point)이 된다. 식 (10)에서 $x$ = $0$은 $P(x), Q(x)$의 특이점이다. 특이점이 있더라도 식 (10)의 셋째줄처럼 $x, x^2$를 곱하면 정상점이 되는 경우는 정칙 특이점(regular singular point)이 된다. 따라서 프로베니우스 방법이 적용되려면 정의역에는 정상점이나 정칙 특이점만 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] K. B. Howell, Modified Power Series Solutions and the Basic Method of Frobenius, Ordinary Differential Equations: an Introduction to the Fundamentals, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용