2011년 11월 7일 월요일

멱급수 기반 상미분 방정식 해법(solution of ODE based on power series)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "멱급수 기반 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식


상미분 방정식(ODE: ordinary differential equation) 해의 존재성과 유일성을 증명할 때 사용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)은 항상 답을 무한 급수(infinite series) 형태로 내놓는다.
이를 다르게 표현하면 상미분 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수(冪級數, power series)로 표현할 수 있다는 뜻이다.

                      (1)

테일러 급수(Taylor series)도 표현식이 식 (1)과 동일하므로 멱급수의 일종으로 생각할 수 있다. 멱급수로 표현하면 좋은 점은 미분과 적분이 매우 쉽고 미분 방정식을 푸는 것이 멱급수의 계수를 결정하는 문제로 바뀐다는 것이다.
즉, 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식(the second order linear ODE)이 식 (1)과 같은 멱급수를 가정해서도 풀린다는 얘기다.

                      (2)

그러면, 식 (1)과 같은 멱급수는 어떠한 2차 선형 상미분 방정식을 풀 수 있는가? 아니다. 피카르의 반복법(Picard's iteration method) 증명에서 $p(x), q(x)$는 유한하다고 가정했다는 것을 기억하자. 다른 말로 하면 $p(x), q(x)$가 특정한 점 $x_0$에서 발산한다면 $y_0 = y(x_0)$를 가진 초기 조건에 대해서는 피카르의 반복법을 사용할 수 없다.
이를 이해하기 위해 다음과 같은 베셀 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 생각해보자.

                      (3)

식 (3)을 식 (2)처럼 만들려면 식 (3) 전체를 $x^2$으로 나누어야한다. 그러면, $x = 0$에서 $p(x), q(x)$는 발산한다. 즉, 식 (1)과 같은 단순한 멱급수 전개로는 $x = 0$에서 베셀 미분 방정식의 해를 구할 수 없다.

이때 혜성과 같이 등장하는 것이 프로베니우스 방법(Frobenius method)이다. 당연히 제안자는 수학자 프로베니우스(Ferdinand Georg Frobenius)이다. 미분 방정식에는 수학자 이름이 붙은 풀이법이 꽤 많이 등장한다. 이걸 다 외우려하는 것은 멍청한 짓이다. 책을 펼치면 알 수 있는 것을 굳이 외울 필요는 없다. 중요한 것은 수학자가 왜 이 방법들을 제안했는가 하는 것이다. 프로베니우스도 우리와 동일한 고민을 했을 것이다. 멱급수 전개법은 단순하면서도 매우 유용한데 식 (3)과 같은 방정식에는 사용할 수가 없다. 무언가 좋은 방법이 없을까? 앞으로 프로베니우스 방법의 비밀을 설명할 것이다.
프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식은 다음과 같다.

                      (4)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다.
베셀 미분 방정식인 식 (3)은 식 (4)와 같은 미분 방정식에 포함된다. 피카르 반복법을 이용하여 $x = 0$ 근처에서 식 (4)의 미분 방정식 해를 구하는 것은 불가능하므로(∵ 식 (4)를 $x^2$으로 나누면 $dy/dx, y$의 항들이 발산할 수 있다.) 머리를 좀 써보자. $x = 0$ 근처에서 식 (4)는 다음과 같은 미분 방정식이 될 것이다.

                      (5)

여기서 $a = p(0), b = q(0)$이다.
식 (5)와 같은 형태는 코쉬-오일러 방정식(Cauchy-Euler equation)이라 부른다.
$x = 0$ 이외의 지점에서는 해의 존재성과 유일성이 성립하기 때문에 다음과 같이 해를 구해보자.

                      (6)

식 (6)을 보면 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀌기 때문에 반드시 $r$의 값을 결정할 수 있다. 이 대수 방정식은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 2개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (6)의 결과를 식 (5)에 대입하면 항상 식 (6)이 해라는 것을 보일 수 있으므로 $x = 0$를 제외한 모든 영역에서 식 (6)은 식 (5)의 해가 된다. (or 어떤 $r$값에서는 $y(0)$가 수렴할 수도 있으므로 이때는 $x = 0$를 포함할 수 있다.)
그러면 식 (4)의 해도 $x = 0$ 근방에서는 다음처럼 식 (6)과 같은 형태를 가질 것이다[1].

                      (7)

$x = 0$ 근방에서 식 (4)의 해를 찾은 것이 식 (7)이므로 계수인 $c_0$는 발산하지 않는다. (∵ $x = 0$ 근방에서 $y = x^r$은 식 (5)의 정상적인 해이므로 계수 $c_0$는 일반적인 상수이다.) 따라서, $y/x^r$로 표현된 $c_0$는 식 (1)과 단순 멱급수로 전개할 수 있다. 즉, 식 (4)를 풀 수 있는 새로운 방법을 찾은 것이다. 식 (8)과 같은 급수 전개를 이용해 식 (4)를 해결하는 방식을 프로베니우스 방법이라 부른다.

                        (8)

여기서 계수 $a_m$은 식 (8)을 식 (4)에 대입해 항등식 조건($x^{r+m}$의 계수가 0)을 이용해서 구한다. 이렇게 하면 $a_m$은 재귀 관계(再歸關係, recurrence relation)로 얻어지므로 $a_0 \ne 0$이다. (∵ $a_0 = 0$이 되면 모든 $a_m$이 0이 되어서 의미가 없어진다.)
식 (8)에서 먼저 결정해야하는 것은 $r$이다. 식 (6)을 참고하면 $r$을 결정하는 지표 방정식(indicial equation)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

                      (9)

프로베니우스 방법을 사용할 수 있는 미분 방정식을 분류하기 위해 식 (4)를 다음처럼 변형해보자.

                      (10)

어떤 값 $x$에서 $f(x)$가 수렴하면 $x$는 정상점(ordinary point)이며 $f(x)$가 발산하면 특이점(singular point)이 된다. 식 (10)에서 $x = 0$는 $P(x), Q(x)$의 특이점이다. 특이점이 있더라도 식 (10)의 세째줄처럼 $x, x^2$를 곱하면 정상점이 되는 경우는 정칙 특이점(regular singular point)이 된다. 따라서, 프로베니우스 방법이 적용되려면 정의역에는 정상점이나 정칙 특이점만 있어야 한다.

[참고문헌]
[1] K. B. Howell, Modified Power Series Solutions and the Basic Method of Frobenius, Ordinary Differential Equations: an Introduction to the Fundamentals, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용

댓글 12개 :

  1. http://digital.kyobobook.co.kr/digital/ebook/ebookDetail.ink?barcode=480120003411P

    http://digital.kyobobook.co.kr/digital/ebook/ebookDetail.ink?barcode=480120003419P


    직접 제작한 교재인데 여유가 있다면 한 번 참고해 주시겠습니까?

    자연계열의 교양수학입니다. 미분방정식 이론은 아니지만 수학을 좋아하시는 것 같아 소개해 드려요.

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    1. 정보 공유 감사합니다.
      이상민님 대단하네요. 학교에 있으면서 책까지 쓰시다니!
      하여튼 수학책 저자 방문을 환영합니다.

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  2. 제가배운 미분방정식책에는 왜멱수와멱급수가해법인지 설명이없엇는데 좋은정보얻어갑니다

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  3. 항상 많은 도움 받고 있습니다^^ 몇몇 댓글을 익명으로 쓴 적이 있습니다만 뭔가 익명이라고 뜨는게 마음에 안 들더라고요!

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    1. 김진수님, 재방문 감사드립니다. ^^

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  4. x=0에서 c0는 발산하지 않으므로 식 (1)과 같은 멱급수 전개를 수행할 수 있다. 라는 말이 이해가 가지 않네요,,

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    1. 본문을 수정했습니다. 다시 한 번 보세요. ^^

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    2. 어느 함수가 어느 한점에서 발산하지 않으면 항상 멱급수의 형태로 나타날수 있다는 건가요?

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    3. 예, 맞습니다. 멱급수는 무한 급수라서 정의역에서는 반드시 수렴해야 합니다.

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  5. 안녕하세요
    혼자 공부 하면서 TM님 포스팅이 많은 도움이 됩니다.
    궁금한 점이 있는데, 정칙특이점이 0이 아닌 경우에도, 급수해가 x의 멱함수라고 놓고 재귀 공식을 구해야 하나요?
    예를 들면 르장드르 함수는 x=1 에서 정칙 특이점을 가져서 저는 급수해가 x-1 의 멱급수 형태라고 생각하고 풀어봤는데 알려진 해랑 다르게 나오더군요. 그래서 무작정 x의 멱급수 꼴로 넣고 풀어봤더니 잘 알려진 해를 쉽게(?) 구할 수 있더군요
    이에 대해 간략한 설명 해주실 수 있나요?

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    1. 르장드르의 미분 방정식은 아래에 기술되어 있습니다. 참고해보세요, 명탐점무자님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/legendres-differential-equation.html

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