리우빌의 정리(Liouville's Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "리우빌의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 복소 함수론의 쉬운 이해

2. 로랑 급수

정의된 복소 영역(complex domain)에서 항상 미분 가능한 복소 함수(complex function) $f(z)$는 정칙 함수(正則函數, holomorphic function)라 부른다. 정의역에서 다음과 같은 테일러 급수(Taylor series)가 존재해서 항상 수렴하면, $f(z)$는 해석 함수(analytic function)가 된다.

                  (1)

복소 함수 $f(z)$의 정칙성 혹은 미분 가능성은 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)으로 간단하게 확인할 수 있다.

                  (2)

여기서 $f(z)$ = $u(x, y) + i v(x, y)$이다. 복소 함수의 테일러 급수(Taylor series of complex function)에 대한 성질을 이용하면, 특정 영역에서 코쉬–리만 방정식을 만족하는 정칙 함수는 당연히 해석 함수가 됨을 증명할 수 있다.

정칙 함수의 정의역을 특정 영역이 아닌 복소 평면 전체로 확장하면, 이 복소 함수는 전해석 함수(全解析 函數, entire function)가 된다. 전해석 함수는 모든 위치에서 미분 가능하지만, $z$가 무한대로 갈 때 $f(z)$가 발산할 수도 있다. 만약 전해석이면서 모든 위치에서 유계(有界, bounded)라고 복소 함수의 특성을 제한하면 어떤 결과가 얻어질까? 복잡하리라는 우리 예상과는 다르게 이 복소 함수는 간단한 상수 함수가 된다. 복소 해석 함수(complex analytic function)와 유계 특성을 연결한 결과는 리우빌의 정리(Liouville's theorem)라 한다. 복소 함수론을 여러 문제에 적용할 때, 리우빌의 정리는 매우 유용한 도구가 될 수 있다.

[리우빌의 정리]

모든 복소 영역에서 정칙(holomorphic)이며 유계(bounded)인 복소 함수는 항상 상수이다.

[증명]

정칙인 함수는 해석적이어서 복소 함수 $f(z)$를 $z$ = $0$ 근방에서 다음과 같은 테일러 급수로 표현할 수 있다.

                  (3)

식 (3)에 등장하는 계수 $a_m$은 코쉬의 미분 공식(Cauchy's differentiation formula)을 이용해서 결정한다.

                  (4)

식 (4)에 절대값을 적용해보면, $a_m$은 다음과 같은 부등식 관계를 만족해야 한다.

                  (5)

여기서 $|f(z)| \le M$, 적분 경로 $c$는 복소 평면에서 반지름이 $R$인 원이다. 전영역에서 정칙인 복소 함수 $f(z)$를 위한 적분 경로의 반지름 $R$은 계속 커질 수 있다. 그러면 $a_0$을 제외한 $a_m$은 모두 $0$으로 수렴하므로, $f(z)$는 상수 함수가 되어야 한다.

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[그림 1] 어둠을 비추는 등대(출처: wikipedia.org)

리우빌의 정리는 명제를 구성하는 단어가 단순하고 증명 자체도 매우 쉬워서 리우빌 정리의 유용성을 놓치는 경우가 많다. 하지만 복소 함수의 특성을 진지하게 고민할 때, 리우빌의 정리는 우리 마음에 높이 솟은 밝은 등대가 된다. 수학 정리는 우리 지성의 한계를 더 넓은 영역으로 인도해준다. 리우빌의 정리를 사용하는 대표적인 예는 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 대한 엄밀한 증명이 될 수 있다.

[대수학의 기본 정리]

제$n$차 방정식의 해는 복소 영역에서 $n$개 존재한다.

[증명]

제$n$차 방정식을 위한 제$n$차 다항식을 다음처럼 정의한다.

                  (6)

여기서 $a_n \ne 0$, $f(z)$ = $0$을 만족하는 $z$가 방정식의 해이다. 만약 $f(z)$가 모든 복소 영역에서 $0$이 아니라면, $f(z)$의 역수를 취한 $g(z)$[= $1/f(z)$]를 생각할 수 있다. 그러면 $g(z)$는 모든 영역에서 정칙이면서 유계이므로, 리우빌의 정리에 의해 $g(z)$는 상수 함수가 되어야 한다. 하지만 $a_n \ne 0$인 조건과 배치되는 결과라서 $f(z)$는 어떤 점에서 반드시 $0$이 되어야 한다. 어떤 점 $z_1$이 $f(z_1)$ = $0$을 만족하는 해라면, $f(z)$에서 $(z-z_1)$을 나눈 함수를 $f_1 (z)$ = $f(z)/(z-z_1)$라 둔다. 그러면 $f_1 (z)$는 제$n-1$차 다항식이 된다. 복소 함수 $f(z)$와 유사하게 $f_1 (z)$도 전영역에서 해를 가지지 않는다면, 리우빌의 정리에 의해 $f_1 (z)$는 상수가 되어야 한다. 이는 $f_1 (z)$가 제$n-1$차 다항식이라는 조건에 모순이다. 이러한 적용을 계속 반복하면, $f(z)$는 복소 영역에서 $n$개의 해를 반드시 가진다.

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방정식의 해 혹은 근은 복소 함수론에서 영점(零點, zero: 함수가 $0$으로 수렴하는 점)이라 부른다. 영점은 극점(極點, pole: 함수가 무한대로 발산하는 점)에 대비되는 개념이다. 복소 함수 $f(z)$의 역수 함수를 $g(z)$라 하면, $f(z)$의 영점은 $g(z)$의 극점 혹은 $f(z)$의 극점은 $g(z)$의 영점이다.

[다음 읽을거리]

1. 가우스–뤼카 정리