2024년 5월 10일 금요일

가우스–뤼카 정리(Gauss–Lucas Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스–뤼카 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 볼록 다각형의 예인 정오각형(출처: wikipedia.org)

다항 함수와 그 미분의 근에 대한 분포를 알려주는 참신한 정리로 가우스–뤼카 정리(Gauss–Lucas theorem)가 있다. 가우스–뤼카 정리에 따르면, 다항 함수의 근이 만드는 볼록 다각형(convex polygon) 속에 다항 함수 미분의 근이 꼭 포함된다.

[가우스–뤼카 정리]
다항 함수 미분 $P'(z)$의 근은 다항 함수 $P(z)$의 근이 만드는 볼록 껍질(convex hull)의 내부에 분포한다.

[증명]
대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 $n$차 다항 함수 $P_n(z)$는 $n$개의 근 $z_i$를 가져서 다음과 같이 인수 분해된다.

                  (1)

여기서 $a$는 최고차 항의 계수, $z_i$는 $P_n(z)$의 근이다. 식 (1)을 미분해서 $P_n'(z)$를 계산한다.

                  (2)

식 (2)를 식 (1)로 나누어서 간략화할 수도 있다.

                  (3)

다음 단계로 $P_n'(z)$와 $P_n(z)$의 근이 다르다고 가정한다. 왜냐하면 두 근이 같은 경우는 미분의 근이 자동적으로 볼록 껍질 내부에 있기 때문이다. 볼록 껍질은 특정한 조건을 만족하는 가장 작은 볼록 집합(convex set)이며, 볼록 집합은 영역 내부에 있는 두 점을 연결한 선분이 다시 내부에 속하는 집합이다. 가우스–뤼카 정리에서 고려하는 볼록 껍질은 $P_n(z)$의 근을 모두 포함하는 조건을 가진다. 우리가 추가한 가정에서 $P_n'(z)$와 $P_n(z)$의 근이 다르므로, 식 (3)의 분자가 0이 되더라도 분모는 0이 될 수 없다.

                  (4)

여기서 $z$는 $P_n'(z)$의 근, $\beta_i$ = $1 \mathbin{/} |z-z_i|^2$이다. 볼록 결합(convex combination)을 만드는 $\alpha_i$를 다시 정의해서 식 (4)를 $z_i$의 볼록 결합으로 바꾼다.

                  (5)

여기서 $\alpha_i \ge 0$, $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$ = $1$이다. 따라서 $P_n(z)$의 근 $z_i$로 생성한 $P_n'(z)$의 근 $z$는 볼록 결합의 결과이기 때문에, $z$는 $z_i$가 만드는 볼록 껍질의 내부에 있어야 한다.
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가우스–뤼카 정리가 사용되는 의외의 응용이 2차원 정전기장(electrostatics)의 전하 분포이다[1]. 전하를 자유롭게 펼쳐놓으면 특정 위치에서는 전기장(electric field)이 0이 되어서 전혀 힘을 받지 않는 지점이 생긴다. 이런 합력이 0인 점이 흩어진 전하들이 만드는 볼록 껍질 안에 있다는 증명에 가우스–뤼카 정리가 쓰인다.

[그림 2] 빨간색 전하들이 만드는 합력이 0인 파란색 점들(출처: [1])

이 논증은 초보적인 정전기장의 유도부터 시작한다. 원점에 있는 무한한 전하 선이 만드는 전기장 $\bar E$를 가우스 정리(Gauss' theorem)로 공식화한다.

                  (6)

여기서 $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $h$는 전하 선의 높이, $\rho_l$은 선 전하 밀도이다. 식 (6)을 적분해서 전하 선이 만드는 전압 $V$도 정의한다.

                  (7)

2차원이라서 벡터(vector) 대신 복소수(complex number) $z$ = $x+iy$를 써서 좌표 $(x, y)$를 복소 평면에 표현할 수 있다. 이 개념을 식 (6), (7)에 대입함으로써 벡터 표현식을 복소수 형태로 바꾼다.

                  (8)

여기서 $z_m$은 복소 평면 상의 $m$번 전하 위치이다. 상수를 제외하면 식 (8)의 둘째식은 식 (3)과 동일하므로, 가우스–뤼카 정리가 적용될 수 있다. 즉, 2차원에 배치된 전하가 만드는 볼록 다각형 안에 전기장의 합력이 0이 되는 점이 항상 존재한다. [그림 2]는 이 결과를 가시적으로 보여준다. 5개의 빨간색 전하가 동일 극성과 크기로 위치할 때, 각 전하의 힘이 상쇄되어 전기장의 합력이 0이 되는 파란색 점은 녹색으로 표시한 볼록 사각형 안에 있어야 한다.

[참고문헌]
[1] J. C. Baez, "The Gauss–Lucas theorem," Not. Am. Math. Soc., vol. 68, no. 11, pp. 1988–1989, Dec. 2021.

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