2010년 7월 30일 금요일

전기장(電氣場, electric field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 좌표계 기반 벡터
2. 발산의 의미



[전기력선(electric lines of force)]

[그림 1] 전하들에 작용하는 전기력(출처: wikipedia.org)


[쿨롱의 비틀림 저울(Coulomb's torsion balance)]

쿨롱(Charles-Augustin de Coulomb)이 1785년에 발표한 전기력(電氣力, electric force)에 대한 유명한 공식이 식 (1)이다. 초등학교 시절부터 배우기 때문에 식 (1)이 제시하는 전기력의 관계는 우리에게 매우 익숙하다.

                                (1)

여기서 $k_e$는 쿨롱 상수(Coulomb constant)이며 $q$와 $Q$는 전하(電荷, electric charge), $R = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 전하가 서로 떨어진 거리, 단위 벡터(크기가 1인 벡터) $\hat R$(= $(\bar r - \bar r')/R$)은 $q$와 $Q$를 연결하는 벡터이다. 전하는 이름뜻 그대로 전기적 무게라고 생각할 수 있다. 마치 무게와 유사하게 전하는 그 양이 클수록 더욱 큰 전기력을 발휘한다. 쿨롱 법칙(Coulomb's law)인 식 (1)의 정성적인 의미는 [그림 1]과 같다. 즉, 같은 극끼리는 서로 밀치고 다른 극끼리는 서로 당긴다. 밀거나 당기는 힘은 거리(R)의 제곱에 반비례한다. 식 (1)에 있는 비례상수 $k_e$는 진공의 성질을 고려하여 식 (2)로 정의한다.

                             (2)

여기서 $\epsilon_0$(= $8.85418781762 \times 10^{-12}$ [F/m])는 진공중의 유전율(誘電率, permittivity)이다. 식 (1)과 (2)에 출현하는 힘의 단위는 [N: 뉴튼, Newton], 전하의 단위는 [C: 쿨롱, Coulomb], 정전용량(靜電容量, capacitance)의 단위는 [F: 패러드, Farad]이다. 단위를 바탕으로 진공중의 유전율 $\epsilon_0$를 살펴보면, 축전기(蓄電器, capacitor)를 만들 때 공간에 아무것도 채우지 않더라도 1 [m]당 $\epsilon_0$ 만큼의 정전용량[F]이 생기는 것을 의미한다. 식 (1)에 있는 거리 제곱에 반비례하는 성질은 실험적으로 $1/r^{2 + r_e}$ 정밀도로 측정되었다 [1]. 여기서 $r_e = (2.7 \pm 3.1) \times 10^{-16}$이다. 정말 놀랄 만한 정밀도이다.



[수치해석: 전하와 전기장(phet.colorado.edu)]

[그림 2] 극성이 다른 전하들에 존재하는 전기장(출처: wikipedia.org)

쿨롱의 놀라운 실험식 (1)을 다시 쓰면 전기장 $\bar E$에 대한 정의인 식 (3)을 얻게 된다.

                             (3)

쿨롱 법칙에 새로운 변수 $\bar E$를 도입한 것이라고 단순하게 생각하면 안된다. 식 (3)의 진정한 의미는 전자파를 이해할 때 분명해진다. 쿨롱 법칙에서 극성이 서로 다른 전하는 서로 당긴다고 했다. 어떻게 이것이 가능한가? 서로 접촉하지도 않는데 어떻게 전기력은 서로 전달이 될까? 이 문제를 심각하게 고민한 사람은 패러데이(Michael Faraday)이다. 패러데이는 전기장이라는 새로운 공간적 특성이 생겨서 서로 잡아당기거나 서로 민다고 생각했다. 이론가 중에서 패러데이의 상상을 진지하게 고민한 최초의 인물이 맥스웰(James Clerk Maxwell)이다. 후일 결국 맥스웰은 전기와 자기는 근본적으로 같다는 것을 수학적으로 명쾌한 미분방정식으로 증명했다.
따라서, 현대적인 의미로 전기장을 정의하면 전기력이 전달되는 범위(마당)이다. 전기장이 전달되어야만 전기력이 식 (1)과 같이 생성된다. 전기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는 것이다. 이 개념이 전기장 개념의 핵심이다.


[가우스 정리(Gauss' theorem)]

[점 전하와 가우스 정리]

                                 (4)

여기서 점 전하는 면적이나 체적을 가지지 않고 점에만 전하가 집중된 가상의 물질이다.

[증명]
식 (3)을 임의의 표면 $s$에 대해 표면 적분하면 어떻게 될까? 식이 복잡해지지 않고 오히려 식 (5)처럼 매우 간단해진다.

                                 (5)
______________________________

식 (5)의 유도에서 공간각(空間角, solid angle) $\Omega$를 식 (6)으로 정의했다.

                                 (6)

여기서 벡터 $\bar r$(= $(x, y, z)$)은 관측점(observation point), 벡터 $\bar r'$(= $(x', y', z')$)는 원천점(source point)이다. 원천점은 점 전하 $Q$가 위치해 있는 점이다. 식 (6)과 같이 공간각을 정의하면 $R$에는 관계없이 공간에 분포한 각도만 정말 나타내는가? 이를 이해하려면 먼저 구 좌표계(spherical coordinate) $(R, \theta, \phi)$를 고려해야 한다. 임의의 면적 미분소(differential area) $d \bar a$는 아래로 표현할 수 있다.

                             (7)

여기서 면적미분소 $da_R, da_\theta, da_\phi$는 각각 $R, \theta, \phi$방향 면적이다. 면적벡터의 방향은 면적이 정의된 평면에 수직인 벡터로 정하므로 면적미분소 $da_R$은 단위벡터 $\hat R$에 수직인 평면이 된다. 즉, 구 좌표계 특성에 의해 $da_R$은 식 (8)로 정해진다.

                             (8)

식 (7)과 (8)을 식 (6)에 넣고 표면 적분을 수행하면 식 (9)의 결과를 넣는다.

                             (9)

식 (9)에서 공간각 $\Omega$는 $R$에는 관계가 없고 오직 공간에 생긴 각도인 $\theta, \phi$에만 관계된다.

[그림 3] $R \ne 0$을 제외한 구모양 체적


식 (4)는 발산 정리를 이용해도 쉽게 증명된다. 구 좌표계에 대해 발산을 적용하면 식 (10)을 얻는다.

                             (10)

$R \ne 0$이면 식 (10)이 성립하므로 식 (4)에 발산 정리를 적용한 결과는 항상 0이다. 이 결과를 [그림 3]과 같은 구모양 체적에 적용하면 식 (11)이 반드시 성립한다.

                           (11)

여기서 표면적 $S_1$은 $R \ne 0$인 임의의 표면적이며 $S_2$는 구의 표면적이다. $S_2$는 구표면적이기 때문에 $R$에 대해 대칭적인 결과를 가진 식 (4)의 전기장은 쉽게 적분이 된다.
그런데, [그림 3]에 제시된 체적은 발산 정리가 적용될 수 있는 체적이 아니다. 발산 정리가 적용가능하려면 이 체적이 닫힌 표면적을 가져야 한다. [그림 3]의 체적은 중앙에 구멍이 뚫린 체적이므로 이대로는 발산 정리가 적용될 수 없다. 그래서, 복소 함수론의 선적분과 유사하게 [그림 4]와 같은 적분을 고려한다.

[그림 4] 발산 정리가 적용가능한 구모양 체적(출처: wikipedia.org)

[그림 4]가 의미하는 것은 닫힌 표면적을 만들기 위해 바깥 표면적에서 내부 표면적으로 인위적인 구멍을 만든다는 것이다. 또한, [그림 4]는 닫힌 표면적을 가지고 있어 항상 발산 정리를 적용할 수 있다. 이 구멍을 무한히 미세하게 만들면 미세구멍에서 면적벡터의 크기는 같고 방향은 반대이므로 서로 상쇄되어 표면 적분 관점에서는 [그림 4]의 체적과 [그림 3]의 체적을 동일하게 취급할 수 있어 발산 정리를 적용할 수 있다.
식 (4)는 점 전하에 대한 가우스 정리이다. 일반적인 전하 분포는 어떤 특성을 가질까?
일반적인 전하분포를 다루기 위해 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$를 정의하자.

                           (12)

점 전하가 아닌 임의로 전하가 분포되어 있으면 전하 밀도를 이용하여 식 (3)을 변형한다.

                           (13)

여기서 $R$은 식 (6)으로 정의되며 관측점과 원천점을 분명히 하기 위해 벡터 $\bar r$과 $\bar r'$를 각각 사용하였다.

[쿨롱 법칙의 적분형: 일반 전하분포와 가우스 정리]

                                 (14)

[증명]
식 (13)을 식 (14)에 대입하여 정리하면

                                 (15)

여기서 $Q$는 체적 $v'$ 내부에 포함된 모든 전하량이다.식 (15 )를 보면 놀랍게도 전하가 일반적으로 분포되어 있어도 최종결과는 점 전하때인 식 (4)와 동일하다. 식 (15) 유도에 점 전하 결과인 식 (9) 혹은 (11)을 사용하였다.
______________________________

[쿨롱 법칙의 미분형: 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]

                                 (16)

[증명]
적분형태인 식 (14)를 미분형으로 표현하기 위해 식 (15)를 다시 생각하자.

                                   (17)

여기서 첫째줄의 체적 $v$와 $v'$는 동일하다고 가정하여 둘째줄의 식을 얻었다. 식 (17)의 둘째줄에서 체적 $v$는 임의로 작게 잡을 수 있으므로 반드시 식 (16)이 성립해야 한다.
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초보적인 전자기학 교재에 출현하는 정전장 문제는 모두 정방향 문제(forward problem)이다. 정전장(靜電場, static electric field)에서 정방향 문제는 전하분포가 주어진 경우의 전기장을 구하는 것이다. 식 (13)에서 전하 밀도 $\rho$가 정해지고 관측점 $\bar r$이 정해지면 전기장 $\bar E$는 초보적인 적분으로 그 결과를 쉽게 구할 수 있다. 이런 적분을 하기 위해 직접 적분하거나 적분표를 참고할 수 있다. 적분표에도 나오지 않는 적분은 수치적분(numerical integration)을 하면 된다. 즉, 이런 단순적분 문제들이 정방향 문제이다. 시간만 투자하면 해결이 가능하다.
하지만, 역방향 문제(inverse problem)는 만만하지 않다. 특정 위치에서의 전기장 $\bar E$만 아는 경우(주로 경계조건(境界條件, boundary conditions)으로 주어짐) 이 전기장을 만든 전하 밀도 $\rho$를 구하는 것이 역방향 문제이다. 식 (13)에서 $\bar E$를 알 때 $\rho$를 구하는 것은 적분방정식(積分方程式, integral equation)을 푸는 것이다. 적분방정식을 풀 수만 있다면 역방향 문제는 쉽게 해결할 수 있다.
하지만, 생각해 보라. 적분하는 것이 쉽겠는가 적분방정식을 해결하는 것이 쉽겠는가? 우리는 왜 정방향 문제보다는 역방향 문제를 고민해야 하는가? 현실적으로 우리는 눈에 보이지도 않는 전하분포를 알 수가 없다. 측정 가능한 전기장을 통해 거꾸로 전하 분포를 추정해야 한다. 즉, 정방향 문제는 교재에만 나올 뿐 현실적이지 않으므로 실제 문제는 역방향 문제로 접근해야 한다. 일단 전하분포만 구해지면 정방향 문제가 되므로 식 (13)처럼 적분해서 모든 영역의 전기장을 얻을 수 있다.

[그림 5] 수소 원자의 파동함수(출처: wikipedia.org)

쿨롱 법칙인 식 (1)은 매우 훌륭한 실험식이지만 $R \to 0$으로 가까이 가면 발산한다. 전기력이 발산하면 그에 해당하는 에너지도 발산하므로 물리적으로 문제가 있다. 이 문제를 해결하는 것은 양자 역학(量子力學, quantum mechanics)이다. 전자(電子, electron)의 위치는 특정할 수 없고 마치 구름처럼 확률적으로 양성자(陽性子, proton) 주위에 분포한다. 그래서 [그림 5]처럼 수소 원자 내부인 $R = 0$ 위치(양성자의 위치)에 전자가 있다고 확정적으로 말할 수 없지만 평균적으로는 $R = 0$에 전자가 있으므로 외부에서 볼 때 수소 원자는 극성을 가지고 있지 않다. 이런 방식으로 전자와 양성자의 특성을 설명하면 실험결과를 매우 잘 예측할 수 있다.
따라서, 쿨롱 법칙은 매우 작은 전자와 양성자 크기 범위에서도 여전히 유효하게 된다.

댓글 39개 :

  1. 전파거북이님 안녕하세요
    저는 전자공학도 학생인데 전파거북이님이 정리해 놓으신 자료가 너무 좋아서 개인적으로 공부하기 위해 스크랩할게요.
    혹시 기분이 나쁘시다면 바로 삭제하겠습니다.
    저의 블로그 주소는 blog.naver.com/werty03 입니다.
    확인 부탁드릴게요 :)

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    1. 아래글에도 있지만 출처만 밝히시면 문제 없습니다. ^^ 감사합니다.

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  2. 안녕하세요. 전자기학을 공부하다 의문점이 생겨서 한 가지 여쭤보고자 합니다.
    전하가 존재하면 그 주변에 전계가 형성된다고 배웠습니다. 그런데 형성된다는 말은 최종 결과에 대한 기술이지 그 과정에 대한 정보는 담고 있지 않습니다.
    전파 거북이님의 블로그를 보고 제가 제대로 이해했다면, 전계는 전하에서 빛의 속도로 나와서 형성되게 됩니다. 즉, 만약 아무것도 존재하지 않는 진공의 무한한 공간에 전하를 마법처럼 나타나게 한다면 전하가 나타나는 바로 그 순간 그 전하로부터 전계가 사방으로 빛의 속도로 뻗어나가 공간을 전계로 가득 채우게 될 것입니다. 그리고 그 공간에 진공과 다른 유전율을 가진 물체를 생기게 한다면 그 물체가 생기는 순간 그 물체의 내부에도 빛의 속도로 전계가 형성될 것입니다. 그 말은 전하로부터 전계가 끊임없이 연속적으로 뻗어 나오고 있다는 뜻인데, 전계가 어떻게 화수분처럼 전하로부터 끝없이 뻗어 나올 수 있는 건가요? 전계를 날려 보낸다는 것은 동적인 의미를 포함하는데 동적 상태가 무한히 지속되기 위해서는 외부에서의 에너지 공급이 필요하지 않나요? 왜 전하는 ‘닳아지지’ 않나요?

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    1. 멋진 질문입니다, 익명님! 말씀하신 것의 답은 저도 모릅니다. ^^ 물리학 기저에 깔린 기초적인 의문이라 답을 하기 어렵지만 계속 고민해 보십시오. 제기하신 것과 같은 근본적인 질문으로 인해 물리학이 획기적으로 발전될 수 있습니다.

      근본적인 질문은 제외하고 수월한 것만 설명하면 아래와 같습니다.

      - 왜 전하는 ‘닳아지지’ 않나요?

      전하가 없어지려면 전하량 보존법칙에 의해 전류 형태로 흘러야 하나 진공 중에 있는 고정된 전하이므로 전류를 만들 수 없습니다. 그래서 전하량은 고정되어야 합니다.
      하지만 전하량 보존법칙이 왜 성립되어야 하는 지는 명확하지 않습니다. 뇌더의 정리(Noether's theorem)를 이용하면 전하량 보존법칙은 게이지(gauge) 불변과 등가입니다. 하지만 이 관점에 대해서도 끊임없는 왜가 가능합니다.

      - 동적 상태가 무한히 지속되기 위해서는 외부에서의 에너지 공급이 필요하지 않나요?

      맞습니다. 반드시 에너지가 있어야 합니다. 문제에서 전하가 갑자기 생겼다고 했지요. 이게 에너지를 공급한 것입니다. 얼마만한 에너지가 있어야 하냐면 전하가 만드는 전기장 에너지 전체입니다.

      - 바로 그 순간 그 전하로부터 전계가 사방으로 빛의 속도로 뻗어나가 공간을 전계로 가득 채우게 될 것입니다.

      이를 설명하는 것이 맥스웰 방정식입니다. 하지만 맥스웰 방정식은 실험을 기반으로 만든 것이어서 정량적인 평가나 계산은 가능하지만 왜 전하가 전기장을 이렇게 만드는 지는 설명할 수 없습니다. 맥스웰이 살던 당시에는 가상의 에테르로 설명했지만 상대성이론으로 폐기되었습니다.

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  3. 좋은 답변 감사합니다. 전파 거북이님의 학문적 수준과 방대한 지식에 놀랄 따름입니다.
    얼마나 많이 공부하시고 고민하셨을 지를 생각하면 제 자신이 부끄러워집니다.
    더 열심히 공부하고 고민하겠습니다.

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  4. 너무 자료가 좋으셔서 좀 퍼갈게요~~! 출처기입 꼭 하겠습니다~!

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    1. 출처만 밝히시면 언제든 환영입니다. 많이 퍼가세요.

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  5. 전파거북이님 전기장에 대해서 모르는게 있어서 질문이 있는데요.. 미소전하량을 이용해서
    dE= dq/r^(2) 식으로 전기장을 구하는데요.. 여기서 궁금한게 양변에 적분을 하면 왼쪽 식에서는 E_f - E_i
    가 되는데요 여기서 E_i는 무엇을 의미 하죠? 보통 책에서는 dE를 적분을 하면 E로만 표시하고 적분 구간도 없어서 모르겠습니다.. E_f - E_i 자체가 E라는 뜻인가요? 너무 궁금해요

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    1. 단순한 부정 적분으로 생각하면 말씀하신 것과 같은 오류에 빠지게 됩니다.
      $dq$는 차분($\Delta q$)의 극한에 해당하는 미분소(differential)입니다. 미분소인 $dq$를 한없이 모아 정적분을 구합니다. 즉, 미분의 역연산으로서의 적분을 생각하지 마시고 정적분 정의를 생각하세요.

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  6. 정적분이니 E_i는 부정적분을 하고 변수에 i(initial 값)을 대입했다는 의미이고, E_f는 변수에 f(final) 값을 대입한 것이라는 의미인가요?

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    1. 그런 뜻은 아닙니다. 정적분 의미가 차분의 극한을 무한히 더한 것이므로 전기장 기여를 계산할 때도 미소 전하($\Delta q$)의 극한을 무한히 더해야 한다는 뜻입니다. 아래 적분법의 의미를 한 번 더 보세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/integration.html

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  7. E_f - E_i 는 그냥 E라는 것이에요?

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    1. 정적분이기 때문에 전하량이 없을 때는 0이 되어야 합니다. 따라서 $E_i = 0$이라 생각할 수 있습니다.

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  8. 전파거북이님 질문하나 하겠습니다.
    전류 i(t)=dq/dt에서 전하량 q를 구하면 dq=i(t)dt에서 양변을 적분하면 int dq=int i(t)dt
    좌측항에 int와 d는 상쇄가 되어 Q=int i(t)dt가 된다고 설명을 들었습니다.
    여기서 우측항의 int와d는 어째서 상쇄가 않되는지요? 기초가 없어 이해하기 힘들군요 설명해 주시면 감사하겠습니다..^^

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    1. $i(t)$를 몰라서 그렇습니다. 만약 $i(t) = 1$이면 $\int i(t) dt = t$가 됩니다. (적분 상수 무시)
      적분을 공부하시면 이해할 수 있을 것입니다.

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    2. 답변해 주셔서 정말 감사합니다.
      죄송한데 한가지만 더 여쭈어 보겠습니다.
      그러면 ∫idt=it 가 될수도 있다는 말씀 같은되요. 여기서 (t)는 뭘 의미하는 것인지요?

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    3. 함수 $f(x)$의 $x$와 같은 의미입니다. 즉, 함수의 정의역입니다.

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    4. 전파거북이님 정말 감사드려요..^^

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  9. 전파거북이님 항상 자료 감사히 잘 보고있습니다~감사합니다^^ 바쁘시겠지만 질문 하나 드릴게요ㅠㅠ 이 글에서 정전장(靜電場, static electric field)이라는 용어가 나오는데 전기장?전기장의세기?가 일정한 필드라는 뜻인가요? 그리고 만약 맞다면 어떤 전하 Q에 의해 생긴 전기장은 전하로부터의 거리의 제곱에 반비례한다고 하였는데 어떻게 일정할수가 있는지요? 너무 바보같은 질문인것같은데 답변 해주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ벼ᆞ

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    1. 세상에 바보같은 질문이 어디 있겠습니까! 다 소중한 질문입니다.

      정전장은 시간에 대해 전기장의 세기가 일정하다는 뜻입니다. 공간적으로는 당연히 변해야 합니다.

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    2. 우와 정말 빨리 답변해주셨네요 감사합니다~^^ 확실히 알게 되었습니다!

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  10. 안녕하세요 전파거북이님 전기장을 공부하면서 모르는것이 생겼는데요ㅠㅠ
    전기장의 세기는 전하 q의 거리의 제곱에 반비례한다는것을 알겠는데 방향이 어떻게 생각해야될지 모르겠어요ㅠㅠ
    결국 방향은 전하 q를 둘러싼 구의 미소면적 ds의 모든 방향 360라고 생각해도될까요??
    그렇다고한다면 벡터 E를 썻을때 방향은 360도로 수많은 방향이 존재하기때문에 특정한 방향을 원할때
    잘못 표기한게 되는건가요??

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  11. 점전하인 경우 전기장의 방향은 $r$방향입니다. 원점을 중심으로 전기장은 모든 방향으로 뻗어 나갑니다.

    특정한 방향으로 전기장을 만들려면 무한한 면전하를 만들어야 가능합니다.

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    1. 빠른 답변 감사드립니다 많은 도움이 되고있습니다 ㅎㅎ

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  12. 이 같이 정리를 잘 해 놓으시다니 존경스럽습니다.

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  13. 식 (17) 의 가장 오른쪽 적분식에서
    v'을 정의역으로 하는 삼중적분을 표기하려고 하신 것이 맞다면,
    Tex 표현에서 적분 구간이 v'로 표현되어야 하는 것이, v부터 ' 까지로 표기된 것 같습니다.

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    1. 오타 지적 정말 감사해요, CHK님. ^^ 계속 틀려 있었네요.

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  14. 안녕하세요. 전파거북이님 요새 한창 전자기학을 혼자서 공부하는 학생입니다.
    홀로 유튜브의 공개강의를 전전하며 공부를 하다보니 제가 맞게 공부를 하고있는지도 의심이 들때가 항상 드는데 질문할 곳은 없고, 하여 질문을 하고자 합니다.

    만약에 동축케이블(coaxial-cable)과 같은 형상에서 코로나 방전에 대하여 최대한 간단하게 maxwell방정식을 풀고자 하고 있는데요, 아래의 글이 두서없이 쓰여 엉망이더라도 조언 부탁드립니다...

    1+) 먼저 중심선의 전압을(임의지정:30KV)지정하고, 외부도체경계(cylinderical surface)에 0을 주어 Laplace equation을 풀어 초기의 V-field와 E-field를 얻어내는것이 첫번째라고 생각하였습니다.

    2+) 전압에 대한 analytic function을 이용하여 경계에서의 전류와 전하밀도에 관한 값을 구하여 초기에 전하밀도를 찾아내어 전하밀도에 대한 초기 규모를 설정한다고 생각하였고.

    3+) E-field vector의 방향과 크기를 따라서 전하밀도에 영향을 주고,(Method of characteristic을 이용하여 안쪽 축(혹은 선wire)의 초기 밀도를 가지고 밀도장을 형성)

    4+) current-density의 관계(전기적 흐름의 연속방정식)에서 안쪽 축에 주어진 흐름을 추정(임계치에수렴)하여 전하밀도를 추정하고자 하고.

    5+) 밀도를 가지고 밀도/유전율을 Laplace equation에 대입하여 Poisson's equation을 풀고자 하는데요(이 과정에서 3,4,5는 동시에 풀어낸다.)이 과정이 적합하게 들리는지 궁금하고, 흐름과 밀도의 관계에서 흐름에 대한 continuity equation을 구할때 (전류X실린더표면적) 으로 생각하고 계산하면 될지 궁금합니다.

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    1. 익명님, 코로나 방전 관계식 유도는 만만하지 않습니다. 여러 가지 가정이 들어가기 때문에 적당한 책을 찾아서 기본부터 유도해 가시는 것을 추천합니다.

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  15. 안녕하세요 전파거북이님 해외에서 전자기학 공부를 막 시작한 학생입니다.
    전기장 을 구하는 것에 대해 질문좀 드릴려고 합니다

    정해지지 않은 3차원 공간자체에 전하밀도가 정해져있다면 그 전기장은 어떻게 구하면 될까요?

    광의적분과 절대수렴을 이용하라고 하는데 정말
    하나도 모르겠어서 질문드립니다

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    1. 수학적으로는 식 (13)을 쓰면 됩니다. 하지만 실제 문제에서는 원천점과 관측점이 일치하는 경우($R = 0$)가 생겨 적분이 쉽지 않습니다. 이 분야 전공자들도 항상 골치 아파하는 부분이에요.
      보통 쓰는 방법은 $R \ne 0$인 경우는 단순 적분으로 구하고, $R \approx 0$인 경우는 근사 조건을 이용해 해석적으로 적분을 시도합니다.

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  16. 안녕하세요 전파거북이님
    정전기에 대한 아이디어로 현재 실험을 진행하고 있는 대학원생입니다
    전기와는 거리가 먼 학과라서 실험을 진행하다보니 도저히 홀로 풀수 없는 문제가 생겼는데요
    궁금증들을 풀고 싶어 전문가분께 도움을 얻고자 합니다
    죄송하지만 몇가지 질문을 드려도 될지요

    먼저는 +로 대전된 대전체로부터 발생되는 정전기장의 범위를 넓힐 수 있는 방법이 있는지 궁금합니다.
    전기장의 세기는 전기장의 범위와 비례하는것인지..전압이 높아지면 전기장의 세기와 범위가 커지는것인지요

    또 한가지의 질문은
    마찰전기에 의해 대전된(+) 대전체가 갖는 정전기장과
    고전압 발생기를(파워서플라이) 이용해 +전압을 인가한 대전체에서 발생되는 정전기는 같은것인지 궁금합니다

    바른 질문을 드린것인지 의문입니다
    부탁드립니다

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    1. 반갑습니다, ddaosi님. ^^

      1. 동일한 전하량 기준으로 전기장의 전달 범위를 늘리려면 대전체의 모양을 평면 형태로 만들어야 합니다. 구 형태는 $1/r^2$로 떨어지므로 전달 범위에는 약점이 있습니다.

      2. 전압을 높이면 많은 전하가 모이고 전하가 전기장을 만들므로, 전압을 높이면 전기장의 세기가 세지고 전달 범위도 늘어납니다.

      3. 전하를 어떻게 분리했는가와 관계없이 전하는 동일하므로, 당연히 정전기 특성도 동일합니다.

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  17. 정말정말 감사합니다
    밤새 인터넷 자료들을 검색하며 찾아봐도 명확한 답이 없었는데
    답변에 다 있네요 ㅠ


    몇가지 더 질문을 드려도 될지요..ㅎ

    만약 동일한 형태의 도체구 4개가 있다고 하였을때
    한개의 도체구에 10kv의 전압을 인가하고 나머지 3개를 도선으로 연결하면 4개의 도체구 모두 10kv를 갖게 되는건가요?

    전기력선은 도전체 한 점?에서 언제나 수직이라고 알고 있습니다
    10kv의 전압을 두개의 모양과 크기가 다른 도체에 인가시켰을 경우
    각 도체의 어느 한점으로부터 발생되는 전기력선의 크기와 전기장의 범위는 같은건지요

    10kv 전압이 인가된 종류가 서로다른 두 도전체(예를들어 구리와 알루미늄) 에서 생성되는 전기장의 범위또한 같은지 알고 싶습니다

    정리하자면,, 전압이 같다면 대전도체의 종류 모양 크기와 상관없이 대전체 어느 점으로부터 발산되는 전기력선과 전기장의 크기는 동일한건지 궁금합니다

    10kv가 인가된 구리와이어 양 끝을 C 자로 구부리면 양끝단에서 발생되는 전기장이 합쳐져서 커질 수 있는것인지요

    만약 ㅡ , ㅡ 처럼 길이가 동일한 도체와이어를 > 요렇게 되도록 놓으면 각각 와이어 끝단에서 발생되는 전기장이 합쳐질 수 있는지 궁금합니다
    중첩의 원리라는게 여기에 적용시킬수 있는것인지..

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  18. 1. 맞습니다. 도선으로 연결하면 전위는 같아집니다.

    2. 아닙니다. 대전체의 모양에 따라 전기장은 달라집니다.

    3. 전기장은 뾰족해질수록 커집니다.

    4. 원칙적으로는 안됩니다. 도체 선이 존재함으로 인해 선끼리 상호 결합이 생기기 때문에 동시에 계산을 해야 합니다.
    떨어진 거리가 멀다면 상호 결합은 약해지기 때문에, 이 부분을 무시하고 근사적으로 중첩의 원리를 사용할 수는 있습니다.

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    1. 답변 감사합니다
      많은 의문이 풀렸네요!
      정말 감사합니다 거북이님 ㅎㅎ

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  19. 안녕하세요 블로그를 즐겨보는 1인입니다.
    질문이 있는 데 위에서 질문한 도체의 끝이 뾰족할 수록 전기장이 쌔지는 이유를 알 수 있을 까요?
    그리고 대부분의 전기장 선을 그림2처럼 그리던데 특별한 이유가 있나요? 제가 추측하기로는 (+)전극에서 모든 방향으로 발산되어야하고 이렇게 발산된 전기장이 (-)전극으로 모두 빨려들어가야 저희가 쓰는 쿨롱 힘공식에 맞게 적용될 거 같긴한데 (그래야 막스웰방적식도 맞으니깐) 혹시 제가 이해를 잘 못하고 있는 건가요? 아님 다른 특별한 의미가 더 있나요?

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    1. 쉽게 생각하면 끝 부분이라서 그래요. 쿨롱 힘에 의해 전하가 궁지에 몰리면 더 달아날 공간은 없기 때문에 단위 면적당 전하가 많아져요. 그러면 전기장이 커집니다. 정량적인 설명은 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/08/metal.html

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