로렌츠 힘(Lorentz Force)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 힘"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 전류
4. 자기장

[그림 1] 자기장 속에서 회전하는 전자 빔(출처: wikipedia.org)

전하를 가진 입자가 전기장과 자기장 속을 이동할 경우 받는 힘은 로렌츠 힘이 된다. 로렌츠 힘 공식은 로렌츠Hendrik Lorentz(1853–1928)가 1892년로렌츠 39세, 조선 고종 시절에 유도하였다. 먼저 전하량 $q$를 가진 입자가 받는 전기력 $\bar F_e$는 쿨롱 법칙 기반의 전기장 $\bar E$ 관점에서 아래로 표현한다.

                                   (1)

[그림 2] 전하량에 따른 입자의 회전 특성(출처: wikipedia.org)

자기력은 다소 어렵다. 자기력 $\bar F_m$은 비오–사바르 법칙 기반의 자속 밀도 $\bar B$ 관점에서 식 (2)로 표현한다.

                                   (2)

하지만 식 (2)는 전하량 $q$를 가진 입자가 아닌 입자의 흐름인 전류 $I$로 기술되어 있어 식 (2)를 다소 변형해야 한다. 먼저 식 (3)에 의해 전류 $I$는 전류 밀도 $\bar J$로 표현할 수 있다.

                         (3)

전류 밀도의 특성으로 인해 식 (4)가 연속하여 도출된다.

                          (4)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다. 식 (3)과 (4)를 식 (2)에 대입하면 전하량 $q$를 가진 단일 입자가 속도 $\bar v$로 이동할 때의 자기력을 표현할 수 있다.

              (5)

여기서 단일 입자의 속도 $\bar v$와 자속 밀도 $\bar B$는 체적 적분상에서는 상수라고 가정한다. 식 (4)에서는 전체 전류를 정의하기 위해 평균 이동 속도인 유동 속도 $\bar u$를 사용하지만 식 (5)는 장애물이 없는 단일 입자만 다루고 있으므로 단순 속도 $\bar v$로 표기한다. 식 (1)과 (5)를 합하면 전하량 $q$를 가진 입자가 받는 전자기력인 로렌츠 힘(Lorentz force)을 식 (6)으로 표현할 수 있다.

                          (6)

또한, 식 (6)에서 중요한 점은 에너지이다. 자기력(magnetic force)은 항상 하전 입자에 수직인 방향으로 작용하므로 에너지를 증가하거나 감소시키지 않는다. 에너지에 영향을 줄 수 있는 힘은 전기력(electric field)이다. 사실 여기까지는 많이 알려져 있어 별다른 감흥은 없다.

식 (6)의 감추어진 측면은 관찰자가 입자가 움직이는 방향으로 움직일 때 나타난다. 만약 관찰자가 입자가 움직이는 속도와 동일한 속도로 움직이면 측정시 관측되는 로렌츠 힘은 식 (7)로 표현되어야 한다.

                          (7)

여기서 $(\cdot)'$는 입자와 동일한 속도로 움직이는 관찰자의 좌표계(혹은 움직이는 입자 관점에서 작성한 좌표계)이다. 식 (7)에서 자기력의 기여도는 사라진다. 왜냐하면 관찰자 입장에서는 하전 입자가 움직이고 있지 않기 때문이다.

[그림 3] 관찰자 입장의 운동계 $(\cdot)$와 정지계 $(\cdot)'$(출처: wikipedia.org)

또한 개념 이해를 명확히 하기 위해 [그림 3]에 표시한 두 좌표계 $(\cdot)$과 $(\cdot)'$를 다시 고려한다. $(\cdot)$는 관찰자 입장의 운동계(moving frame)이며 $(\cdot)'$는 관찰자 입장의 정지계(stationary frame)이다. 관찰자 입장의(혹은 관찰자가 관찰하는) 운동계에서 관찰자가 운동하는 입자를 보면, 관찰자는 정지해 있기 때문에 운동 입자가 움직인다고 관찰된다. 마찬가지로 관찰자 입장의(혹은 관찰자가 관찰하는) 정지계에서는 관찰자가 운동 입자와 동일한 속도로 움직이기 때문에, 관찰자 입장에서는 운동 입자가 정지하고 있다고 생각한다. 물론 이 상황을 지켜보는 또 다른 제2의 관찰자는 관찰자와 운동 입자가 동시에 움직임을 본다. 다음으로 관찰자의 속도에 따른 로렌츠 힘은 $\bar F$ 혹은 $\bar F'$이다. 두 힘 $\bar F$와 $\bar F'$는 어떤 관계를 가질까? 관찰자의 움직이는 속도가 크지 않은 경우 $\bar F$와 $\bar F'$는 거의 같아야 한다. 또한, 관찰자의 속도에 관계없이 운동량 보존 법칙은 반드시 성립해야 한다. 운동량을 시간에 대해 미분하면 힘이 되므로 관찰자와 하전 입자의 시간이 동일하다면 $\bar F$와 $\bar F'$는 서로 같아야 한다. 그런데, 관찰자의 속도가 높아지기 시작하면 양쪽 시스템의 시간이 약간씩 달라지게 된다. 그래서, 거의 같다는 표현으로 안전하게 쓴다. 또한 전하 보존 법칙에 의해 $q$와 $q'$도 같아야 한다. 예를 들어 두 전하의 차이를 $\Delta q = q - q'$라고 정의한다. 그러면 관찰자의 속도에 따라 $\Delta q$가 새롭게 생겨나게 된다. 관찰자가 움직이는 속도에 따라 전체 시스템의 전하가 줄어들거나 증가한다면, 관찰자는 하전 입자에 어떠한 영향도 끼칠 수 없다는 근본 가정이 깨진다. 따라서 속도가 빠르지 않는 경우는 식 (8)이 성립해야 한다.

                          (8)

식 (6)에 있는 전기장과 자기장은 어떤 값이든 될 수 있으므로 $\bar E = 0$이라 가정한다. 그러면 식 (9)를 얻을 수 있다.

                          (9)

식 (9)는 아주 놀라운 결과라고 생각해야 한다. 자기장은 사실 전기장과 동일함을 식 (9)가 표현하고 있다. 자기장은 특별한 현상이 아니고 관찰자와 하전 입자의 상대 속도에 따라 생기는 전기장의 변형이 자기장이 된다. 이런 개념을 확장해 가면 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)의 특수 상대성 이론(special theory of relativity)[1]에 도달하게 된다.

[그림 4] 자기장 속을 진행하는 하전 입자

식 (6)에 제시한 로렌츠 힘에 의하면 [그림 4]처럼 자기장 속을 진행하는 하전 입자는 직선 운동을 하지 못하고 반드시 원 운동을 해야 한다. 이를 증명하기 위해 로렌츠 힘에 기반한 미분 방정식을 만든다.

                          (10)

식 (10)에서 $\omega_c$는 사이클로트론(cyclotron)에서 생기는 각주파수이다. 초기 조건[$t = 0$]을 $v_x = v_0, v_y = 0$이라 가정하면 속도는 다음과 같다.

                          (11)

초기 위치[$t = 0$]를 원점으로 잡으면 하전 입자의 궤적은 다음 원의 방정식을 만족한다.

                          (12)

식 (11) 혹은 (12)가 표현하는 하전 입자의 회전 방향을 세밀하게 본다. 하전 입자는 전체 자기장을 줄이는 방향으로 회전한다. 이는 전자기 유도 법칙(law of electromagnetic induction)에 들어있는 렌츠의 법칙(Lentz's law)과 정확히 일치한다.

전하 $q$에 작용하는 전자기장이 균일 평면파(uniform plane wave)인 경우, 로렌츠 힘을 구성하는 전자기력은 전기력이나 자기력 중에서 누가 우세할까? 이 질문에 답을 하기 위해 식 (6)을 다음처럼 변형한다.

                          (13)

여기서 $\hat e$와 $\hat h$는 각각 전기장과 자기장 방향의 단위 벡터이다. 하전 입자의 속력 $v$는 진공중의 광속 $c$를 초과할 수 없으므로, 식 (13)에 의해 평면파가 만드는 전기력이 자기력보다 항상 더 크게 하전 입자에 영향을 준다. 이 관계는 TEM(횡전자기, Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음)파를 지지하는 전송선(transmission line)에도 자연스럽게 성립한다. 즉, 전송선에 존재하는 전자기장이 TEM파이면, $\hat k \times \bar E$ = $\eta_0 \bar H$를 만족한다. 그래서 식 (13)에 TEM파의 전자기장 조건을 대입해서 TEM파가 하전 입자에 생성하는 전기력이 자기력보다 항상 큼을 증명할 수 있다. 

[참고문헌]

[1] A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper (On the electrodynamics of moving bodies)," Annalen der Physik, vol. 322, no. 10, pp. 891–921, Sep. 1905.

[다음 읽을거리]
1. 패러데이의 전자기 유도 법칙
2. 최초의 입자가속기 사이클로트론