2013년 4월 6일 토요일

원의 방정식(equation of a circle)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수
2. 미분법의 의미
3. 좌표계 기반 벡터


모든 도형 중에서 가장 완전한 도형은 [그림 1]의 원(圓, circle)이다. 중심(center)에서 거리(반지름: radius)가 같은 모든 점을 모은 원은 모난 각 없이 모든 위치에서 완벽하게 동일한 곡률을 가진다. 유클리드 기하학(幾何學, Euclidean geometry)[1]에 나오는 주요 도형도 직선(直線, straight line)과 원이다.

[그림 1] 원의 모양(출처: wikipedia.org)

원의 정의를 이용해 원의 방정식을 써보면 다음과 같다.

                      (1)

여기서 원의 중심은 $(a, b)$, 반지름은 $r$이다.

[그림 2] 사인과 코사인 함수(출처: wikipedia.org)

원의 방정식을 [그림 2]의 삼각함수(trigonometric function)를 이용해 표현하면 다음과 같다.

                      (2)

여기서 $\phi$는 원을 그리기 위한 매개변수로 0에서 $2\pi$까지 변할 수 있다.


[그림 3] 원의 둘레 길이(출처: wikipedia.org)

원의 둘레 길이인 원주(圓周, circumference) $C$는 적분법(integration)을 이용해 다음처럼 구할 수 있다.

                      (3)

여기서 식 (2)를 고려하면 $x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$이다.

[그림 4] 원의 면적(출처: wikipedia.org)

원의 면적 $A$도 적분법 기반으로 다음처럼 계산할 수 있다.

                      (4)

[그림 5] 양파 껍질의 모양(출처: wikipedia.org)

[그림 6] 양파 껍질 적분법의 원리(출처: wikipedia.org)

양파 껍질 적분법(onion skin integration)을 적용하면 원의 면적은 식 (3)의 원 둘레 길이를 이용해 다음처럼 계산된다.

                      (5)

여기서 생각할 문제가 하나 있다. 인류의 역사와 함께 했던 원의 둘레 길이가 왜 이렇게 쉽게 계산될까? 그건 바로 다음의 라디안(radian) 정의 때문이다.

                        (6)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도이다. 식 (19)의 우변 식이 의미하는 것은 라디안 $\theta$를 360도 기준 $\vartheta$로 바꾸는 식이다. $\theta = \pi$ [rad]을 대입하면 $\vartheta = 180/\pi \cdot \pi$ = 180도를 얻을 수 있다. 또한 식 (6)을 보면 라디안에 원의 둘레 길이 의미가 들어가 있기 때문에 라디안을 이용해 식 (3)처럼 둘레 길이를 계산하는 것은 동어 반복일 수 있다.

[그림 7] 원주율을 고민하는 아르키메데스(출처: wikipedia.org)

그러면 라디안을 쓰지 않고 어떻게 원의 둘레 길이를 계산할까? 아르키메데스(Archimedes)가 제안한 다음 다각형 근사법을 써보자.

[그림 8] 아르키메데스의 다각형 근사법(출처: wikipedia.org)


원에 내접과 외접하는 정$n$각형인 경우 원의 둘레 길이 $C$는 다음 부등식을 만족한다.

                        (7)

여기서 $\phi_{\rm tot}$는 원을 한바퀴 돈 각도인 360도이다. 식 (7)에서 $n$을 무한대로 가면(or $\phi_n \to 0$) 다음으로 표현할 수 있다.

                        (8)

$\phi \to 0$일 때 $\cos \phi \to 1$인 것은 분명하므로 $\sin \phi / \phi$는 어떤 유한한 값으로 수렴해야 한다. (∵ 기하학적으로 원의 둘레 길이가 하나의 값으로 정해지는 것은 확실하다.) 디안은 이 값을 1로 둔 경우이다. 라디안 관점으로 360도는 $\phi_{\rm tot} = 2 \pi$이다. 결과적으로 원주율(圓周率, ratio of circumference) $\pi$는 다음의 관계식을 이용해 구할 수 있다.

                        (9)

여기서 sin, tan값은 정$n$각형에 대한 삼각함수표로 구한다. $n = 4$인 경우는 원주율을 간단히 어림할 수 있다.

                        (10)

$n = 10$이면 $3.0902 < \pi < 3.2492$가 되어 정사각형 경우보다 원주율을 더 정확하게 어림할 수 있다. 즉, $n$이 커질수록 더 정확한 원주율을 구할 수 있다.

식 (1)과 (2)의 원의 방정식을 이용하면 기본 도형인 원의 다양한 성질을 쉽게 증명할 수 있다.

[그림 9] 원의 접선(출처: wikimedia.org)

[원의 접선(tangent to a circle)]
원의 접선은 항상 원에 수직이다.

[증명: 원의 방정식]
중심이 (0, 0)에 있는 원 위의 점 $(x, y)$에서의 접선([그림 9]의 선분 $\overline{CA}$)은 미분법(differentiation)을 이용하면 다음 기울기를 가진다.

                        (11)

중심 $O = (0, 0)$에서 원 위의 점 $(x, y)$로 가는 벡터(vector)를 $\bar P = (x, y)$라 하면 접선 벡터 $\bar T = (1, -x/y)$는 벡터 $\bar P$에 항상 수직이다.

                        (12)
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[동영상: 원의 접선 정리 증명]

[증명: 기하학]
귀류법(歸謬法, contradiction)을 적용하기 위해 [그림 9]의 $\angle OCA$가 수직이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 점 $A$에서 수직이 될 것이다. 이 점 $A$는 원 바깥에 있으므로 $\overline{OC} < \overline{OA}$가 성립한다. 하지만 수직의 정의에 의해 $\overline{OA}$는 점 $O$에서 접선으로 가는 최소 거리여야 한다. 이는 오류이므로 $\angle OCA$는 반드시 수직이어야 한다.
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[그림 10] 탈레스의 정리(출처: wikipedia.org)

[탈레스의 정리(Thales' theorem)]
지름을 이루는 두 점과 원 위의 점이 이루는 삼각형은 직각 삼각형이다.


[증명: 원의 방정식]
중심이 (0, 0), 반지름이 $r$인 원을 고려하자. [그림 10]에서 $\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2$이라 하면 다음이 성립한다.

                        (13)

여기서 $A = (-r, 0)$, $B = (x, y)$, $C = (r, 0)$이다. 식 (13)은 피타고라스의 정리(Pythagorean Theorem)을 의미하므로 $\triangle ABC$는 직각 삼각형이다.
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[증명: 기하학]
증명을 위해 아래 그림을 고려하자.
[그림 11] 탈레스 정리의 증명(출처: wikipedia.org)

원의 특성으로 인해 변의 길이가 같아 $\triangle OAB$, $\triangle OBC$는 이등변 삼각형이다. 삼각형 $\triangle ABC$를 보면 $2 (\alpha + \beta) = 180^\circ$이므로 $\alpha + \beta = 90^\circ$이 된다.
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[그림 12] 바다에서 바라본 수평선(출처: wikipedia.org)

원의 방정식은 우리 머리속에만 있는 것은 아니다. 원과 직선을 포함한 기하학은 우리 주변을 설명하는데 매우 좋은 논리적인 도구이다. 예를 들면 지구가 둥글다는 사실 증명에 원 특성을 사용할 수 있다. 쉽게 말하면 복잡한 과학 관측을 하지 않더라도 단순 기하학적 논증을 통해 지구가 둥글다는 사실을 찾을 수 있다. 둥근 지구는 고대 그리스에서도 잘 알려진 사실이었다. 둥근 지구 증명을 위해 [그림 13]과 같은 수평선 관측 사고 실험을 해보자.

[그림 13] 원 상의 수평선 관측

먼저 수평선 관측을 위해 지표면에 높이 $h$가 되는 탑을 세우자. 우리가 관측하는 수평선은 $(0, y_h)$를 지나 원에 접하는 접선의 접점 $(x_0, y_0)$이다. 탑 높이 $h$에 대한 수평선의 변화를 추적하면 지구 반지름 특성을 대략적으로 예측할 수 있다. 식 (11)을 이용해 다음 결과를 유도하자.

                        (14)

식 (14)에 의해 탑을 높이 쌓을수록 $x_0$가 커지기 때문에 수평선은 더 멀리까지 관측된다. 이는 우리 경험에도 부합하는 상식적인 결과이다. 만약 지구가 평평하다면 이런 결과가 생기지 않을 것이다. (밤하늘의 별을 보면 아주 멀리서 오는 빛도 육안으로 잘 관찰된다.) 따라서 지구가 둥근 구라는 기하학적 가설을 이용해, 높은 곳에서 수평선을 관측할 때 수평선이 더 멀리 보이는 경험적 사실을 잘 설명할 수 있다. 즉 현상의 세심한 관찰과 수학적 논리를 써서 그 속에 숨어있는 과학적 사실을 명쾌히 규명한 것이다.

[참고문헌]

댓글 15개 :

  1. 좋은정보감사합니다 에르키메데스의 근사법으로 원주를 구하는법을 고민하다가 겨우 낸결론이 sin표를 활용하는법이었는데. 확인할방법이없어서 답답했는데 올리신글보고 가슴이 뻥뚫리네요 그런데 아르키메데스시절에 sin값들을 계산할수있었나요??만약당시 싸인값계산이어려웠다면아르키메데스는 96각형을. 일일이 실측했을까요??

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    1. 삼각 함수 개념은 그리스 이전인 이집트와 바빌로니아 시절부터 존재했습니다. 따라서 지금처럼 완벽하지는 않아도 특정 각도에 대한 비율 관계는 알고 있었겠지요.

      또한 기하학의 좋은 점 중의 하나가 그려서 재어보면 알 수 있다는 것입니다. 정성만 기울이면 충분히 특정 각도의 사인값은 얻을 수 있습니다.
      말씀하신 정96각형도 초등적인 방법으로 구할 수 있습니다. 먼저 끼인 각이 30도가 되는 선분을 그린 후 각이 1/2이 되게 계속 작도합니다. 3번만 하면 30/8 = 3.75도가 됩니다. 3.75도란 각은 정96각형의 $\phi_n$이므로 측정을 통해 sin, tan값을 정할 수 있습니다.

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  2. 제가잘몰라서 질문인데요 혹시 degree=phi/180라디안 아닌지요

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    1. 제시하신 공식과는 반대입니다. ${\rm Degree} = \frac{180}{\pi}{\rm Radian}$로 사용해야 합니다. 라디안에 대해서는 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/12/trigonometric-function.html

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    2. 180 Degree = Pi Radian 이니까 1 Degree = Pi/180 Radian

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    3. Radian = 180/Pi Degree 로 쓸려고 한듯.
      단순 실수를 인지 못하는 brain의 blind spot 이랄까? 다들 이런 경험 한번쯤은 해 보죠?

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    4. Angle in degrees = angle in radians * 180 / Pi 라고 써야 혼동을 피할듯.

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    5. 식 (3)을 단위 변환이 아닌 함수 형태로 표시하다 보니 오해될 소지가 컸네요. 본문을 다시 바꾸었습니다, 익명님. ^^

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  3. 안녕하세요. 식 (7)의 부등식은 어떻게 유도 되나요?

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    1. 원에 내접하는 정$n$각형과 외접하는 정$n$각형의 둘레 길이 범위에 원의 둘레 길이가 있다는 뜻입니다. 따라서 원에 [그림 8]처럼 정$n$각형을 그리고 삼각 함수로 둘레 길이를 계산하면 됩니다.

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  4. 마치 잘풀어준 백과사전 같아서 잘보았습니다

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  5. 안녕하세요. 항상 블로그글 잘 보고 있습니다. 감사합니다.
    궁금한게 있어서 글을 남기게 되었습니다.

    식(3)에서 미분소를 dx로 만드셨는데..
    x = rcosϕ 일 때 dx = -rcosϕdϕ 가 되어서 마지막 풀이과정에서 -가 붙어서 원주 C=-2πr이 나오게 되더군요..
    ϕ가 증가할수록 x가 감소하기 때문에 -가 붙는건 당연한 것 같지만
    원주가 -가 되는건 말이 안되기 때문에 곰곰히 생각해보니..
    풀이과정 중간에 루트가 씌어진 부분에서 dx가 튀어나올 때 -가 붙어야 양수가 되기 때문에 -dx로 튀어나와야 하지않나요?
    제가 수학을 너무 못해서 정말 기초적인 부분도 궁금하게 되네요...
    원을 이렇게 적분하는것도 처음보고ㅜㅜ

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    답글
    1. dhdntnpt님, 지적 정말 감사합니다. 으TL
      절대값이 되어야 하는데, 빠졌었네요. 수정했습니다. ^^

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