사이클로이드 미분 방정식(Cycloid Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "사이클로이드 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식

2. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 진자선 혹은 사이클로이드의 생성(출처: wikipedia.org)

바퀴가 굴러갈 때 생기는 바퀴 위의 한 점의 궤적은 [그림 1]처럼 사이클로이드(cycloid) 혹은 진자선(振子線)을 형성한다. 진자의 또 다른 한자인 파(擺)를 써서 진자선은 파선(擺線)이라고도 한다. 어떤 미분 방정식의 해가 사이클로이드로 표현되면, 그 방정식은 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이라 부른다. 사이클로이드 미분 방정식은 다음과 같은 두 종류가 있다.

                  (1)

                  (2)

여기서 $r$은 바퀴의 반지름, $0 < y \le 2r$이다. 식 (1)의 미분 방정식을 풀기 위해 $y$ = $2r \sin^2 \phi$로 치환하여 적분한다.

                  (3)

여기서 $\phi$는 매개변수, $0 < \phi \le \pi / 2$, $dy/dx$는 ($+$)라고 가정, $C$는 적분 상수(constant of integration)이다. 만약 $\pi / 2 < \phi \le \pi$라면, $dy/dx$의 부호를 ($-$)로 택한다. 매개변수 $t$ = $2 \phi$로 다시 치환하고 $t$ = $0$에서 $x$ = $0$이라 두면, 사이클로이드 방정식(equation of a cycloid)은 다음처럼 표현된다.

                  (4)

식 (1)의 해법과 비슷하게 식 (2)의 해도 다음과 같이 유도한다.

                  (5)

따라서 원점에서 시작하는 식 (2)를 위한 사이클로이드 방정식은 다음과 같다.

                  (6)

[그림 2] 두 종류의 사이클로이드

식 (4)와 (6)으로 정의하는 사이클로이드의 궤적은 [그림 2]에 제시되어 있다. 식 (4)는 [그림 1]처럼 바퀴가 굴러갈 때 생기는 사이클로이드이다. 하지만 식 (6)에서 바퀴가 앞으로 굴러갈 때 바퀴 위의 점이 움직이는 회전 방향은 식 (4)와 반대가 된다. 이를 쉽게 이해하기 위해 좌표점 $(x, y)$의 변화를 병진과 회전 운동으로 구분해 생각한다. 병진 및 회전 운동은 각각 $(x_t, y_t)$와 $(x_r,y_r)$ 좌표점이 기여한다. 여기서 $x$ = $x_t+x_r$, $y$ = $y_t+y_r$, $x_t$ = $rt$, $y_t$ = $r$이다. 식 (4)와 (6)에서 $(x_t, y_t)$을 시간 $t$에 대해 미분하면, 두 식이 도출하는 병진 운동은 항상 $+x$방향이며 속력은 $v_x$ = $dx_t/dt$ = $r$, $v_y$ = $dy_t/dt$ = $0$이다. 이번에는 바퀴의 중심점을 따라 회전 운동하는 성분을 구한다. 식 (4)는 $(x_r, y_r)$ = $r \left(\cos (-t-\pi/2), \sin (-t-\pi/2) \right)$로 나와서 $t$에 대해 [그림 1]과 같이 시계 방향으로 회전한다. 반면에 식 (6)이 만드는 회전 좌표쌍은 $(x_r, y_r)$ = $r \left(\cos (t-\pi/2), \sin (t-\pi/2) \right)$이므로, 이 점은 [그림 1]에 나온 바퀴 회전의 반대인 반시계 방향으로 돈다.

[다음 읽을거리]

1. 등시 곡선