등시 곡선(等時曲線, Tautochrone Curve)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "등시 곡선"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 에너지의 개념

2. 아벨의 적분 방정식

3. 사이클로이드 미분 방정식

[그림 1] 등시 곡선의 개념(출처: wikipedia.org)

등시 곡선(等時曲線, tautochrone curve)은 낙하 높이가 다르더라도 밑바닥까지 떨어지는 시간이 항상 같은 경사면의 모양이다[1]. 등시 곡선의 개념은 예전부터 있었지만, 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절에 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)은 등시 곡선을 일반화시키고 관련된 적분 방정식(integral equation)의 해법을 제시했다. 등시 곡선의 영어 표현은 고대 그리스어 타우토크로노스(ταὐτόχρόνος)가 어원이다. 타우토(ταὐτό)는 같은(the same), 크로노스(χρόνος)는 시간(time)이란 뜻이라서, 타우토크로노스는 같은 시간 혹은 등시를 권위 있게 표현한다.

[그림 2] 등시 곡선의 좌표계

[그림 2]에 있는 등시 곡선[빨간색 선]을 유도하기 위한 미분 방정식은 역학적 에너지의 보존(conservation of mechanical energy)으로 쉽게 도출한다.

                  (1)

여기서 $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 식 (1)에서 속력 $v$는 곡선의 길이 $s$의 시간 변화율[= $ds/dt$]이라서, 등시 곡선의 미분 방정식은 다음처럼 표현된다.

                  (2)

여기서 $s(y)$는 원점에서 현재 지점까지 잰 곡선의 길이, 시간 $t$가 증가할 때 $s(y)$는 줄어들어서 $ds/dt$의 부호는 (-)를 택한다. 그 다음에 식 (2)를 적분해서 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)을 만든다.

                  (3)

여기서 $T(y_0)$는 높이 $y_0$에서 떨어뜨린 물체가 등시 곡선을 따라 원점에 도착하기까지 걸린 시간이다. 아벨이 제안한 방법으로 $y$에 대한 곡선 길이 $s(y)$의 변화율을 얻는다.

                  (4)

여기서 등시 조건에 의해 항상 $T(y_0)$ = $T_0$이다. 따라서 곡선을 구성하는 좌표점 $(x, y)$는 다음 관계가 성립한다.

                  (5)

여기서 $y_{\max}$ = $2 g T_0^2 / \pi^2$, [그림 2]에 있는 곡선의 궤적에 따라 $dx/dy$의 부호는 (+)이다. 식 (5)의 마지막 결과는 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이다. 그래서 매개변수 $t$를 이용해서 좌표점 $(x, y)$의 궤적을 다음처럼 공식화한다.

                  (6)

식 (6)이 표현하는 사이클로이드(cycloid)의 궤적은 [그림 1]처럼 그려진다.

[참고문헌]

[1] B. V. Khvedelidze, "Abel problem," Encyclopedia of Mathematics, 2011.