2011년 9월 9일 금요일

에너지(energy)의 개념


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에너지의 개념"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 적분법의 의미
3. 뉴튼의 운동 법칙


[일의 의미]

물리학에 사용하는 에너지(energy)뉴튼이 제안한 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 아래처럼 정의한다.

                       (1)

여기서 $W_{BA}$는 A지점을 기준으로 측정한 B지점의 에너지이며 A, B지점의 에너지는 $U_A, U_B$로 표현한다. 식 (1)에 정의한 에너지의 단위는 [J: 줄(Joule)]이다.
식 (1)을 이용하면 에너지를 쉽게 정의할 수 있다. 힘($\bar F$)이 있는 상황에서 어떤 물체를 A지점에서 B지점으로 움직이기 위해($d\bar l$) 필요한 일($W_{BA}$)이 에너지이다.
에너지를 수학적으로 표현하면 힘 $\bar F$와 위치 변화 $d \bar l$의 내적(inner product)을 선적분(line integral)한 것이다. 이 정의는 어렵기 때문에 쉽게 에너지를 이해하려면 에너지와 일(work)의 개념을 구분할 필요가 있다. 힘이 작용하는 방향(식 (1)에서  $\bar F$의 방향)으로 움직이면(or  $\bar F$와 $d \bar l$의 방향이 동일하면) "일을 한다"고 한다. 예를 들어 언덕에서 돌을 굴리면 중력(gravity)이 작용하는 방향으로 돌이 굴러가므로 일을 한다는 의미이다. 에너지라는 개념은 일이 생기는 원인을 설명하기 위한 것이다. 그래서, $U_A, U_B$와 같은 에너지를 포텐셜 에너지(potential energy)라 한다. 일이 생긴다는 것은 포텐셜 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직였다는 것이다. 이것은 직관적으로 생각해도 의미있는 정의이다.

식 (1)에 들어있는 힘(force) $\bar F$가 운동과 관련되면 식 (1)의 에너지는 운동 에너지(kinetic energy)와 관련된다. 식 (2)에 있는 힘의 정의로부터 에너지 관계식을 유도해보자.

                       (2)

                       (3)

여기서 $d(m \bar v) = dm \bar v + m d \bar v$, $d(\bar v \cdot \bar v) = 2 \bar v \cdot d \bar v$, $dm$의 속도는 0이라 가정했다. $dm$이 [그림 1]처럼 속도 $\bar u$를 가지면 식 (3)은 달라져야 한다.

[그림 1] 질량 증가의 일반적 모형화(출처: wikipedia.org) 

[그림 1]에 대한 운동량 변화를 고려하면 식 (3)은 다음처럼 바뀌어야 한다.

                       (4)

 식 (4)에 의해 에너지가 변화되기 위한 두 가지 조건을 이해할 수 있다. 바로 질량의 변화나 속도의 변화가 있어야 한다는 것이다. 위치가 바뀌더라도 질량이 변하는 경우는 드물기 때문에 질량은 상수($dm = 0$)라 두고 식 (4)를 간략화하자.

                       (5)

식 (5)의 좌변에 있는 에너지 관계식을 이용해 운동 에너지 $E_k$를 정의할 수 있다. 운동 에너지는 운동체가 가진 에너지이다. 식 (1)과 (5)를 연립하면 새로운 보존 법칙을 하나 만들 수 있다.

                       (6)

식 (6)은 에너지 보존 법칙(conservation of energy)이라 한다. 식 (6)을 좀더 보면 포텐셜 에너지 $U$와 운동 에너지 $E_k$의 합인 전체 에너지(total energy)는 항상 일정하다.

에너지와 유사하면서도 실무에서 많이 사용하는 개념은 일률(일率, power) $P$이다. 일률은 일의 시간미분이다.

                       (7)

에너지가 지금까지 쌓은 일의 총합이라면 일률은 현재 시점에서 소비되는 에너지 혹은 행해지는 일(or 일의 기울기)이다. 그래서, 일률을 보면 현재 소비되는 일의 특성을 알 수 있다.
일률 정의를 식 (1)에 대입하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

                       (8)

                       (9)

에너지는 물리적인 높이와 관계있으므로 [그림 2]와 같이 공을 이용하여 높이 재는 방법을 고려해 에너지 개념을 이해하자.

[그림 2] 공을 이용하여 높이 재기

우리가 높이($h = B - A$)를 재려면 두 지점(A와 B)을 관측해야 한다. 빨간색 화살표는 중력(重力, gravity)이 작용하는 방향과 반대방향(벡터 $\hat a$의 반대방향)으로 높이를 재는 것을 보여준다. 초록색 화살표는 중력 방향(벡터 $\hat a$)으로 높이를 재는 것이다.
중력 방향으로 움직이려면 공을 떨어뜨리면 되고 중력 반대방향은 공을 던지면 된다.
높이를 재는 것은 사실 포텐셜 에너지 혹은 위치 에너지(potential energy)를 재는 것이므로 힘(여기서는 중력)이 작용하는 방향을 고려하여 선적분을 정의해야 한다.
빨간색 화살표부터 보자. 공을 던져서 높이를 잰다는 것은 중력의 반대방향(- 부호)으로 높이를 재는 것이다. 그러면 높이를 구하기 위한 최종결과식은 끝점(공이 올라간 위치, $z = B$) - 시작점(공을 던진 위치, $z = A$)이 되어야 한다.
다음으로 초록색 화살표를 고려하자. 중력 방향(+ 부호)으로 재기 때문에 최종높이는 시작점(공을 놓은 위치, $z = B$) - 끝점(공이 떨어진 위치, $z = A$)이 된다.
더 쉽게 설명하면 공을 던질 때(작용하는 힘과 반대방향, - 부호) 높이를 어떻게 재는가? 당연히 낮은 높이(시작점)에서 높은 높이(끝점)로 가기 때문에 끝점 - 시작점로 정의해야 한다.
공을 떨어뜨릴 때(작용하는 힘과 같은 방향, + 부호)는 높은 높이(시작점)에서 낮은 높이(끝점)로 가기 때문에 시작점 - 끝점으로 정의해야 한다.
즉, 높이를 잴 때 작용하는 힘의 방향에 따라 시작점과 끝점을 어떻게 빼주어야(끝점-시작점 or 시작점-끝점) 적절한 높이가 되는지가 결정된다.
이 개념을 에너지에 적용한 것이 식 (10)이다.

                           (10)

높이와 관계된 에너지를 재려면 A에서 B로 혹은 B에서 A로 선적분을 할 수 있다. 선적분 경로에 따라 에너지 정의 부호는 (+) 혹은 (-)로 정확히 집어넣어야 한다.
에너지 정의에 (-)가 있으면 힘이 작용하는 방향과 반대방향([그림 2]의 빨간색 화살표)으로 물리적인 높이를 쟀다는 것이다. (or A지점에서 공을 위로 던져 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야한다.) (+) 부호가 있으면 힘의 방향과 동일한 방향([그림 2]의 초록색 화살표)으로 물리적인 높이를 정의한 것이다. (or B지점에서 공을 떨어뜨려 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야한다.)
변위에 대한 미분소($d \bar l$)를 포함한 에너지의 원래 정의식인 식 (1)을 힘에 대한 미분소($d \bar F$)로 약간 비틀 수도 있다. 내적의 미분 공식을 이용하면 식 (11)처럼 표현할 수 있다.

                             (11)

식 (1)과 (11)을 고려해 변위에 대한 미분소($d \bar l$)와 힘에 대한 미분소($d \bar F$)의 정의를 비교하면 (-)부호만큼 차이가 나는 것을 볼 수 있다. 에너지 정의는 어떤 방식으로든 할 수 있지만 에너지의 기본 정의는 식 (1)인 것을 꼭 기억하자.

우리가 파동(wave)을 고려한다면 식 (3)은 바뀌어야 한다. 파동의 속도는 일정하기 때문에 식 (1)의 에너지 적분에서 속도를 상수로 생각할 수 있다. 예를 들어 줄의 파동 속도전자파의 속도는 매질의 특성에만 관계된다. 따라서 파동의 에너지는 다음 관계가 성립해야 한다.

                           (12)

댓글 8개 :

  1. (3)에서 마지막 등호에 S [d(mv)*v] = S [v^2dm+....] 를 이해 못하겠어요,,
    그리고 선적분이 뭔가요? 그냥 시간에서 변위로 이미 치환된 적분인가요?

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    1. 본문에 내용을 조금 추가했습니다. 다시 확인해보세요.

      선적분은 선을 따라 하는 적분입니다. 선적분 중에서 직선을 따라가는 적분이 보통 말하는 정적분입니다. 하지만 곡선이 되면 복잡해져 보통 매개변수를 써서 적분을 바꾸어줍니다.
      식 (3)에서는 변위를 따라가야 하므로 변위에 대해 적분한 것입니다. 필요하면 시간을 매개변수로 해서 적분을 바꿀 수는 있습니다.

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  2. 답변 감사합니다 매번 여기서 도움받고 가네요

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  3. 이렇게 적분 형태로 구해지는 양(질량 같은)을 볼 때에 드는 바보같은 의문이 있는데요, W=integral F dot dl을 관계를 바꿔서 W= integral L dot dF와 같은 식으로 바꿔서 구할 수는 없을까요?

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    1. 기본 정의를 수정해서 다양하게 표현할 수는 있습니다. 본문을 수정한 식 (11)을 참고하세요.

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    2. 아...직사각형 영역에서 빼 주면 결국 같은 양이 나오는 걸로 해석할 수 있겠네요. 부분적분을 하면 되는 거였는데 ㅠㅠ

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    3. 과제 아이디어 찾다 남깁니다!
      현재 식 (11)이 없어지고, 삼각형 안에 느낌표가 하나 있습니다!

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    4. 익명님, 지적 감사합니다. 수식에 문제가 있었네요. ^^

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