2012년 6월 29일 금요일

균일 평면파의 의미(uniform plane wave)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "균일 평면파"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.


초등 전자기학을 배울 때 처음 만나는 전자파 공식은 [그림 1]과 [그림 2]에 있는 균일 평면파(uniform plane wave)이다. 균일 평면파는 물리적으로는 말이 안되지만 파면(波面, wavefront: 파동함수가 동일한 값을 가진 면)이 평면(平面, plane)이기 때문에 쉬워서 가장 처음 배우게 된다. 파면이 평면이라는 뜻은 해당 평면에서 전자기파의 위상이 동위상이라는 뜻이다. 평면파는 평면에서 위상이 항상 같기 때문에 [그림 1]과 [그림 2]처럼 위상을 표현하는 무한 평면이 전자기파 진행 방향으로 움직여야 한다.

[그림 1] 균일 평면파의 파면(출처: wikipedia.org)

Plane wave traveling in the x-direction
Illustration of a Plane wave
[그림 2] 균일 평면파의 진행모습(출처: wikipedia.org)

하지만, 착각하면 안된다. 평면파는 파면이 평면이므로 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)이 무한 평면에 걸쳐 존재하므로 포인팅 정리(Poynting's theorem)에 의해 평면파가 실어나르는 평균 전력이 무한대가 된다. 하지만 평균 전력이 무한대인 이런 일은 물리계에서 발생할 수 없으므로 평면파는 실제로 존재하는 것이 아닌 머릿속에만 있는 이상적인 파동이 된다.
그러면 존재하지도 않는 것을 왜 배우는가? 첫째 이유는 평면파가 다른 어떤 파동보다 단순하여 쉽기 때문이다. 둘째 이유는 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 이용하면 임의의 파동을 평면파의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.

평면파를 이해하려면 그 공식을 한 번 유도해 보는 것이 가장 쉬운 방법이다.
우리의 시작점은 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이다. 편하게 생각하기 위해 공간에 원천(source)은 없다고 가정하고 전기장의 파동 방정식(wave equation)을 유도하면 다음과 같다.

                         (1)

식 (1)에 페이저(phasor)를 적용하면 시간 변화가 주파수로 바뀐 페이저 기반 파동 방정식을 얻을 수 있다.

                         (2)

여기서 파수(wavenumber)와 라플라시안(Laplacian)은 다음처럼 정의한다.

                          (3)

                         (4)

다음으로 $x, y$축으로는 변화가 없고($\partial f/\partial x$ = $\partial f/\partial y$ = 0) 오직 $z$축으로만 변한다고 생각하자. 그러면 식 (2)에서 3차원으로 표현된 파동 방정식을 1차원으로 단순하게 생각할 수 있다.

                         (5)

자 그러면 미분 방정식(differential equation) (5)를 어떻게 풀 것인가? 미분해도 자기 자신이 되는 지수 함수(exponential function)를 식 (5)에 대입하면 식 (5)가 쉽게 풀린다.

                         (6)

식 (6)에서 미지수인 $k_z$를 미분 방정식에 집어넣어 $k_z = \pm k$로 결정했다. 재미있는 것은 답이 $\pm k$로서 두 개라는 것이다. $+k$는 $+z$축으로 진행하는 파동, $-k$는 $-z$축으로 진행하는 파동이다. $k_z$의 부호가 $z$축으로 진행하는 방향이 되는 것은 시간 약속을 $\exp(-i \omega t)$로 했기 때문이다.
또한, $z$가 일정할 때 생기는 파면이 무한 평면이므로 식 (6)은 균일 평면파가 된다.
그런데, 식 (5)를 풀 때 식 (6)처럼 답을 가정해서 풀었다. 이것은 정당한가? 물론 정당하며 맞는 접근법이다. 식 (5)는 상미분 방정식(ordinary differential equation)이기 때문에 미분 방정식의 존재성과 유일성(existence and uniqueness)이 존재해서 어떻게 풀더라도 답은 같다. 혹은 맥스웰 방정식의 유일성 정리(uniqueness theorem)에 의해 어떤 방법으로 풀더라도 답은 같다.

식 (6)의 접근법을 더 확장하면 3차원에 대한 평면파 방정식도 다음처럼 쉽게 얻을 수 있다.

                         (7)

식 (7)의 최종 결과는 매우 재미있다. 최종 결과가 구면(spherical surface)의 방정식이므로 파수를 구면 관점으로 생각해보자.

[그림 3] 구의 표면(출처: wikipedia.org)

파수 $k_x, k_y, k_z$가 구면의 방정식을 만족하므로 가능한 해는 반지름이 $k$인 구면에 있기만 하면 된다. 구면은 모든 방향을 향하고 있으므로 전자파는 모든 방향으로 복사될 수 있다.

[그림 1]에 있는 파면(波面, wavefront)에 기준값 개념을 적용하면 식 (7)의 전기장의 진행방향을 예측할 수 있다. 쉽게 이해하기 위해 [그림 4]를 보자.


[그림 4] 파동의 움직임(출처: wikipedia.org)

우리가 눈으로 특정한 파면(예를 들면 꼭대기나 골짜기 등)을 추적해서 움직임을 이해하기 때문에 파동이 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이는 것을 느낄 수 있다.
예를 들어 다음과 같은 파동 함수(wave function)를 생각하자.

             (8)

파면 위상의 기준값을 0이라 하면 $t = 0$일 때 $\Phi = kr - \omega t$ = $k_x x_0 + k_y y_0 + k_z z_0$ = 0을 만족해야 한다. $t = \Delta t$가 되면 기준값 $\Phi = 0$을 만족하기 위해 $k_x x_1 + k_y y_1 + k_z z_1$ = $\omega \Delta t$가 되어야 한다. 이 두 관계식을 빼면 다음 방정식을 얻는다.

                         (9)

여기서 $\bar k$는 파수 벡터(wavenumber vector: 전자파가 진행하는 위상을 표현하는 벡터)이다. 식 (9)의 좌변이 0보다 크려면 벡터 $\bar r_1 - \bar r_0$는 벡터 $\bar k$ 방향과 동일한 성분을 반드시 가져야 한다. (∵ 내적(inner product)의 특성을 생각하라.)
즉, $\bar r_1 = (x_1, y_1, z_1)$은 $\bar r_0 = (x_0, y_0, z_0)$로부터 $\bar k = (k_x, k_y, k_z)$ 방향으로 진행한 형태가 된다. 이 개념이 헷갈리면 3차원 공간의 평면 방정식을 다시 고민해 보라.
이런 특성으로 인해 평면파는 벡터 $\bar k$ 방향으로 진행하며 파면은 무한 평면이 된다. 그래서, 전자파의 공간적 진행을 연구하는 사람들은 $\exp(-i \omega t)$ 시간 약속을 주로 사용한다.

3차원 평면파를 미분 관점으로 보면 재미있는 관계를 얻을 수 있다. 먼저 평면파를 $x, y, z$에 대해 미분해보자.

                         (10)

식 (10)을 페이저 관점으로 접근하면 미분 연산자 나블라(nabla: $\bar \nabla$)를 벡터로 치환할 수 있다.

                         (11)

그러면 평면파인 경우 미분 방정식인 맥스웰 방정식은 아래처럼 단순한 벡터 방정식이 된다.

                         (12)

식 (12)는 평면파의 성질을 아주 쉽게 증명할 수 있게 해준다.

[그림 5] 평면파의 진행 모습(출처: wikipedia.org)

파수 벡터와 전기장의 내적이 0이므로 파수 벡터와 전기장은 서로 수직이다. 또한, 식 (9)에서 파수 벡터의 방향이 전자파가 진행하는 방향이므로 [그림 5]처럼 전기장([그림 5]의 빨간선)은 진행방향에 반드시 수직이다. 자기장([그림 5]의 파란선)도 전기장과 동일한 성질이 성립한다.
식 (12)의 둘째식과 네째식에서 다음도 유도할 수 있다.

                         (13)

여기서 $\eta$는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다.

[그림 6] 허공(출처: wikipedia.org)

식 (13)이 의미하는 것은 전기장과 자기장의 비율이 고유 임피던스 $\eta$로 일정하다는 것이다. 진공 중에서 계산하면 고유 임피던스는 약 377 [Ω] (고상하게 $120 \pi$로 표현하기도 하지만 이것도 근사이다.)정도가 된다. 하지만 착각하지 말자.  전기장과 자기장의 비율 단위가 저항이라 해서 공간에 저항이 존재하는 것은 아니다. 허공을 바라보자. 아무것도 없다. 다시 말해 전기장과 자기장의 비율은 평면파인 경우 상수인 고유 임피던스가 된다.
식 (12)에서 또 볼 수 있는 것은 전기장, 자기장, 진행 방향(포인팅 벡터(Poynting vector) 방향)이 서로 수직이라는 것이다. 따라서, 전기장과 자기장의 크기와 방향이 벡터 관점에서 서로 종속이다.

Illustration of a Spherical wave
[그림 7] 구면파의 진행모습(출처: wikipedia.org)

실제로 현실에 존재하는 파동은 [그림 5]의 평면파가 아닌 [그림 7]의 구면파(spherical wave)이다. (∵ 3차원 그린 함수(Green's function)를 풀어보면 쉽게 알 수 있다.) 관측점(observation point)이 구면파가 발생한 원천점(source point)에서 매우 멀면(or 원역장(far field) 조건이면) 이 파동은 평면파로 근사할 수 있다. 예를 들면 [그림 8]처럼 태양에서 발생한 빛이 지구에 오면 이 빛은 평면파로 간주할 수 있다.

[그림 8] 태양에서 오는 빛(출처: wikipedia.org)

구면파가 멀어지면 평면파로 근사가능한 이유는 아래 식을 보면 쉽게 알 수 있다.

                     (14)

여기서 $r_0$는 첫번째 관측점 거리, $r_1$은 두번째 관측점 거리, 원천점은 (0, 0, 0)에 있다고 가정했다. 식 (14)를 이용해 구면파를 평면파로 근사화하면 다음과 같다.

                         (15)

식 (15)에서 모는 $r_0$로 근사화하고 지수함수 부분은 남겨둔 이유가 무엇일까? 사실 원점에서 매우 멀어지면 $r_0$나 $r_1$은 서로 유사하다. 하지만 지수 함수 부분은 위상(phase)에 해당되므로 얼마나 값이 큰가가 중요한 것이 아니라 360도 범위 내에서 얼만큼 변했는가가 중요하다. 그래서, 위상을 근사화할 때는 반드시 식 (14)를 이용해야 한다.

이론적으로 균일 평면파를 만드는 방법은 두 가지이다. 먼저 식 (15)처럼 점원천(point source)을 무한대에 두고 측정하면 평면파가 된다. 즉, 특정 평면에 대해 점원천이 만드는 전자파의 위상을 재면 평면으로 측정된다. 하지만, 원천이 무한대에 있기 때문에 전자기파의 크기는 $1/r$ 비율로 떨어진다. 따라서 점원천이 무한대에 있으면 관측점 전자기장이 0이 되므로 관측이 되려면 이 점원천의 크기가 무한대로 발산해야 한다. (∵ $r$이 무한대로 갈 때 $A \times 1/r$이 유한한 값이 되려면 $A$는 무한대로 가야 한다.)
예를 들면 태양에서 지구로 오는 빛은 근사적인 평면파이지만 지구에서 무한히 떨어져 있고 무한대의 에너지를 가진 별이 쏘는 빛은 지구에서 이상적인 진짜 평면파가 된다. 물론 이런 빛은 현실에서 존재할 수 없다.
평면파를 만드는 또 한 가지 방법은 전류(electric current) 혹은 자류(magnetic current)를 무한 평면에 무한히 배치하는 것이다. 이것은 식 (16)에 있는 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)로 쉽게 증명할 수 있다.

                        (16)

여기서 $\hat n$은 $\bar E_2$, $\bar H_2$가 정의된 영역에 수직으로 들어오는 단위 벡터(or 닫힌 영역에 대한 법선 벡터(normal vector: 기준 방향은 닫힌 영역을 뚫고 나가는 방향)의 반대 방향)이다.
식 (16)에서 $\bar E_2, \bar H_2$를 평면파라고 하면 그 원천은 전자기장 $\bar E_2, \bar H_2$처럼 무한 평면에 동위상으로 혹은 주기적 위상으로 존재하는 전류 혹은 자류여야 한다.

[다음 읽을거리]
1. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법

댓글 61개 :

  1. 유익한 정보 감사드립니다.
    많은 도움되었네요^^

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  2. 정말 고맙습니다.^^

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    1. 방문 감사합니다. ^^ 자주 놀러오세요.

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  3. 위의 블로그 내용을 잘 읽었습니다.
    아래와 같은 질문의 드리고 싶습니다.
    1. 균일 평면파를 '눈'으로 본다면 어떻게 보일까요?
    2. 지구에 도달하는 태양광을 평면파로 근사할 수 있다고 하셨습니다. 지구에서 태양의 각크기는 0.5도인데, 이것을 평면파라고 간주할 수 있을까요?

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  4. 아참, 위 질문의 1번 질문은
    균일 평면파 '소스를' 본다면 그 모양이 어떻게 보일까요?
    가 더 정확한 내용이 되겠습니다.

    감사합니다.

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    1. 태양빛이 근사적으로 평면파입니다. 태양을 보는 것이 평면파를 보는 것입니다.

      또한 균일 평면파를 만드는 원천은 크게 두 가지입니다.

      1. 무한대에 있는 원천
      식 (15)에 증명한 대로 무한대에서 오는 전자파는 항상 평면파가 됩니다. 다만 무한대에서 오면 파동의 크기는 0이 되므로 무한대에 있는 원천의 여기값도 무한대가 되어야 합니다. 따라서 이론적으로 지구에서 보는 태양의 관측각이 0이 되어야 평면파가 됩니다. 태양은 무한대의 에너지를 발산해야 하고요.

      2. 유한범위에 있는 무한평면 원천
      원천이 유한한 거리에 있다면 원천은 무한평면에 위치해야 평면파가 됩니다.

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    2. 빠른 답변 감사드립니다.

      1. 더하고 덜함을 수치적으로 어떻게 나타낼 수 있을지 모르겠지만,
      별 빛이 태양빛보다 평면파에 더 가까운 것 아닌가요?
      위 명제가 맞다면, 태양빛이 별빛보다 덜 평면파인 까닭은 어디에 있을까요?

      2.전파거북이님의 답변 2.에서 말씀하신, 무한평면 원천(혹은 근사된 무한평면 원천)은 어떻게 만들 수 있을까요? 무한 면광원을 말씀하시는 건가요?

      3. "이상적인 평면파는 (움직이지 않는) 점광원으로 보인다."는 맞는 말인지요?

      제가 '익명'으로 밖에 댓글을 달 수 없어서 죄송합니다만,
      직접 연락할 방법이 있을까요?

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    3. 1. 맞습니다. 태양보다 별이 지구에서 더 멀기 때문에 별이 평면파에 더 가깝습니다.
      평면파의 원래 정의는 파면이 평면이라 그렇습니다. 멀면 멀수록 파면이 평면에 가까워집니다.

      2. 동일한 위상을 가진 원천을 평면에 무한히 배치하면 됩니다. 하지만 현실적으로는 존재할 수 없습니다.

      3. 점광원은 [그림 7]처럼 구면파를 형성합니다. 점광원인 경우는 반드시 원천이 무한대에 존재해야 식 (15)에 의해 평면파가 됩니다.

      혹시 연락하시려면 iGhebook@gmail.com으로 연락주세요.

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  5. 거북님의 블고그 항상 잘보고있습니다. 몇가지 여쭤보고 싶은게 있는데요 첫째는 평행파와 평면파는 같은개념이라고봐도 무방할련지요 또한 이 평면혹은 평행파가 free space를 지나갈때 손실되는전력은 어떻게되는지 궁금합니다

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    1. 1. 평행파는 저에게는 생소한 개념입니다. '평행파'라는 말은 처음 듣습니다.

      2. 자유공간을 지날 때 손실은 없습니다. 자유공간이라는 말 자체가 진공이므로 무손실이라 보면 됩니다.

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    2. 답변 감사합니다. 그렇다면 진행파의 파형이 구형파가 되면 fspl(free space path loss)를 생각해줘야되는건지..개념이 잡히질않네요 ㅠ

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    3. 자유공간 경로손실(free-space path loss)도 실제로는 손실이 아닙니다. 안테나가 복사하는 전력이 일정하면 자유공간에 전달되는 전력도 손실되지 않습니다.
      하지만 전자파가 퍼져가기 때문에 표면적을 고려하면 구면파 경우 1/r^2로 전력밀도는 줄어듭니다. 원통파는 1/r로 줄어듭니다. 하지만 전력밀도에 면적을 곱하면 복사전력은 일정합니다.

      이런 관점으로 프리스 전력전송 공식(Friis power transmission formula)에 나오는 자유공간 경로손실을 보면 됩니다. 즉, 자유공간 경로손실은 전력밀도가 줄어드는 비율입니다. 전력은 고정입니다.

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  6. 안녕하세요.
    전파공학을 공부하는 학생인데요. 완벽한 평면파가 존재할 수 없는 이유를 포인팅이론으로 설명해 주셨는데 잘 이해가 안되네요. 자세히 설명해 주실 수 있나요?

    저는 무한평면에 걸쳐 존재한다한 부분이 이해가 안되는데 파면이 왜 무한평면이 되는건지 잘 모르겠습니다.

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    1. 파면이 무한평면이라서 그렇습니다. 그러면 무한평면에 전기장과 자기장이 모두 존재해야 하고 전기장과 자기장의 에너지는 무한대로 갑니다. 그래서 존재할 수 없습니다.

      파면이 무한평면인 이유는 평면파를 식 (10)처럼 쓰기 때문입니다. 동일한 위상이 존재하는 파면을 추적해 보면 평면이 나옵니다.

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  7. 평소에 궁금한게 있으면 여기서 해결을 했었는데
    변압기에 대해서 찾다가 관련 자료가 없는것 같아서 이렇게 글을 적습니다.
    실제 변압기에 대해서 설명좀 해주실수있는지...
    이상적인 변압기에서 손실을 더한것이 실제 변압기인것은 알겠는데
    그에 대해서 자세한 것을 알고싶습니다..ㅜ.ㅜ

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    1. 아직 변압기에 대해서는 글을 쓰지 못했습니다.
      사실 변압기라는 것은 상호 인덕턴스(mutual inductance)이기 때문에 "상호 인덕턴스"를 공부하시면 변압기의 이론적 기반을 쌓을 수 있습니다.
      기초적인 논의는 아래에 소개되어 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/energy-of-magnetic-field.html

      실제로 해석하려면 상호 인덕턴스는 복잡하기 때문에 자기회로(magnetic circuit) 관점을 도입해야 합니다.

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  8. 1. 식(16)에서 단위 vector n^은 무엇을 나타낸건가요?
    1-1. 처음에는 평면의 방향을 나타내는 단위 vector이겠지 했는데, 읽어보니, vector E_2와 Vector H_2가 평면 vector라 하니, 아닌듯 하구요.
    1-2. 단순히 평면에 흐르는 전류의 방향을 나태내기 위핸 건가요? 아니면, 위 식(11)에서 파수vector와 라블라의 관계 처럼 단위 vector n도 라블라와 관계가 있나요?

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    답글
    1. $\hat n$은 내가 생각하는 닫힌 영역에 들어오는 단위 벡터입니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/surface-equivalence-principle.html

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    2. 감사드립니다. 좀더 보고 문의 드리겠습니다.

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  9. 안녕하십니까 전자공학을 하는 학생입니다^^ 이 게시글을 보며 많은 공부가 되었구요 정말 감사합니다^^
    궁금한 점이 하나 있어서 여쭙겠는데요. 고유 임피던스 120파이 옴이 전기장과 자기장의 비율이라고 하셨는데요. unifrom plane wave 에서 uniform의 의미가 같은 순간에 매그니튜드와 페이즈가 같기 때문이라고 알고 있는데... 전기장이 자기장보다 120파이배라고 한다면, 매그니튜드가 같지 않게 되는것 아닌가요? 제가 무엇을 잘못 이해하고 있는지 모르겠습니다 .ㅠ

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  10. 방문 감사합니다, 익명님. ^^
    균일 평면파는 파면이 평면이면서 위상이 균일한 파동입니다. 전기장과 자기장의 크기가 같다는 뜻이 아닙니다.

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  11. 안녕하세요 공부하다가 우연찮게 여기까지 왔는데 정말 많은 도움 받고갑니다. 그러면서 이렇게 꼼꼼히 올리시고 답해주시는 모습보며 감사하구요...
    페르미 준위와 페르미 디랙 분포함수에 관해 포스팅 할 생각은 없으신가요?
    궁금하네요..
    좋은하루 되시길^^

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    답글
    1. 김평한님, 방문 감사합니다. ^^
      시간되면 통계 역학도 정리할 계획은 가지고 있습니다. 언제가 될지는 모르지만요.

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  12. 처음에 maxwell을 쓰실때 편하게 하기위해 source를 없다고 가정하셨는데 좀더 자세한 이유를 알 수 있을까요??

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    1. 전자파 원천을 고려하면 공식화가 매우 복잡해집니다. 안테나만 보더라도 다이폴 안테나를 정확히 푸는게 쉽지 않습니다.
      그래서, 단순화하기 위해 일단 전자파는 다른 곳에서 발생되어 진행하고 있다고 가정합니다. 전자파 원천에서 아주 멀어지면 평면파로 가정하더라도 큰 무리는 없습니다.

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  13. 기본적인 질문일수도 있는데 평면파의 진폭이 왜 1/r이 되는지 이해가 되질 않습니다. 원천이 무한대에 있기 때문에 전자기파의 크기가 1/r의 비율로 감소하는 이유가 무엇인지요.........

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    답글
    1. 평면파는 진폭이 감소하지않고 일정하게 유지한다고 알고 있는데 혼란스럽습니다.

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    2. 평면파는 거리에 대한 진폭이 일정한 것이 맞습니다.

      식 (14)와 (15)에서는, 점전원에서 나온 전자파가 평면파로 근사화되는 과정을 보여주고 있을 뿐입니다.

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  14. 9번식에서 파수 벡터와 위치벡터의 차의 내적이 양이 되려면 파수벡터와 평행이어야 된다고 적어 놓으셨는데요.
    같은 방향이 아니더라도 벡터가 90도이상 차이나지 않으면 양이 되는거아닌가요!?

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    답글
    1. 정확한 지적입니다, Seung-uk님. 본문이 모호하게 써있어 약간 수정했습니다.

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  15. 안녕하세요. 전파거북이님.
    학부수준의 물리를 공부하는 늦깍이 학생입니다.
    사실 위의 글은 제수준에서는 좀 많이 어렵구요..ㅜㅜ
    영 물리학 같은 개론서 보면 구면파만 설명되어있고 에너지가 거리제곱에 반비례 한다는 것 까지만 나와있는데
    평면파는 이상기체처럼 가상적인 개념이라고 이해하면 되는건가요?
    마치 기체를 점질량으로 해석해서 에너지 손실이 없듯이
    파가 손실없이 직선으로만 나가니까 에너지 손실이 없다고 생각하면 될까요?

    제가 학부전공이 국문학이라 용어들이 좀 엉터리 일테니 많은 양해 부탁드립니다.ㅜ
    질문의 뜻이 전달이 되었기를 빌며 질문드립니다.^-^

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    답글
    1. 반갑습니다, 살구님. ^^ 계속 열공하시길...

      1. 평면파는 가상적인 개념이 맞습니다. 또한, 평면파는 전자파 전파 특성 이해에 아주 유용한 도구이기도 하고요.

      2. 평면파가 가상인 것은 [그림 2]처럼 에너지가 존재하는 파면이 무한 평면이기 때문입니다. 그래서, 평면파의 에너지(or 전력)는 무한대입니다.

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  16. 안녕하세요. 좋은글 잘 보고 갑니다.^^
    Uniform plane wave에서는 위의 포스팅으로 잘 이해가 갔는데 이보다 상위 개념인 Plane wave와 TEM wave의 차이점이 잘 이해가 되지 않네요.
    제가 이해하기로는 TEM wave는 E field와 H field가 서로 수직이면서 동시에 진행방향과 수직인 것이고 Plane wave는 Soure에서 멀리 떨어진 부분에서 동위상인 부분이 plane이라고 알고 있습니다.
    그런데, TEM wave가 Plane wave를 포함한다고 들었습니다. 즉, TEM wave의 종류중 하나가 Plane wave라는 말인데, 이 부분이 잘 이해가 되지 않습니다.
    혹시 가능하시면 이 둘의 차이점을 설명해 주실 수 있으신가요?

    항상 좋은글 잘 보고 있습니다. 감사합니다. ^^

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    1. 말씀하신 부분이 맞습니다, 익명님. ^^
      평면파는 파면이 평면인 파동이고, TEM파는 전기장과 자기장이 진행 방향의 수직에만 존재하는 파동입니다. 그래서, 평면파의 전자장 분포는 TEM 정의에 부합하기 때문에 평면파는 무조건 TEM파입니다.
      하지만, TEM파라고 모두 평면파인 것은 아닙니다. 대표적으로 동축선의 기본 모드를 보면 이는 TEM파이지만, 파면이 유한한 영역에만 존재하므로 평면파가 아닙니다.

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    2. 답변 감사합니다. 추가로 궁금한게 생겨서 질문 드립니다.
      E field와 H field는 무조건 수직이어야 하나요? 수직이 아닐수는 없는건가요?

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    3. 식 (12)에 의해 반드시 수직이어야 합니다.

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  17. 그림5에서 전자기파 진행하는 그림을 봤는데요. 이 그림에서 x y z축 이렇게 있는데, 시간 t에 관해서는 어떻게 반영해서 그리는건지 잘 이해가 안갑니다. 또한, 위상의 정의가 정확히 무엇인지 알고 싶습니다. 인터넷으로 검색해봐도 잘 이해가 안갑니다ㅠ

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    1. 1. [그림 5]가 어려우면 [그림 2]를 보세요. 같은 색깔이 진행하고 있는 모양이 보일 것입니다. [그림 2]를 전기장과 자기장을 반영하여 3차원적으로 그린 것이 [그림 5]입니다.

      2. 위상(phase)은 주기 함수의 현재 모양을 표현하는 수치입니다. 예를 들면, 사인 함수의 크기는 -1과 +1 사이를 왔다 갔다 하면서 주기적으로 나옵니다. 이건 각도에 따라 변하고 있고, 이 경우는 각도가 위상이 됩니다. 즉, 각도가 정해지면 위상(현재 상태)이 결정되므로, 해당하는 함수의 모양이 일의적으로 나오지요.

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  18. 질문있습니다.
    평면파로 간주되기 위한 x방향과 y방향의 전기장 성분의 조건은 단순히 x방향과 y방향으로는 변화가 없다고 하면되는것가요?

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    1. 평면파가 $z$방향으로 진행한다고 하면, 맞습니다.

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  19. 전자기학을 공부하고 있는 학생입니다.
    파동방정식에서 (nabla)^2E + k^2E =0에서 이 식을 (d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 + k^2)Ex = 0 이되고 z축에 수직인 평면에서 Ex 성분이 균일한 평면파를 고려하면 d2Ex/dx2 =0 d2Ex/dy2 =0 이라고 나와있습니다.
    제가 수업들을때 교수님이 x방향으로 진동하고 z방향으로 진행하는 plane wave는 xy평면에서볼때 딱한값만 가진다고 하였고 이 평면파는 오직 z에 대한 함수라 하였는데 의문이 든게 그림5처럼 x y값은 항상 변하는데 왜 xy는 상관없이 z만 변하는 z함수라고 하는지 이해가 잘 되지 않습니다..

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    1. 쉽게 공식화하려고 단순 가정을 한 것입니다. 즉, $x, y$ 방향으로는 변하지 않고 $z$ 방향으로만 변한다고요.

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  20. 한가지만 더 질문하겠습니다.
    E(z)라는 페이저가 있고 이것을 순시 포맷으로 나타낼때 E(z,t)=E(z)*exp[jwt]라고 나타내는데 순시로 나타낼때 왜 exp[jwt]를 곱해주는지 헷갈립니다;;
    회로이론할때 페이저는 이해하기 쉬웠는데 뭔가 전자기학으로 넘어오면서 혼란이 많이 일어나네요.
    귀찮으시더라도 답장해주시면 정말 감사하겠습니다! 여기서 막혀서 진도가 도저히 안나가네요ㅠㅠ

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    1. 이 부분은 파동 방정식을 보셔야 합니다. 시간적으로도 변해야 파동이 되는데, 이걸 편하게 표현하려고 페이저를 도입해 시간 성분을 나타냅니다. 아래 참고하세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

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  21. 전자기학을 공부하고 있는 학생인데요, 일단 글 정말 잘 봤고 도움이 많이 됬습니다.
    작성하신지 오래된 글에 질문을 드려 죄송한데요.
    평면파와 파면에 대한 개념이 잘 이해되지 않아 질문드립니다.
    질문 내용이 길어 제 블로그에 올려놓았는데요(광고글 절대 아닙니다 ㅠ)
    http://blog.naver.com/rlaxogud0809/220566473676

    읽어보시고 답변해주신다면 정말 감사드리겠습니다.

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    1. 칭찬 감사합니다, 익명님. ^^ 질문은 언제든 환영입니다.

      이해한 내용이 맞습니다.

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  22. 전파거북이님. 질문이 있어요.

    (1)
    "식 (9)의 좌변이 0보다 크려면 벡터 r¯1−r¯0r¯1−r¯0는 벡터 k¯k¯ 방향과 동일한 성분을 반드시 가져야 한다."

    저는 그냥 델타 r을 0으로 쏘면 r0에 대해 직각이 되기 때문에, 그렇게 생각했는데 왜 반드시 동일한 성분이여야 0보다 큰지 잘 이해를 못하겠어요.

    예를 들어 x와 y 성분은 같고 z 성분은 0이더라도 k dot (r1-r0)은 0보다 크지 않나요?

    2) 그리고 12)의 1번 가우스 법칙이 0이 나오는 건 원천(전하밀도)를 0으로 잡아서 그런 게 맞나요? 그렇다면 전하 밀도가 0이 아니라고 가정하면 당연히 모든 방향으로 발산할테고, 그 방향은 평면파 방향과 같을 텐데, 이 경우 평면파에 어떤 영향을 끼치나요?

    수직하는 두 전기장을 가진 전자기파가 되나요(평면파 진행 방향/평면파 진행 방향과 자기장에 직교하는 방향)?

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    1. 1. 예를 드신 경우만 보면, 변화한 $z$ 성분이 (+)인 경우 파수 벡터는 아무 방향으로 생기면 안 되고 반드시 $+z$ 방향으로 생겨야 한다는 의미입니다.

      2. 평면파는 원천이 있으면 안 됩니다. (원천이 있으면 그 근처에서는 평면파가 되지 않습니다.) 그래서 0으로 잡는 것입니다.

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    2. 아하 그렇군요. 항상 배우고 돌아갑니다 ㅎㅎ

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  23. 글읽다가 궁금한 점이 있어 글올립니다.
    저는 여태껏 고유임피던스는 공기중의 저항이라고 개념을 잡고 있었는데
    거북이님은 저항이 아니다.
    전기장과 자기장의 비율은 평면파인 경우 상수인 고유 임피던스가 된다
    라고 써놓으셨는데 이게 잘 이해가 안되네요.
    도무지 이해가 안갑니다

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    1. 고유 임피던스는 저항이 아닙니다. 고유 임피던스는 전기장과 자기장의 관계를 설명하는 지표입니다. 이게 저항과 단위가 같을 뿐입니다.

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  24. 안녕하세요 전파거북이님 이해가 잘 안되는 부분이 있어 댓글을 답니다.
    (12)를 보면 E와 H와 k(전자기파의 진행방향)은 모두 수직인 결론이 나오는데요, waveguide를 배울때는 TE와 TM파도 배웁니다. 그런데 TE와 TM파는 진행방향과 평행합니다. 왜 이런 다른 결과가 있는지 이해가 안됩니다.

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    1. 근본적으로는 경계 조건이 달라서 가능한 해가 달라집니다.
      쉬운 설명을 보면, 평면파는 단순히 그냥 진행하고, 도파관 경우는 금속 벽에 맞아서 반사하면서 진행하기 때문에 TE, TM 파동이 생깁니다.

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  25. 구면파에서 거리가 멀어지면 평면파가 된다는 것인데
    편파와는 관계가 없는 것인가요?
    선형편파와 원형편파가 다 처음에는 구면파로 방사되다가 거리가 멀어지면 평면파가 되는 것인가요?
    궁금합니다~ 답변해주시면 감사하겠습니다

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    1. 네, 맞습니다. ^^
      원형 편파는 선형 편파가 2개 있는 구조(위상은 90도 차이)라고 생각하면 됩니다.

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  26. 전파거북이님 질문있습니다.

    저는 고체화학을 공부하는 학생인데, wave function의 정의에 대해서 공부하던 중 블로그에 들리게 됐습니다. 일단 질문하기에 앞서, 깔끔하게 정리된 글 잘 읽었습니다.

    1. wave function의 정의 중 sin함수와 cos함수로 정의하는 방법도 있지만, 이 글에서도 사용했던 exponential 함수로 표현이 가능합니다.

    wave function = exp(ik*r) r - position vector, k - wave vector

    인데, wave vector와 position vector의 dot product의 전파상에서의 물리적 의의가 궁금합니다.

    2. 흔히들 dot product는 서로 다른 두 벡터를 사용해서, 한 벡터의 방향에서의 크기를 구하는 방법으로 사용합니다. 결국 dot product의 값은 스칼라인데, 어째서 wave function은 방향을 가지고 있는지 궁금합니다.

    감사합니다.

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    1. 질문하신 내용은 [그림 4] 밑에 설명되어 있습니다, Dave님. ^^

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