2011년 12월 24일 토요일

3차원 자유공간 그린 함수(3D free-space Green's function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "3차원 자유공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유공간 그린 함수
3. 2차원 자유공간 그린 함수

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1,2차원 유도에 비슷하게 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동방정식을 전류밀도(current densityJy = Jz = 0이라 가정하여 단순화하자.

                          (1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동방정식(scalar wave equation)이 식 (1)처럼 얻어진다. 식 (1)에 식 (2)의 라플라시안(Laplacian)을 대입하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 3차원 스칼라 파동방정식을 얻는다.

                         (2)

                         (3)

여기서 벡터 r은 3차원 좌표점 (x, y, z)를 나타낸다.

[그림 1] 3차원 원천
[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[4. 데카르트 좌표계 3차원 자유공간 그린 함수]

                         (4)

[증명]
증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현하자.

                         (5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현할 수 있다.

        (6)

식 (6)을 계산하면 g(z, z'; ζ)는 다음 1차원 자유공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분방정식을 만족한다.

                         (7)

식 (7)의 최종결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.
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식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 파수영역(spectral domain)에서 표현되었으므로 파수영역 그린함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.

텐서이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 좌표독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨보자.

[그림 3] 원통좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[8. 원통좌표계 3차원 자유공간 그린 함수]

                         (8)

여기서 H_0^(1)(·­)는 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]
식 (8)의 증명은 식 (4)와 동일하다. z축에 대한 델타 함수를 식 (5)처럼 바꾸고 원통좌표계 2차원 자유공간 그린 함수를 대입하면 식 (8)이 얻어진다.
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[그림 4] 구좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)


구좌표계(spherical coordinate system)에 대해서는 매우 간단한 3차원 자유공간 그린 함수를 얻을 수 있다.

[9. 구좌표계 3차원 자유공간 그린 함수]

                         (9)

[증명]
문제를 간단히 만들기 위해 (x', y', z') = (0, 0, 0)이라 가정하자. (or 원천이 원점에 있다.) 그러면, 모든 방향으로 동등하게 전자파가 방사되므로 극고도각(極高度角, polar angle: θ는 꼭대기부터 시작해 내려오기 때문에 일반 고도각과는 정의가 약간 다름) θ방향과 방위각(方位角, azimuth) φ방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다. (or ∂/∂θ = ∂/∂φ = 0) 따라서, 식 (10)의 구좌표계 라플라시안(Laplacian)은 식 (11)처럼 간략해진다.

                       (10)

                       (11)

그러면, 식 (11)을 참고해서 해를 다음과 같이 가정할 수 있다.

                       (12)

식 (12)의 가정은 전자파의 복사조건(radiation condition)을 이용하여 결정하였다. 식 (12)에서 정해지지 않은 상수 A를 결정하면 증명은 끝난다. 식 (12)처럼 답을 완전히 가정해 푸는 것이 마음에 안 들면 해를 다음과 같이 가정할 수 있다.

                       (13)

식 (13)을 식 (12)의 마지막식에 대입하여 f(r)에 대한 미분방정식을 구하면 다음과 같다.

                       (14)

식 (14)를 프로베니우스 방법(Frobenius method)를 적용할 수 있는 미분방정식이므로 멱급수(power series)를 가정해 대입하면 식 (12)의 첫째식을 얻을 수 있다.
상수 A 결정을 위해 [그림 5]의 구를 생각하자.
[그림 5] 구(출처: wikipedia.org)

[그림 5]의 체적에 대해 식 (11)을 체적적분하고 반지름 r을 0으로 보내자.

                      (15)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)를 이용하였다.
그러면, 원천이 (x', y', z') = (0, 0, 0)에 있는 경우는 증명이 되었다. 또한, 좌표독립성이 있기 때문에 (x, y, z) = (u-x', v-y', w-z')을 만족하는 새로운 좌표계 (u, v, w)로 좌표변환하면 식 (9)가 증명된다. (∵ (u, v, w) = (x', y', z')에서 (x, y, z) = (0, 0, 0)이 된다. )
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식 (9)는 적분없이 공간상의 좌표값으로만 표현되었으므로 공간영역 그린 함수(space domain Green's function)라 부른다. 최종표현식은 간단하지만 식 (9)를 적분하기는 어렵다.

세가지 방법으로 증명을 했지만 소득은 있다. 아래와 같이 새로운 적분을 하나 발견한 것이다.

                  (16)

식 (16)은 바일 항등식(Weyl identity)이라 부른다. 또한, 식 (8)과 (9)를 서로 비교하면 다음 적분을 얻을 수 있다.

                     (17)

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댓글 2개 :

  1. 식(15)에서 체적적분 과정이 잘 이해가 안되요. 식 (11) 의 k^2 항이 체적분 과정에서 어떻게 처리된건가요?

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    답글
    1. 식 (12)를 보면 그린 함수는 $1/r$로 변화합니다. 이 가정과 함께 구의 부피가 0으로 간다고 생각하면, $k^2$이 있는 항은 $r \to 0$일 때 0으로 수렴합니다.

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