2011년 12월 16일 금요일

2차원 자유공간 그린 함수(2D free-space Green's function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "2차원 자유공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유공간 그린 함수

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자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동방정식을 전류밀도(current densityJy = Jz = 0이라 가정하여 단순화하자.

                          (1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동방정식(scalar wave equation)으로 표현할 수 있다. 2차원을 만들기 위해 식 (2)의 라플라시안(Laplacian)에서 z방향으로는 변화가 없다고 가정(∂/∂z = 0)하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 2차원 스칼라 파동방정식을 얻는다.

                         (2)

                         (3)

여기서 벡터 ρ는 2차원 좌표점 (x, y)를 나타낸다.

[그림 1] 2차원 원천
[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[4. 데카르트 좌표계 2차원 자유공간 그린 함수]

                         (4)

[증명]
증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현하자.

                         (5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (6)

식 (6)을 계산하면 g(y, y'; η)는 다음 1차원 자유공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분방정식을 만족한다.

                         (7)

식 (7)의 최종결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.
______________________________

식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 파수영역(spectral domain)에서 표현되었으므로 파수영역 그린함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.

텐서이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 좌표독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨보자.

[그림 3] 원통좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[8. 원통좌표계 2차원 자유공간 그린 함수]

                         (8)

여기서 H_0^(1)(·­)제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]
문제를 간단히 만들기 위해 (x', y') = (0, 0)이라 가정하자. (or 원천이 원점에 있다.) 그러면, 모든 방향으로 동등하게 전자파가 방사되므로 방위각(方位角, azimuth) φ방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다. (or ∂/∂φ = 0) 따라서, 식 (9)의 원통좌표계 라플라시안(Laplacian)은 식 (10)처럼 간략해진다.

                       (9)

                       (10)

미분방정식 (10)을 베셀의 미분방정식(Bessel's differential equation)인 식 (11)과 비교하면 다음을 얻을 수 있다.

                      (11)

                      (12)

식 (12)의 최종결과는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)과 전자파의 복사조건(radiation condition)을 이용하여 결정하였다. 또한 조건에서 ρ ≠ ρ'이므로 식 (12)는 (x, y) ≠ (x', y')만 아니면 모든 점에서 맞는 답이다.
(x, y) = (x', y')인 경우마저도 식 (12)가 성립하려면 식 (10)의 델타 함수(delta function) 조건을 만족하도록 상수 A를 정해야 한다.  상수 A만 정하면 증명은 끝난다.  ρ ≠ ρ'인 조건에 의해 식 (12)는 (x, y) = (x', y')인 매우 작은 근방에서도 성립하기 때문에 (x, y) → (x', y')로 가는 극한을 이용한다. 즉, 상수 A 결정을 위해 [그림 4]의 원통을 생각하고 그 반지름이 0으로 가도록 하자.

[그림 4] 원통(출처: wikipedia.org)

[그림 4]의 체적에 대해 식 (10)을 체적적분하고 반지름 r을 0으로 보내자.

                      (13)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)와 다음의 베셀 함수 공식을 이용하였다.

                      (14)

                      (15)

그러면, 원천이 (x', y') = (0, 0)에 있는 경우는 증명이 되었다. 또한, 좌표독립성이 있기 때문에 (x, y) = (u-x', v-y')을 만족하는 새로운 좌표계 (u, v)로 좌표변환하면 식 (8)이 증명된다. (∵ (u, v) = (x', y')에서 (x, y) = (0, 0)이 된다. )
______________________________

식 (8)은 적분없이 공간상의 좌표값으로만 표현되었으므로 공간영역 그린 함수(space domain Green's function)라 부른다. 최종표현식은 간단하지만 식 (8)을 적분하기는 어렵다.

두가지 방법으로 증명을 했지만 소득은 있다. 아래와 같이 새로운 적분을 하나 발견한 것이다.

                     (16)

식 (16)은 2차원 좀머펠트 항등식(2D Sommerfeld identity)이라 부른다.

[다음 읽을거리]
1. 3차원 자유공간 그린 함수
Enhanced by Zemanta

댓글 9개 :

  1. 안녕하세요! 블로그에서 많은 도움 받고있는 독자입니다.
    한가지 질문이 있는데요. 식 6의 첫줄에서 green function 이 x에 대한 일종의 fourier transform 형태로 표현되고 그 계수는 y만의 함수로 바뀌는 부분은 일종의 '변수분리'를 가정한 것인가요?

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    1. 예 맞습니다.

      변수분리가 되지 않는 좌표계에서는 그린 함수 방법론을 적용할 수 없습니다. 다행히 데카르트 좌표계, 원통좌표계에서는 파동방정식이 변수분리됩니다.
      하지만, 실제 이론적으로 풀 수 있는 기하구조는 그렇게 많지 않습니다.

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    2. 그렇군요. 답변 감사드립니다.
      질문 달고 생각하다가 또 하나의 의문이 드네요. 2차원 자유공간을 가정했기 때문에 Green function이 x축이나 y축에 대한 어떠한 선호도는 없을 것이라 생각되는데요. 델타함수를 완비성을 이용해서 표현할 때 x-x'에 대한 델타함수를 표현하느냐 y-y'에 대한 델타함수를 표현하느냐에 따라서 최종 green function에서 x-x' 부분에 절댓값이 붙고 k_y에 대해 적분할 것인지, 아니면 y-y' 부분에 절댓값이 붙고 k_x에 대해 적분할 것인지 여부가 결정되는 것으로 보입니다. 근데 이 두 경우의 green function이 본질적으로는 동일한 것인가요?

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  2. 안녕하세요 블로그를 보면서 많이 배우는 학생입니다.
    궁금한 접이 있어서 여쭈어 보는데 식(10)(11)에서(12)로 넘어 갈때
    로우와로우'을 같지 않다로 설정해두고 그린함수 방정식과 베셀함수 방정식 꼴이 같다고 해서 해를 구하였습니다. 근데 식(12)는 로우와 로우'이 같을때 까지 말하는것같아서 제대로 이해가 안가서 여쭈어봅니다. 같은 경우 단순히 하나의 상수가 생겨서라고 생각한것인지 아니면 어차피 베셀함수의 연장선상에 있을것이라 가정하고 푼건지....알려주시면 감사하겠습니다.

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    1. 방문 감사합니다, won-tae kim님.

      식 (12)는 (x, y) ≠ (x', y')인 영역에서 항상 맞습니다. 그래서 (x, y) → (x', y')로 가는 극한을 이용해 델타 함수 성질을 만족하도록 상수 A를 맞추는 것이 증명의 핵심입니다.

      본문도 좀 수정했습니다.

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  3. 1D에서 x가 x'과 다른 영역에서의 해를 구하고 x' 근방에서의 적분을 통해 계수를 구하는 것과 비슷한 느낌이군요! 그런데 원통좌표계에서 미분방정식의 형태가 Bessel 미분 방정식임을 확인한 후, 제1종 베셀함수나 제2종 베셀함수가 아니라 Hankel function을 solution으로 정한 이유는 무엇인가요? 사실 이 물음은 (J_v,N_v) set이 있음에도 불구하고 왜 (H_v(1), H_v(2))의 set을 새로이 정의해서 사용하는가의 연장선상에 있는 의문이 되겠네요...

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    1. 복사조건 때문에 제1종 한켈 함수를 택해야 합니다. 시간약속이 다르면 제2종을 써야 하는 경우도 있습니다.
      복사조건은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/1-1d-free-space-greens-function.html

      삭제

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