2011년 12월 16일 금요일

1차원 자유공간 그린 함수(1D free-space Green's function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "1차원 자유공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분방정식의 만병통치약: 그린 함수

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간약속을 사용하고 있습니다.


전자파(electromagnetic wave)에 대한 비동차 미분방정식(nonhomogeneous differential equation)이나 적분방정식(integral equation)을 해석적으로 풀기 위한 그린 함수(Green's function) 방법을 1차원에 적용해보자. 1차원 공간에 다른 구조물이 있으면 그린 함수가 복잡해지므로 공간상의 물질이 균일하다고 가정하는 자유공간(free-space) 조건을 쓰자.
먼저 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동방정식을 고려하자.

                          (1)

단순하게 생각하기 위해 식 (1)의 벡터 파동방정식(vector wave equation)에서 전류밀도(current densityJy = Jz = 0이라 가정하자.

                          (2)

그러면 식 (2)의 마지막줄과 같은 스칼라 파동방정식(scalar wave equation)을 얻을 수 있다. 조금 이상한 면은 전류밀도가 x축에 있다 하더라도 자기 벡터 포텐셜이 x축에만 존재한다고 가정할 수 있는가? 우리에게는 강력한 정리인 전자기파에 대한 유일성 정리(唯一性 定理, uniqueness theorem)가 있다 식 (2)와 같이 풀어서 답이 얻어지면 유일성 정리에 의해 식 (2)의 접근법도 정상적인 과정이 된다.
그린 함수 방법에서는 원천항(source term)이 식 (3)처럼 디랙 델타 함수(Dirac delta function)로 표현되어야 한다.

                          (3)

                          (4)

[그림 1] 1차원 원천

1차원을 만들기 위해 식 (5)의 라플라시안(Laplacian)에서 y, z방향으로는 변화가 없다고 가정(∂/∂y = ∂/∂z = 0)하면 식 (6)의 1차원 스칼라 파동방정식을 얻는다.

                         (5)

                         (6)

식 (6)이 표현하는 것은 x = x'에 존재하는 원천(source)에서 전자파를 쏜 경우 x축을 따라 진행하는 전자파의 형태이다.

[그림 2] 백열등의 빛 복사 모습(출처: wikipedia.org)

[7. 1차원 자유공간 그린 함수]

                         (7)

[증명]
그린 함수를 구할 때는 먼저 원천이 0인 경우부터 구해야 한다. x ≠ x'이면 식 (6)의 우변이 0이므로 그린 함수는 다음 미분방정식을 만족해야 한다.

                         (8)

식 (8)의 결과로 인해 파수((波數, wavenumber))에 해당하는 ξ값을 정해야 한다. 안테나(antenna)와 같은 소자를 관찰해 보면 전자파는 반드시 원천에서 멀어지는 방향으로 복사된다. 이것을 전자파의 복사조건(radiation condition)이라 한다. 복사조건을 이해하기 위해 [그림 2]의 백열등을 보자. 백열등은 빛을 만드는 원천으로 작용한다. 전기를 넣으면 백열등은 켜진다. 이때 빛은 나오지 들어가지 않는다. 전기를 넣었는데 백열등에 빛이 들어가는 것을 본 적이 있는가? 없다. 그래서, 원천에서 빛(or 전자파)이 나오는 조건을 복사조건이라 한다.

[그림 3] 블랙홀의 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 블랙홀(black hole)로도 복사조건을 설명할 수 있다. 전자파 원천 속으로 빛이 빨려 들어가면 이 원천은 블랙홀처럼 동작한다. 백열등을 켰는데 블랙홀이 생긴다는 것은 현실세계에서 매우 이상하다. 그래서 빛은 원천의 바깥으로 반드시 방출되어야 한다.

복사조건을 식 (8)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현된다.

                         (9)

식 (9)를 유도하기 위해 x = x'에서 그린 함수의 연속조건(continuous condition)을 사용하였다. (∵ 그린 함수가 불연속이면 1번 미분해도 델타 함수가 나와버린다. 이렇게 되면 식 (6)을 만족할 수 없다. 혹은 식 (10)을 보라. 그린 함수의 미분은 유한해야 한다.)
식 (9)에 있는 상수 A를 결정하기 위해 식 (6)을 아주 좁은 영역 (x'-Δ, x'+Δ)에 대해 적분하자.

                         (10)

                         (11)

여기서 그린 함수의 미분은 x = x' 지점에서 불연속이며, 그린 함수는 유한하기 때문에 아주 좁은 영역에서 적분하면 0이 된다.
______________________________

[다음 읽을거리]
1. 2차원 자유공간 그린 함수
2. 3차원 자유공간 그린 함수
Enhanced by Zemanta

댓글 5개 :

  1. 안녕하세요

    좋은 포스팅 잘 보고 있습니다.

    다름이 아니라 마지막 식(10)에서 좌변의 계산 결과가 2Aik가 나오는 것이 잘 이해가 되지 않는데.... x'-Δ와 x'+Δ의 적분값이 같아서 빼면 0이 되는것 같은데 어떤 특수한 비법이 있는건지요?

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다. ^^

      과정을 조금 추가했으니 다시 봐주세요.

      삭제
    2. 정말 감사합니다.

      삭제
  2. 항상 글 잘보고 있습니다! 전자기학 공부를 시작한 학부 새내기인데... 공식 (3) 에서 phi(r) 들어간 이유가 궁금해서 질문올립니다

    답글삭제
    답글
    1. 디랙 델타 함수의 의미를 설명하기 위한 것입니다. 1차원이면 당연히 좌표계가 한 방향으로만 제한되어야 합니다.

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.