2019년 12월 29일 일요일

전자파의 복사 조건(Radiation Condition of Electromagnetic Wave)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자파의 복사 조건"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 스투름–리우빌 이론
2. 전자기파에 대한 유일성 정리
3. 구 좌표계의 전자장 표현식
4. 1차원 자유 공간 그린 함수
5. 3차원 자유 공간 그린 함수

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전자파(electromagnetic wave)가 복사(radiation)나 산란(scattering)될 때 필수적으로 사용되는 경계 조건은 복사 조건(radiation condition)이다. 복사 조건을 말로 표현하면 복사나 산란된 전자파는 항상 원천에서 멀어진다일 수 있다. 이 개념을 수학 공식으로 깔끔하게 쓰면 다음과 같다.

                  (1)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이며 원천(source)에서 멀어진 영역에서 $g(r)$은 다음 스칼라 헬름홀츠 방정식(scalar Helmholtz equation)을 만족한다.

                  (2)

예를 들어 점전원(point source)에 의해 복사되는 전자파 특성은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)이다. 다음처럼 이 함수를 식 (1)에 대입해보면 복사 조건의 개념을 제대로 느낄 수 있다.

              (3)

식 (1)에 제시한 복사 조건은 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)가 1921년좀머펠트 53세, 일제 강점기 시절에 제시했다. 그래서 좀머펠트의 복사 조건(Sommerfeld's radiation condition)이라고도 한다[1].
식 (1)이 점전원에 대해 성립함을 식 (3)에서 증명했지만, 식 (1)이 모든 전자파에 대한 복사 조건이 될 수 있을까? 구 좌표계의 전자장 표현식을 바탕으로 이를 증명해보자. 복사되거나 산란되는 모든 전자파는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

                         (4)

스투름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)에 의해 정규 경계 조건(regular boundary condition)은 함수값과 그 미분값의 선형 관계로 정의한다.

                       (5)

[그림 1] 전자파의 산란

[그림 1]처럼 전자파가 산란될 때, 경계 조건의 위치[그림 1에서 파란색 타원, 식 (4)에서 $b$]를 관찰하자. 전자파의 산란에 사용하는 문제 영역은 유한하지 않고 계속 커져야 한다. 이는 [그림 1]의 파란색 타원의 크기가 계속 커짐을 의미한다. 그래서 식 (5)에 있는 미분은 $r$방향에 대한 미분이어야 한다. 따라서 식 (4)에 있는 좌표 성분 중에서 우리가 관심을 가져야 하는 항목은 $r$이다. 갓 베셀 함수(hat Bessel function)의 미분 관계에 의해 식 (5)의 미분값은 다음과 같다.

                       (6)

우리가 고려하는 산란 영역의 반지름 $r$을 무한대로 보내면 식 (6)은 점근적으로 다음과 같아진다.

                       (7)

만약 식 (7)에 있는 갓 베셀 함수가 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)와 연결된다면 식 (7)은 다음과 같이 간략화된다.

                       (8)

혹은 제1종 한켈 함수의 점근식(漸近式, asymptote)을 고려하면 $r$이 커짐에 따라 제1종 한켈 함수는 $\exp(ikr)$처럼 변하기 때문에[∵ $1/\sqrt{kr}$ 항은 0으로 천천히 수렴하기 때문에 빠르게 변하는 우세 항은 $\exp(ikr)$이 된다.] $r$에 대한 미분은 $ik$와 점근적으로 같다. 이런 정성적인 예상을 정확하게 증명한 부분이 식 (8)이다. 식 (8)의 결과를 식 (4)의 둘째식처럼 쓰면 다음과 같아진다.

                       (9)

식 (8)은 갓 베셀 함수의 차수 $n$에 관계없이 성립하므로 식 (9)는 전자파의 복사나 산란에 대한 일반적인 복사 경계 조건이 된다. 다만 식 (9)는 벡터 헬름홀츠 방정식에 대한 결과이므로, 식 (2)처럼 $g(r)$로 표현하려면 벡터가 아닌 스칼라 헬름홀츠 방정식으로 바꾸어야 한다. 이 과정은 어렵지 않다. 단지 갓 베셀 함수를 아래처럼 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)로 바꾸면 된다.

                       (10)

식 (10)에 제시한 결과는 정확히 식 (1)과 일치하기 때문에 좀머펠트 복사 조건이 증명된다. 하지만 이 모든 과정은 우리가 갓 베셀 함수 $\hat Z_n (\cdot)$를 제1종 갓 한켈 함수로 선택했기 때문이다. 만약 제2종 갓 한켈 함수를 택했다면 식 (1)의 복사 조건은 다음처럼 바뀐다.

                       (11)

식 (1)과 (11)은 수학적으로 타당한 경계 조건이지만 물리적으로는 전혀 의미가 다르다. 식 (1)은 원천에서 바깥 영역으로 복사되는 복사 조건이지만, 식 (11)은 바깥 영역에서 원천으로 들어오는 흡수 조건(absorption condition)이다. 그래서 우리 경험에 비추어 좀머펠트 복사 조건은 식 (1)로 택한다.
복사 조건은 유일성 정리(uniqueness theorem)와도 밀접히 연결된다. 유일성 정리를 증명하려면 두 종류 해의 경계 조건이 동일해야 한다. 경계면이 유한할 때는 식 (5)와 같은 정규 경계 조건을 이용해 유일성 정리를 쉽게 증명할 수 있다. 하지만 복사나 산란처럼 경계면이 무한대로 가면 무한대에서 전자파가 움직이는 경계 조건을 해에 관계없이 하나로 정해야 한다. 이때의 경계 조건을 복사 조건이라고 한다.
원역장(far-field)에서 전자파는 균일 평면파(uniform plane wave) 특성을 가지므로 식 (1)에 제시한 복사 조건을 벡터 전자장 형태로 표현할 수도 있다. 전기장에 대한 관계식은 다음과 같다.

                       (12)

식 (12)를 정리하고 원역장에서 전기장이 0이 되지 않도록 $r$을 곱하면[$\because$식 (3)에 의해 $r$을 곱해야 한다.] 전기장 벡터에 대한 복사 조건이 얻어진다[1].

                       (13)

자기장에 대해서도 식 (13)과 동일한 복사 조건을 얻을 수 있다. 식 (13)에 있는 전기장의 회전을 자기장으로 바꾸면 다음을 얻을 수도 있다[1].

                       (14)


[참고문헌]
[1] S. H. Schot, "Eighty years of Sommerfeld's radiation condition," Historia Mathematica, vol. 19, no. 4, pp. 385–401, Nov. 1992.

댓글 6개 :

  1. 궁금한것이 있어 질문합니다.
    제 1종 갓 한켈 함수와 제 2종 갓 한켈 함수의 선택에 따라 sommerfeld radiation condition 식이 바뀌는데요
    1차원 공간에서 생각했을때, right-going(=out-going) & left-going(=in-coming)으로 생각해서 결국, right-going과 left-going의 sommerfeld radiation condition이 서로 다르다고 볼 수 있는 것인가요?

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    1. 파동이 오른쪽으로 가거나 왼쪽으로 가는 경우는 복사 조건이 아닙니다. 내부에 있는 원천에서 외부로 향하는 방향으로 전자파가 진행한다는 가정이 복사 조건입니다.

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    2. 1차원 공간으로 생각했을때
      source로부터 외부로 향하는 방향이 오른쪽이라 가정하면 왼쪽이 내부로 향하는 방향이라고 생각할 수 있지 않나요?
      그럼 이로부터 오른쪽 그리고 왼쪽 방향에 대한 각각의 복사 조건은 서로 다르다는것이 타당한가요?

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    3. 아닙니다. 1차원이더라도 특정 위치에 원천이 있으므로, 원천으로부터 생긴 파동이 원천에서 멀어져야 정상적인 복사 조건입니다. 왼쪽이나 오른쪽 방향 문제는 아닙니다.

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  2. 그렇다면, 제 1종 갓 한켈 함수를 선택했을때와 제 2종 갓 한켈 함수를 선택했을때 복사조건, 흡수조건으로 나뉘어지는 경우에서 저는 제 1종 갓 한켈 함수 out-going 그리고 제 2종 갓 한켈 함수 in-coming 파동이라고 생각했습니다.
    이를 1차원 문제로 생각했을때 물리적으로 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 파동만이 있을때, 흡수 조건이 이루어지는 파동은 in-coming 파동 즉, 원천으로 들어가는 파동이고 경우에 따라 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 파동이라고 생각하면 되는건가요?
    마찬가지로 복사 조건일 경우에는 원천으로부터 멀어지는 파동이고 경우에 따라 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 파동이 된다고 생각할 수 있는건가요?

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    1. 1차원에 위치한 원천에서 발생한 파동은 아래 링크의 식 (7)을 참고하세요. 왼쪽이나 오른쪽이 아니고, 절대값을 이용해 원천에서 멀어지는 파동으로 표현해야 합니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/12/1-1d-free-space-greens-function.html

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