베셀 함수의 점근식(漸近式, Asymptote of Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 함수의 점근식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 베셀의 미분 방정식

2. 베셀 함수

3. 급속 하강 방법

4. 변형 베셀 함수

베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function) 증명은 정말 아름답지만 수학적 수준이 굉장히 높다. 바로 악명(?) 높은 급속 하강 방법(method of steepest descent)을 사용하기 때문이다. 급속 하강 방법은 적분 구간을 적절히 변형하여 급속 하강 경로(steepest descent path, SDP)를 만든다. 급속 하강 방법의 필요성을 이해하기 위해 일반화된 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)인 식 (1)을 보자.

                      (1)

식 (1)은 $|x|$이 크지 않을 때는 매우 유용한 공식이다. 하지만 $|x|$가 커지면 지수적으로 커지기 때문에 수치 해석에서는 사용할 수 없다. 뭔가 좋은 방법이 없을까? 이때 필요한 개념이 급속 하강 경로이다. 급속 하강 방법은 1863년리만 37세, 조선 철종 시절에 리만Bernhard Riemann(1826–1866)이 개발한 기법이다.[리만 이름 들어간 개념 중에 쉬운 내용이 있을까?] 간단한 이해를 위해 다음과 같은 적분을 생각한다.

                      (2)

여기서 $x$가 커짐에 따라 식 (2)의 지수 함수는 (+)와 (-)값 사이로 매우 빠르게 변한다고 가정한다.[혹은 지수가 복소수(complex number)라서 복소 지수 함수(complex exponential function)의 특성을 가진다고 가정한다.] 식 (2)의 점근식을 구하기 위해 함수 $f(t)$는 다음처럼 복소 영역에서 테일러 급수(Taylor series)로 전개한다.

                      (3)

여기서 $f'(t)$와 $f''(t)$는 각각 $f(t)$의 1계 및 2계 미분(the first and second order differentiation)이다. 푸리에 변환(Fourier transform)과 같이 식 (2)의 지수 함수가 매우 빠르게 변하면 그 적분은 거의 0이 된다. 그나마 적분에 기여할 수 있는 부분은 [그림 1]에 있는 안장점(saddle point)이다. 왜냐하면 안장점 부근에서는 함수가 빠르게 변하지 않기 때문이다.

[그림 1] 안장점(saddle point)은 $x$ = $0$(출처: wikipedia.org)

안장점은 함수의 미분이 0이 되는 조건을 통해 구한다. 그러면 함수 $f(t)$는 다음으로 근사된다.

                      (4)

$f(t_s)$는 상수이기 때문에 적분 밖으로 나올 수 있어 고려 사항이 아니므로, 그 다음에 있는 함수의 미분을 0으로 만드는 점을 안장점으로 정한다고 이해하면 된다. 그러면 $f(t)$는 2차 함수로 근사 가능하다. 우리가 적분하는 구간은 $t = t_s$ 근방이다.[∵ 이 점 밖에서는 지수 함수가 너무 빠르게 변해서 적분이 거의 0이다.] 그래서, 식 (4)의 근사에서 3차 이상의 고차 항의 영향은 거의 없어진다. 그럼 이 조건을 이용해 베셀 함수의 점근식을 구해보자.

[제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)]

                      (5)

[증명]

식 (1)과 같은 급수해(series solution)로는 $x$가 무한대로 갈 때의 점근식을 구할 수 없으므로 다음과 같은 베셀 함수의 적분식을 생각해본다.

                      (6)

여기서 적분 경로 $\mathcal{C}$는 [그림 2]에 제시된 대로 한켈 경로(Hankel contour) $\mathcal{H}$에 원점 대칭이다.

[그림 2] 한켈 경로 $\mathcal{H}$의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$

식 (6)의 적분은 식 (2)와 같은 모양이므로 급속 하강 방법[1]을 사용할 수 있다. 안장점을 구하면 다음과 같다.

                      (7)

적분 경로가 안장점을 포함하도록 [그림 2]의 적분 경로를 [그림 3]처럼 변경한다. 또한, 안장점이 두 개이므로 먼저 $t_s = i$를 고려하자.

[그림 3] 안장점을 위한 경로 변경

안장점 $t_s = i$에 대해 변수 치환하면 다음을 얻는다.

                      (8)

여기서 $x$는 임의로 큰 양의 실수, 급속 강하 방법에 따라 실수인 $u$는 항상 $-\infty$에서 $\infty$로 변한다. 식 (8)에서 (-) 부호를 선택한 이유는 $u$에 대한 $t$의 복소 적분 경로를 일관되게 유지하기 위함이다. 부호 선택이란 개념을 이해하기 위해, [그림 3]의 $t$ = $i$ 근방의 적분 경로를 본다. 실수 $u$가 $-\infty$에서 $\infty$로 커질 때, $t$의 적분 경로는 [그림 3]처럼 변한다. 그러면 $t$의 적분 경로에 의해 $\pm |u|/\sqrt{x}e^{-i \pi/4}$의 실수부는 음수이므로, 식 (8)의 부호는 당연히 (-)를 택해야 한다. 따라서 안장점 $t$ = $i$ 근방에서 적분식 (6)은 다음처럼 간단히 변형된다.

                      (9)

여기서 $\delta$는 임의로 작은 양의 실수, $|u_{\max}|$= $\sqrt{x} \delta$, $x$가 커짐에 따라 $|u_{\max}|$는 무한대로 발산한다. 안장점 $t_s = -i$인 경우도 동일하게 계산해본다.

                      (10)

                     (11)

최종적으로 식 (9)와 (11)을 더하면, 식 (5)가 쉽게 얻어진다.

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[제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)]

                      (12)

[증명]

증명을 위해 제2종 베셀 함수 정의를 보자.

                      (13)

식 (13)에 식 (5)를 넣고 삼각 함수의 합차 공식(sum and difference identities)을 쓰면 식 (12)가 증명된다.

                   (14)

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[한켈 함수(Hankel function)]

                      (15)

[증명]

한켈 함수 정의에 식 (5)와 (12)를 대입하면 된다.

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입력 변수 $x$가 매우 커지는 점근식에 의해 제1종 베셀 함수는 사인 함수(sine function), 제2종 베셀 함수는 코사인 함수(cosine function)와 거의 비슷하다. 한켈 함수의 점근식은 시간 약속(time convention) $\exp(-i \omega t)$ 기반의 파동(wave) 관점으로 본다. 즉 제1종 한켈 함수는 원점에서 무한대로 진행하는 파동이다. 제2종 한켈 함수는 위상이 반대여서 무한대에서 원점으로 움직인다.

[변형 베셀 함수(Modified Bessel function)]

                      (16)

                      (17)

[증명]

제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the first kind)의 정의를 식 (5)에 대입해서 정리한다.

                      (18)

비슷하게 제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)의 점근식은 식 (15)를 이용해 구한다.

                      (19)

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다른 베셀 함수와 다르게 변형 베셀 함수의 점근식은 차수에 종속성이 없다. 즉 차수와 관계 없이 제1종과 제2종 변형 베셀 함수는 지수 함수적으로 동일하게 커지거나 작아진다. 이러한 특성으로 인해 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수(hyperbolic Bessel function)로 부르기도 한다.

베셀 함수의 차수(order)에 대한 점근식은 식 (5)와는 다르게 쉽게 증명된다. 먼저 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$의 무한 급수 표현식을 본다.

                      (20)

차수 $\nu$가 매우 커지면 식 (20)의 우세 항은 다음과 같이 $m$ = $0$에서 생긴다.

                      (21)

그 다음 단계로 식 (21)에 등장한 계승(階乘, factorial)에 스털링의 공식(Stirling's Formula)을 적용해서 식 (21)의 우변을 정리한다.

                  (22)

                  (23)

여기서 $x \ne 0$이다. 차수가 음의 방향으로 커지면, 계승 혹은 감마 함수(gamma function)의 점근식은 다음처럼 바뀐다.

                      (24)

식 (24)를 식 (21)에 대입해서 음의 차수에 대한 제1종 베셀 함수 $J_{-\nu}(x)$의 점근식을 유도한다.

                      (25)

비슷한 방식으로 차수에 대한 제2종 베셀 함수의 점근식도 간편하게 유도할 수 있다. 증명에 필요한 정수 차수를 가진 $N_n (x)$의 무한 급수 표현식은 다음과 같다.

                 (26)

그러면 $\nu$가 매우 커질 때, $N_\nu (x)$의 우세 항은 다음 식이 된다.

                  (27)

식 (27)에도 식 (22)를 대입해서 $N_\nu (x)$의 점근식을 깔끔하게 표현한다.

                  (28)

여기서 $x \ne 0$이다. 식 (28)은 식 (13)과 같은 $N_\nu (x)$의 정의에 식 (25)를 대입해서도 얻을 수 있다. 음의 차수에 대한 제2종 베셀 함수 $N_{-\nu}(x)$의 점근식도 식 (13)을 이용해 얻는다.

                      (30)

[구면 한켈 함수(spherical Hankel function)]

                      (31)

[증명]

한켈 함수를 가지고 정의하는 구면 한켈 함수 공식에 식 (15)를 넣어서 식 (31)을 얻는다.

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베셀 함수나 한켈 함수의 점근식은 차수 $\nu$에 $1/2$이 더해져서 지저분해보인다. 대신 구면 한켈 함수는 $1/2$과 제곱근이 사라지고 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)와 동일한 형태를 가진다.

[리카티–한켈 함수(Riccati–Hankel function)]

                      (32)

[증명]

식 (31)에 $x$를 곱해서 리카티–한켈 함수가 되게 한다.

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리카티–한켈 함수의 점근식은 구면 한켈 함수보다 더 간단해진다.

[참고문헌]

[1] C. Pope, Methods of Theoretical Physics: II, Texas A&M University, 2010.

[2] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.

[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2012.