2011년 12월 23일 금요일

베셀 함수의 점근식(漸近式, Asymptote of Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 함수의 점근식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function) 증명은 정말 아름답지만 난이도가 굉장히 높다. 바로 악명(?) 높은 급속 하강 방법(method of steepest descent)을 사용하기 때문이다. 급속 하강 방법은 적분 구간을 적절히 변형하여 급속 하강 경로(steepest descent path, SDP)를 만든다. 급속 하강 방법의 필요성을 이해하기 위해 일반화된 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)인 식 (1)을 보자.

                      (1)

식 (1)은 $|x|$이 크지 않을 때는 매우 유용한 공식이다. 하지만 $|x|$가 커지면 지수적으로 커지기 때문에 수치 해석에서는 사용할 수 없다. 뭔가 좋은 방법이 없을까? 이때 필요한 개념이 급속 하강 경로이다. 급속 하강 방법은 1863년리만 37세, 조선 철종 시절에 리만Bernhard Riemann(1826–1866)이 개발한 기법이다.[리만 이름 들어간 개념 중에 쉬운 내용이 있을까?] 간단한 이해를 위해 다음과 같은 적분을 생각한다.

                      (2)

여기서 $x$가 커짐에 따라 식 (2)의 지수 함수는 (+)와 (-)값 사이로 매우 빠르게 변한다고 가정한다.[혹은 지수가 복소수(complex number)라서 복소 지수 함수(complex exponential function)의 특성을 가진다고 가정한다.] 식 (2)의 점근식을 구하기 위해 함수 $f(t)$는 다음처럼 복소 영역에서 테일러 급수(Taylor series)로 전개한다.

                      (3)

여기서 $f'(t)$와 $f''(t)$는 각각 $f(t)$의 1차 및 2차 미분이다. 푸리에 변환(Fourier transform)과 같이 식 (2)의 지수 함수가 매우 빠르게 변하면 그 적분은 거의 0이 된다. 그나마 적분에 기여할 수 있는 부분은 [그림 1]에 있는 안장점(saddle point)이다. 왜냐하면 안장점 부근에서는 함수가 빠르게 변하지 않기 때문이다.

[그림 1] 안장점(saddle point)은 $x$ = $0$(출처: wikipedia.org)

안장점은 함수의 미분이 0이 되는 조건을 통해 구한다. 그러면 함수 $f(t)$는 다음으로 근사된다.

                      (4)

$f(t_s)$는 상수이기 때문에 적분 밖으로 나올 수 있어 고려 사항이 아니므로, 그 다음에 있는 함수의 미분을 0으로 만드는 점을 안장점으로 정한다고 이해하면 된다. 그러면 $f(t)$는 2차 함수로 근사 가능하다. 우리가 적분하는 구간은 $t = t_s$ 근방이다.[∵ 이 점 밖에서는 지수 함수가 너무 빠르게 변해서 적분이 거의 0이다.] 그래서, 식 (4)의 근사에서 3차 이상의 고차항의 영향은 거의 없어진다. 그럼 이 조건을 이용해 베셀 함수의 점근식을 구해보자.

[제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)]

                      (5)

[증명]
식 (1)과 같은 급수해(series solution)로는 $x$가 무한대로 갈 때의 점근식을 구할 수 없으므로 다음과 같은 베셀 함수의 적분식을 생각해보자.

                      (6)

여기서 폐경로 $c'$는 [그림 2]에 제시된 대로 한켈 경로(Hankel contour)의 반대 방향이다.

[그림 2] 한켈 경로의 반대 방향

식 (6)의 적분은 식 (2)와 같은 모양이므로 급속 하강 방법[1]을 사용할 수 있다. 안장점을 구하면 다음과 같다.

                      (7)

적분 경로가 안장점을 포함하도록 [그림 2]의 적분 경로를 [그림 3]처럼 변경한다. 또한, 안장점이 두 개이므로 먼저 $t_s = i$를 고려하자.

[그림 3] 안장점을 위한 경로 변경

안장점 $t_s = i$에 대해 변수 치환하면 다음을 얻는다.

                      (8)

여기서 $x$는 임의로 큰 양의 실수, 급속 강하 방법에 따라 실수인 $u$는 항상 $-\infty$에서 $\infty$로 변한다. 식 (8)에서 (-) 부호를 선택한 이유는 $u$에 대한 $t$의 복소 적분 경로를 일관되게 유지하기 위함이다. 부호 선택이란 개념을 이해하기 위해, [그림 3]의 $t$ = $i$ 근방의 적분 경로를 본다. 실수 $u$가 $-\infty$에서 $\infty$로 커질 때, $t$의 적분 경로는 [그림 3]처럼 변한다. 그러면 $t$의 적분 경로에 의해 $\pm |u|/\sqrt{x}e^{-i \pi/4}$의 실수부는 음수이므로, 식 (8)의 부호는 당연히 (-)를 택해야 한다. 따라서 안장점 $t$ = $i$ 근방에서 적분식 (6)은 다음처럼 간단히 변형된다.

                      (9)

여기서 $\delta$는 임의로 작은 양의 실수, $|u_{\max}|$= $\sqrt{x} \delta$, $x$가 커짐에 따라 $|u_{\max}|$는 무한대로 발산한다. 안장점 $t_s = -i$인 경우도 동일하게 계산해본다.

                      (10)

                     (11)

최종적으로 식 (9)와 (11)을 더하면, 식 (5)가 쉽게 얻어진다.
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[제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)]

                      (12)

[증명]
증명을 위해 제2종 베셀 함수 정의를 보자.

                      (13)

식 (13)에 식 (5)를 넣고 삼각 함수의 합차 공식(sum and difference identities)을 쓰면 식 (12)가 증명된다.

                   (14)
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[한켈 함수(Hankel function)]

                      (15)

[증명]
한켈 함수 정의에 식 (5)와 (12)를 대입하면 된다.
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입력 변수 $x$가 매우 커지는 점근식에 의해 제1종 베셀 함수는 사인 함수(sine function), 제2종 베셀 함수는 코사인 함수(cosine function)와 거의 비슷하다. 한켈 함수의 점근식은 시간 약속(time convention) $\exp(-i \omega t)$ 기반의 파동(wave) 관점으로 본다. 즉 제1종 한켈 함수는 원점에서 무한대로 진행하는 파동이다. 제2종 한켈 함수는 위상이 반대여서 무한대에서 원점으로 움직인다.

[변형 베셀 함수(Modified Bessel function)]

                      (16)

                      (17)

[증명]
제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the first kind)의 정의를 식 (5)에 대입해서 정리한다.

                      (18)

비슷하게 제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)의 점근식은 식 (15)를 이용해 구한다.

                      (19)
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다른 베셀 함수와 다르게 변형 베셀 함수의 점근식은 차수에 종속성이 없다. 즉 차수와 관계 없이 제1종과 제2종 변형 베셀 함수는 지수 함수적으로 동일하게 커지거나 작아진다. 이러한 특성으로 인해 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수(hyperbolic Bessel function)로 부르기도 한다.

[참고문헌]
[2] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2012.

댓글 4개 :

  1. 자료를 보다가 꼬리에 꼬리를 물고 궁금해지는데요...

    한켈함수와 제 1,2종 베셀함수는 사실 오일러 정리를 통해서

    바꾼것에 불과한데 물리적 그리고 수학적으로 어떤 차이가 있는지 궁금합니다...

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    답글
    1. 물리학에서 파동을 의미하는 함수가 한켈 함수입니다. 긴 선에서 나오는 파동은 한켈 함수 모양을 가집니다.

      차수가 정수인 경우 제1종 베셀 함수는 어느 영역에서나 유한하기 때문에 중요합니다. 예를 들면 북을 울릴 때 나타나는 함수가 제1종 베셀 함수입니다.

      삭제
  2. 항상 감사합니다. 많은 도움이 됩니다.

    Modified Bessel's function에 관한 참고서나 문헌좀 추천 부탁드립니다. 특히, asymptotic에 관하여 그 증명 과정이 잘 나와있는것으루요..

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  3. 방문 감사합니다. ^^

    베셀 함수와 한켈 함수가 기본이어서 변형 베셀 함수(modified Bessel function)는 베셀과 한켈 함수의 곁가지로 다룹니다. 예를 들면 In(x)는 Jn(x)로 정의하고 Kn(x)는 주로 Hn^(1)(x) 혹은 In(x)로 정의합니다. 증명도 마찬가지 과정으로 하고요.

    본문의 참고문헌도 몇 개 추가했습니다. 공짜로 보려면 참고문헌 [1], [2]를 보세요.

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