2013년 2월 16일 토요일

구면 베셀의 미분 방정식(Spherical Bessel's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 베셀의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식


구면 베셀의 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)이라 부르는 다음 미분 방정식(differential equation)을 살펴보자.

                       (1a)

                       (1b)

                       (1c)

구면 베셀이란 이름으로 유추하면, 식 (1)의 미분 방정식은 식 (2)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)과 매우 밀접한 관계를 가지고 있을 것이다.

                      (2)

이를 이해하기 위해 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (1)에 대입해 함수 $u$에 대해 정리하면 다음과 같다.

              (4)

식 (4)와 식 (2)를 비교하면 구면 베셀 미분 방정식의 해는 다음처럼 주어진다.

                      (5)

여기서 $Z_\nu(x)$는 베셀 함수(Bessel function) 혹은 한켈 함수(Hankel function)이다. 식 (5)의 해 $z_\nu(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)라 부른다. 식 (5)에 지저분한 상수가 붙어 있는 이유는 $x$가 매우 커질 때의 점근적 특성 때문이다. 식 (5)처럼 답을 정의하면 구면 베셀 함수의 점근식이 매우 단순해진다. 예를 들어 한켈 함수처럼 생긴 구면 베셀 함수의 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

구면 베셀의 미분 방정식 유도와 비슷하게 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용하면 하면 미분 방정식을 식 (8)처럼 단순하게 만들 수 있다.

                       (7)

                      (8)

그러면 식 (8)의 해는 다음으로 표현되어야 한다.

                      (9)

식 (9)의 정식 명칭은 약간 복잡한 리카티–베셀 함수(Ricatti–Bessel function)이다. 함수 위에 갓(hat)을 붙여 표기해서 갓 베셀 함수(hat Bessel function)라 부를 수도 있다. 리카티–베셀 함수의 미분은 베셀 함수의 미분 공식을 이용하면 다음처럼 간략화할 수 있다.

     (10a)

                      (10b)

식 (10)을 이용하면 구면 베셀 함수의 미분도 다음처럼 표현할 수 있다.

                      (11)


   1. 기본(basics)   

[정의]

                      (1.1)

                      (1.2a)

                      (1.2b)

여기서 $j_\nu(x), n_\nu(x)$는 각각 제$\nu$차 제1종 및 제2종 구면 베셀 함수(the $\nu$th order spherical Bessel functions of the first and second kinds), $h_\nu^{(1)}(x), h_\nu^{(2)}(x)$는 각각 제1종 및 제2종 구면 한켈 함수(spherical Hankel functions of the first and second kinds)이다.

[증명]
제2종 베셀 함수의 정의식에 식 (1.1)을 넣어서 식 (1.2a)를 얻는다.

                      (1.3)
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                      (1.4)

                      (1.5)

[증명]
함수 $j_0(x)$는 식 (2.1)로 구한다. 차수 $n$이 0보다 큰 $j_n(x)$의 표현식에는 레일리의 공식인 식 (2.2)를 사용한다. 차수가 0보다 작은 $j_n(x)$은 식 (4.1)로 얻는다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[삼각 함수의 거듭제곱]

                      (2.1)

[증명]
피적분 함수로 삼각 함수의 거듭제곱을 가진 제1종 베셀 함수의 적분 표현식에 식 (1.1)을 넣어서 증명한다.
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[레일리의 공식(Rayleigh's formula)]

                      (2.2)

[증명]
식 (4.4)의 둘째식에 $\nu$ = $n$을 대입한다.
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[르장드르 함수(Legendre function)] [1]

                      (2.3)

[증명]
식 (1.4)에 있는 $j_0(x)$를 식 (2.2)에 넣고 적분으로 바꾼다.

                      (2.4)

부분 적분을 써서 식 (2.4)의 적분을 간략화하고 $n$에 대한 재귀 관계를 파악한다.

             (2.5a)

                      (2.5b)

식 (2.5b)를 식 (2.4)에 대입해서 $P_n(x)$에 대한 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 사용한다.

                      (2.6)
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   3. 함수 행렬식(Wronskian)   

구면 베셀 함수의 함수 행렬식을 새로 계산할 필요없이 베셀 함수의 함수 행렬식을 그대로 사용한다.

[구면 베셀 함수]

                      (3.1)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분이다.

[증명]
함수 행렬식의 정의에 식 (11)을 넣고 베셀 함수의 함수 행렬식으로 만들어서 식 (3.1)의 첫째식을 유도한다.

                      (3.2)

식 (3.1)의 셋째식은 각 항을 배분해서 함수 행렬식의 특성을 쓴다.

             (3.3)

                      (3.4)
______________________________

[리카티–베셀 함수]

                      (3.5)

[증명]
식 (9)를 사용해서 리카티–베셀 함수를 구면 베셀 함수로 바꾸어서 계산한다.

             (3.6)
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   4. 재귀 관계(recurrence relation)   

[구면 베셀 함수의 합]

                      (4.1)

[증명]
베셀 함수의 합을 위한 재귀 관계에 식 (1.1)을 넣어서 정리한다.
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[구면 베셀 함수의 미분]

                      (4.2)

[증명]
식 (11)처럼 베셀 함수의 미분을 표현하는 아래 재귀 관계에 식 (1.1)을 넣으면 바로 유도된다.

                      (4.3)
______________________________

                      (4.4)

여기서 $n$은 0이거나 양의 정수이다.

[증명]
식 (4.2)를 $x^\nu$로 나누고 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)을 적용해서 식 (4.4)의 첫째식을 만든다.

                      (4.5)
______________________________

만약 $\nu$ = $n$이면 식 (4.4)의 둘째식은 식 (2.2)에 나오는 레일리의 공식(Rayleigh's formula)으로 간략화된다.


[참고문헌]
[1] K. Cahill, Physical Mathematics, 2nd ed., Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2019.

[다음 읽을거리]

댓글 2개 :

  1. 식 (4)의 3번째 줄부터 du/dx 계수에 2가 없어야 할 것 같아요.

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    답글
    1. 지적 정말 감사합니다, Unknown님 으TL
      오랫동안 틀려 있었네요.

      삭제

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