구면 베셀의 미분 방정식(Spherical Bessel's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 베셀의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식

구면 베셀의 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)이라 부르는 다음 미분 방정식(differential equation)을 살펴보자.

                       (1a)

                       (1b)

                       (1c)

구면 베셀이란 이름으로 유추하면, 식 (1)의 미분 방정식은 식 (2)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)과 매우 밀접한 관계를 가지고 있을 것이다.

                      (2)

이를 이해하기 위해 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (1)에 대입해 함수 $u$에 대해 정리하면 다음과 같다.

              (4)

식 (4)와 식 (2)를 비교하면 구면 베셀 미분 방정식의 해는 다음처럼 주어진다.

                      (5)

여기서 $Z_{\nu }(x)$는 베셀 함수(Bessel function) 혹은 한켈 함수(Hankel function)이다. 식 (5)의 해 $z_{\nu }(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)라 부른다. 식 (5)에 지저분한 상수가 붙어 있는 이유는 $x$가 매우 커질 때의 점근적 특성 때문이다. 식 (5)처럼 답을 정의하면 구면 베셀 함수의 점근식이 매우 단순해진다. 예를 들어 한켈 함수처럼 생긴 구면 베셀 함수의 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

구면 베셀의 미분 방정식 유도와 비슷하게 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용하면 하면 미분 방정식을 식 (8)처럼 단순하게 만들 수 있다.

                       (7)

                      (8)

그러면 식 (8)의 해는 다음으로 표현되어야 한다.

                      (9)

식 (9)의 정식 명칭은 약간 복잡한 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)이다. 다만 $z_{\nu }(\cdot )$가 구면 한켈 함수일 때는 식 (9)를 더 정확하게 리카티–한켈 함수(Riccati–Hankel function)라 부를 수 있다. 위에 갓(hat)을 붙여 표기해서 갓 베셀 함수(hat Bessel function)라 부를 수도 있다. 리카티–베셀 함수의 미분은 베셀 함수의 미분 공식을 이용하면 다음처럼 간략화할 수 있다.

     (10a)

                      (10b)

식 (10)을 이용하면 구면 베셀 함수의 미분도 다음처럼 표현할 수 있다.

                      (11)

   1. 기본(basics)   

[정의]

                      (1.1)

                      (1.2a)

                      (1.2b)

여기서 $j_{\nu }(x)$, $n_{\nu }(x)$는 각각 제$\nu$차 제1종 및 제2종 구면 베셀 함수(the $\nu$th order spherical Bessel functions of the first and second kinds), $h_{\nu }^{(1)}(x)$, $h_{\nu }^{(2)}(x)$는 각각 제1종 및 제2종 구면 한켈 함수(spherical Hankel functions of the first and second kinds)이다.

[증명]

제2종 베셀 함수의 정의식에 식 (1.1)을 넣어서 식 (1.2a)를 얻는다.

                      (1.3)

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                      (1.4)

                      (1.5)

[증명]

함수 $j_0(x)$는 식 (2.1)로 구한다. 차수 $n$이 0보다 큰 $j_n(x)$의 표현식에는 레일리의 공식인 식 (2.2)를 사용한다. 차수가 0보다 작은 $j_n(x)$은 식 (4.1)로 얻는다.

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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                      (1.6)

[증명]

제곱근 함수의 주치(主値, principal value)를 사용해 식 (5)에 $-x$ = $e^{\pi i}x$를 넣는다. 그러면 $\sqrt{-x}$ = $i\sqrt{x}$, $J_{n+0.5}(-x)$ = $e^{(n+0.5)\pi i}{J}_{n+0.5}(-x)$이 나와서 분자와 분모에 있는 $i$는 상쇄되므로 식 (1.6)이 얻어진다.

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구면 베셀 함수의 동등성(parity)은 베셀 함수의 동등성과 완전 동일하다. 하지만 나오는 과정은 전혀 다르다. 식 (1.6)을 증명하기 위해서는 제1종 베셀 함수의 해석적 연속(analytic continuation)을 꼭 써야 한다.

   2. 함수 표현식(function representation)   

[삼각 함수의 거듭제곱]

                      (2.1)

[증명]

피적분 함수로 삼각 함수의 거듭제곱을 가진 제1종 베셀 함수의 적분 표현식에 식 (1.1)을 넣어서 증명한다.

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[레일리의 공식(Rayleigh's formula)]

                      (2.2)

[증명]

식 (4.4)의 둘째식에 $\nu$ = $n$을 대입한다.

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[르장드르 함수(Legendre function)] [1]

                      (2.3)

[증명]

식 (1.4)에 있는 $j_0(x)$를 식 (2.2)에 넣고 적분으로 바꾼다.

                      (2.4)

부분 적분을 써서 식 (2.4)의 적분을 간략화하고 $n$에 대한 재귀 관계를 파악한다.

             (2.5a)

                      (2.5b)

식 (2.5b)를 식 (2.4)에 대입해서 $P_n(x)$에 대한 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 사용한다.

                      (2.6)

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                      (2.7)

여기서 $m$은 $\xi$에 대한 $m$번 미분이다.

[증명]

식 (2.3)을 $m$번 미분해서 정리하면 증명된다.

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구면 베셀 함수의 고계 미분이 복잡하다면, 차라리 식 (2.7)의 적분으로 답을 구할 수도 있다.

   3. 함수 행렬식(Wronskian)   

구면 베셀 함수의 함수 행렬식을 새로 계산할 필요없이 베셀 함수의 함수 행렬식을 그대로 사용한다.

[구면 베셀 함수]

                      (3.1)

여기서 $(\cdot {)}^{\prime }$는 $x$에 대한 미분이다.

[증명]

함수 행렬식의 정의에 식 (11)을 넣고 베셀 함수의 함수 행렬식으로 만들어서 식 (3.1)의 첫째식을 유도한다.

                      (3.2)

식 (3.1)의 셋째식은 각 항을 분배해서 함수 행렬식의 특성을 쓴다.

             (3.3)

                      (3.4)

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[리카티–베셀 함수]

                      (3.5)

[증명]

식 (9)를 사용해서 리카티–베셀 함수를 구면 베셀 함수로 바꾸어서 계산한다.

             (3.6)

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   4. 재귀 관계(recurrence relation)   

[구면 베셀 함수의 합]

                      (4.1)

[증명]

베셀 함수의 합을 위한 재귀 관계에 식 (1.1)을 넣어서 정리한다.

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[구면 베셀 함수의 미분]

                      (4.2)

[증명]

식 (11)처럼 베셀 함수의 미분을 표현하는 아래 재귀 관계에 식 (1.1)을 넣으면 바로 유도된다.

                      (4.3)

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                      (4.4)

여기서 $n$은 0이거나 양의 정수이다.

[증명]

식 (4.2)를 $x^{\nu }$로 나누고 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)을 적용해서 식 (4.4)의 첫째식을 만든다.

                      (4.5)

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만약 $\nu$ = $n$이면 식 (4.4)의 둘째식은 식 (2.2)에 나오는 레일리의 공식(Rayleigh's formula)으로 간략화된다.

   5. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

[점 $x$ = $0$의 극한]

                      (5.1)

[증명]

식 (5)에 베셀 함수의 극한을 넣고 감마 함수에 대한 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 다시 적용한다.

                      (5.2)

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제1종 베셀 함수처럼 $x$가 0으로 갈 때 제1종 구면 베셀 함수도 $x^{\nu }$ 비율로 변한다. 

[참고문헌]

[1] K. Cahill, Physical Mathematics, 2nd ed., Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2019.

[다음 읽을거리]

1. 구 좌표계의 전자장 표현식