1. 베셀의 미분 방정식
구면 베셀의 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)이라 부르는 다음 미분 방정식(differential equation)을 살펴보자.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGBdOVwHyalpLbMR_ZagfeQMgXJW-AxbdDxuIG0M_Olh4EAhCBxZvl9rFyjyCLhDi4mvCUHhZ_0beavvJTKIcBoYaamzPlg4wlt35fA9NQEPq33MXdvaSP73uHtkS28QExVQOJLaw250N-/s1600/bes53.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-Dz-2MsECOcrVytkkchJXwQwvMontZju4-vAV7vJJwJcFvb0-DmTQNZSF66dq_fx3hpTcyLX7WFg1yDQwb4aJHvbbpefj1khrATKWuUNxM2trul-yWIEy1Jll559q3apV6UAFXz6C6NcxRaGqkSORKGbwNPOpndmTRoikJSsTSg-5KyP3x840C8UXNQ/s16000/sb.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ0ilMBNfRzhGb5ZMIZ6Vm1YG8N59GufSGirjrM__FKYUdOm9sMpuN9o4RbJQviXGr6rPpTugTFq9PsyIe-JiAoQNNnWLzPvJ_1M_5o7T14DDQYMtmUEkhN1c9JgxtAoeJn7pos0-Edk2O/s1600/bes63.png)
구면 베셀이란 이름으로 유추하면, 식 (1)의 미분 방정식은 식 (2)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)과 매우 밀접한 관계를 가지고 있을 것이다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvh8rD_gxnIX-YtFdJS9QCbj6LF6d5Zv4PwR92M8nf5Hbj6c6pIQ_5zhb6zqfO7vPA8pp2lnQZFW2-yQyq17yQMeTL-3njqtY05jcyEgZzeCoFOr28gLB3Nn1s3v0OlnM3U2umiBhzgBtb/s1600/diff54.png)
이를 이해하기 위해 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_4izi8ofevNxqZEoLXySciQgORJSsEn09GpccW5XyzcrLw65JmQnL5IzXjw-_3YY-lcXSSAYX4qJnxvFOyGhzRzCsgMJwb44xa_3x5S5cQlHfBBgCHeWVMmnCg2VbUpBwWINFQCLUhaNh/s1600/bes60.png)
식 (3)을 식 (1)에 대입해 함수 $u$에 대해 정리하면 다음과 같다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6LySl6L4HXikFXBQBuk0zwDOAg9tgA3fgBuihyphenhyphenignlI_PkO-2_Fy28jtrOlEYKQKEPYD_Xvh3NzUZpG5pt6rh2ga1OFp1E1pWP-WEfQrbUMLphDs_MgDnFefZaSp5atJAabIb8Slh6gPI/s16000/be2.png)
식 (4)와 식 (2)를 비교하면 구면 베셀 미분 방정식의 해는 다음처럼 주어진다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj50T-qq2_4uH5kzl7reB2JGftQqRcuDow8hMGWlsxfNTrym-BsvXUkEE4nMKnkkNDfd0CUMkjq_JmtYGHYiWZTkhEDbXhXAENw53tW90JHLeQihUgwmqDDEG9m8Z9xXsHGpyEHRF0psXE0/s1600/bes56.png)
여기서 $Z_\nu(x)$는 베셀 함수(Bessel function) 혹은 한켈 함수(Hankel function)이다. 식 (5)의 해 $z_\nu(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)라 부른다. 식 (5)에 지저분한 상수가 붙어 있는 이유는 $x$가 매우 커질 때의 점근적 특성 때문이다. 식 (5)처럼 답을 정의하면 구면 베셀 함수의 점근식이 매우 단순해진다. 예를 들어 한켈 함수처럼 생긴 구면 베셀 함수의 점근식은 다음과 같다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0VUz_jv2tuM0C5vscA99xmppIJqwYgMCu6mpzlwPwbewgLi375RHVms8G1nF6xeZyw4ut4KOKDbmDaxism6f-z2-BK3jdepoiMhgL3lfho0bGK5_E8aj2klv-q72-Iv7pbamNA1lrlutV/s1600/bes57.png)
구면 베셀의 미분 방정식 유도와 비슷하게 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용하면 하면 미분 방정식을 식 (8)처럼 단순하게 만들 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh14gsnmJsBXPR1mgb79jkhBlaiGH_WCOyckMdJEU-ohfFzmIqt-mXGcuQCAFbkLzMsn_Y8YH_4ZlJkjT3VhCMSM_yf4k7VjwRxvyIFE5ltkYc3w-Y7J5COOxS-jhhQadqtUJYe9ZnYlus7/s1600/bes59.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhs0Vy5AmPmGLw840ItoM6Sg7fzdEb-KhmJtSQvH4IiedRNIUr2M3I9F7PExT3JnJjY8KaQlKqJCBmi6dWsuYYwm89MOqOQeVeN5B17ppha9OgY9cdd2d7AVJRUqd9_MuTt2g0tUGTTDbx0/s1600/bes61.png)
그러면 식 (8)의 해는 다음으로 표현되어야 한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvB27CGtnyzqpcmk9lIcY4usS7GGXOl0c1w-07-YCThQpjse3HbhGNSIkPJK_zLstc5iRQ3U7UqSwE98Q3ENTy9K1cTgkMaSKNYBSx1NYU6qqFkl3Y9oSlW6-YPGjfPUnSTN7AqGhT9QRD/s1600/bes62.png)
식 (9)의 정식 명칭은 약간 복잡한 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)이다. 다만 $ z_\nu(\cdot)$가 구면 한켈 함수일 때는 식 (9)를 더 정확하게 리카티–한켈 함수(Riccati–Hankel function)라 부를 수 있다. 위에 갓(hat)을 붙여 표기해서 갓 베셀 함수(hat Bessel function)라 부를 수도 있다. 리카티–베셀 함수의 미분은 베셀 함수의 미분 공식을 이용하면 다음처럼 간략화할 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEianImVio7B8OG3leiji6kiBm85Bzk-3fbkdJbBhpIaWoDmIlGhuqMGcNNGPLsfeOI2n5E3IqZQZ0xMYj5wo-0oTuu2Pjy37SlcZXKptoazIlaoTzxSiCwB6516aeVZBcnUttJAG2MLA2B6/s1600/bes1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3lC8DJm3ve3BgT21VfhmoapZXlSFC_JN6H_Lij6e2MWwRb82qUwcMnd7jDNf97Zq3CeXJF6NUTUvxtY-7BgLs1oFgrLIWJy7W575klMG7PM2BH-M_cokp6SUxV5rRcBkoHO1wseJajW0S/s16000/sb1.png)
식 (10)을 이용하면 구면 베셀 함수의 미분도 다음처럼 표현할 수 있다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgR2O0DVbeclJW7jozYYvAhqMwx6TJfvTcfG-mZBGKligS38kBnIT0aB8TEmHKeVg2chIqbm_6rw2MPrKFZcIF__qwFDtZkZNK3xJM8ozhwIyElP_PBy_itGsUz5NbSHQb-fKEUsnsSzupU/s1600/bes2.png)
1. 기본(basics)
[정의]
(1.1)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzkUBRl18qcZr2tgBcgxF1m7fftagynIZSJiPxkZT-cIgkSN9eodJFqg4vEmanYNzCQ36BQfy3QZ4EUMRoncEHEolfpPPiyUTNNfRw-ZLl1VuYUAsoZUkrGkpOZ6ujU7a822csygDUOTIY_7irWPNZ06_JHYpSlAKglGz5EGM_NhIMsa1ZBL6r9mHPZw/s16000/bf.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBXjHjW3ZWzyz2BVV1Sc_QnVuz2GBQMhAmotVi14-v2J9VDEkb93DUxUwQYEzMTnqesDUNLSecV8y0ypHQiUfkk39Xn3sAG0O2K0Zgp40FlCCKj0GtczNU_JBwv6DCrU24bPg9ZH-Ayie6yEHbU0zkcqdNnVBBWqSiNRoxfuCxlVCxUtlSYArz15GyXw/s16000/sh.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAU79QaC2Ze-tvJWtfoeTlqod2zxmWL05bYZqaSOncNVkLctRJUWcoxu_eoJvMNguHs7c2eBAdWadjXLb0d288D5gRv_ky6XoY8zjny8u4CbWhwREVN2z6IMhOfElHWb31nrhgEO6xwyEKozMkULU2IH1Qe2fblsFVS0PJkPYOvZAVCgDsA95oGAZgrQ/s16000/sb.png)
여기서 $j_\nu(x)$, $n_\nu(x)$는 각각 제$\nu$차 제1종 및 제2종 구면 베셀 함수(the $\nu$th order spherical Bessel functions of the first and second kinds), $h_\nu^{(1)}(x)$, $h_\nu^{(2)}(x)$는 각각 제1종 및 제2종 구면 한켈 함수(spherical Hankel functions of the first and second kinds)이다.
[증명]
제2종 베셀 함수의 정의식에 식 (1.1)을 넣어서 식 (1.2a)를 얻는다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl2cr0QW-tkmO17Di0Di2ZP5oZr6iPxAzTRaC6vBQrDka7AaFoDzwLhu2pQYOpLpWHAmbqRXR6fvkM00nvWCsihIvY3KZ3_HMU0WhHumaSW9jSH4FLHrgEtsSKx3TBKOhtBy5gokSkajsv/s1600/diff158.png)
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![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijCt0XTHqLlXYijde0WT2Lcwc_1T-i7s9wbseWPkNGm9smUmPCI-G5-rbtIYaosQyIwxPZ-dErdrKEh51rdYeNCACd1dTn3Wm3UrNEOqjD_nmrjLWOglL0XPDp8rxjg52RzLcGMHFZbWKPJePDppWa-W4632Re0h9OiEl07DZ6EHkAqttHUjsIHmQtjA/s16000/sh.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeR8OKL8rrPDqRHpHLK5KLNys6-wkcaGHLy134mt1u1InSLbGo11D_JLiLD9WYhde7GFo0GR9THuRwZ5w9FQW62PWJnE4kI8BYE7MjY0yFIhfDUvqmp-aSDKA-_nz06pa1bHf2BqcS8v8Z2AAT9pkzEzl6RkF8uFiM-QPygVRlkaQZHtTNM7kG3LI1ug/s16000/sh.png)
[증명]
함수 $j_0(x)$는 식 (2.1)로 구한다. 차수 $n$이 0보다 큰 $j_n(x)$의 표현식에는 레일리의 공식인 식 (2.2)를 사용한다. 차수가 0보다 작은 $j_n(x)$은 식 (4.1)로 얻는다.
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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsNGAaDrGCxtWxh8-I62sCy5glvu4GIGHf79LixD9xgDQHceVd031Y5HKGonAonLwpeGtvXCuvlEA58cBCHjwVTI5Os5vLsd_x6VLNqwlgli_D3IWxNWLj53kwu-XFAUF7ZlCkmcnCNvB517eAWM1oHNw6hQJJ3-0bLxf-4l1yhknv7meB9oQk4V2hCvZf/s16000/cf.png)
제곱근 함수의 주치(主値, principal value)를 사용해 식 (5)에 $-x$ = $e^{\pi i}x$를 넣는다. 그러면 $\sqrt{-x}$ = $i \sqrt{x}$, $J_{n+0.5}(-x)$ = $e^{(n+0.5) \pi i}J_{n+0.5}(-x)$이 나와서 분자와 분모에 있는 $i$는 상쇄되므로 식 (1.6)이 얻어진다.
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구면 베셀 함수의 동등성(parity)은 베셀 함수의 동등성과 완전 동일하다. 하지만 나오는 과정은 전혀 다르다. 식 (1.6)을 증명하기 위해서는 제1종 베셀 함수의 해석적 연속(analytic continuation)을 꼭 써야 한다.
2. 함수 표현식(function representation)
[삼각 함수의 거듭제곱]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixSUvcGBgKF_VTDEzX-xcUa7bdZ2HoMAtducAMITJGnzA8G3r_VHvtFZnR3UhIkzE6Tot1FztyqXs55xx9Ng8F9JbSkZ4vEZ8joViIbZPBrX5qHt6tg63AROzHgH63HSyJsWOJFPVdRgO5oAlpDTl_QVaoTaKdigdgCZOteImLqyZKWAZTDcIXZmnGEg/s16000/bf.png)
피적분 함수로 삼각 함수의 거듭제곱을 가진 제1종 베셀 함수의 적분 표현식에 식 (1.1)을 넣어서 증명한다.
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[레일리의 공식(Rayleigh's formula)]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq1oVg8nQd3aiPezBQN4LoGjyAblh52GYZ57SYT3OtENd3_leRYFH-nVZ5ak_bcZt9Bs7iX51qWyrM04f2mHIkxb2Uk3QsKCkYu0PQnZe059Xh2qk901OoEWCPUCZcGKDuq1m5tFLUC2vTNtVsPxRjRPFaXERvVmTZX2vubHVZsEdQ2jncj2U1n4XLfQ/s16000/sh.png)
식 (4.4)의 둘째식에 $\nu$ = $n$을 대입한다.
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[르장드르 함수(Legendre function)] [1]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-Q36ZkqM_EpbzoF47NmYsd2VGz1gMEVj5Cn1FZ45lHBauG-LQC4YuBYPi_mFop0E2v0HYgXbTYJq15KsM9reHZ4KoVRpnHfIs6oaaeps4k27X0KUhfeZaFgQZMNUx6aB5RmeJmJmteEvN-UQ8_LKdzRl1_MHKJ2Lvfixs__W5PnlIS5Ra3gtWjA66lA/s16000/sb.png)
식 (1.4)에 있는 $j_0(x)$를 식 (2.2)에 넣고 적분으로 바꾼다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDdnEIP4YrdSO6yz9u_6emWY23RXZlzXo8b7v8Jqy41A6B8e1oDGSz3y_iYsGbt1emZoTwvapkOKKH84a27XIRsfCPUiZsdVQqUjmlIZK78LMkDNxuyfXHcarJ6Lmlcvlm_mgR2pBEdPYHTNqOMn0Y8iv4IdxLOWPPyejTnzO9F0-I9xgmuJcAUQUt-w/s16000/sb.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9aaW5cfMaJMIwHJuRXiYNblvVebkJ5FMkMg8J8uzbCeGbN3k-f9pWttk5IrFQJJ4QXvcUaSuXrbP8RJahv3KcDWWqGdJG22iHeKiMedA_F-V1QpcTOmxSHdrepTjIg9uBmyABayo1HZbJfVzrilUtMADcxqPId7YReXcMT62Ol5hxWnFpYUeq5dkcCA/s16000/sb.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiej7sYh2kLJhyCZMrfwpSeCYUx3Twd32j7sRQ_YHnjYePe3WL5nXxuWwOZptq8QOQ-VeXJN0Zi-ARFwRwYYsm7L5r61esSmN73fO3J3jAEJ2jjm319SEqMDVpr8VPdjUC3WAmESsfI1sbYoHxqDIVHG9ZGReqJeuGStbaV5f9qLpPy7ru_aTpO8UKnQ/s16000/sb.png)
식 (2.5b)를 식 (2.4)에 대입해서 $P_n(x)$에 대한 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 사용한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij73vL9MyGJgywsX1cz4blDrwnsZrmHMPPVohdN_QSJ7hhpU4BSWSoiVS2wYFjJmIk42TFRU3Fq5VcsbDyacbD5OsUNZ0pPv0flIkwn35lBJevhDIYahDUc6sGuUQXh63iPgSQjCfjYJa-mpE4XM99tc9zCfxXduXHEUiHST-FEYWFb9h3vAUGxXDr6w/s16000/sb.png)
______________________________
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_GL0R9jQsTNs4bbmAQcnwXGp-GT2lgtQpsJj04ZrPCMsp0RDsGY-iCQSQFxnNFsZ1zOCECPA7LGwt6RAMTd-_S5QCjaJWGQmZ3PAd6aZ6ZFoqelvsuT6VnQc6fus5GOTHu0MuSMKCGMhE76RAwymjmhL8KA-r6YbPlx-93AFq99y9xNF9VMrOiYkuECXl/s16000/sb.png)
여기서 $m$은 $\xi$에 대한 $m$번 미분이다.
[증명]
식 (2.3)을 $m$번 미분해서 정리하면 증명된다.
______________________________
구면 베셀 함수의 고계 미분이 복잡하다면, 차라리 식 (2.7)의 적분으로 답을 구할 수도 있다.
여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분이다.
[증명]
(3.2)
식 (3.1)의 셋째식은 각 항을 분배해서 함수 행렬식의 특성을 쓴다.
함수 행렬식의 정의에 식 (11)을 넣고 베셀 함수의 함수 행렬식으로 만들어서 식 (3.1)의 첫째식을 유도한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho0hqsDmw83SB6aMN9hpYHMEgdnddET94QfGaBNXlbhhyNDQG3vVmFxlIqI9VANcHHU_qugz1MGoyey5FoxiupoIsT4H6xj74w-J2Tasks2dT2MMA_3ix9mwLENlFvz_Hd-tvAKLkGYEfzkp0NzE64Ry7wQAgb1YSSLHe-dG4RUufw0HL53Ne0FMNmTQ/s16000/sb.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTpsrw7DK0FFSsxAKR6vl2GcR7sFADmmLFUPyg_UTMihmqgGvMd7XvQdKn4dxxtnqDkK9AwTKjE-4lgw9iRY-yEsx2yg52RjZ4ugbtT11L48bBsmpxtkYAdbsK-iV4A11CNK7m9WKoKSIpnJ2S-tCarGWOQWlNZiLVhtCYCvHu8UiVk9dh0zj-i5gwNQ/s16000/bf7.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEistQGXt0jJCdyfNkz1lq6XurpHwGefqynU467VwVHICC6IAmI86sNJQI3oddnO2qVp-cpFT8f_IMsTLTu-K2u2pfpJ9Xfvauxogxk0BltBnWoNdQ1KEWp9EQGBArU1pGubt_pAUVY8cyjpxwIvjx7OmW88UU0aqWgcaY0Fn_8S7dCYCaXyGWId8WkfLA/s16000/sb.png)
______________________________
[리카티–베셀 함수]
(3.5)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlo6a9ksxBWE2PmTB_a8m01BI_nw0h1JIYKPHFwGlu6mFGUi8BuqiaKVA915e0gmLyfZC730nZwwkbPmyb8nUqpuux-ImVtLD35SXTppz-IGaGg7AGeGCyd-KIFkmjKu46DGAXsovZaQ7ST5mS7bynYieZ-4j9LBYK1dtNkdxsRgKJQgscaDis0tYWsg/s16000/sb.png)
[증명]
(3.6)
식 (9)를 사용해서 리카티–베셀 함수를 구면 베셀 함수로 바꾸어서 계산한다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGV-Z_XoWZaJg8ZcNwsWz2iY-k-bT6rQNAMnnYVzpAvw7i90Y5H8jcgskjx_G5ngl-mSXstUBAqXum2nWXZxBH4zAoM1LL2I6CLGNTvhQBD6EUo2URlmJBeEmmYtGMeTpvpLejx_Cl3W7mI2Up9TGrnr1Yvw3fMFVjqrAGxET-yDxrVkR2hgJ09DeNHQ/s16000/sb.png)
______________________________
4. 재귀 관계(recurrence relation)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0L8ZB7U0AUeKVtA4lWCKfuedHcJygeHEI5YmyAy7DQWzT_AXjYdmEOrXyjujh5uKcIdjV638i9puTidc9RcUJiubKh8_2VjdAeHe541Fvno-uiFftKyY1wb7Q-v7IcpuVUC0ie7OGv7hpbQ1jU9Y0DdxDbWt8dd5yo0vOxZqxZq4z1iJGDPyP6Z1diw/s16000/sh.png)
[증명]
(4.2)
(4.4)
5. 특정값(specific value)과 극한(limit)
[점 $x$ = $0$의 극한]
(5.1)
베셀 함수의 합을 위한 재귀 관계에 식 (1.1)을 넣어서 정리한다.
______________________________
[구면 베셀 함수의 미분]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtsn9CzN2lGUEOEaf2_KqE-bRLYkIVQORKFPARGonIJ3Q0Ab0AKMsfrFcJHUj572upUm7ac7bGBBOUDSG48OOVeS5fN-GjoLZjUfqqvMFG6nXuRolrHjeedaA3aGrGKY5TT9WWND78SgOIEe0BjdmKp7by9B_ZwpfF9dVbbD5-qza61KtSLXVPYTQVrw/s16000/sh.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBXvd6qseiOV7UweQQ8t0WDX4PdTwcsC9qfolslvzGwbsg_ETPpBKZ2wRN2m7fRdYN0GblrfYOcUbQN_yKRESy5bkvrkAiOp3hc7KK6eUp4d9Z2HSZrLr2Ny5nAt86z4SzxarAMxZHeQkbp4B9lpULNfRaETkDVNj5d09xp17dDbGu-AGHlOVBSp0s-A/s16000/sh.png)
여기서 $n$은 0이거나 양의 정수이다.
[증명]
(4.5)
식 (4.2)를 $x^\nu$로 나누고 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)을 적용해서 식 (4.4)의 첫째식을 만든다.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUCkSGfUXgkyWoGWUKCktPk1UnjGPoKXPK-0-ntZ-8-LGjK8Gt4qZSPsl0HH76S2o1_I641TZ0pmn0ltwTyDFx_5yC0R1FIQaXc706KcBwD1SccvER7xfS2RJ3H_3rqAlx8K3f9msKGOWCUMuYfytcRnByZQn3mNpHF0dMepShKmkoqFmKnPggH2KoQg/s16000/sh.png)
______________________________
만약 $\nu$ = $n$이면 식 (4.4)의 둘째식은 식 (2.2)에 나오는 레일리의 공식(Rayleigh's formula)으로 간략화된다.
5. 특정값(specific value)과 극한(limit)
[점 $x$ = $0$의 극한]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH_FVNschQdJ1DRq7x8kVGOsLfzKC-pFrg111csCVBwTGiGRKJwXeMnQuVmQMA-3oMsWBkmjoxHJp_M9mEl__BWfAyjZ6oMY0G3hQIfisItKqUg1ZAe573KwJVet2ArL5gc3OvBxX63oNkLeq_EwvqJikRz2vWvpNN-4FJecLZ4KhIDQ5eUSsCYPmQsKI1/s16000/sb.png)
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제1종 베셀 함수처럼 $x$가 0으로 갈 때 제1종 구면 베셀 함수도 $x^\nu$ 비율로 변한다.
[참고문헌]
[1] K. Cahill, Physical Mathematics, 2nd ed., Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2019.
[다음 읽을거리]
식 (4)의 3번째 줄부터 du/dx 계수에 2가 없어야 할 것 같아요.
답글삭제지적 정말 감사합니다, Unknown님 으TL
삭제오랫동안 틀려 있었네요.