2013년 2월 10일 일요일

구 좌표계의 전자장 표현식(electromagnetic field representations in spherical coordinate)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 평면파를 이용한 푸리에 변환기법
5. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
6. 원통 좌표계의 전자장 표현식
7. 구면 베셀의 미분 방정식
8. 르장드르의 미분 방정식

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데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)나 원통좌표계(circular cylindrical coordinate system)와는 다르게 구 좌표계(spherical coordinate system)의 전자장 표현식은 구하는 게 만만치 않다. 왜냐하면 데카르트 좌표계의 $x,y,z$축 단위벡터(unit vector), 원통좌표계의 $z$축 단위벡터는 위치에 관계없이 방향이 고정이지만(or 미분하면 0이 되지만) 구 좌표계의 $r,\theta,\phi$방향 단위벡터는 위치마다 방향이 바뀌어 미분해도 0이 되지 않기 때문이다. 따라서 구 좌표계의 전자장 표현식은 특별한 기법을 도입해서 유도해야 한다. 바로 벡터 포텐셜(vector potential)을 이용하는 것이다.
구 좌표계처럼 단위벡터가 위치마다 계속 바뀌는 경우는 전자장 표현식을 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 기반으로 표현하는 것은 다소 번거롭다. 이를 현명하게 해결하는 것이 벡터 포텐셜이다. 벡터 포텐셜에는 우리가 자유롭게 택할 수 있는 게이지 조건(gauge condition)이 있기 때문에 전자장 표현식을 말끔하게 만들 수 있다. 예를 들어 전기 원천(electric source)만 공간에 존재하고 있다면 우리는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)을 사용해야 한다. 그러면 자기 벡터 포텐셜 $A$는 전기장 $E$와 자기장 $H$를 다음과 같은 순서로 만든다.

                        (1)

포텐셜(potential) 기반 파동 방정식(wave equation)을 이용해서 다음 관계식을 만들자.

                         (2)

                         (3)

                        (4)

식 (2)와 (4)에 페이저(phasor)를 적용해 파동 방정식을 만들면 다음과 같다.

                         (5)

                         (6)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이며

                         (7)

정상적인 상황이라면 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)를 이용해 식 (6)의 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi_e$를 자기 벡터 포텐셜로 바꾸겠지만 구 좌표계에서는 그렇게 하지 않는다. 이걸 이해하기 위해 식 (6)을 구 좌표계에서 정리해보자. 쉽게 유도하기 위해 자기 벡터 포텐셜은 $r$방향만 있다고 가정한다. [∵ 도파관(waveguide) 이론을 고려하면 당연하다.] 왜냐하면 $r$방향만 알면 식 (3)을 이용해 $B$를 구할 수 있고 식 (1)에 의해 $E, H$를 구할 수 있기 때문이다. $r$ 대신 $\theta,\phi$방향을 택하더라도 유도과정은 동일하다.

                         (8)

                         (9)

식 (8)과 (9)의 $\theta,\phi$방향 성분을 고려하면 구 좌표계를 위한 게이지 조건을 다음처럼 유도할 수 있다.

                         (10)

그러면 식 (6)은 $r$방향 성분만 남게 되어 다음으로 간략화될 수 있다.

                    (11)

식 (11)을 풀기 위해 강력한 편미분 방정식(partial differential equation) 해법인 변수 분리법(separation of variables method)을 적용하자.

                         (12)

식 (12)에 있는 편미분 방정식들을 분해하면 다음 미분 방정식들을 얻을 수 있다.

                         (13)

식 (13)의 둘째식은 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation), 세째식은 구면 베셀 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)의 일종이다. 따라서 최종답은 다음처럼 표현되어야 한다.

                         (14)

여기서 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_+,C_-$는 적분상수, $\hat{Z}_n (\cdot)$과 $\hat{B}_n (\cdot)$은 서로 독립적인 갓 베셀 함수(hat Bessel function), $P_n^m(\cdot)$과 $Q_n^m(\cdot)$은 제1종과 제2종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 갓 베셀 함수의 정식 명칭은 리카티-베셀 함수(Ricatti-Bessel function)이다. 갓 베셀 함수와 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 다음 관계를 가지고 있다.

                       (15)

여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다.
이상의 결과를 바탕으로 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.

                       (16)

여기서 상수 $A_{nm}$은 자기 벡터 포텐셜의 계수이다. 식 (16)에 있는 제1종 갓 한켈 함수(hat Hankel function of the first kind)는 복사 조건(radiation condition) 때문에 선택되었다.
데카르트 좌표계와 원통좌표계 표현식을 구 좌표계와 비교하면 재미있는 것을 하나 발견할 수 있다. 데카르트 좌표계와 원통좌표계 표현식은 필연적으로 무한적분을 포함하지만 구 좌표계 표현식은 무한급수만 가지고 있다. 적분이 없어 식 (16)은 미분과 적분을 하기 좋지만 실제로 계산한다면 식 (16)은 좋은 식이 아니다. 왜냐하면 무한급수는 발산하는 경우가 있고 수렴하더라도 수치해석적으로 발산할 수 있기 때문이다.

편미분 방정식 (11)을 좀 다른 관점으로 보자. 먼저 구 좌표계의 라플라시안을 생각해보자.

                       (17)

식 (11)과 (17)을 비교하면 $\partial/\partial r$ 부분을 제외하고는 동일하다. 또한 편미분 $\partial/\partial r$ 부분은 다음처럼 쓸 수 있다.

                       (18)

식 (17)과 (18)을 고려하면 식 (11)은 다음 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)으로 바뀐다.

                       (19)

식 (19)는 전자장 표현식을 임의 좌표계로 확장할 때 매우 중요한 의미를 가진 미분 방정식이다. 즉, 식 (19)와 같은 스칼라 헬름홀츠 방정식을 이용하면 임의 좌표계의 전자장 표현식을 쉽게 구할 수 있다. 이런 기법은 MNL 함수를 이용한 전자장 표현식(electromagnetic field representations with MNL functions)이라 부른다.

댓글 7개 :

  1. 본문과는 관계없지만
    인덕터에서 전압과 전류의 위상차에 대한 알고 싶은게 있습니다.
    인덕터에서 전압과 전류사이에 위상차가 발생한다고 했는데 그 위상차가 항상 90도인지 아니면 인덕터 용량과 주파수에 따라 달라지는지가 궁금합니다. 그리고 짧은 도선도 인덕터로 봤을 때 이때도 전압 전류간 위상차가 생깁니까?
    전체에너지 전달 측면에서 전류 전압간 위상차는 전력에너지 전달을 방해하나요.
    제일 궁금한 점은 앰프와 스피커 그리고 이를 연결하는 전선사이의 인덕턴스에 의한 전류 전압간의 위상차를 어떻게 해석해야 하나 입니다.

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    1. 인덕턴스만 있으면 반드시 위상차는 90도가 나야하며 인덕턴스 혹은 주파수와는 관계없습니다. 하지만 손실 성분인 저항이 있으면 당연히 영향을 받습니다.

      대략 경험적으로 얇은 선인 경우 1 [mm] 당 1 [nH] 정도의 인덕턴스가 있습니다. 주파수에 따라 다르지만 당연히 위상차도 있습니다.

      전류와 전압의 위상차가 있으면 평균전력이 약해집니다. 따라서 에너지 전달 측면에서는 손해입니다.

      스피커는 저주파 회로 소자(대략 인덕터 + 저항)라서 전송선 이론을 쓸 필요없이 회로이론만 써도 잘 해석됩니다.

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    2. 답변 감사합니다.
      그런데 더 혼란스러워 졌습니다.
      모든 도선을 인덕터로 생각하면 전압 전류간 위상차가 90도 발생할테고 그러면 실효전력이 0이 되는게 아닌가요? 겨우 임피던스에 대해 이해 했다고 생각했느데 전압 전류 위상 문제를 생각하니 머리 속이 정리가 안됩니다.
      한 30년전쯤 전자공학 개론을 배우적은 있으나 지금은 용어만 생각나는 수준이라 혼란스럽습니다.
      일반 단상 60Hz 전원에 아주 작은 인덕터 도선을 연결해도 위상차가 난다면 실효전력을 어떻게 봐야 합니까?

      니번 기회에 이해하려 선생님께 추가적인 질문이 있으니 제 메일로 답신주시면 송구하나 추가적 질문을 하고 싶습니다.
      제 메일은 idmea@naver.com 입니다.

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    3. 인덕턴스 정의에 나오는 전압은 인덕터 양 끝의 전압입니다. 그래서, 인덕터가 소비하는 평균전력이 없는 것입니다.
      그래서 전력을 실제 소비하는 것은 저항 부분입니다. 저항에서는 전압과 전류 위상이 동일합니다.

      제 이메일은 iGhebook@gmail.com입니다. 더 필요하시면 이쪽으로 메일 주세요.

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  2. 식 (11)에서 r방향 성분만 남는 이유는 무엇인가요? 식 (6)에서 gradient가 있으니 phi와 theta방향의 단위벡터가 붙은 성분을 없앨 방법을 모르겠네요 ㅜㅜ

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    답글
    1. 식 (10)의 마지막 줄에 있는 게이지 조건을 적용하여 나머지 방향의 성분을 없앱니다. 게이지 개념에 대해서는 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/magnetic-field.html

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    2. 아아 그냥 식 (6)의 우변을 좌변으로 전부 넘긴것이었군요... 식을 따라가다 착각을 했나봅니다. 감사합니다 :)

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