구 좌표계의 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations in Spherical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법
5. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식

6. 원통 좌표계의 전자장 표현식
7. 구면 베셀의 미분 방정식
8. 르장드르의 미분 방정식

9. 버금 르장드르 함수

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데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)나 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)와는 다르게 구 좌표계(spherical coordinate system)의 전자장 표현식은 구하는 게 만만치 않다. 왜냐하면 데카르트 좌표계의 $x,y,z$축 단위 벡터(unit vector), 원통 좌표계의 $z$축 단위 벡터는 위치에 관계없이 방향이 고정이지만[혹은 미분하면 0이 되지만] 구 좌표계의 $r,\theta,\phi$방향 단위 벡터는 위치마다 방향이 바뀌어 미분해도 0이 되지 않기 때문이다. 따라서 구 좌표계의 전자장 표현식은 특별한 기법을 도입해서 유도해야 한다. 이 기법은 벡터 포텐셜(vector potential) 이용하기이다. 구 좌표계처럼 단위 벡터가 위치마다 계속 바뀌는 경우는 전자장 표현식을 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 기반으로 표현하기는 다소 번거롭다. 이를 현명하게 해결하는 개념이 벡터 포텐셜이다. 벡터 포텐셜에는 우리가 자유롭게 택할 수 있는 게이지 조건(gauge condition)이 있기 때문에 전자장 표현식을 말끔하게 만들 수 있다. 예를 들어 전기 원천(electric source)만 공간에 존재하고 있다면 우리는 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)을 사용해야 한다. 그러면 자기 벡터 포텐셜 $A$는 전기장 $E$와 자기장 $H$를 다음과 같은 순서로 만든다.

                        (1)

포텐셜(potential) 기반 파동 방정식(wave equation)을 이용해서 다음 관계식을 만든다.

                         (2)

                         (3)

                        (4)

식 (2)와 (4)에 페이저(phasor)를 적용해 파동 방정식을 만들면 다음과 같다.

                         (5)

                         (6)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이며

                         (7)

정상적인 상황이라면 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)를 이용해 식 (6)의 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\phi_e$를 자기 벡터 포텐셜로 바꾼다. 하지만 이 방식은 구 좌표계의 표현식을 정리하지 못하고 지저분한 상태로 내버려둔다. 이 개념을 이해하기 위해 식 (6)을 구 좌표계에서 정리해본다. 쉽게 유도하기 위해 자기 벡터 포텐셜은 $r$방향만 있다고 가정한다.[∵ 도파관(waveguide) 이론을 고려하면 당연하다.] 왜냐하면 $r$방향만 알면 식 (3)을 이용해 $\bar B$를 구할 수 있고 식 (1)에 의해 $\bar E, \bar H$를 구할 수 있기 때문이다. $r$ 대신 $\theta, \phi$방향을 택하더라도 유도 과정은 동일하다.

                         (8)

                         (9)

식 (8)과 (9)의 $\theta,\phi$방향 성분을 고려해서 구 좌표계를 위한 게이지 조건을 다음처럼 유도할 수 있다.

                         (10)

그러면 식 (6)은 $r$방향 성분만 남게 되어 다음처럼 간략화될 수 있다.

                     (11)

식 (11)을 풀기 위해 강력한 편미분 방정식(partial differential equation) 해법인 변수 분리법(separation of variables method)을 적용한다.

                         (12)

식 (12)에 있는 편미분 방정식을 분해하면 다음 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                         (13)

여기서 $\phi$방향으로 $2 \pi$인 주기를 가져야 해서 $m$은 정수, 모든 $\theta$에서 $\Theta (\theta)$를 유한하게 만드는 필요 조건으로 인해 둘째식의 우변은 정수이며 $-n(n+1)$이어야 한다. 식 (13)의 둘째식은 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation), 셋째식은 구면 베셀의 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)의 일종이다. 따라서 최종 답은 다음처럼 표현되어야 한다.

                         (14)

여기서 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_+,C_-$는 적분 상수, $\hat{Z}_n (\cdot)$과 $\hat{B}_n (\cdot)$은 서로 독립적인 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function), $P_n^m(\cdot)$과 $Q_n^m(\cdot)$은 제1종과 제2종 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 리카티–베셀 함수와 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 다음 관계를 가지고 있다.

                       (15)

여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다. 이상의 결과를 바탕으로 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.

                       (16)

여기서 식 (14)의 $Q_n^m(\cdot)$은 발산점이 있어서 제거, 상수 $A_{nm}$은 자기 벡터 포텐셜의 계수이다. 식 (16)에 있는 제1종 리카티–한켈 함수(Riccati–Hankel function of the first kind)는 복사 조건(radiation condition) 때문에 선택된다. 데카르트 좌표계와 원통 좌표계 표현식을 구 좌표계와 비교하면 재미있는 부분이 하나 있다. 데카르트 좌표계와 원통 좌표계 표현식은 필연적으로 무한 적분을 포함하지만 구 좌표계 표현식은 무한 급수만 가지고 있다. 적분이 없어 식 (16)은 미분과 적분을 하기 좋지만 실제로 계산한다면 식 (16)은 좋은 식이 아니다. 왜냐하면 무한 급수는 발산하는 경우가 있고 수렴하더라도 수치 해석적으로 발산할 수 있기 때문이다.

편미분 방정식 (11)을 좀 다른 관점으로 본다. 먼저 구 좌표계의 라플라시안을 도입한다.

                       (17)

식 (11)과 (17)을 비교하면 $\partial/\partial r$ 부분을 제외하고는 동일하다. 또한 편미분 $\partial/\partial r$ 부분은 다음처럼 쓸 수 있다.

                       (18)

식 (17)과 (18)을 고려해서 식 (11)을 깔끔한 스칼라 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)으로 바꾼다.

                        (19)

식 (19)는 전자장 표현식을 임의 좌표계로 확장할 때 매우 중요한 의미를 가진 스칼라[벡터 특성이 없는] 미분 방정식이다. 즉, 식 (19)와 같은 스칼라 헬름홀츠 방정식을 이용하면 임의 좌표계의 전자장 표현식을 쉽게 구할 수 있다. 이런 기법은 MNL 함수를 이용한 전자장 표현식(electromagnetic field representations with MNL functions)이라 부른다. 원래 전자장 미분 방정식은 벡터 기반이므로 식 (8)을 그대로 풀어야 하나 벡터라서 복잡하다. 그래서 더 쉬운 식 (19)와 같은 스칼라 기반 미분 방정식을 풀고 MNL 함수를 이용해 벡터 기반 전자장 표현식으로 바꾼다.

식 (6)과 (10)을 합쳐서 전기장 $\bar E$의 공식도 쉽게 유도할 수 있다.

                       (20)

게이지 조건을 식 (10)으로 선택함으로써 $\bar E$의 $r$방향 성분이 특히 간단해진다.

                       (21)

또한 식 (13)의 셋째줄에 따라 $n(n+1)$ = $0$은 $n$ = $0$ 혹은 $-1$을 나타낸다. 이 조건은 식 (21)을 0으로 만들어서, 파동이 $\hat r$에 대한 TEM(橫電磁氣, 횡전자기 혹은 가로 전자기, Transverse ElectroMagnetic)파가 되게 한다. 왜냐하면 구면 베셀 함수인 $\hat H_n^{(1)}(kr)$은 식 (13)의 셋째줄을 만족해서 식 (21)이 0이 되도록 하기 때문이다. 차수 $n$ = $0$ 혹은 $-1$ 이외인 경우는 식 (21)이 살아남아서, 전자파는 전형적인 TM(橫磁氣, 횡자기 혹은 가로 자기, Transverse Magnetic)파로 전파된다.  

[다음 읽을거리]
1. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

2. 구면 조화 미분 방정식

3. 구면 한켈 변환