조금은 느리게 살자: 데카르트 좌표계의 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations in Cartesian Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "데카르트 좌표계의 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 균일 평면파의 의미
5. 푸리에 변환
6. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법

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맥스웰 방정식(Maxwell's equations)부터 출발해서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 전자장(electromagnetic field) 표현식을 만든다. 원천(source)이 없는 경우의 맥스웰 방정식 기반 파동 방정식(wave equation)은 다음과 같다.

(1)

식 (1)에 페이저(phasor)를 적용하면 다음 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)을 얻을 수 있다.

(2)

(3)

여기서 파수(wavenumber) $k$는 다음처럼 정의한다.

(4)

다음으로 전기장 $E$를 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 표현한다.

(5)

도파관(waveguide) 이론의 증명처럼 식 (5)의 벡터 성분 중 하나만 구하면 나머지 성분을 차례로 알 수 있다. 그래서 식 (5)에서 $z$방향 전기장을 택한다.[혹은 $x, y$방향 전기장을 택해도 결과는 같다.] 이 방향을 뽑는 이유는 단순하다. $x, y$방향처럼 $z$방향 단위 벡터(unit vector) 성분은 항상 고정이므로[혹은 공간상에서 변하지 않으므로] 미분을 하면 0이 되기 때문이다.

(6)

식 (6)에 의해 데카르트 좌표계 전자장 표현식은 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)을 푸는 문제로 바뀐다. 스칼라인 경우 데카르트 좌표계의 라플라시안(Laplacian)은 다음으로 표현된다.

(7)

식 (7)을 식 (6)에 대입해 편미분 방정식(partial differential equation)을 하나 만든다.

(8)

이제 거의 결론에 도달했다. 식 (8)만 풀면 모든 답을 구하게 된다. 하지만 식 (8)과 같은 편미분 방정식을 일반적으로 어떻게 풀까? 애석하게도 편미분 방정식을 푸는 일반적인 방법은 없다. 하지만 편미분 방정식에 유용하게 쓰이는 변수 분리법(separation of variables method)이 있다. 변수 분리법은 편미분 방정식의 해가 각 변수에 대해 곱셈으로 분리될 수 있다는 가정을 하고 있다. 모든 경우에 성립하지는 않지만 답을 유추할 때 매우 유용하게 쓰일 수 있다. 오일러Leonhard Euler(1707–1783)도 빈번하게 사용했었기 때문에 변수 분리법의 역사는 매우 오래 되었다. 오래 된 만큼 검증이 잘 되었기 때문에, 식 (8)에도 변수 분리법을 적용한다.

(9)

식 (9)의 셋째줄을 보면 각 항은 $x, y, z$만의 함수이다. 따라서 이 관계가 모든 $(x, y, z)$에 대해 성립하려면 각 항이 상수가 되어야 한다. 따라서 다음이 반드시 성립해야 한다.

(10)

여기서 $\xi,\eta,\zeta$는 식 (10)의 마지막 관계식을 만족하는 임의의 상수이다. 식 (10)의 미분 방정식은 계수가 상수인 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)이므로 지수 함수(exponential function)를 대입해 쉽게 풀 수 있다.

(11)

(12)

예를 들어 $x$축에 대한 결과는 다음과 같다.

(13)

여기서 $A_+, A_-$는 적분 상수이다. $x, y, z$축 결과를 모두 모으면 $z$방향 전기장은 다음처럼 표시된다.

(14)

여기서 $A_+, A_-, B_+, B_-, C_+, C_-$는 적분 상수이다. 하지만 전기장이 식 (14)처럼 예쁘게 변수 분리된다는 보장이 있는가? 우리가 답을 끼워맞춘 것 같기도 하다. 너무 걱정할 필요는 없다. 우리는 제대로 된 길을 왔으며 우리가 찾은 식 (14)는 정답이다. 왜냐하면 우리에게는 유일성 정리(uniqueness theorem)가 있기 때문이다. 유일성 정리에 의해 경계 조건만 정해지면 어떤 방식으로 답을 찾든 그 답은 유일하기 때문에 변수 분리법으로 찾은 식 (14)도 답이 되며 다른 방식으로 구한 답과 수학적으로 완전히 동일하다.

최종식 (14)는 식 (6)을 만족하는 일반해이다. 하지만 여기서 끝날까? 아니다. 식 (14)는 일반해이지만 임의의 전기장을 표현할 수는 없다. 왜냐하면 지수 함수는 모든 함수를 표현할 수 있는 완비성(completeness)이 없기 때문이다. 이 문제를 해결하는 답이 그 유명한 푸리에 변환(Fourier transform)이다. 식 (14)를 푸리에 변환을 이용해 완벽하게 표현하면 다음과 같다.