구면 한켈 변환(Spherical Hankel Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 한켈 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 한켈 변환

2. 구면 조화 미분 방정식

3. 구 좌표계의 전자장 표현식

파동 방정식을 구 좌표계에서 표현하면, 모든 파동 함수 $f(r,\theta ,\varphi )$를 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m(\theta ,\varphi )$를 포함한 급수로 전개할 수 있다.

                          (1)

여기서 $f_{nm}(r)$은 파동 함수의 진행 방향 복사 특성을 뜻한다. 식 (1)에 구면 조화 함수의 직교성(orthogonality of spherical harmonics)을 적용해서 $f_{nm}(r)$을 $f(r,\theta ,\varphi )$로도 공식화한다.

                          (2)

구 좌표계의 급수 전개인 식 (1)을 더욱 확장해서 원통 좌표계의 한켈 변환(Hankel transform)에 대응하는 구 좌표계의 구면 한켈 변환(spherical Hankel transform)을 새롭게 정의한다[1]. 다른 적분 변환처럼 구면 한켈 변환의 시작점도 푸리에 변환(Fourier transform)이다. 3차원 푸리에 변환을 구 좌표계의 푸리에 변환으로 바꾼다.

                          (3)

여기서 $f(r,\theta ,\varphi )$ = $g(x,y,z)$이다. 식 (3)에 나온 $\cos \gamma$는 구면 조화 함수의 덧셈 정리(addition theorem)와 관계된다.

                  (4)

여기서 $x$ = $r\sin \theta \cos \varphi$, $y$ = $r\sin \theta \sin \varphi$, $z$ = $r\cos \theta$, $\xi$ = $\kappa \sin {\theta }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }$, $\eta$ = $\kappa \sin {\theta }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }$, $\zeta$ = $\kappa \cos {\theta }^{\prime }$, $\mathrm{\Theta }$ = ${\theta }^{\prime }$, $\mathrm{\Phi }$ = ${\varphi }^{\prime }$이다. 식 (3)에 식 (1)과 레일리 전개(Rayleigh expansion) 결과를 넣고 구면 조화 함수의 직교성을 사용한다.

                  (5a)

                  (5b)

                          (5c)

여기서 $j_n(\cdot )$는 제1종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function of the first kind), $F_{nm}(\kappa )$는 $f_{nm}(r)$의 구면 한켈 변환이다. 식 (5c)에 정의한 구면 한켈 변환의 역변환은 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)으로 구한다.

                  (6a)

구면 한켈 변환의 유도와 비슷하게 식 (6a)에 식 (5b)를 넣고 간략화한다.

                  (6b)

식 (6b)와 식 (1)을 비교해서 구면 한켈 역변환(inverse spherical Hankel transform)을 확정한다.

                          (6c)

구면 한켈 변환은 $\theta ,\varphi$ 대신 $r$방향 변화를 집중해서 추적할 때에 매우 유용하다.

[참고문헌]

[1] G. Gonzalez, Advanced Electromagnetic Wave Propagation Methods, New York, USA: CRC Press, 2021.