클레로의 미분 방정식(Clairaut's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "클레로의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분 방정식의 의미

클레로의 미분 방정식(Clairaut's differential equation)은 미분 대수 방정식(微分代數方程式, differential algebraic equation) $F(dy/dx,y,x)$ = $0$을 변형해서 $y$를 기준으로 정리한 미분 방정식이다.

                        (1)

여기서 $p$ = $dy/dx$이다. 식 (1)로 정의한 미분 방정식의 최초 제안자는 클레로Alexis Clairaut(1713–1765)이다. 1734년클레로 30세, 조선 영조 시절에 클레로는 직선의 포락선(包絡線, envelope)을 연구하는 과정에서 이 방정식을 발견했다. 포락선은 봉투라는 뜻에도 있듯이, 우리가 고려하는 곡선 집단에 모두 접하는 혹은 포장하는 곡선이다. 추가적으로 미분 대수 방정식을 $dy/dx$에 대해 정리한 $dy/dx$ = $f(x,y)$는 잘 알려진 1계 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation)이다.

첫눈에 어려워 보이는 클레로의 미분 방정식의 해는 의외로 간단하다. 식 (1)을 $x$에 대해 미분만 하면 답이 얻어진다.

                        (2)

여기서 $f^{\prime }(p)$ = $df(p)/dp$이다. 만약 $dp/dx$ = $0$이라면, $p$ = $k$가 되며 식 (1)에 $p$ 대신 상수 $k$를 넣어서 1차 함수를 만든다.

                          (3)

여기서 $k$는 기울기, $y$절편[$x$ = $0$에서 $y$값]은 $f(k)$이다. 기울기 $k$는 어떤 값이든 될 수 있어서 식 (1)은 이 미분 방정식의 일반해(general solution)라 부른다. 식 (2)가 표현하는 또 다른 해도 있다.

                        (4a)

주어진 $p$에 대해 점 $(x,y)$가 하나로 결정되므로, 기울기 매개변수 $t$를 도입해 궤적을 그리면 새로운 곡선이 된다.

                          (4b)

식 (4b)는 식 (3)을 만족하고 $(x,y)$에서 기울기는 $t$ = $k$이다. 따라서 식 (3)은 식 (4b)의 접선이며, 식 (4b)는 접선 방정식인 식 (3)의 윤곽을 나타내는 포락선이다. 이런 접선과 포락선의 관계를 생성하는 해는 특이해(singular solution)가 된다. 그래서 $x$ = $-f^{\prime }(p)$는 이 미분 방정식의 특이해이다.

[그림 1] $f(p)$ = $p^2$인 클레로의 미분 방정식에 대한 여러 해(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 식 (1)에서 $f(p)$ = $p^2$을 만족하는 모든 해를 가시적으로 보여준다. 함수 $f(p)$는 직선인 일반해의 $y$절편이므로, [그림 1]에 나온 직선의 $y$절편은 항상 0보다 크거나 같다. 이 직선이 모두 모여서 만드는 파란색 곡선은 직선의 포락선이며 식 (4b)로 그린다. 클레로의 미분 방정식에서 나온 특이해는 기하 광학(geometrical optics)의 맹점인 소작 곡선(燒灼曲線, caustic curve)에 해당한다. 즉, 높은 주파수에서 빛의 반사와 굴절을 다루는 기하 광학에서 광선(ray)은 일반해인 직선이며, 이 광선이 모여 집중되면서 문제를 일으키는 소작 곡선은 특이해로 볼 수 있다.

[다음 읽을거리]

1. 기하 광학