베르누이 미분 방정식(Bernoulli Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베르누이 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 선형 상미분 방정식

1계(階) 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation, the first order ODE) 중에서 해법이 알려진 드문 경우가 베르누이 미분 방정식(Bernoulli differential equation)이다. 미적분학 초기 개척자인 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 1695년베르누이 40세, 조선 숙종 시절에 발견한 베르누이 미분 방정식은 내부에 $y^n$이란 비선형성이 있더라도 정확하게 풀린다.

                          (1)

여기서 $n \ne 0$ 및 $n \ne 1$이다. 만약 $n$ = $0$이나 $1$이 되면, 표준 해법이 있는 통상적인 1계 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)에 속해서 굳이 베르누이 미분 방정식 범주에 넣지 않는다. 식 (1)에 정의한 베르누이 미분 방정식을 기준으로 다양한 변형을 가해서 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)이나 로지스틱 혹은 산법 미분 방정식(logistic differential equation) 등에 이를 수 있다.

식 (1)을 풀기 위해 먼저 $u$ = $y^{1-n}$으로 변수 치환하고 미분을 $du$ = $(1-n)y^{-n}dy$, $dy$ = $y^n \mathbin{/}(1-u) \cdot du$로 바꾼다. 그러면 식 (1)은 $u$에 대한 1계 선형 상미분 방정식으로 변형되어서 답을 정확히 구할 수 있다.

                  (2)

식 (2)를 다시 $y$로 기술하면, $y(x)$ = $u^{1 /(1-n)}$ = $1 \mathbin{/} \sqrt[n-1]{u(x)}$를 얻는다.

   1. 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)   

리카티Jacopo Riccati(1676–1754)가 1724년리카티 48세, 조선 영조 시절에 제안한 리카티 미분 방정식은 $n$ = $2$인 베르누이 미분 방정식에 비동차 항 $q_0(x)$[$q_0(x) \ne 0$]을 추가한 형태이다. 리카티는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)로도 유명하다.

                          (1.1)

비동차 항 $q_0 (x)$의 추가는 미미해보여 $u$ = $1/y$로 치환해서 식 (2)처럼 해결할 수 있을 것 같다. 하지만 $q_0 (x)$로 인해 식 (2)로 변형할 수 없어서, 리카티의 제안대로 $u$ = $q_2 y$, $u$ = $- v' / v$로 변수를 교체해야 한다.

                          (1.2a)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분, $du/dx$ = $u'$ = $q_2' y + q_2 y'$이다. 변수 치환 $u$ = $- v' / v$로 인해 $du/dx$는 복잡하게 나오지만 새로운 $u^2$ 항이 출현해 미분 방정식이 자연스럽게 풀린다.

                          (1.2b)

식 (1.2b)는 2계 선형 상미분 방정식이라서 해 $v(x)$는 존재하며 유일하다. 이후에 $y(x)$ = $- v' \mathbin{/} (q_2 v)$로 해를 확정한다.

   2. 로지스틱 미분 방정식(logistic differential equation)   

로지스틱 혹은 산법(算法) 미분 방정식은 $n$ = $2$이며 상수 계수를 가진 베르누이 미분 방정식이다.

                          (2.1)

여기서 $r$은 성장 비율(growth ratio), $k$는 운반 용량(carrying capacity)이다. 운반 용량 $k$가 매우 큰 경우, $r > 0$이면 $y$는 증가, $r < 0$ 조건에서는 $y$가 감소한다. 운반 용량 $k$가 크지 않으면, $r, k$ 및 초기값에 따라 결과는 수렴, 발산, 진동할 수 있다. 로지스틱은 풍부한 함의를 가진 고대 그리스어인 로고스(λόγος, 말씀, 사유, 비례)가 어원이다. 로고스에서 파생된 말인 논리(logic)와 비슷하게 로지스틱은 계산법 혹은 사유법을 의미해서 보통 산법으로 번역한다. 다만 병참(logistics)은 로지스틱과 단어가 거의 같지만 어원은 로고스가 아니고 예전 프랑스어인 로게(loge, 막사)에서 유래한다. 식 (2.1)의 미분 방정식에 붙인 로지스틱 혹은 산법은 지수가 나오는 로그 함수(logarithm)와 다르게 결과가 산술적으로 증가한다는 뜻이다. 즉, 로그 함수가 만드는 지수 함수는 지수적으로 매우 빠르게 커지지만 로지스틱 함수(logistic function)는 산술적으로 천천히 늘어난다. 이때 로지스틱 함수는 식 (2.1)의 해를 나타낸다. 로지스틱 함수란 용어는 페르휠스트Pierre François Verhulst(1804–1849)에 의해 1838년페르휠스트 34세, 조선 헌종 시절에 처음 제안되었다.

로지스틱 함수는 주로 시간에 대해 정의되므로, $x$ 대신 시간 변수 $t$로 바꾸고, 함수도 인구수(population)인 $y$ = $p(t)$를 선택한다. 이 조건으로 식 (2)에 넣어서 시간에 대한 인구수 $p(t)$ 변화를 얻는다.

                          (2.2a)

여기서 $r$ = $ak$, $C$는 적분 상수이다. 시간 $t$ = $0$에서 $p(0)$ = $p_0$으로 두고 $C$를 결정해 $p(t)$를 획득한다.

                          (2.2b)

시간이 계속 흐르면 인구수 $p(t)$가 점근하는 수렴값은 $k$이며, 이때 $k$는 현재 환경이 수용할 수 있는 최대 인구수가 된다.

[그림 2.1] 표준 로지스틱 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

식 (2.2b)를 바탕으로 로지스틱 함수의 일반형(general form of logistic function)을 정의한다.

                          (2.3a)

여기서 $M, m$은 각각 로지스틱 함수의 최대값 및 최소값, $k/4$는 최대 기울기 혹은 $t$ = $t_0$에서 기울기이다. 표준 로지스틱 함수(standard logistic function)는 $m$ = $0$, $M$ = $1$, $k$ = $1$, $t_0$ = $0$인 경우이다.

                          (2.3b)

로지스틱 함수는 S자 모양으로 변하는 함수의 총칭인 시그모이드(sigmoid)의 대표적 예이다. 시그모이드의 본래 뜻은 시그마(σ, sigma)를 닮은(-oid) 곡선이다.

식 (2.1)의 계수 $r, k$가 $t$에 대한 상수가 아니고 시변(time-varying)인 $r(t), k(t)$일 때는 이산화해서 푸는 방법을 주로 선택한다. 이를 위해 미분을 전방 차분(forward difference)으로 근사화해 정리한다.

                          (2.4)

여기서 $p_n$ = $p(n \Delta t)$, $r_n$ = $r(n \Delta t)$, $k_n$ = $k(n \Delta t)$, $R_n$ = $1 + r_n \Delta t$, $K_n$ = $k_n [1 + 1 \mathbin{/} (r_n \Delta t)]$이다. 우리가 설정하는 $r_n, k_n$ 및 초기값 $p_0$에 따라 $p_n$은 수렴 혹은 발산, 때로는 진동한다. 로지스틱 미분 방정식의 이산형인 식 (2.4)는 사회 과학 분야에서 경제 성장, 주가 변동, 혹은 부동산 시장을 분석할 때 많이 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] 김승욱, "로지스틱 방정식을 이용한 부동산경기변동과 부동산정책의 분석," 부동산학보, 제24호, pp. 33–59, 2005년 1월. (방문일 2024-02-03)