라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)

[경고]아래 글을 읽지 않고 "라그랑주 반전 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 테일러 급수

2. 복소 함수론의 쉬운 이해

[그림 1] 2차 함수의 역함수 예시(출처: wikipedia.org)

역함수(inverse function)를 구할 때는 [그림 1]처럼 $x, y$를 서로 교환해서 $y$에 대해 정리하면 된다. 하지만 $y$ = $f(x)$처럼 $f(x)$를 위한 함수 표현식이 없을 때는 손으로 풀어서 역함수를 구할 수 없고, 역함수를 구하는 표준 방법론을 써야 한다. 함수가 복소 영역에서 해석적인 경우는 라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)가 역함수 유도의 특효약이다. 라그랑주 반전 정리는 역함수를 테일러 급수(Taylor series)로 공식화하는 획기적 기법이다. 라그랑주 반전 정리가 존재하기 전에는 역함수를 구할 때에 멱급수의 반전(inversion of power series)[1]이나 테일러 급수를 많이 사용했다. 멱급수 반전은 고등 수학 지식이 필요없다. 인내심만 있으면 누구나 쉽게 유도할 수 있다. 공식을 만들기 위해 함수 $y$ = $f(x)$를 표현하는 멱급수를 정의한다.

                  (1)

여기서 $f(0)$ = $0$이며, 0이 아닐 때는 $y$ 대신 $y-y_0$으로 교체한다. 식 (1)을 참고해서 역함수 $f^{-1}(y)$의 멱급수를 $x$ = $b_1 y + b_2 y^2 + b_3 y^3 + \cdots$로 둔다. 이 역함수를 다시 식 (1)에 넣어서 $y$의 거듭제곱에 대해 정리하고 항별로 비교해 $b_n$을 차례로 구한다.

                  (2a)

                          (2b)

뉴턴Isaac Newton(1643–1727)은 자신이 찾은 로그 함수에 대한 급수 전개를 이용해서 로그의 역함수인 지수 함수(exponential function)를 탐구한 적이 있었다.

                        (3a: 뉴턴–메르카토르 급수)

여기서 무한 급수의 수렴 구간은 $|x| < 1$이다. 식 (3a)의 좌변을 $y$, 우변을 멱급수로 생각해서 식 (2b)를 적용한다.

                  (3b)

식 (3b)의 둘째식은 분명히 지수 함수 $e^y$가 된다. 그래서 로그 함수의 역함수로서 지수 함수를 유도할 수 있다. 다만 로그 함수와 지수 함수의 정확한 개념은 후세 수학자인 오일러Leonhard Euler(1707–1783)에 와서야 확립된다. 멱함수의 반전 공식은 테일러 급수를 써도 증명된다. 식 (1)의 역함수를 $x$ = $f^{-1}(y)$라 두고 테일러 급수의 계수 $b_n$을 $f(x)$의 미분으로부터 얻는다.

                  (4)

여기서 미분 계수는 모두 $x$ = $0$에서 계산한다. 견디는 힘만 있으면 이 과정을 계속 반복해서 원하는 차수까지 $b_n$을 계산할 수 있다. 그러나 너무 귀찮고 반복적이다. 이런 번거로움을 확실해 해결해주는 고급 개념은 유명한 라그랑주 반전 정리이다. 하지만 라그랑주 반전 정리는 테일러 급수를 실수 넘어 복소 영역까지 확장해서 사용한다.

[라그랑주 반전 정리]

복소 함수 $w$ = $f(z)$의 역함수 $g(w)$ = $f^{-1}(w)$는 $z$ = $a$ 근방에서 아래 무한 급수로 표현된다.

                          (5a)

                          (5b)

여기서 $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue), $f(z)$는 $z$ = $a$ 근방에서 해석적(analytic)이다.

[증명]

복소수 $w$가 만드는 복소 평면에 대해 코쉬의 적분 공식(Cauchy's integral formula)을 적용한다.

                  (6a)

여기서 $c$는 $z$의 복소 평면에 정의한 닫힌 경로이다. 식 (6a)에 나온 역함수를 제거하기 위해 복소 함수 관계인 $w$ = $f(z)$, $\eta$ = $f(\zeta)$, $d\eta$ = $f'(\zeta) \, d\zeta$를 대입한다.

                  (6b)

피적분 함수에 위치한 유리 함수를 $z$ = $a$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (6c)

식 (6c)를 식 (6b)에 넣고 무한 급수 기준으로 정리한다.

                  (7a)

식 (7a)에 있는 복소 적분을 부분 적분으로 해결한다.

                  (7b)

여기서 닫힌 경로 $c$로 인해 시작점 $\zeta_1$과 끝점 $\zeta_0$은 동일, $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue)이다. 식 (7b)에서 얻은 유수는 다중극(multiple pole)을 가져서 미분을 통해 계산한다.

                  (7c)

식 (7b)와 (7c)를 식 (7a)에 바꾸어 넣어서 식 (5)의 계수 $g_n$을 결정한다. 식 (7a)에서 $n$ = $0$ 항은 식 (7c)를 쓸 수 없고, 식 (7b)의 적분을 그대로 남겨두고[적분 변수 $\xi$ = $f(\zeta)$에 대한 피적분 함수는 $f^{-1}(\xi) \mathbin{/} [\xi - f(a)]$] 식 (6a)에 도입한 코쉬의 적분 공식을 쓴다. 그러면 최종 결과는 식 (5)처럼 $a$가 된다.

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람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 풀었던 고차 방정식의 해를 라그랑주 반전 정리로 쉽게 유도할 수 있다. 람베르트가 고민한 방정식은 $x^m - x + q$ = $0$이다. 여기서 $m$은 2이상인 자연수, $q$는 상수이다. 역함수 관점에서 보면, $q$ = $f(x)$ = $x - x^m$의 해는 $q$의 역함수인 $x$ = $g(q)$ = $f^{-1}(q)$이다. 이 관계식을 식 (5a)에 적용해서 계산하면 답이 그대로 나온다.

                  (8a)

여기서 $f(0)$ = $0$이다. 변수 $x$의 범위를 $|x| < 1$로 제한한 후 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용해 무한 급수를 만든다.

                  (8b)

여기서 $(-n)_k$는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)이다. 다시 식 (8b)를 $n-1$번 미분한다.

                  (8c)

식 (8c)에서 $x$는 0으로 접근하기 때문에, 식 (8c)에서 유일하게 살아남는 항은 $k$ = $(n-1) \mathbin{/}(m-1)$이다. 이 결과를 식 (8a)의 둘째식에 대입한다.

                  (8d)

여기서 $n$은 $(m-1)k + 1$만 유지된다. 그러면 차수가 1보다 큰 고차 방정식의 해는 무한 급수로 정확히 공식화된다.

                          (9)

여기서 $|x| < 1$, $m \ge 2$이다.

람베르트 W 함수(Lambert W function)를 만드는 대칭 방정식 $f(x)$의 역함수를 구할 때는 라그랑주 반전 정리보다 멱급수의 반전이 더 쉽다.

                  (10)

먼저 식 (10)에 정의한 $f(x)$를 $x$ = $1$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (11a)

여기서 $\beta^{(n)}$은 상승 계승(rising factorial)이다. 계수 $a_n$의 분자와 분모를 약분해서 정리한다.

                     (11b)

계수 $a_n$을 식 (2b)에 대입해서 역함수의 계수 $b_n$을 차례로 계산한다.

                     (11c)

이상을 종합해서 식 (10)을 만족하는 $x$를 역함수 $g(c)$ = $f^{-1}(c)$로 구한다.

                          (12)

대부분 상황에 해당하듯이 수학 문제를 풀 때는 도구가 아니라 문제에 집중해야 한다. 그래서 다루는 문제에 따라 라그랑주 반전 정리나 멱급수의 반전을 적절하게 선택한다.

[참고문헌]

[1] H. Chernoff, "A note on the inversion of power series," Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 2, no. 20, pp. 331–335, Oct. 1947.

[다음 읽을거리]

1. 람베르트 W 함수