2010년 10월 17일 일요일

이항 정리(二項定理, binomial theorem)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "이항 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.



[그림 1] 이항 정리의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)

조합(組合, combination)을 활용할 수 있는 재미난 예는 이항 정리일 것이다. 한글로 보면 "이항"이 무엇인지 분명하지 않지만 한자(二項)를 보면 항이 두 개라는 뜻이다. 이항 정리는 두 개의 항을 곱셈하여 전개한 식을 의미한다.

[이항 정리]

                          (1)

[증명]
조합의 의미를 이용하면 식 (1)은 쉽게 증명할 수 있다. 서로 다른 항이 $n$개 들어있는 식(∵ $(x+y)^n$은 식 $(x+y)$가 $n$번 곱해진 식이므로)에서 변수 $x$를 $k$개 뽑아서 하나로 모은 경우의 수가 조합 ${}_nC_k$가 되므로 식 (1)이 성립하게 된다.
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식 (1)의 이항 정리를 이용하면 모든 경우에 대한 멱함수(冪函數, power) 미분 공식을 유도할 수 있다.

[멱함수(冪函數, power) $x^n$의 미분]

                          (2)

여기서 $n$은 0을 포함한 자연수(natural number)이다.

[증명]
식 (1)에서 $y = \Delta x$라 두고 $\Delta x \to 0$으로 가는 극한(limit)을 취하면 식 (2)가 증명된다.
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[$x^{-n}$의 미분]

                          (3)

여기서 $n$은 자연수(自然數, natural number)이다.

[증명]

              (4)
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식 (2)와 (4)를 종합하면 모든 정수 $n$에 대해 멱함수 $x^n$이 만족하는 미분 공식을 유도할 수 있다.

[$x^{n/m}$의 미분]

                          (5)

여기서 $n, m$은 정수(整數, integer)이다.

[증명]

                          (6)
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식 (5)를 통해 멱함수의 미분 공식이 모든 유리수(有理數, rational number)로 확대되었다.

[$x^r$의 미분]

                          (7)

여기서 $r$은 실수(實數, real number)이다.

[증명]
실수에 포함되는 무리수(無理數, irrational number)는 유리수의 극한으로 표현될 수 있으므로 정수 $n, m$의 자리수를 계속 늘려가면 식 (5)의 결과는 식 (7)에 한없이 가까이 갈 수 있다.
예를 들면, 무리수 $\sqrt{2}$ = 1.4142135623731...는 1, 14/10, 141/100, 1414/1000, 14142/10000, ... 순으로 오차를 한없이 줄이면서 지속적으로 유리수 근사를 할 수 있다.
조심할 것은 유리수 근사를 할 수 있다고 해서 무리수를 유리수로 표현할 수 있다는 것은 아니다.
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식 (7)은 미분학 시간에서 거의 처음에 배우는 미분 공식이지만 증명 자체는 매우 난해하다. 수업시간에는 그냥 넘어가지만 꼼꼼하게 고민하면 배울 것이 많다.
무리수를 유리수의 극한으로 표현할 수 있다는 설명은 실수의 완비성(完備性, completeness)을 의미하는 것이다.

식 (7)을 이용하면 뉴튼의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 쉽게 증명할 수 있다.

[뉴튼의 이항 정리]

             (8)

[증명]
멱함수의 미분 공식을 식 (7)에서 얻었으므로 테일러 급수(級數, Taylor series)를 이용하여 멱급수(power series)를 식 (8)과 같이 생성할 수 있다.
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식 (8)에서 $r$이 0을 포함한 자연수가 아니면 급수가 끝이 없는 무한 급수가 된다. 이 경우 식 (8)의 무한 급수는 항상 수렴하지 않고 특별한 경우에만 수렴하게 된다. 수렴하는 경우를 비율 판정(ratio test)을 이용하여 계산해 보자.

                          (9)

따라서, 식 (8)이 무한 급수인 경우 수렴 구간은 $|x| < 1$인 구간이 된다.

식 (1)에서 $y = 1$이라 두면 아래에 소개한 다양한 조합 공식들을 증명할 수 있다.

                (10)

                          (11)


[파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)]

                          (12)

[증명]
식 (10)의 조합 정의를 통해 증명할 수 있다.

   (13)
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[조합의 합(1)]

                          (14)

[증명]
식 (11)에서 $x = 1$을 대입하면 식 (14)가 증명된다.
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[조합의 합(2)]

                          (15)

[증명]
식 (11)을 $x$에 대해 미분한 후 $x = 1$을 대입하면 식 (15)가 증명된다.
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[조합의 합(3)]

                          (16)

[증명]
먼저 식 (11)을 $x$에 대해 두번 미분하자.

                          (17)

식 (17)에 $x = 1$을 대입하고 식 (15)의 결과를 다시 대입하면 식 (16)이 얻어진다.
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[다음 읽을거리]
1. 아름다운 숫자, 오일러 수
2. 조화 급수와 오일러-마스케로니 상수

댓글 5개 :

  1. 이항정리 증명부분 이해가 안되요 어찌이래 단단한지 ..

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    답글
    1. 아래 조합 부분을 다시 한 번 보세요. 계속 도전하면 이해할 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/10/permutation-combination.html

      삭제
  2. 아 이해한것같아요.
    아래 유투브 보고
    요즘 참 공부하기 좋은 것같네요 YouTube에서 이 동영상을 확인하세요.

    http://youtu.be/qV3SHOzQE5A

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    답글
    1. 거북님 말고 저처럼 이해 안되는 분들 참고하시라고...

      삭제
  3. 아 거북님 이항정리만 특별한 유용성이 있나요. 혹시 삼항,사항 ... 육항정리 등 확장 일반화는 안되나요.. 주사위를 반복해서 던질경우 육항정리가 도움이 될것 같은데요.

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