2010년 8월 26일 목요일

로렌츠 힘(Lorentz force)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 힘"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 전류
4. 자기장


[그림 1] 자기장 속에서 회전하는 전자빔(출처: wikipedia.org)

전하를 가진 입자가 전기장과 자기장 속을 이동할 경우 받는 힘은 로렌츠 힘이 된다. 로렌츠 힘 공식은 로렌츠(Hendrik Lorentz)가 1892년에 유도하였다.
먼저 전하량 $q$를 가진 입자가 받는 전기력 $\bar F_e$는 쿨롱 법칙 기반의 전기 $\bar E$ 관점에서 아래로 표현한다.

                                   (1)

[그림 2] 전하량에 따른 입자의 회전 특성(출처: wikipedia.org)

자기력은 다소 어렵다. 자기력 $\bar F_m$은 비오-사바르 법칙 기반의 자속 밀 $\bar B$ 관점에서 식 (2)로 표현한다.

                                   (2)

하지만 식 (2)는 전하량 $q$를 가진 입자가 아닌 입자의 흐름인  $I$로 기술되어 있어 식 (2)를 다소 변형해야 한다. 먼저 식 (3)에 의해 전류 $I$는 전류 밀도 $\bar J$로 표현할 수 있다.

                         (3)

다음으로 전류 밀도의 특성으로 인해 식 (4)가 도출된다.

                          (4)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다.
식 (3)과 (4)를 식 (2)에 대입하면 전하량 $q$를 가진 단일 입자가 속도 $\bar v$로 이동할 때의 자기력을 표현할 수 있다.

              (5)

여기서 단일 입자의 속도 $\bar v$와 자속 밀도 $\bar B$는 체적 적분상에서는 상수라고 가정하였다. 식 (4)에서는 전체 전류를 정의하기 위해 평균 이동 속도인 유동 속도 $\bar u$를 사용했지만 식 (5)는 장애물이 없는 단일 입자만 다루고 있으므로 단순 속도 $\bar v$로 표기하였다.
식 (1)과 (5)를 합하면 전하량 $q$를 가진 입자가 받는 전자기력을 식 (6)으로 표현할 수 있다.

                          (6)

또한, 식 (6)에서 중요한 점은 에너지이다. 자기력(magnetic force)은 항상 하전 입자에 수직인 방향으로 작용하므로 에너지를 증가하거나 감소시키지 않는다. 에너지에 영향을 줄 수 있는 것은 전기력(electric field)이다.
사실 여기까지는 많이 알려져 있어 별다른 감흥은 없다.

식 (6)의 감추어진 측면은 관찰자가 입자가 움직이는 방향으로 움직일 때 나타난다. 만약 관찰자가 입자가 움직이는 속도와 동일한 속도로 움직이면 측정시 관측되는 로렌츠 힘은 식 (7)로 표현되어야 한다.

                          (7)

여기서 $(\cdot)'$는 입자와 동일한 속도로 움직이는 관찰자의 좌표계(혹은 움직이는 입자 관점에서 작성한 좌표계)이다. 식 (7)에서 자기력의 기여도는 사라졌다. 왜냐하면 관찰자 입장에서는 하전 입자가 움직이고 있지 않기 때문이다.
[그림 3] 관찰자 입장의 운동계 $(\cdot)$와 정지계 $(\cdot)'$(출처: wikipedia.org)

또한, 개념 이해를 명확히 하기 위해 [그림 3]에 표시한 두 좌표계 $(\cdot)$과 $(\cdot)'$를 다시 고려하자. $(\cdot)$는 관찰자 입장의 운동계(moving frame)이며 $(\cdot)'$는 관찰자 입장의 정지계(stationary frame)이다.
관찰자 입장의(or 관찰자가 느끼는) 운동계라는 의미는 관찰자가 운동하는 입자를 보면 관찰자는 정지해 있기 때문에 운동 입자가 움직인다고 생각한다는 것이다.
마찬가지로 관찰자 입장의(or 관찰자가 느끼는) 정지계는 관찰자가 운동 입자와 동일한 속도로 움직이기 때문에 관찰자 입장에서는 운동 입자가 정지하고 있다고 생각한다. 물론 또다른 제2의 관찰자가 보면 관찰자와 운동 입자가 동시에 움직이고 있다고 볼 것이다.
다음으로 관찰자의 속도에 따른 로렌츠 힘은 $\bar F$ 혹은 $\bar F'$이다. 두 힘 $\bar F$와 $\bar F'$는 어떤 관계를 가질까?
관찰자의 움직이는 속도가 크지 않은 경우 $\bar F$와 $\bar F'$는 거의 같아야 한다. 또한, 관찰자의 속도에 관계없이 운동량 보존 법칙은 반드시 성립해야 한다. 운동량을 시간에 대해 미분한 것이 힘이므로 관찰자와 하전 입자의 시간이 동일하다면 $\bar F$와 $\bar F'$는 서로 같아야 한다. 그런데, 관찰자의 속도가 높아지기 시작하면 양쪽 시스템의 시간이 약간씩 달라지게 된다. 그래서, 거의 같다는 표현을 쓴 것이다.
또한 전하 보존 법칙에 의해 $q$와 $q'$도 같아야 한다. 예를 들어 두 전하의 차이를 $\Delta q = q - q'$라고 정의하자. 그러면 관찰자의 속도에 따라 $\Delta q$가 새롭게 생겨나게 된다. 관찰자가 움직이는 속도에 따라 전체 시스템의 전하가 줄어들거나 증가한다는 것은 관찰자는 하전 입자에 어떠한 영향도 끼칠 수 없다는 가정에 위배된다.
따라서 속도가 빠르지 않는 경우는 식 (8)이 성립해야 한다.

                          (8)

만약 $\bar E = 0$이라 가정하면 식 (9)가 얻어진다.

                          (9)

식 (9)는 아주 놀라운 결과라고 생각해야 한다. 자기장은 사실 전기장과 동일하다는 것을 식 (9)가 표현하고 있다. 자기장은 특별한 현상이 아니고 관찰자와 하전 입자의 상대 속도에 따라 생기는 전기장의 변형이 자기장이 된다.
이런 개념을 확장해 가면 아인슈타인(Albert Einstein)의 특수 상대성 이론(special theory of relativity)[1]에 도달하게 된다.

[그림 4] 자기장 속을 진행하는 하전 입자

식 (6)에 제시한 로렌츠 힘에 의하면 [그림 4]처럼 자기장 속을 진행하는 하전 입자는 직선 운동을 하지 못하고 반드시 원 운동을 해야 한다. 이를 증명하기 위해 로렌츠 힘에 기반한 미분 방정식을 만들자.

                          (10)

식 (10)에서 $\omega_c$는 사이클로트론(cyclotron)에서 생기는 각주파수이다. 초기 조건($t = 0$)을 $v_x = v_0, v_y = 0$이라 가정하면 속도는 다음과 같다.

                          (11)

초기 위치($t = 0$)를 원점으로 잡으면 하전 입자의 궤적은 다음 원의 방정식을 만족한다.

                          (12)

식 (11) 혹은 (12)가 표현하는 하전 입자의 회전 방향을 세밀하게 보자. 하전 입자는 전체 자기장을 줄이는 방향으로 회전한다. 이는 전자기 유도 법칙(law of electromagnetic induction)에 들어있는 렌츠의 법칙(Lentz's law)과 정확히 일치한다.

[참고문헌]
[1] A. Einstein, "On the electrodynamics of moving bodies", Annalen der Physik, 1905.

[다음 읽을거리]
1. 패러데이의 전자기 유도 법칙
2, 최초의 입자가속기 사이클로트론

댓글 15개 :

  1. 식(2)에서 F¯m 이
    1. integral( I dl¯ X B¯) 인건가요?
    2. 자기장에서 전 integral( I dl¯ ) X B¯ 인줄 알앗는뎅.

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    1. 미분소 개념이기 때문에 전체에 대한 적분으로 처리해야 합니다.

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  2. 식 (5)에서 속도와 자속 밀도를 상수 취급한다고 하셨는데 그러면 q(u x B)가 아닌가요?

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    1. 예 맞습니다. 표기법이 혼동되는 것 같아 본문 내용을 수정했습니다. 감사합니다. ^^

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  3. 보통은 로렌츠 힘이 f=q bXv 인거 아닌가요?? 왜 qE 까지 붙나요??

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    1. 전기장과 자기장이 동시에 존재한다고 가정하기 때문입니다.

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  4. 질문이 있는데요,

    "그런데, 관찰자의 속도가 높아지기 시작하면 양쪽 시스템의 시간이 약간씩 달라지게 된다. 그래서, 거의 같다는 표현을 쓴 것이다."

    좀 더 디테일한 설명을 부탁해도 될까요? 직관적으로 stationary frame에서는 자기장의 영향이 무시되니, 자기력에 의한 변화 dp/dt를 어떻게든 메꾸기 위해 시간이 느려지게 되는 것 같은데..

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    1. 관련된 부분은 특수 상대성 이론을 찾아보시기 바랍니다. 광속 일정을 만족시키기 위해 시간과 공간은 로렌츠 변환에 의해 바뀌어야 합니다.

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  5. 한 가지 질문이 있는데요,
    식 8번에서 0이라고 가정한다는 뜻을 잘 모르겠어요.
    그리고 V X B 를 움직이는 전하가 자기장을 만났을 때 만드는 전기장이라고 해석하면 안되는건가요?

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    1. 1. $\bar E$ = 0의 의미는 운동계의 전기장이 없다는 것입니다. 전기장은 있을 수도 있고 없을 수도 있지만, 여기서는 없다고 가정해보자는 것입니다.

      2. 두번째는 그렇게 하면 안 됩니다. 운동계에서 보면 전기장은 없습니다. 그런데 정지계에서 보면 그건 자기장이 아니고 전기장이라는 것입니다. 이 경우 관찰자는 동일하지 않습니다.

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    2. 결국엔 전기력과 자기력, 즉 힘이 같다는 말인가요? (힘의 성질은 다르지만 힘의 크기는 같은)
      그리고 여기서 V를 계산하면, E'XB/B^2이 되는데, 이 V는 무엇을 뜻하는걸까요?..

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    3. 네, 관찰자 속도가 다르더라도 관찰되는 힘이 같습니다.

      V는 본문에 있는 속도를 말씀하시는거죠? 식 (9)는 이 자체로 보지 말고, 속도에 따른 전자장의 변환 관계식으로 생각해야 합니다. (아인슈타인의 원래 논문에 이게 나옵니다.)

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  6. E=V X B에서, 단위는 어떻게 되나요? E는 V/m 이고 B는 nT인데, 여기서 단위는 이야기할 수 없는건가요? 그리고 이 식은 패러데이법칙과 옴의 법칙에서 유도되는 E= j/a- V X B (a는 conductivity)와 같은건가요?..

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    1. 아 제가 잘못적었네요, 패러데이법칙은 아닙니다..
      옴의 법칙에서 J=a(E+VXB) 이것과 같은건가요?

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    2. 1. 전기장의 단위는 [V/m]입니다. 자기장과 전기장과의 관계도 당연히 전기장의 단위가 [V/m]가 되도록 적용되어야 합니다.

      2. 로렌츠 힘이 적용되는 위치가 도체 내부라면 당연히 질문하신 대로 전기장이 기술되어야 합니다.

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