2010년 8월 21일 토요일

금속(金屬, metal)의 성질



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "금속의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 헬름홀츠 정리
4. 전류


[그림 1] 세상에서 제일 큰 금괴(출처: wikipedia.org)

흔히 볼 수 있는 금속은 전자기학적으로 놀라운 성질을 가지고 있다. 완벽한 금속 성질을 가진 물질은 완전 전기 도체(完全電氣導體, PEC: Perfect Electric Conductor)라고 부른다. PEC가 되려면 전도도가 무한대가 되면 된다.
금속을 이해하기 위해 현재까지 증명된 전자기학 원리를 이용하여 금속의 성질을 차례로 증명해 볼 것이다.

1. 금속의 이완 시간(relaxation time)은 매우 짧다.

                                (1)

[증명]
식 (1)을 증명하기 위해 먼저 전하 보존 법칙을 고려한다.

                          (2)

식 (2)에 옴 법칙의 미분형 공식을 대입하여 정리하면 전하 밀도에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                          (3)

식 (3)의 미분 방정식 해는 식 (4)로 얻어진다.

                          (4)

여기서 이완 시간 $\tau$는 식 (1)에 제시되어 있다. 식 (1)의 이완 시간은 전하 밀도가 존재하는 평균 시간(시간의 기대값)이다.
이완 시간은 전도도에 반비례하므로 금속의 이완 시간은 매우 짧아야 한다.
______________________________

구리(copper)의 전도도($\sigma$)는 $5.96 \times 10^7$ [S/m], 유전율($\epsilon_0$)은 $8.854 \times 10^{-12}$ [F/m]이므로 구리의 이완시간($\tau$)은 $1.47 \times 10^{-19}$ [sec]이 된다. 매우 작은 값이다.
계산시 구리의 유전율을 진공중의 유전율로 쓴 이유는 구리 내부에서 자유 전자(free electron)는 매우 많이 형성되나 유전율(분극 비율)에 관련된 구속 전하(拘束電荷, bound charge)는 거의 생기지 않기 때문이다.

2. 금속 내부에는 전기장이 없다.

                          (5)

[증명]
금속 내부에 전기장이 존재하면 옴 법칙의 미분형 공식에 의해 전류 밀도가 존재해야 한다. 하지만 식 (3)과 (6)에 의해 전하 밀도가 기하 급수적으로 줄어들기 때문에 전류 밀도도 줄어들어  최종적으로 전기장은 0이 된다.

                          (6)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다.
______________________________

3. 금속의 전압은 동일하다.

                          (7)

[증명]
전기장과 전압은 식 (8)과 같은 관계를 가지고 있다. 전기장이 식 (5)와 같이 0이기 때문에 전압은 금속 내부에서 일정해야 한다.

                                 (8)
______________________________

4. 금속의 전하는 표면에만 있고 이 표면에서의 전기장은 항상 표면에 수직이다.

                                 (9)

여기서 $\rho_s$는 표면 전하 밀도(surface charge density)이다.

[증명]
금속 내부의 전기장은 0이기 때문에(혹은 식 (4) 때문에) 금속 내부에는 전하가 존재할 수 없다. 하지만, 금속 표면에는 금속 내부에서 밀려온 전하가 존재할 수 있다. (∵ 밀려온 전하는 금속을 빠져나갈 수 없다. 이는 진공중의 전도도는 0이기 때문이다.)
금속 표면의 전기장은 접선 성분이 반드시 0이어야 한다. 만약 전기장의 접선 성분이 있으면 옴 법칙의 미분형 공식에 의해 전류 밀도가 존재해야 하나 식 (6)과 같이 전류 밀도가 기하 급수적으로 줄어들기 때문에 전기장도 0으로 수렴해야 한다.
금속 표면으로 밀려온 전하는 축전기(蓄電器, capacitor) 원리처럼 표면에 축적되어 전기장을 만든다. 이 표면에 쿨롱 법칙의 적분형 공식을 적용하자.

                                 (10)

[그림 2] 가우스 원통(출처: wikipedia.org)

금속 내부의 전기장은 0이므로 [그림 2]의 가우스 원통 표면에서 식 (11)이 성립해야 한다.

                                 (11)

여기서 $\Delta S$는 식 (10)을 적용할 때 사용한 가우스 원통의 단면적이다.
______________________________

5. 표면의 곡률(반지름의 역수)이 클수록 전하 밀도와 표면 전기장이 커진다.

                                 (12)

[증명]
먼저 [그림 3]과 같은 반지름 $r$을 가진 금속구의 전압을 구해보자.

[그림 3] 금속구(출처: wikipedia.org)

식 (10)에 있는 쿨롱 법칙의 적분형을 이용하면 금속구의 전기장은 쉽게 계산된다. (∵ 금속구는 대칭적이므로 모든 표면에서 전기장이 같다)

                                 (13)

신기하게도 식 (13)의 결과는 점전하에 대한 쿨롱 법칙의 결과와 동일하다. 식 (13)을 선적분하면 전압에 대한 결과를 얻을 수 있다.

                                 (14)

이제 [그림 3]에 있는 금속구 두 개(반지름 $r_a, r_b$)를 서로 도선으로 연결하여 전압을 같게 만들자. 그러면, 아래 식 (15)가 성립해야 한다.

                                 (15)

식 (15)를 정리하면 식 (12)가 얻어진다. 표면 전하 밀도가 얻어지면 식 (9)에 의해 전기장의 크기도 연관된다.
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뾰족한 구조물에서 전기장이 커지는 현상은 정성적으로 쉽게 설명 가능하다. 뾰족 구조는 해당 구조물의 끝 부분이므로 전하가 들어가면 더 이상 빠져나갈 구멍이 없다. 그래서 다른 무딘 구조보다 뾰족 구조에 더 많은 전하를 밀어넣을 수 있다. 그러면 끝 부분에서는 단위 면적당 전하가 늘어나므로 식 (9)에 의해 전기장은 비례적으로 커진다.
또한 식 (12)에 있는 공식이 피뢰침(避雷針, lightning rod)의 원리가 된다. 침을 뾰족하게 만들면 전기장이 매우 세져서 번개가 칠 경우 번개는 피뢰침으로 모이게 된다.

6. 정전 차폐(靜電遮蔽, electrostatic shielding): 닫힌 금속통 내부의 전기장은 항상 0이다.


[정전 차폐(electrostatic shielding)]

[증명]
쉽게 증명하려면 식 (8)의 우변을 고려하면 된다. 즉, 식 (8)에 따르면 전기장을 선적분한 경우 시작점과 끝점이 같으면 적분 경로를 어떻게 정하더라도 그 값은 같다. 만약 금속통 내부에 전기장이 존재하면 그 전기장의 방향을 따라 선적분한 값과 금속 속을 따라 선적분한 값은 같아야 한다. 그런데, 식 (5)에 의해 금속 속에서는 전기장이 0이므로 금속통 내부의 전기장도 0이 되어야 한다.
좀더 고상하게 증명하려면 푸아종 방정식의 유일성 증명을 흉내내면 된다. 정전 차폐 증명을 위해 제1 그린 항등식을 고려한다.

                         (16)

식 (16)에서 $f = V-V_0$, $g = V^*$(켤레복소수)라고 두고 금속통 내부에는 전하가 없다고 가정($\rho = 0$)하면 식 (17)을 얻을 수 있다.

                         (17)

여기서 $s$는 금속통이 표현하는 닫힌 표면, $v$는 닫힌 표면 $s$ 내부에 있는 체적, $V_0$는 금속 표면의 전압, 식 (7)에 의해 금속 표면의 전압은 $V_0$로 일정하므로 식 (17)의 좌변은 0이며,

                         (18: 라플라스 방정식)

[그림 4] 정전 차폐의 과정(출처: wikipedia.org)

식 (17)이 성립하기 때문에 [그림 4]와 같이 금속의 내부 경계면(금속 내부표면)에서는 $\bar \nabla(V-V_0) = \bar \nabla V = 0$이 성립한다. 즉, 식 (9)에 의해 금속 내부 표면에는 표면 전하 밀도가 없어야 한다. 단지, 금속 외부 표면에만 표면 전하 밀도가 존재할 수 있다. 필수적인 것은 아니지만 많은 경우 정전 차폐를 할 경우 접지(接地, ground or earth)를 한다. 접지를 하려면 반지름이 매우 큰 금속구를 사용하면 된다. 주변에 볼 수 있는 거대한 금속구는 무엇일까? 당연히 지구이다. 그래서, 이름도 접지이다. 식 (12)를 고려하면 접지면의 표면 전하 밀도와 전기장은 0이 된다. (∵ 지구의 반지름이 매우 크기 때문이다) 또한, 식 (15)에 의하면 동일 전압일 경우 반지름이 클수록 금속구에 저장되는 전하가 크다. 그래서, 정전 차폐를 할 때 접지까지 하게 되면 외부에 강력한 전기장(예를 들면 벼락)이 걸리더라도 접지를 한 지구에서 외부 전기장에 의한 전하를 감당할 수 있으므로 금속통 내부는 강력한 외부 전기장 영향을 받지 않는다.
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7. 금속의 유전율(permittivity): 진공중의 유전율 $\epsilon_0$

유전율이 진공보다 커지기 위해서는 물질내에 분극(分極, polarization)이 발생해야 하지만 금속 내부에는 분극이 생기지 않는다. (∵ 분극이라는 것은 외부힘때문에 (+)와 (-)가 서로 분리되는 현상인데 금속은 외부 전기장이 가해지면 분극이 일어나지 않고 전도 전류(conduction current)가 되어 흘러버린다.) 그래서, 금속의 유전율은 진공중의 유전율인 $\epsilon_0$로 정의한다.
주파수가 매우 높은 영역(예를 들면 적외선이나 광파 대역)에서는 완전한 금속이 존재하지 않기 때문에(∵ 전도 전류(conduction current)보다 변위 전류(displacement current)가 커지므로) 이 경우는 복소 유전율(complex permittivity)을 정의해야 한다. 즉, 매우 높은 주파수 대역에서는 금속의 유전율을 $\epsilon_0$로 정할 수 없다.

댓글 27개 :

  1. 1에서 sigma가 일정하다고 가정해야 하죠?

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  2. 식 17은 폐곡면 s 에서 V=V_0이기 때문에 적분이 0이 되고, E^2>=0이어서 결국 E=0인 게 맞나요?

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  3. 여쭤볼 게 있습니다. 금속 즉 도체에서의 조건을 보면 내부의 전기장은 0이 되는 것으로 알고 있고 이를 통해 전기장 및 전속 밀도가 도체에서 갖는 조건을 유도할 수 있는 것을 알게 됐습니다.

    근데 time varying magnetic field를 배울 때 hayt의 전자기학에선 ideal conductor의 내부에는 time varying magnetic field는 없다고 했습니다.

    여기서 헷갈리는 게 있는데 도체 내부의 자기장의 조건이 정확히 어떻게 되나요? 처음엔 도체 내부의 자기장도 0인 줄 알았는데 생각해보니 외부에서 static magnetic field를 걸어주면 도체 내부의 자기 모멘트가 나란히 정렬하므로써 결과적으로 도체가 자화가 되는 경우를 생각했는데 이런 경우엔 magnetic field가 도체 내부에서 0이기는커녕 오히려 더 강력해진 게 아닌가요?

    교수님한테 여쭤봤는데 skin depth처럼 제 수준에선 알기 어려운 용어를 쓰셔서 잘 모르겠던데.

    정리하자면!

    1. 도체 내부에서 자기장의 조건은 어떻게 되나요? boundary 말고 내부요.

    2. 제가 생각하기엔 도체는 static magnetic field는 내부에 존재할 수 있고 time varying magnetic field는 존재할 수 없다고 생각되는데 맞나요?

    3. 도체 내부의 전기장이 0이 되는 방법은 전하들이 이동해서 반대되는 전기장을 형성해서잖아요. 도체가 자기장을 차단하는 방법은 무엇인가요?

    전파 거북이님의 블로그에서 많은 것을 배워갑니다!

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    1. 방문 감사합니다, 익명님.

      자기장 특성을 이해하려면 정자장과 전자파로 나누어 생각하셔야 쉽습니다.

      1. 전자파인 경우는 교수님이 말씀하신 침투 깊이가 맞는 설명입니다. 금속 내부는 전기장이 0이기 때문에 자기장도 차례로 0이 됩니다. (전자파이므로 전기장이 없으면 자연스럽게 자기장도 0이 됩니다.)
      하지만, 정자장인 경우는 다릅니다. 금속 내부에도 자기장은 동일하게 존재합니다. 즉, 금속으로는 자기장 차폐를 못해요.
      다른 관점으로 맥스웰 방정식을 보면, 정자장에 대한 관계식에는 도체 개념이 없습니다. 단지 전류 밀도만 있어요. 즉, 자기장 관점에서는 유전체와 도체는 없는 것과 마찬가지입니다.

      2. 맞습니다.

      3. 도체가 자기장을 차폐하는 원리는 회오리 전류(eddy current) 때문입니다. 도체의 저항이 0이라면, 자기장이 도체에 침투한 경우 패러데이 법칙(정확히는 렌츠의 법칙)에 의해 전류 변화를 없애는 방향으로 기전력이 생기므로 도체 내부의 자기장은 0이 됩니다. 하지만, 실제 도체는 저항이 있어 회오리 전류는 점점 약해져 자기장이 결국에는 침투합니다.

      그래서, 자기장을 완전 차폐할 수 있는 물질은 초전도체(superconductor)입니다.

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    2. 오늘 수업에서 생긴 궁금증이 이거 하나로 풀렸네요! 글도 도움되고 참 감사합니다!

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    3. 도움 되었다니 기분이 좋습니다. ^^

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  4. 금속내부에 전하가 존재하지 않는다는게
    금속 내부 물질이 전기적 성질을 못 띈다는 의미인가요

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    1. 정전장에서는 맞는 표현입니다.
      (금속 내부에 전하가 존재하더라도 식 (1)의 이완 시간이 매우 짧아 전하가 없는 것처럼 간주됩니다.)

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  5. 위의 댓글을 보다가 궁금한 점이 생겼는데요..
    정자장 입장에서는 도체는 없는것과 마찬가지라고 하셨는데, 그럼 만약 도체가 있고 그 옆으로 전류가 흐르는 도선이 있다고 했을때, 이 도선에 의한 자계는 도체 영역에서도 도체가 없을때와 마찬가지로 존재한다고 보면 되는건가요??

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    1. 정전장과 정자장에서는 전하와 전류를 엄격히 구분하고 있습니다. 즉, 정자장 관점에서는 전류만 있고 전하는 없기 때문에, 도체는 없는 것으로 생각합니다. 따라서, 전류 주변에 도체가 있더라도 없다고 생각하고 계산하면 됩니다. 왜냐하면 정자장의 원천은 전류만 가능하기 때문입니다.

      현실에서는 전자파이기 때문에 입력 전류가 도체에 전류를 유기하고 상호 작용하게 됩니다. 하지만 이 부분은 더 이상 정자장이 아닙니다. 시간적 변화가 있기 때문에 전자파 이론이 적용되어야 합니다.

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    2. 그러면 뒤쪽에 영상전하법과 연관지어서 추가 질문이 있습니다..
      완전도체 바깥에 접선방향 전류가 있을때 그와 반대방향의 영상전류를 도체 안쪽에 설정하는 결과가 나왔고 그러면 도체 바깥 영역의 자계는 도체가 없을떄와 분명히 달라질거라고 생각했습니다. 그렇다면 이 경우 도체면에서 경계조건에 의해 표면전류가 존재할 것이고, 이 표면전류가 자기장 불연속의 원천이다 라고 생각했는데
      혹시 잘못생각한 부분이 있나요?

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    3. 영상법은 원래 원천이 있던 곳의 전기장과 자기장 특성을 동일하게 표현해야 합니다. 도체의 존재로 인해 전자장이 0이었던 곳은 문제 영역이 아닙니다.

      표면 전류 관련해서는 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/surface-equivalence-principle.html

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  6. 으아 이게 막 시각화가 잘 안되네요..

    https://ghebook.blogspot.ca/2010/08/electric-current.html?showComment=1457036498410#c1336209442817397036

    (15)에서 보면, E는 0이 아니기 때문에 전류가 존재하는데요, 정상상태 (steady-state)에서도 도체 전선 내에서 전류가 존재할 수 있고 E_metal=0 이라는 결과와 상반됩니다.

    교수님이 표면에 존재하는 전하들이 전류를 이룬다고 하셨는데, 개별적으로 보면 이해가 가는 것 같은데 전체적으로 보면 뒤죽박죽 시각화가 잘 안되네요..

    1) 식 (4)에서 전하 밀도가 빨리 사라진다는 말은 어떻게 해석해야 할까요? 전자가 이리저리 움직이기 쉬우므로 조그만 점공간 내 전하가 neutral하게 만드는 방향으로 움직인다고 해석해야 할까요?

    2) 식 (6)도 마찬가지로, 외부에서 인가된 전기장에 의해 전하들이 움직이는 것보다, 이 전하들이 neutral하게 되는 속도가 더 빠르다고 해도 될까요?

    3)
    "금속 표면의 전기장은 접선 성분이 반드시 0이어야 한다. 만약 전기장의 접선 성분이 있으면 옴 법칙의 미분형 공식에 의해 전류 밀도가 존재해야 하나 식 (6)과 같이 전류 밀도가 기하 급수적으로 줄어들기 때문에 전기장도 0으로 수렴해야 한다."

    그렇다면 전류는 어떻게 흐르게 되나요.

    뒤죽박죽 질문이라 죄송합니다 ㅠ.ㅜ

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    1. 단순하게는 쿨롱 법칙 때문에 금속 내부에 전류가 흐릅니다. (-)는 (-)를 밀기 때문에, 거의 광속으로 힘이 전달되어 전류가 금속 내부를 흐르게 됩니다.
      다만 금속 내부에는 (-)가 굉장히 많기 때문에 통계적으로 처리되어야 해서, 초보적으로는 드루데(Drude) 자유 전자 모형을 사용해 옴의 법칙을 유도합니다.
      더 정확히는 통계 역학에 바탕을 둔 페르미-디랙 분포(Fermi-Dirac distribution)로 자유 전자 생성을 예측해서 계산해야 합니다.

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    2. 감사합니다 전파거북이님!

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  7. 질문이 있습니다.
    속이 빈 금속 구체가 있고, 그 빈 공간에 +Q전하를 놓게 되면
    금속 내부의 전하들이 +Q에 의해 생긴 전기장을 상쇄하기 위해서 반대방향의
    전기장을 만들 것이고, 이때 금속내부의 전기장은 0이 될 것입니다.(빈공간이 아님)

    이때, 금속 외부의 전기장을 0으로 만들어주기 위해서 접지를 해 주면
    -Q charge가 금속 내부로 들어오게 될텐데, 이때도 금속 내부의 전기장이 0이
    될 수 있는 것인가요??
    제 생각에는 빈 공간의 전기장은 2배로 강해지고, 금속 내부의 전기장도 존재할거 같은데
    금속 내부의 전기장은 0이라고 알고있어서... 어디서 잘못된지 모르겠네요 ㅠㅠ

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    1. 금속 내부의 전기장은 0이 됩니다. 접지에 의해 -Q가 공급되고, 이 -Q는 내부 전기장을 상쇄시키는 방향으로 배치됩니다. 가우스 정리로 풀면 바로 증명할 수 있습니다. (금속 구를 싸는 표면적 내부의 총 전하는 0입니다.)

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    2. 공급된 -Q의 전하들이 결국에는 각각 표면에 배치되기 때문에, 서로 상쇄되어서 결국 금속 내부의 전기장은 0이 된다는 말씀이신가요??

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    3. 각각 표면이라는 표현은 불분명하지만, -Q가 +Q를 상쇄한다는 뜻이라면 맞습니다.

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  8. 자유전자가 생성되는 근본적인 원리를 알수있을까요?
    제가 알기로는 단순히 금속 원자가 양이온이 되기위해 최외각 전자를 뱉어내는 걸로만 알고있고
    실제로 양이온들을 어떻게 자유전자들이 묶고있는 지는 잘 모르겠습니다.

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    1. 양자 역학을 보셔야 되며, 대충 보면 단일 원자 구조가 아닌 주기성이 있는 결정 형태로 금속이 구성되었다고 보셔야 됩니다. (너무 많은 전자가 있기 때문에 단일 전자의 특성을 합쳐서 분포를 예측하지 않고 통계 역학을 사용합니다.) 이 경우 흐르는 전류는 전자가 직접 움직이는 것이 아니고 파동의 형태로 전달됩니다.

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  9. 안녕하세요 전파거북이님. 금속 내부에 전기장이 0이라는건 정전장일때 이야기인가여?

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    1. 아닙니다. 전자파일 때도 0입니다.

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  10. 안녕하세요. 한가지 질문드립니다.

    만약 도체에 외부에서 전류를 흘려주면 이때 도체 내부에는 전하가 없기 떄문에 표면에 있는 전하에 의해 도체 표면에서만 전하가 움직이나요?

    그리고 이때도 내부의 체적 전하 밀도는=0인가요?

    감사합니다.

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    답글
    1. 아닙니다. 금속 내부 전기장이 없다는 의미는 식 (1)의 이완 시간이 거의 0이라는 뜻입니다. 즉 외부 전압이 걸리면 이 전기장을 없애는 방향으로 전하가 재빨리 움직인다는 뜻입니다. 그래서 표면이든 체적이든 전하 움직임은 분명 있습니다. (이 경우는 직류 전류 가정)

      하지만 전류의 시간 변동이 있으면(교류라면) 침투 깊이로 인해 거의 금속 표면에만 전류가 흐릅니다.

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