2011년 6월 4일 토요일

전기장의 에너지(energy of electric field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장의 에너지"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 저항
3. 커패시터


전하량(electric charge) $q$가 변하지 않는 경우 전기(電氣, electricity)가 가진 에너지($W = qV$) 혹은 일(work)은 다음처럼 유도할 수 있다.

                       (1)

여기서 $E$는 전기장(electric field), $\Delta l$은 전하 $q$가 움직인 크기와 방향이다. 즉, 일은 힘(force)이 작용하는 방향으로 일정거리를 움직인 것이므로 전하 × 전기장 = 전기력, 전기장 × 이동거리 = 전압강하가 되어 일은 전하와 전압의 곱이 된다.
전하량과 전압이 모두 변하는 경우는 일(work)의 미분(differential)을 다음처럼 일반적으로 쓸 수 있다.

                          (2)

식 (2)을 시간 미분으로 나누면 전기로 축적되는 전력(electric power)을 식 (3)와 같이 얻을 수 있다.

                             (3)

여기서 $dq = 0$이라 가정하였다.
식 (2)에서 $q = 0, dq \ne 0$이면 저항(resistor) 성분에 관계되고 $q \ne 0, dq = 0$은 커패시터(capacitor) 성분에 관계된다. 즉, 전하(electric charge) $q = 0$이면 전하가 쌓이지 않는 것이며 $dq \ne 0$이면 전하의 변동(or 전류)이 존재하는 것이므로 저항에 연관된다. 반대로 $q \ne 0$이라 가정하면 전하가 어딘가에 쌓이는 것이며 $dq = 0$이면 전하의 변동이 없어 전류는 흐르지 않는다. 이런 소자는 커패시터이다.
전류를 흘릴 수 있지만 이완시간(relaxation time)으로 인해 전하의 총합이 0이 되는 저항을 생각하면 $q = 0, dq \ne 0$인 특성을 쉽게 이해할 수 있다. 하지만 $q \ne 0, dq = 0$은 좀 어렵다. 커패시터는 직류($dq = 0$)를 흘릴 수 없지만 교류($dq \ne 0$)는 흘릴 수 있기 때문이다. 식 (3)에서 고려하는 것은 직류와 교류의 문제가 아니고 포텐셜 에너지(potential energy) 관점이다. 내가 시스템에 힘을 주면 시스템 구성물질이 움직이게 되고 시간이 어느 정도 지나면 힘의 균형으로 인해 멈추게($dq = 0$) 된다. 이때 내가 시스템에 공급한 에너지는 이 시스템이 저장한 포텐셜 에너지가 된다는 의미이다. 이것을 계산한 것이 식 (3)에 표현되어 있다.
일반식인 식 (4)을 이용해서 축적되는 전하는 정전용량(capacitance)전압(voltage)의 곱으로 표현할 수 있다.

                       (4)

따라서, 식 (3)으로부터 커패시터 내부에 축적되는 전기에너지(electric energy)는 아래로 표현할 수 있다.

                       (5)

단순하게 생각하면 전압이 증가할 때 전하도 증가하기 때문에 전하와 전압의 곱인 에너지는 삼각형의 면적처럼 변화한다.
식 (5)를 전속밀도(electric flux density)전기장(electric field)으로 표현하기 위해 아래식을 생각한다.

                       (6)

                           (7)

식 (6)와 (7)을 식 (5)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                           (8)

여기서 에너지를 구하기 위한 부피는 [그림 1]의 왼쪽과 같이 닫힌 표면적(closed surface)을 전기장을 적분한 방향(or 전압차이가 정의된 방향)으로 무한히 모은 것이다.

[그림 1] 닫힌 표면적(왼쪽)과 열린 표면적(오른쪽)(출처: wikipedia.org)

식 (8)을 유도하기 위해 다음의 벡터 항등식(vector identity)을 사용하였다.

                         (9)

식 (9)을 이용하면 다음 항등식을 얻는다.

             (10)

면적미분소 $da$와 선미분소 $dl$은 임의로 잡을 수 있기 때문에 전속밀도와 동일한 방향으로 $dl$을 잡거나 전기장과 동일한 방향으로 $da$를 잡으면 식 (10)의 우변 마지막항을 0으로 만들 수 있다.
식 (8)로부터 전기장의 에너지 밀도(energy density)[J/㎥]를 아래로 정의할 수 있다.

                         (11)

식 (11)은 놀라운 결과이다. 실체가 없는 것으로 느껴졌던 전기장이 에너지 밀도를 구성한다니! 의심할 것 없이 전기장이 있으면 에너지가 있는 것이다. 왜냐하면 우리가 위에서 충실히 증명했기 때문이다.
좀더 쉽게 생각하면 커패시터에 모이는 에너지는 전압을 걸어 전하가 모인 것이라 생각할 수 있지만 더 근본적으로는 전기장과 전속밀도를 공간에 퍼트리기 때문에 에너지가 생긴 것이라  판단할 수도 있다.
전기장의 에너지밀도를 증명하기 위해 식 (8)을 사용한 것은 너무 단순하다고 생각할 수 있다. 일반적인 교재에는 전하를 하나하나 모아서 전하를 모으는데 사용한 에너지를 이용해 전기장의 에너지밀도를 우아하면서도 아름답게 증명하기 때문일 것이다.
하지만 그 결과는 동일하며 우리 증명에서도 근사화한 것은 없다. 오히려 식 (8)은 단순해서 이해가 더 쉽고 자기장의 에너지밀도 계산에도 동일한 과정을 이용할 수 있다.

전기장의 에너지밀도를 고민할 때 쉽게 범하는 실수가 인터넷에 질의응답 형태로 소개되어 있다[1]. [1]에 있는 질문을 그대로 아래에 옮긴다.

[인용]
첫번째 전자기파가 가진 에너지밀도를 1이라고 하면, 두 번째 전자기파도 똑같이 1이 됩니다. 즉 두개를 합치면 에너지밀도는 2가 됩니다. 그런데 만약에 두개의 전자기파를 합치면, 전자기파는 E=2가 됩니다. 따라서 에너지밀도는 2^2=4가 됩니다. 첫번째 계산에서는 에너지 밀도가 2가 되고 이번에는 4가 됩니다. 어디서 문제가 발생한것인가요? 

우리는 답을 알고 있다. 식 (11)에 의해 전기장의 에너지밀도는 4배로 커져야 한다. 이걸 이해하기 위해 많은 답글을 달았지만 보면 더 복잡해진다[1]. 식 (8) 증명에 오류가 없기 때문에 답은 식 (8)로 결정해야 한다. 원칙은 간단한 것이다.
아마 질문자의 의도는 답이 4배 되는 것은 알겠는데 왜 그런지에 대한 물리적인 이해를 요구하는 것 같다. 이것도 쉽다. 서로 다른 전기장을 하나로 합치는 것은 공짜가 아니다. 에너지가 필요하다. 얼마인가 하면 $4 - 1 - 1 = 2$만큼이 필요하다.
이게 잘 이해가 안되면 [그림 2]의 커패시터(capacitor)를 생각해보자.

[그림 2] 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)   

식 (8)의 과정에 의해 전기장을 합치는 문제와 커패시터를 합치는 문제는 동일하다. [그림 2]의 커패시터를 하나로 합친다고 생각하자. 그 내부에 있는 전하(charge)들의 부호는 같기 때문에 전기력(electric force)이 작용하여 전하 (+)는 (+)를, 전하 (-)는 (-)를 서로 밀게 된다. 그래서, 이 반발력을 이기려면 에너지가 투입되어야 한다.

[참고문헌]
[1] restover, "전기장에너지", 한국과학기술인연합, 2005.

[다음 읽을거리]
1. 자기장의 에너지
2. 포인팅의 정리
3. 전자기학에서의 에너지
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댓글 29개 :

  1. 안녕하세요, 잘 설명 되어있어서 자주 보고있는 학생입니다.
    한가지 궁금한 것이 있는데,

    (1)번식에서 에너지 W = qv 라고 되어있는데,

    이 부분이 잘 이해가 가지 않습니다.

    전압과 전기장도 읽었는데.. 제 이해력이 좀 부족합니다.

    좀 쉬운 설명을 부탁드려도 될까요?

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    1. 방문 감사합니다.

      좀더 쉽게 설명하기 위해 원문을 수정했습니다.

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  2. 답글
    1. 방문 감사합니다, GwangHyun Jeon님.

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  3. (11) 식에서 전계에 절대값이 취해진 이유가 뭔가요?

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    1. 전계와 전계의 켤레의 곱의 절대값으로도 나타낼수 있나요?

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    2. - 에너지는 실수인 스칼라라서 그렇습니다.

      - 만약 페이저를 쓴다면 켤레 복소수를 이용해 절대값으로 변환해야 합니다.

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  4. 60가까이에 퇴직하고 전기기사 시험중입니다. 개념을 몰라 헤매고 있읍니다,여길보고 도움이 되네요.감사합니다.
    한가지만 물어봐도 될까요? 첫째 w=qv(1식)와 1/2qv(5식)의 개념차를 알고싶읍니다. 알려주시길...

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  5. 익명님, 방문 감사합니다. 퇴직후에도 열공중이시군요. ^^
    전하 Q와 전압 V의 에너지 관계식은 식 (1)이 맞습니다. 하지만 Q, V가 식 (4)처럼 변할 경우의 전체 에너지는 적분을 해야 되므로 식 (5)가 나옵니다.

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  6. 제가 잘 못 이해한건지 모르겠는데 축전기가 아닌 일반적 경우에도 전기장이 에너지를 가지고있나요? 빈공간에 하나의 점전하가 놓여있는경우도 포텐셜에너지를 가지고다고 생각할수 있는건가요?

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    1. 전기장만 있어도 에너지가 있는 것입니다, 커패시터 유무와는 관계없고요.

      빈 공간에 점전하 하나만 있더라도 전기장의 에너지는 무한대입니다. 즉, 점전하는 물리적으로 불가능한 가정입니다.

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  7. 답글
    1. 방문 감사합니다, CHANN Project님. ^^

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  8. 안녕하세요 전파거북이님 블로그 너무나 감사하게 잘 보고 있습니다. "빈 공간에 점전하 하나만 있더라도 전기장의 에너지는 무한대입니다. 즉, 점전하는 물리적으로 불가능한 가정입니다." 전파거북이님께서 남기신 댓글을 보고 갑자기 궁금한게 생겨서요. 중고등학교 마찰전기 부분에 나오는 +또는 -로 대전된 물체 또는 대전된 도체구는 전기장을 발산 할텐데 그러면 식(11)로부터 에너지가 무한대가 될것 같은데... 제가 어디서 잘못 이해하고 있는건가요?

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^

      1. 에너지가 무한대인 경우는 점전하입니다. 대전된 도체구는 전기장이 발산하지 않기 때문에 무한대가 되지 않습니다.

      2. 점전하의 무한대 에너지를 해결하는 절묘한 해결책이 전자 구름(electron cloud) 개념입니다. 평균적으로는 (점전하처럼) 중심에 있지만, 실제 위치는 확률적으로만 표시할 수 있습니다.

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    2. 금속의 성질(http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/metal.html) 의 (9)번식에서 금속의 표면에서는 표면에 수직으로 나가고 표면전하밀도에 비례한다고 되어있더라구요, 제가 이해하기로는 대전된(+로든 -로든) 도체구에서는 잉여전하가 표면에만 분포하고 그래서 도체구 바깥쪽으로 수직으로 전기장이 발산(-인 경우는 수렴)되는 것으로 상상되는데요. 대전된 도체구는 전기장이 발산되지 않는다고 하시니 멘붕이 옵니다ㅠㅠ 쿨롬의 비틀림저울(http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/electric-field.html)은 대전된 도체구에서 발산되는 전기장때문에 가능한것 아닌가요? 자꾸 수준낮은 질문만 드려서 죄송합니다^^;;

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    3. 수렴(convergence)의 반대말로 발산(divergence)이라 표현했습니다. 여기서는 발산 연산자가 아니고, 무한대로 간다는 수학적 발산입니다. (헷갈릴만 하네요. -.-;;)

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    4. 제가 발산이라는 단어를 써서 꼬여버렸네요 죄송합니다^^;; 다시 질문드릴께요. 빈 공간에 전하량Q로 대전된 도체구가 만드는 전기장의 에너지와 , 빈공간에 전하량Q인 점전하가 만드는 전기장의 에너지는 어떻게 다른지요? 제가 생각하기에는 동일한 크기의 가우스면을 씌우면 전하량이 같으므로 가우스면을 뚫고지나가는 전기장도 같을 것이고 그래서 에너지도 같을것이라 생각되서요. 전파거북이님의 어떤글에서 전자기학은 시각화가 되어야한다는 문구를 보았습니다. 자꾸 시각화하려다 보니 이런 이상한 질문을 하게됩니다^^

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    5. 1. 도체구의 반지름을 $a$라 할 경우, $r > a$인 영역의 전기장은 두 경우 모두 동일합니다. 하지만, $r < a$인 경우는 완전히 다릅니다. 도체구 내부의 전기장은 0이지만, 점전하는 무한대로 발산합니다.
      그래서, 두 경우의 에너지는 유한과 무한이 됩니다.

      2. 계속 질문하셔도 됩니다, 익명님. ^^

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    6. 1. 와우~ 점전하의 r<a 인 경우는 꿈에도 생각못했네요ㅜㅜ 답변 정말 감사드립니다.
      2. 위에 전파거북이님 댓글 중 전자구름개념을 말씀하셔서 평소 궁금했던것 질문드려봅니다.
      금속의 성질중 도체내부는 어떤 경우에도 전기장이 0이 되는 성질이 있다고 알고있습니다. 금속 외부에서 전기장이 가해지면 그 즉시 외부의 전기장을 상쇄시킬수 있는 방향으로 금속 내부의 전자가 이동하여 금속내부의 알짜 전기장이 0이 된다는것이죠. http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/metal.html 그림4 처럼 정전차폐도 마찬가지 원리라고 알고있습니다. 그런데 금속내부에는 전자의 갯수가 무한개가 있지않을것이고 또 이동할 수 있는 물리적인 공간도 한계가 있을 텐데, 만약 아주 아주 큰 외부 전기장이 가해지면 이런 한계때문에 정전차폐가 안된다던지, 금속 내부에 전기장이 생기지도 않을까 생각해보았습니다. 인터넷검색을 아무리 해봐도 이런문제를 언급한글은 찾지 못했구요. 혹시 이문제와 전자구름 개념이 관련이 있을까요?

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    7. 외부 전기장이 아주 커지면 물질 내부의 전자가 붕괴(breakdown)되어 전류를 흘릴 수 있게 됩니다. 번개나 형광등이 대표적인 예가 됩니다.

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    8. 늘 친절한 답변 감사드립니다^^ 전자 붕괴로 인한 전류가 방전을 말씀하시는것 맞나요? 구글링해보니 방전에도 불꽃방전, 아크방전, 코로나방전, 글로우방전 등 이 있네요. 전자 붕괴로 인한 전류에 대해 더 알고 싶으면 전기전자과 과목중 어떤 과목을 공부해야하는지요? 회로이론, 전자기학 책에는 없더라구요.

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    9. 네, 맞습니다. ^^
      이런 분야는 보통책에는 나오지 않습니다. 고출력 전자기학(high power electromagnetics) 분야를 검색해보셔야 합니다.

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    10. 역시 그렇군요. 이렇게 질문하고 답을 얻을 수 있다는것 ... 얼마나 감사한 일인지ㅜㅜ 다른 글에서도 뵙겠습니다. 다시 한번 답변 감사드립니다^^

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  9. "없지만 교류(dq≠0dq≠0)는 흘릴 수 있기 때문이다. 식 (3)에서 고려하는 것은 직류와 교류의 문제가 아니고 포텐셜 에너지(potential energy) 관점이다."

    이 뜻은 교류는 dq 성분있긴 하지만 dq=0이라고 가정하고 풀면 캐패시터 내에 포텐셜 에너지만 생각하고 풀 수 있다는 뜻인가요?

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    1. 정지된 상태의 전기장 에너지를 계산하고 있기 때문에, $dq \ne 0$이 되면 교류 전류가 있는 것이 되어 정전장 에너지가 되지 않습니다.

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  10. 정말정말정말정말 감사합니다

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  11. 안녕하세요 전파거북이님 블로그 감사하게 보고있습니다.

    마지막에 커패시터를 합친다는게 d를 줄여서 합치는걸로 이해했는데

    여기서 내부전하가 같아서 반발이일어나 일을 해줘야한다고 하셨는데 양극판은 +Q , -Q 로 대전되어있으니까 d를 줄이는데는 인력이 작용하지 않나요? 커패시터의 내부전하가 극판을 움직이는데 어떤영향을 미치는건가요?

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    1. 외부에서 커패시터 쪽으로 전하를 보낸다고 생각해야 합니다. 이때는 같은 극끼리의 척력이 작용합니다.

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