2011년 6월 4일 토요일

전기장의 에너지(Energy of Electric Field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장의 에너지"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 저항
3. 커패시터


전하량(electric charge) $q$가 변하지 않는 경우 전기(電氣, electricity)가 가진 에너지[$W = qV$] 혹은 일(work)은 다음처럼 유도할 수 있다.

                       (1)

여기서 $\bar E$는 전기장(electric field), $\Delta \bar l$은 전하 $q$가 움직인 크기와 방향이다. 즉, 일은 힘(force)이 작용하는 방향으로 일정 거리를 움직이면, 전하 × 전기장 = 전기력, 전기장 × 이동 거리 = 전압 강하가 되어 일은 전하와 전압의 곱이 된다. 전하량과 전압이 모두 변하는 경우는 일(work)의 미분(differential)을 다음처럼 일반적으로 쓸 수 있다.

                          (2)

식 (2)을 시간 미분으로 나누면 전기로 축적되는 전력(electric power)을 식 (3)와 같이 얻을 수 있다.

                             (3)

여기서 $dq = 0$이라 가정하였다. 식 (2)에서 $q = 0$, $dq \ne 0$[= 주어진 체적에 전하를 모을 수 없지만 전류를 흘릴 수 있는 조건]이면 저항(resistor) 성분에 관계되고 $q \ne 0$, $dq = 0$[= 주어진 체적에 전하를 모을 수 있지만 전류를 흘릴 수 없는 조건]커패시터(capacitor) 성분에 관계된다. 즉, 전하(electric charge) $q = 0$이면 전하가 쌓이지 않는다. 만약 $dq \ne 0$이면, 전하의 변동[혹은 전류]이 존재하므로 저항에 연관된다. 반대로 $q \ne 0$이라 가정하면 전하가 어딘가에 쌓이며 $dq = 0$이면 전하의 변동이 없어 전류는 흐르지 않는다. 따라서 $q \ne 0$, $dq = 0$인 대표적인 소자는 커패시터이다. 저항은 $q = 0$, $dq \ne 0$인 특성을 표현하는 소자이다. 저항은 전류를 흘릴 수 있지만 이완 시간(relaxation time)으로 인해 전하의 총합이 0이 된다. 따라서 $q = 0$, $dq \ne 0$인 조건을 만족한다.[혹은 이상적인 도선의 전하 총량은 0이지만 전류를 흘릴 수 있어서 $dq \ne 0$이다.] 하지만 $q \ne 0$, $dq = 0$은 좀 어렵다. 커패시터는 직류[$dq = 0$]를 흘릴 수 없지만 교류[$dq \ne 0$]는 흘릴 수 있기 때문이다. 그래서 식 (3)에서는 직류와 교류의 문제가 아니고 위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy) 관점을 고려한다. 시스템에 힘을 가하면 시스템 구성 물질이 움직이게 되고, 시간이 어느 정도 지나면 힘의 균형으로 인해 멈추게[$dq = 0$] 된다. 이때 시스템에 공급한 에너지는 이 시스템이 저장한 위치 에너지가 된다는 의미이다. 이를 계산한 부분이 식 (3)에 표현되어 있다. 일반식 (4)를 이용해서 축적되는 전하는 전기 용량(capacitance)과 전압(voltage)의 곱으로 표현할 수 있다.

                       (4)

따라서, 식 (3)으로부터 커패시터 내부에 축적되는 전기 에너지(electric energy)는 아래처럼 표현할 수 있다.

                       (5)

단순하게 생각하면 전압이 증가할 때 전하도 증가하기 때문에 전하와 전압의 곱인 에너지는 삼각형의 면적처럼 변화한다. 식 (5)를 전속 밀도(electric flux density)와 전기장(electric field)으로 표현하기 위해 아래식을 생각한다.

                       (6)

                           (7)

식 (6)와 (7)을 식 (5)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                           (8)

여기서 에너지를 구하기 위한 부피는 [그림 1]의 왼쪽과 같이 닫힌 표면적(closed surface)을 전기장을 적분한 방향[혹은 전압 차이가 정의된 방향]으로 무한히 합산한 길이 방향[혹은 표면적 벡터 방향] 적분이다. 식 (7)의 전압 기준으로 전기장의 에너지를 설명할 수도 있다. 식 (7)에서 $B$가 전압이 높고 $A$는 전압이 낮다고 가정한다. 그러면 $W_e$ = $W_B - W_A$가 된다. 왜냐하면 식 (7)의 $\bar E$는 $B$에서 $A$를 향하는 방향으로 생기고, 선 미분소 $d \bar l$도 $\bar E$와 같은 방향이어야 하기 때문이다. 따라서 식 (8)에 나온 선 적분 경로 $c$도 $B$에서 $A$로 향한다.

[그림 1] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

식 (8)을 유도하기 위해 다음의 벡터 항등식(vector identity)을 사용하였다.

                         (9)

식 (9)을 이용하면 다음 항등식을 얻는다.

             (10)

면적 미분소 $da$와 선 미분소 $dl$은 임의로 잡을 수 있기 때문에 전속 밀도와 동일한 방향으로 $dl$을 잡거나 전기장과 동일한 방향으로 $da$를 잡으면 식 (10)의 우변 마지막항을 0으로 만들 수 있다. 더 직관적으로 식 (10)을 유도하려면, $d \bar a, d \bar l$의 방향을 $\bar D$와 나란히 한다. 왜냐하면 $d \bar a, d \bar l$은 우리가 마음대로 선택하는 벡터라서 $\bar D$와 방향을 맞출 수도 있기 때문이다. 그러면 $(D da)(dl \hat D \cdot \bar E)$ = $(\bar D \cdot \bar E) dv$가 성립한다. 여기서 $\bar D$ = $D \hat D$, $\hat D$는 $\bar D$에 대한 단위 벡터(unit vector), $dv$ = $dl da$이다.
식 (8)로부터 전기장의 에너지 밀도(energy density, J/㎥)를 아래처럼 정의할 수 있다.

                         (11)

여기서 $\bar P$는 분극 밀도(polarization density), $\frac{1}{2}\bar P \cdot \bar E$는 분극에 의한 위치 에너지 밀도이다. 식 (11)은 놀라운 결과이다. 실체가 없는 것처럼 느껴졌던 전기장이 에너지 밀도를 구성한다니! 의심할 필요도 없이 전기장이 있으면 반드시 에너지가 있다. 왜냐하면 우리가 위에서 충실히 증명했기 때문이다. 좀더 쉽게 생각하면 커패시터에 모이는 에너지는 전압을 걸어 전하가 모인 형태라고 생각할 수 있지만, 더 근본적으로는 전기장과 전속 밀도를 공간에 퍼트리기 때문에 에너지가 생긴다고  판단할 수도 있다. 전기장의 에너지 밀도를 증명하기 위해 식 (8)을 사용한 방식은 너무 단순하다고 생각할 수 있다. 일반적인 교재에는 전하를 하나하나 모아서 전하를 모으는데 사용한 에너지를 계산해서 전기장의 에너지 밀도를 우아하면서도 아름답게 증명하기 때문이다. 하지만 그 결과는 우리 결과와 동일하며 우리 증명에서도 근사화한 부분은 전혀 없다. 오히려 식 (8)은 단순해서 이해가 더 쉽고 자기장의 에너지 밀도 계산에도 동일한 과정을 이용할 수도 있다.
전기장의 에너지 밀도를 고민할 때 쉽게 범하는 실수가 인터넷에 질의응답 형태로 소개되어 있다[1]. 참고문헌 [1]에 있는 질문을 그대로 아래에 옮긴다.

첫번째 전자기파가 가진 에너지밀도를 1이라고 하면, 두 번째 전자기파도 똑같이 1이 됩니다. 즉 두개를 합치면 에너지밀도는 2가 됩니다. 그런데 만약에 두개의 전자기파를 합치면, 전자기파는 E=2가 됩니다. 따라서 에너지밀도는 2^2=4가 됩니다. 첫번째 계산에서는 에너지 밀도가 2가 되고 이번에는 4가 됩니다. 어디서 문제가 발생한것인가요? 

우리는 답을 알고 있다. 식 (11)에 의해 전기장의 에너지 밀도는 4배로 커져야 한다. 이 사실을 이해시키기 위해 많은 답글을 달았지만, 답글을 보면 오히려 더 복잡해진다[1]. 식 (8)의 증명에 오류가 없기 때문에 답은 식 (8)로 결정해야 한다. 전자기학의 원칙은 간단하다. 우리가 배운 내용이 답이다. 아마도 질문자의 의도는 답이 4배 됨은 알겠지만 왜 그런지에 대한 물리적인 이해를 요구하는 것 같다. 이 부분도 답이 쉽다. 서로 다른 전기장을 하나로 합치는 작업은 공짜가 아니다. 반드시 에너지가 필요하다. 얼마인가 하면 $4 - 1 - 1 = 2$만큼이 필요하다. 이게 잘 이해가 안되면 [그림 2]의 커패시터(capacitor)를 생각해보자.

[그림 2] 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)   

식 (8)의 과정에 의해 전기장을 합치는 문제와 커패시터를 합치는 문제는 동일하다. [그림 2]의 커패시터를 하나로 합친다고 생각하자. 그 내부에 있는 전하(charge)의 부호는 같기 때문에 전기력(electric force)이 작용하여 전하 (+)는 (+)를, 전하 (-)는 (-)를 서로 밀게 된다. 그래서, 이 반발력을 이기려면 에너지가 투입되어야 한다.

[그림 3] 두 송신기가 서로 전자파를 복사하는 모습

이 개념을 전자파까지 확장해보자. [그림 3]처럼 두 송신기가 서로를 향해 전자파를 쏜다고 상상하자. 여기서 두 송신기가 쏜 전기장과 자기장은 동일한 크기를 가지며, 이 전자파는 운 나쁘게 중간 지점에서 전기장의 위상이 서로 180˚ 차이를 가진다고 가정한다. 이 경우 전기장의 에너지는 식 (11)에 의해 당연히 0이 된다. 우리가 허공에 쏘았기 때문에 에너지를 가져올 수 없는데 대체 전기장의 에너지는 어디에 갔을까? 답은 자기장이다. 균일 평면파(uniform plane wave) 특성으로 인해 전기장의 위상차가 180˚이면 자기장의 위상차는 반드시 0˚가 되어야 한다. 그래서 두 전자파가 만난 지점에서 자기장의 에너지 밀도는 4배로 증가해야 한다. 이 과정을 에너지 보존 관점에서 쓰면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

                         (12)

여기서 $\Delta V$는 전자파가 존재하는 부피이다. 식 (12)의 좌변은 송신기 #1과 #2 위치의 에너지이며, 우변은 전기장이 180˚ 차이로 만난 중간 지점의 에너지이다. 식 (12)의 좌변과 우변은 같기 때문에 균일 평면파의 전기장과 자기장 비율은 다음 관계를 반드시 만족해야 한다.

                         (13)

식 (13)의 우변은 유명한 균일 평면파의 고유 임피던스(intrinsic impedance)가 된다. 신기하게도 고유 임피던스 개념은 맥스웰 방정식을 직접 쓰지 않고도 전자기파의 에너지 보존 법칙으로부터 쉽게 유도된다.

[참고문헌]

[다음 읽을거리]

댓글 47개 :

  1. 안녕하세요, 잘 설명 되어있어서 자주 보고있는 학생입니다.
    한가지 궁금한 것이 있는데,

    (1)번식에서 에너지 W = qv 라고 되어있는데,

    이 부분이 잘 이해가 가지 않습니다.

    전압과 전기장도 읽었는데.. 제 이해력이 좀 부족합니다.

    좀 쉬운 설명을 부탁드려도 될까요?

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    1. 방문 감사합니다.

      좀더 쉽게 설명하기 위해 원문을 수정했습니다.

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  2. (11) 식에서 전계에 절대값이 취해진 이유가 뭔가요?

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    1. 전계와 전계의 켤레의 곱의 절대값으로도 나타낼수 있나요?

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    2. - 에너지는 실수인 스칼라라서 그렇습니다.

      - 만약 페이저를 쓴다면 켤레 복소수를 이용해 절대값으로 변환해야 합니다.

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  3. 60가까이에 퇴직하고 전기기사 시험중입니다. 개념을 몰라 헤매고 있읍니다,여길보고 도움이 되네요.감사합니다.
    한가지만 물어봐도 될까요? 첫째 w=qv(1식)와 1/2qv(5식)의 개념차를 알고싶읍니다. 알려주시길...

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  4. 익명님, 방문 감사합니다. 퇴직후에도 열공중이시군요. ^^
    전하 Q와 전압 V의 에너지 관계식은 식 (1)이 맞습니다. 하지만 Q, V가 식 (4)처럼 변할 경우의 전체 에너지는 적분을 해야 되므로 식 (5)가 나옵니다.

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  5. 제가 잘 못 이해한건지 모르겠는데 축전기가 아닌 일반적 경우에도 전기장이 에너지를 가지고있나요? 빈공간에 하나의 점전하가 놓여있는경우도 포텐셜에너지를 가지고다고 생각할수 있는건가요?

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    1. 전기장만 있어도 에너지가 있는 것입니다, 커패시터 유무와는 관계없고요.

      빈 공간에 점전하 하나만 있더라도 전기장의 에너지는 무한대입니다. 즉, 점전하는 물리적으로 불가능한 가정입니다.

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  6. 안녕하세요 전파거북이님 블로그 너무나 감사하게 잘 보고 있습니다. "빈 공간에 점전하 하나만 있더라도 전기장의 에너지는 무한대입니다. 즉, 점전하는 물리적으로 불가능한 가정입니다." 전파거북이님께서 남기신 댓글을 보고 갑자기 궁금한게 생겨서요. 중고등학교 마찰전기 부분에 나오는 +또는 -로 대전된 물체 또는 대전된 도체구는 전기장을 발산 할텐데 그러면 식(11)로부터 에너지가 무한대가 될것 같은데... 제가 어디서 잘못 이해하고 있는건가요?

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^

      1. 에너지가 무한대인 경우는 점전하입니다. 대전된 도체구는 전기장이 발산하지 않기 때문에 무한대가 되지 않습니다.

      2. 점전하의 무한대 에너지를 해결하는 절묘한 해결책이 전자 구름(electron cloud) 개념입니다. 평균적으로는 (점전하처럼) 중심에 있지만, 실제 위치는 확률적으로만 표시할 수 있습니다.

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    2. 금속의 성질(http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/metal.html) 의 (9)번식에서 금속의 표면에서는 표면에 수직으로 나가고 표면전하밀도에 비례한다고 되어있더라구요, 제가 이해하기로는 대전된(+로든 -로든) 도체구에서는 잉여전하가 표면에만 분포하고 그래서 도체구 바깥쪽으로 수직으로 전기장이 발산(-인 경우는 수렴)되는 것으로 상상되는데요. 대전된 도체구는 전기장이 발산되지 않는다고 하시니 멘붕이 옵니다ㅠㅠ 쿨롬의 비틀림저울(http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/electric-field.html)은 대전된 도체구에서 발산되는 전기장때문에 가능한것 아닌가요? 자꾸 수준낮은 질문만 드려서 죄송합니다^^;;

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    3. 수렴(convergence)의 반대말로 발산(divergence)이라 표현했습니다. 여기서는 발산 연산자가 아니고, 무한대로 간다는 수학적 발산입니다. (헷갈릴만 하네요. -.-;;)

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    4. 제가 발산이라는 단어를 써서 꼬여버렸네요 죄송합니다^^;; 다시 질문드릴께요. 빈 공간에 전하량Q로 대전된 도체구가 만드는 전기장의 에너지와 , 빈공간에 전하량Q인 점전하가 만드는 전기장의 에너지는 어떻게 다른지요? 제가 생각하기에는 동일한 크기의 가우스면을 씌우면 전하량이 같으므로 가우스면을 뚫고지나가는 전기장도 같을 것이고 그래서 에너지도 같을것이라 생각되서요. 전파거북이님의 어떤글에서 전자기학은 시각화가 되어야한다는 문구를 보았습니다. 자꾸 시각화하려다 보니 이런 이상한 질문을 하게됩니다^^

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    5. 1. 도체구의 반지름을 $a$라 할 경우, $r > a$인 영역의 전기장은 두 경우 모두 동일합니다. 하지만, $r < a$인 경우는 완전히 다릅니다. 도체구 내부의 전기장은 0이지만, 점전하는 무한대로 발산합니다.
      그래서, 두 경우의 에너지는 유한과 무한이 됩니다.

      2. 계속 질문하셔도 됩니다, 익명님. ^^

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    6. 1. 와우~ 점전하의 r<a 인 경우는 꿈에도 생각못했네요ㅜㅜ 답변 정말 감사드립니다.
      2. 위에 전파거북이님 댓글 중 전자구름개념을 말씀하셔서 평소 궁금했던것 질문드려봅니다.
      금속의 성질중 도체내부는 어떤 경우에도 전기장이 0이 되는 성질이 있다고 알고있습니다. 금속 외부에서 전기장이 가해지면 그 즉시 외부의 전기장을 상쇄시킬수 있는 방향으로 금속 내부의 전자가 이동하여 금속내부의 알짜 전기장이 0이 된다는것이죠. http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/metal.html 그림4 처럼 정전차폐도 마찬가지 원리라고 알고있습니다. 그런데 금속내부에는 전자의 갯수가 무한개가 있지않을것이고 또 이동할 수 있는 물리적인 공간도 한계가 있을 텐데, 만약 아주 아주 큰 외부 전기장이 가해지면 이런 한계때문에 정전차폐가 안된다던지, 금속 내부에 전기장이 생기지도 않을까 생각해보았습니다. 인터넷검색을 아무리 해봐도 이런문제를 언급한글은 찾지 못했구요. 혹시 이문제와 전자구름 개념이 관련이 있을까요?

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    7. 외부 전기장이 아주 커지면 물질 내부의 전자가 붕괴(breakdown)되어 전류를 흘릴 수 있게 됩니다. 번개나 형광등이 대표적인 예가 됩니다.

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    8. 늘 친절한 답변 감사드립니다^^ 전자 붕괴로 인한 전류가 방전을 말씀하시는것 맞나요? 구글링해보니 방전에도 불꽃방전, 아크방전, 코로나방전, 글로우방전 등 이 있네요. 전자 붕괴로 인한 전류에 대해 더 알고 싶으면 전기전자과 과목중 어떤 과목을 공부해야하는지요? 회로이론, 전자기학 책에는 없더라구요.

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    9. 네, 맞습니다. ^^
      이런 분야는 보통책에는 나오지 않습니다. 고출력 전자기학(high power electromagnetics) 분야를 검색해보셔야 합니다.

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    10. 역시 그렇군요. 이렇게 질문하고 답을 얻을 수 있다는것 ... 얼마나 감사한 일인지ㅜㅜ 다른 글에서도 뵙겠습니다. 다시 한번 답변 감사드립니다^^

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  7. "없지만 교류(dq≠0dq≠0)는 흘릴 수 있기 때문이다. 식 (3)에서 고려하는 것은 직류와 교류의 문제가 아니고 포텐셜 에너지(potential energy) 관점이다."

    이 뜻은 교류는 dq 성분있긴 하지만 dq=0이라고 가정하고 풀면 캐패시터 내에 포텐셜 에너지만 생각하고 풀 수 있다는 뜻인가요?

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    1. 정지된 상태의 전기장 에너지를 계산하고 있기 때문에, $dq \ne 0$이 되면 교류 전류가 있는 것이 되어 정전장 에너지가 되지 않습니다.

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  8. 정말정말정말정말 감사합니다

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  9. 안녕하세요 전파거북이님 블로그 감사하게 보고있습니다.

    마지막에 커패시터를 합친다는게 d를 줄여서 합치는걸로 이해했는데

    여기서 내부전하가 같아서 반발이일어나 일을 해줘야한다고 하셨는데 양극판은 +Q , -Q 로 대전되어있으니까 d를 줄이는데는 인력이 작용하지 않나요? 커패시터의 내부전하가 극판을 움직이는데 어떤영향을 미치는건가요?

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    1. 외부에서 커패시터 쪽으로 전하를 보낸다고 생각해야 합니다. 이때는 같은 극끼리의 척력이 작용합니다.

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  10. 안녕하세요 전파거북이님. 제가 KOCW에서 인강을 듣다가 살짝 헷갈리는 부분이 있어서 질문드리려고 합니다.

    http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=320366
    16:00, 21:42 에서 1/2*QV 꼴로 계의 에너지가 나오는 게, 그냥 단순하게 도출이 된 거지 설명이 잘 안 된다고 하는데.. 저는 이렇게 이해했거든요.


    계에 Q1 Q2만 있고, 둘 사이의 거리가 R이라고 가정했을 때, 전압은 전하 하나를 "고정"시켜 놓고, 무한에서 R까지 옮겨 놓을 때 전기장을 거슬러 올라가는 에너지를 정의한 건데, 사실 전하 하나가 고정되려면 거슬러 올라가는 전하가 해야하는 일의 양과 같은 일의 양을 "고정"시켜 놓는데 써야해서 1/2가 붙는다고 이해했거든요.

    PE가 결국 state에 관련된 에너지고 특정 기하학적 state에 도달하기 위한 모든 에너지를 포함해야 한다면, 고정 시켜놓은 전하의 에너지 값도 포함해야 전체 계의 에너지가 결정될텐데, 정의상 전압을 한 전하를 고정시켜놓고 "움직이는 전하" 관점에서 얼마나 일을 하는지 반쪽만 서술하기 때문에 그렇다고 이해했는데.. 이렇게 이해하면 틀린 걸까요?

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    1. 비슷하기는 한데요, 계에 전하가 단 두 개만 있다면 그때 에너지는 당연히 $E = qV$입니다. 그래서 이 경우는 1/2가 붙지 않아요. 숫자 1/2은 여러 개의 전하가 구성하는 에너지를 구할 때 생겨납니다. 전하가 많으면 두 번째보다는 세 번째, 세 번째보다는 네 번째 전하를 옮길 때 더 많은 에너지가 필요합니다. 이게 1/2가 나타나는 이유입니다.

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  11. 저항 포스트에서와 같이 식(1) 에서 q=0 이면 dq=0이 되지 않나요? 근데 dq/dt = I =/= 0 이기 때문에 q =/= 0일 거 같은데, 사인파 전류를 생각하면 dv/dt =/= 0가 돼서 dv*q텀이 사라지지 않는데 어떻게 해석해야할까요

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    1. 본문에 있는 예시를 보면 됩니다. 저항은 전하를 모을 수 없지만($q = 0$) 전류를 흘릴 수 있어요($dq \ne 0$).

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  12. 정전에너지에 대해서 질문이 있습니다. 정전에너지가 전기장의 형태로 저장되어 있다는 건 무슨 의미일까요. 에너지는 닫힌 계의 상태를 스칼라양으로 표현한 거고, 캐패시터에 저장된 에너지라고 하면 저장된 에너지가 얼마나 외부계에 대하여 일을 할 수 있을지가 의미를 가진다고 할 수 있을텐데요.

    외부계에 대해 일을 하는 건 캐패시터가 q를 방출할 때이므로 에너지가 q에 저장되어 있다고 하는 게 더 자연스러운 표현이 아닐까요? 아니면 전하는 전기장의 원천이므로 둘은 불가분의 관계에 놓여 있어서 어느 쪽으로 표현 하나 같은 물리현상을 표현한다고 보는 게 맞을까요.

    혹시 포인팅 벡터를 보면 전자기파가 전력전달 특성 때문에 전기장 E의 관점에서 에너지를 바라보는 게 좀 더 통일성이 있어서 E와 B에 각각 에너지가 저장된다고 하는 걸까요?

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  13. 아닙니다, 익명님. 익명님 의견대로 라면 전자기장은 존재할 수 없어요.
    원천에만 에너지가 몰려있으면 외부에 어떤 전하나 전류가 있어도 반응하지 못해요. 전기력 실험을 봐도, 주변에 전기장이 조금만 있어도 시험 전하는 전기력을 받아요. 그래서 에너지는 분명히 장 형태로 공간에 있어요.

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    1. 감사합니다 전파거북이님. 그렇네요. 힘과 에너지는 불가분의 관계인데 전기장이 있으면 전기력이 있으므로 전기장에 에너지가 저장된 거라고 보는 게 맞겠네요.

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  14. (8)로 갈 때 (7)에서 있던 음의 부호는 왜 사라졌나요?

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    1. 에너지의 기준점에 따라 부호는 바뀔 수 있어요. 식 (8) 밑에 설명을 추가했어요.

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  15. (8) 식에서 da dot dl 하면 3dxdydz 나오는데 1/3 해줘야 하는거 아닌가요?

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    1. 평면을 수직 방향으로 쌓기 때문에 3이 나오지 않아요. 간단하게 직육면체의 체적 적분을 상상해보세요.

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  16. 안녕하세요 전파거북님 전기장의 에너지에 대해 의문이 드는 것이 있어서 질문드리게 되었습니다.
    일반적으로 예시를 드는 본문에서 [그림2] 와 같은 직사각형 형태의 캐패시터에서 유전체가 없는 즉 진공상태에서 저항이 없다는 가정하에 전압 V로 전하를 충전을 했을때 전기 에너지는 W=(E^2)(ε0)/2 일텐데 이때 공급전원을 제거하고 유전체를 추가했을때 (비유전율εr) 진공일때 보다 더 높은 전기에너지 W=(E^2)(ε0)(εr)/2을 갖게 되는 것으로 알고 있거든요 그런데 에너지 보존 법칙에 의해 유전체를 바꾼다고 에너지가 높아지기 위해서는 유전체를 추가하는 과정에서 운동에너지가 소모하기 때문에 결국 에너지 보존법칙을 만족하게 되는 것일까요??

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    1. 1. 전기장의 에너지는 정전장을 가정하기 때문에, 운동 에너지를 가져오면 많이 어색해 보입니다.

      2. 그냥 진공과 유전체 있는 경우를 비교하면 어떨가요?
      - 유전체 유무에 관계없이 커패시터의 양쪽 단자에 일정한 $V$를 걸기 때문에 전기장(= $V/d$)은 일정합니다.
      - 대신 유전체가 있으면 커패시터 내부의 전기장(= $\rho_s / \epsilon$)은 줄어야 합니다.
      - 줄어야 하는 전기장이 진공의 경우와 같아지기 때문에, 커패시터에는 더 많은 전하가 모여야 합니다.
      - 그래서 유전체가 있으면 더 많은 에너지를 커패시터 내부에 모을 수 있어요.

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    2. 친절한 답변 감사드립니다. 제가 궁금했던 답변은 아니지만 답변을 해주시는 것만으로도 정말 감사드리죠~
      제가 생각했던 내용을 적자면 유전체의 변경으로 전기에너지가 증가하거나 감소하는 것은 유전체의 위치에너지의 변화라고 볼 수 있을꺼 같네요 한마디로 캐패시터를 진공상태에서 V로 전압을 충전하는데 사용된 에너지는 전기에너지로 저장되고 이때 전원을 제거하여 회로를 개방시킨상태에서 유전체 추가할 경우 전기에너지는 증가하는 것은 맞는 것 같습니다.
      그런데 이때 에너지 보존법칙을 만족 해야되는데 이는 유전체의 에너지가 변환된거라고 볼 수 있지 않을까 싶네요
      캐패시터 주변에 가져올 유전체 자체가 없었더라면 전기에너지를 높일 수도 없었을 것이라고 봅니다. 유전체가 존재했기 때문에 전기 에너지를 높일 수 있었던 것이니까 유전체 자체에 에너지가 있다고 볼 수 있는 것이 아닌가 생각이 듭니다.
      이게 맞는 생각인지는 모르겠네요

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    3. 위에 위치에너지는 잘못 적었습니다.
      유전체가 갖고 있는 에너지를 케페시터에 유전체를 넣었을때의 에너지 W2
      캐페시터가 진공 상태일때의 에너지 W1
      유전체 에너지 W2-W1이라고 생각하고 있습니다. 그런데 이런 물리적인 에너지는 들어본적이 없어서 맞는지는 모르겠네요

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    4. 좋은 관점이고요, 위치 에너지(potential energy)라고 해도 무방합니다.

      커패시터 관점의 위치 에너지는 식 (3) 밑에 설명이 있어요.

      전기장 자체를 본다면, $\epsilon \bar E = \epsilon_0 \bar E + \bar P$로 바꾸어서 분극을 위치 에너지로 설명해야 합니다.

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    5. 친절한 답변 감사드립니다~

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