2011년 11월 16일 수요일

스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스투름-리우빌 이론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 푸리에 급수의 시작


미분 방정식(differential equation) 이론에 등장하는 프로베니우스 방법(Frobenius method)이 단순하면서도 참신하다면 스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)은 거대하다. 미분 방정식 이론은 규칙도 별로 없고 거의 중구난방으로 해법이 등장하는게 일반적이지만, 모든 2차 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation)의 해를 예측할 수 있는 스투름-리우빌 이론은 단순하며 아름답기까지 하다. 이렇게 아름다운 이론이 사람 머리속에서 나왔다는게 믿어지지 않는다.
자, 앞으로 스투름-리우빌 이론의 참맛을 느껴보자. 스투름-리우빌 미분 방정식(Sturm-Liouville differential equation)은 아래로 표현된다.

                       (1)

여기서 $\lambda$는 상수, $p(x), q(x), r(x)$는 실수인 함수(real function)로 가정한다. 특히 밀도 함수(density function) 혹은 가중치 함수(weighting function)인 $r(x)$는 전체 구간에서 항상 0보다 크다고 가정한다. $r(x) > 0$인 가정을 한 이유는 식 (14) 때문이다.
식 (1)은 2차 선형 상미분 방정식치고는 모양이 이상하지만 두번 미분이 있는 2차 미분 방정식인 것은 분명하다. 한가지 의문이 드는 것은 식 (1)이 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있는가? 신기하게도 식 (1)은 식 (2)에 제시한 2차 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있다. 이것을 적분 인자(integrating factor)를 이용해 증명해보자.

                       (2)

                       (3)

여기서 $m(x)$는 적분인자이다. 식 (3)을 식 (2)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

                       (4)

즉, 식 (1)에 있는 $p(x)$는 적분 인자 $m(x)$를 표현한다.

뛰어난 수학자인 스투름(Jacques Charles François Sturm)과 리우빌(Joseph Liouville)이 일반적인 식 (2) 대신에 특수한 식 (1)을 고민한 이유는 무엇일까? 사실 스투름-리우빌 미분 방정식만 이해하고 있으면 공학 분야에 나오는 대부분의 미분 방정식을 두려움없이 대할 수 있다. 스투름-리우빌 이론을 모른 채 학부과정을 졸업한다는 것은 수학 분야를 포기했다는 뜻이다. 그 만큼 스투름-리우빌 이론은 중요하다.
스투름-리우빌 이론의 위대한 점은 미분 방정식을 풀지 않고 해답의 특성을 알 수 있다는 것이다. 얼마나 대단한가 풀지 않고 답의 특성을 안다니... 공학 분야에 쓰이는 대부분의 미분 방정식은 스투름-리우빌 미분 방정식 형태이기 때문에 거의 모든 공학 분야 미분 방정식의 해 특성을 스투름-리우빌 이론을 통해 이해할 수 있다.
미분 방정식인 식 (1)을 연산자(operator)를 이용해 다음처럼 표현해보자.

                       (5)

식 (5)의 네째줄은 아주 재미있는 개념을 포함하고 있다. 페이저(phasor) 개념처럼 생각한다면 연산자 $\mathfrak D$는 $\lambda r(x)$와 같다. 그래서, 상수인 $\lambda$는 식 (1)의 고유치(eigenvalue)라고 부른다. 식 (1)에서 보는 것처럼 고유치는 가중치 함수와 밀접하게 연결되어 있다. (고유치는 상수여서 $\lambda$값 자체는 여러 개 있을 수 있다. 하지만, 가중치 함수는 함수이므로 미분 방정식이 정해지면 하나로 딱 결정된다.) 다시 말하면, 고유치와 가중치 함수는 주어진 미분 방정식의 특성을 내포하고 있는 스칼라값과 함수가 된다.
[그림 1] 미분 방정식의 경계 조건(출처: wikipedia.org)

또한, 미분 방정식이 제대로 구성되기 위해서는 초기 조건(initial condition)이 필요하니 다음과 같은 일반화된 조건을 도입하자.

                       (6)

사실 식 (6)은 어떤 함수의 초기값을 설정했다기 보다는 양쪽 끝점의 값($x = a$ and $x = b$)을 정했으므로 [그림 1]처럼 경계 조건(boundary condition)이라 부를 수도 있다. 경계 조건이 식 (6)으로 형성된 미분 방정식은 정규 스투름-리우빌 미분 방정식(regular Sturm-Liouville DE)이라 한다.
식 (6)에서 $\alpha' = \beta' = 0$이면 $y(a) = y(b) = 0$이 된다. (물론 $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$) 이 경우는 양쪽 경계점에서의 값을 정하므로 접선 경계 조건(tangential boundary condition)이 된다. 수학자 디리클레(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 이름을 따서 디리클레 경계 조건(Dirichlet boundary condition)이라고도 한다.
혹은 식 (6)에서 $\alpha = \beta = 0$이면 $y'(a) = y'(b) = 0$이 성립한다. (물론 $\alpha' \ne 0$, $\beta' \ne 0$) 이 경우는 양쪽 경계점을 벗어나는 특성을 정하므로(∵ 경계점의 미분이 0이므로 $y(a), y(b)$는 0이 되지 않고 경계점 바깥으로 계속 뻗어갈 수 있다.) 법선 경계 조건(normal boundary condition)이라 한다. 다른 말로는 수학자 노이만(Carl Gottfried Neumann) 이름을 딴 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)이 있다.

스투름-리우빌 이론을 전개하기 위해 다음을 정의하자. 고유치 $\lambda_m$이 주어진 경우 식 (1)을 만족하는 해는 $\psi_m(x)$라 하자. $\psi_m(x)$는 고유 함수(eigenfunction)라 한다.

1. 자기 수반성(自己隨伴性, self-adjointness)

                       (7)

[증명]
자기 수반성이라는 것은 식 (7)에서 볼 수 있는 것처럼 미분 연산자(differential operator) $\mathfrak D$ 주위의 함수들($\psi_m$ and $\psi_n$)을 서로 바꾸어도 동등한 관계가 성립하는 것이다.
먼저 미분 규칙을 이용해 다음을 얻자.

             (8)

여기서 $W(u, v)$는 다음처럼 정의되는 함수 행렬식(Wronskian)이다.

                       (9)

따라서, 식 (8)을 $a$에서 $b$까지 적분하면 다음을 얻는다.

                       (10)
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식 (10)의 첫째식이 성립하는 이유를 이해하려면 $x = a$에 대해 아래 행렬(matrix)을 고려해야한다.

                       (11)

식 (11)의 행렬식(determinant)이 0이 아니면 역행렬(inverse matrix)이 존재하여 $\alpha = \alpha' = 0$이 된다. 이것은 의미없는 경계 조건이므로 행렬식이 0이 되어야한다. $x = b$에 대해서도 마찬가지의 유도를 할 수 있다.

2. 직교성(直交性, orthogonality)

                       (12)

[증명]

         (13)
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식 (12)의 직교성은 무척 낯이 익다. 이건 바로 푸리에 급수(Fourier series)에서 썼던 기법이다. 기록에는 없지만 스투름이 스투름-리우빌 이론을 발전시킨 이유가 푸리에 급수에 있을 것이다. (∵ 스투름과 리우빌은 푸리에가 교수로 있었던 프랑스 이공과 대학(École Polytechnique) 출신이다.) 삼각 함수(trigonometric function)로 구성된 푸리에 급수가 왜 이리 성공적인가? 삼각 함수가 특별해서 이럴까? 아니면 푸리에 급수라는 것 자체가 특별한가?
스투름은 스스로 이 답을 찾았다. 바로 식 (1)의 미분 방정식이 답이었다. 삼각 함수는 $p(x) = 1$, $q(x) = 0$, $r(x) = 1$인 경우의 해가 되어 삼각 함수는 이 미분 방정식의 고유 함수가 된다. 따라서, 푸리에 급수의 모든 성질이 당연히 성립하게 된다.
다른 말로 하면 푸리에 급수의 일반화가 스투름-리우빌 이론이다.

3. 고유치는 실수(reality of eigenvalue)

[증명]
증명을 위해 고유 함수 $\psi_m$의 켤레 복소수(complex conjugate) $\psi_m^*$도 경계 조건을 만족한다고 가정하자. (∵ $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 복소수일 수 있기 때문이다.) 그러면, 켤레 복소수 고유 함수를 위한 미분 방정식은 아래처럼 표현된다.

                       (14)

여기서 $(\cdot)^*$는 켤레 복소수, $p(x), q(x), r(x)$는 실수인 함수(real function)인 것을 기억하자. 또한, $r(x) > 0$이라 가정했기 때문에 식 (14)의 적분은 항상 0보다 크다.
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위의 증명에서 $\psi_m^*$가 만족해야하는 경계 조건을 가정했다. 이를 상수 $\alpha, \alpha'$ 관점에서 써보자. 먼저 식 (6)의 첫째식에 켤레 복소수를 취하면 다음과 같다.

                       (15)

여기서 $\Im[\cdot]$은 복소수의 허수부이다.
식 (15)의 최종 결과는 무척이나 복잡하다. 그래서, 일반성은 떨어지지만 편리하므로 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$는 실수로 가정해버린다. 그러면 식 (12)의 직교성을 켤레 복소수 관점으로 쓸 수도 있다.

                       (16)

하지만, $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$를 실수라고만 가정하면 전자파 문제에 등장하는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)을 다룰 때 문제가 있으므로 필요한 경우에만 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$를 실수라고 가정하고 본문에 명기할 것이다.

4. 아벨의 정리(Abel's theorem): 함수 행렬식은 상수(constant Wronskian)

                       (17)

여기서 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$는 실수이다.

[증명]
식 (8)과 식 (13)을 연립하면 다음을 얻는다.

                     (18)

식 (18)에 식 (14)의 결과(or 고유치는 실수라는 결과)를 대입하고 적분하면 식 (17)이 얻어진다.
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                     (19)

식 (19)처럼 함수 행렬식을 구성할 때 켤레 복소수를 제외하고 $\psi_m, \psi_n$만 사용하면 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 실수라는 가정은 필요없어진다. (∵ 켤레 복소수 연산을 사용하지 않았기 때문에 $m = n$인 경우 당연히 $\lambda_m = \lambda_n$) 즉, $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 복소수라도 식 (19)는 성립한다.

5. 해의 유일성(uniqueness of solutions) [1]

고유치가 동일하면 경계 조건을 만족하는 고유 함수들은 상수배만 차이난다.

[증명]
동일한 고유치 $\lambda$에 대해 서로 다른 고유 함수 $\psi_1, \psi_2$가 존재한다고 가정하자. 고유치가 동일하기 때문에 식 (19)의 아벨 정리를 사용할 수 있다.

                       (20)

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식 (20)에서 함수 행렬식이 0이 되는 이유는 식 (11)로부터 분명하다. 식 (11)에 의해 $x = a$에서 함수 행렬식이 0이므로 $x$가 정의된 전체 구간에서 식 (20)의 첫째줄이 성립한다. 그러면 함수 행렬식을 풀어 식 (20)의 최종 결과를 얻을 수 있다.
다시 말해 고유치와 고유 함수는 식 (20)에 의해 일대일 대응이 되므로 고유치를 이용해서 고유 함수를 손쉽게 표현할 수 있다.

6. 두번째 해(the second solution) [1]

                       (21)

여기서 $\psi_1$은 미리 알고 있는 첫번째 해이며 $\psi_2$는 두번째 해이다.

[증명]
$\psi_1, \psi_2$의 경계 조건이 같다면 식 (20)과 같은 결론이 얻어진다. 두번째 해에 대한 경계 조건이 주어지지 않으면 식 (19)부터 출발해 답을 구해야한다.

                       (22)
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7. 레일리 몫(Rayleigh quotient)

   (23)

[증명]
다음과 같은 정의를 이용해서 식 (5)에 부분 적분(部分積分, integration by parts)을 적용하면 쉽게 증명된다.

                       (24)
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식 (23)의 레일리 몫은 고유치를 추정할 때 유용하게 사용될 수 있다.
예를 들어 고유치가 0이 되려면 $q(x) = 0$, $\psi_m'(x) = 0$이 되면 된다. $\psi_m'(x) = 0$인 조건은 $\psi_m(x)$가 상수라는 조건과 같다.
또한, 고유치가 0보다 항상 크려면 식 (23)의 분자가 항상 0보다 커야한다.

[그림 2] 동일한 고유치를 가진 고유 함수들의 움직임(출처: wikipedia.org)

8. 스투름의 분리 정리(Sturm's separation theorem) [2]

(8-1) 고유 함수의 영점(zero)은 유한하다.
(8-2) 고유 함수의 영점은 단순근(simple root)이다.
(8-3) 동일한 고유치를 가진 서로 독립인 고유 함수를 $\psi_1, \psi2$라 하자. $\psi_1$의 영점 사이에는 $\psi_2$의 영점이 반드시 하나만 존재한다.

[(8-1)의 증명]
고유 함수의 영점이 무한하다고 가정하자. 그러면 어떤 수열(數列, sequence) $\{x_n\}$이 무한히 존재해서 $\psi(x_n) = 0$을 만족해야한다. 또한, $n$이 커질 때 $\{x_n\}$의 수렴점을 $x_c$라 정의하자. ($\because$ $x$는 구간 $[a, b]$ 내에 존재해야 하므로 발산할 수 없다.) 결과적으로 다음이 항상 성립한다.

                       (25)

$x = x_c$를 시점으로 피카르의 반복법(Picard's iteration method)을 적용하면 $\psi(x) = 0$이 나온다. 이것은 의미없는 해이기 때문에 고유 함수의 영점은 유한해야한다.

[(8-2)의 증명]
영점 부근에서 $\psi(x) = c(x-x_n)$처럼 움직이는 것은 단순근이라 한다. 여기서 $c$는 상수이다. 만약 $\psi(x) = c(x-x_n)^2$이라면 $x = x_n$에서의 미분값이 0이 된다. (8-1) 증명처럼 $x = x_n$을 시작으로 피카르의 반복법을 적용하면 $\psi(x) = 0$이 나온다. 이것은 의미없는 해이기 때문에 고유 함수의 영점은 단순근이어야한다.

[(8-3)의 증명]
(8-3)이 의미하는 것은 [그림 2]를 보면 명확하다. 빨간색 함수의 영점 사이에 초록색 함수의 영점이 반드시 존재한다.
증명을 위해 $\psi_1$의 영점을 $x_0$, $x_1$ ($x_0 < x_1$)이라 하자. $\psi_2$는 구간 $[x_0, x_1]$에서 영점이 없다고 하자. 그러면 함수 $\psi_1/\psi_2$는 롤의 정리(Rolle's theorem)에 의해 다음 성질을 가진다.

                       (26)

여기서 분모를 구성하는 $\psi_2$는 $[x_0, x_1]$에서 영점이 없기 때문에 함수 $\psi_1/\psi_2$는 잘 정의된다. 이 경우 식 (26)의 둘째식이 성립하기 때문에 $\psi_1, \psi_2$는 서로 종속 관계여야 하나 조건에서는 서로 독립이므로 $\psi_2$는 구간 $[x_0, x_1]$에서 영점을 가져야한다.만약 $\psi_2$가 구간 $[x_0, x_1]$에서 두개의 영점을 가진다면 식 (26)에 의해 모순이 발생하므로 반드시 하나의 영점만 가져야한다. (∵ $\psi_2$의 두 영점 사이에서는 $\psi_1$이 영점을 가지지 않으므로 식 (26)에 적용한 동일한 논리를 $\psi_1$에 적용하면 모순을 얻을 수 있다.)
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스투름의 분리 정리에서 영점에 집중한 이유는 고유 함수의 진동(振動, oscillation)특성을 볼 수 있기 때문이다. 고유 함수의 진동은 고유치와 밀접한 관계를 가진다.
[그림 3] 함수의 영점(출처: wikipedia.org)

9. 스투름의 비교 정리(Sturm's comparison theorem)

$\lambda_2 > \lambda_1$이면 $\psi_1$의 영점 사이에 $\psi_2$의 영점이 적어도 하나 이상 존재한다. 여기서 고유치와 고유 함수는 $(\lambda_1, \psi_1)$$(\lambda_2, \psi_2)$와 같은 쌍을 이루며 $p(x)$는 $\psi_1$의 영점 사이에서 부호를 바꾸지 않는다.
즉, 고유치가 크면 고유 함수도 더빨리 진동한다.

[증명]
스투름의 분리 정리가 동일한 고유치에 대한 정리라면 비교 정리는 서로 다른 고유치에 대한 정리이다. 증명방법은 분리 정리와 매우 유사하다. 식 (18)을 약간 변형한 다음식부터 출발해보자.

                       (27)

$\psi_1$의 영점을 $x_0$, $x_1$ ($x_0 < x_1$)이라 하자. [그림 3]처럼 영점 사이에서는 (+)이거나 (-)이므로 편하게 $(x_0, x_1)$ 사이에서 $\psi_1$은 (+)라 가정하자. $\psi_2$는 영점이 없으므로 편하게 $(x_0, x_1)$에서 (+)라 가정한다. 그러면 식 (27)의 우변은 항상 0보다 크다. 즉, $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$은 구간 $(x_0, x_1)$에서 항상 증가하고 있다.
또한, $p(x)$가 구간 $(x_0, x_1)$에서 항상 0보다 크면 다음이 성립해야한다.

                       (28)

그런데 $x = x_0$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 0보다 큰 상태에서 항상 증가하고 있는데 $x = x_1$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 0보다 작은 것은 모순이다. 그래서, $\psi_2$는 $(x_0, x_1)$에서 반드시 영점을 가져야한다.
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스투름의 비교 정리를 거꾸로 생각해보는 것도 재미있다. 고유 함수 $\psi_2$가 $\psi_1$보다 빨리 변하므로 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점이 없을 수도 있다. 진짜 그런지 식 (28)처럼 생각해보자.
논의를 위해 $\psi_2$의 영점은 $\chi_0$, $\chi_1$ ($\chi_0 < \chi_1$), 영점 사이에서 $\psi_1, \psi_2$는 항상 (+)라고 가정하자.

                      (29)

식 (27)에 의해 $x = \chi_0$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$는 항상 증가하고 있다. 하지만, 식 (28)과는 다르게 (-)에서 증가하고 있으므로 $x = \chi_1$에서 (+)가 될 수도 있다.
예를 들어 $\lambda_2$와 $\lambda_1$이 너무 비슷하면 식 (27)에 의해 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$의 기울기는 거의 0이다. 즉, 식 (29)와는 모순이 되어 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점이 반드시 있어야한다. 이것은 스투름의 분리 정리와 동치이다.
$\lambda_2$가 $\lambda_1$보다 매우 큰 경우는 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$의 기울기가 굉장히 크기 때문에 모순이 아니므로 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점은 없다.

휴, 지금까지 상당히 먼 길을 왔다. 별 의미가 없을 것 같은 영점을 집요하게 고민하는 이유는 영점의 특성이 고유치 분포를 보여주기 때문이다. 고유치는 고유 함수와 일대일로 연결되어 있으므로 영점의 특성은 고유 함수의 분포를 정확히 보여준다. 이 부분이 스투름-리우빌 이론의 핵심이다.
보통 공학 수학책에는 없지만 수준높은 수학책에는 스투름의 분리와 비교 정리의 증명을 볼 수 있다. 하지만, 왜 스투름이 이것을 증명했는지, 어디에 쓰이는지 등은 알기 어렵다. 아마도 수학자들은 구질구질하게 설명하는 것을 싫어하기 때문일 것이다. 행간을 알고 싶은 사람들은 이해될 때까지 수학 정리 증명을 읽고 또 읽어야한다. 그래서, 수학자들은 독한놈을 좋아한다. 순한놈은 나가떨어지지만 독한놈은 끝까지 간다. 이런 성향이 강했던 독일 괴팅겐 대학의 가우스(Johann Carl Friedrich Gauss) 교수는 학생들에게 인기가 없었다. 아주 없었다. 가우스가 주로 썼던 말이 "잘 아는 바와 같이", "분명하므로" 등이어서(가우스에게 분명한 것이 우리에게는 그렇지 않을 확률이 99.9999...%) 학생들에게 친절한 설명을 해준 것이 아니었다. 하지만 학생들이 가야할 길을 가우스는 죽을 때까지 묵묵히 보여주었다. 가우스의 제자인 베셀, 데데킨트, 디리클레, 리만, 칸토르 등 이걸 이겨낸 사람들은 수학책에 나올 정도의 굴직한 연구자가 되었다.

다음으로 스투름-리우빌 이론이 만든 아름다운 정리인 스투름의 진동 정리를 증명하자.

10. 스투름의 진동 정리(Sturm's oscillation theorem)

정규 경계 조건(regular boundary condition)을 만족하는 스투름-리우빌 미분 방정식의 고유치는 다음 관계를 만족한다.

                      (30)

                      (31)

여기서 $N(\lambda)$는 고유치 $\lambda$의 영점 개수이다.

[증명]
정규 경계 조건은 식 (6)에 있는 조건이다. 증명을 간단하게 하기 위해 $\psi(a) = \psi(b) = 0$이라 가정하자. 또한, $\lambda_n$의 영점은 $a < x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_m < b$ 이런 식으로 구성된다고 생각하자. 그러면, 스투름의 비교 정리에 의해 $\lambda_n$보다 큰 $\lambda_{n+1}$은 $\lambda_n$의 영점들 사이에서 반드시 영점을 가져야한다. $\lambda_{n+1}$의 영점들의 개수를 헤아려보면 $\lambda_n$의 영점 개수보다 1이 크다. 그래서, 식 (30)이 성립해야한다.
식 (31)을 증명하기 위해 영점 개수의 특성을 보자. 식 (30)에 의해 고유치만 커진다면 영점 개수는 계속 커질 수 있다. 구간 $(a, b)$의 영점은 무한대로 많을 수 있기 때문에(많더라도 가산집합(可算集合, countable set)이다.) 고유치도 계속 커져 무한대로 발산한다.
하지만 거꾸로 영점을 줄여가면 언젠가는 $N(\lambda) = 0$이 된다. 즉, 영점 갯수가 하한선을 가지기 때문에 이 값이 고유치가 가질 수 있는 하한선이 된다. 따라서, 고유치는 가장 작은 값에서부터 시작해서 계속 커져가게 된다.
지금까지 증명한 것은 $\psi(a) = \psi(b) = 0$인 경우이다. 식 (6)의 조건이 되면 어떻게 될까? 이 경우 증명 과정은 $x= a, b$에 있는 끝점을 제외하고는 동일하다.
$x = a$에서의 증명을 위해 비교 정리와 유사한 논법을 사용한다. 먼저 $\psi(a) \ne 0$이라 가정하고 $x = a$와 가장 가까운 $\psi_1$의 영점을 $x_0$라 하자. 구간 $(a, x_0)$ 사이에서 $\psi_1$은 (+), $\psi_2$는 영점없이 (+)라 정한다. 하지만 식 (6)이 성립하므로 $x = a$에서 $W(\psi_2, \psi_1) = 0$이 된다. 그러면 식 (28)과 유사하게 $x = a$에서 0이었던 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 $x = x_0$에서는 (-)가 되어야한다. 하지만 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$는 증가하고 있으므로 모순이다. 따라서, $\psi_2$는 구간 $(a, x_0)$ 사이에 반드시 영점을 가져야한다.
$x = b$에서도 마찬가지이므로 증명이 완결된다.
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[참고문헌]
[1] U. H. Gerlach, Sturm-Liouville Theory, Linear Mathematics in Infinite Dimensions, 2010.
[2] L. Schovanec and D. Gilliam, Sturm-Liouville Theory, Ordinary and Partial Differential Equations.

[다음 읽을거리]
1. 고유 함수의 완비성
2. 베셀의 미분 방정식

댓글 92개 :

  1. 직접 쓰신글인지 궁금합니다.

    수학전공학생을 위한 글인가요?

    공학도인데 편미방에 대해 관심이 많습니다.

    관련 자료나 url 추천 해주시면 감사하겠습니다..

    답글삭제
    답글
    1. 직접 쓴 글입니다.

      위 글은 수학도를 위한 글은 아닙니다. 그렇게 하려면 더 엄밀하게 용어들을 정리하고 군더더기를 더 많이 붙여야 합니다.

      단지 공학도를 위해 푸리에 급수를 밑바닥까지 철저하게 이해하자는 의도로 기술한 것입니다.

      편미분방정식의 존재성은 아직 아무도 증명을 못했습니다.
      그래서 각 편미분방정식에 대한 접근법이 그때그때 다릅니다.
      위에 있는 참고문헌 [2]도 볼 만합니다.

      삭제
    2. 감사합니다.

      이런내용의 한국어 포스팅이 있을줄은 상상도 못했습니다.

      설명이 군더더기 없이 아주 깔끔한데 혹시 교수님이신가요?

      괜히 궁금해지네요..ㅎㅎ

      블로그 글 열심히 정독하겠습니다..^^

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  2. 대단하십니다 덕분에조금이나마이해를했습니다 제가 공학도라 100퍼센트이해하기엔 기타수학적지식이 부족하네요
    제가배우는 공업수학책에는 이분야에대해 정칙과 특이 sturm liouville문제로 나누어 설명하는데 정칙의경우에 y"+람다y=0 꼴밖에안나와있고 특이의경우에 bessel과 legendre방정식의 가중함수에대한 직교성만 검토하고 끝이네요 ㅜ 공학생수준에서 어느정도깊이까지 이분야에대해 파고들어야할지 감이안잡히네요 아무튼 글 잘읽엇습니다

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    1. 방문 감사합니다.

      물리학까지 확장하더라도 베셀과 르장드르 미분방정식 정도면 충분합니다. 이게 원통좌표계와 구좌표계의 기저함수가 됩니다. 이것보다 더 복잡한 내용은 수치계산으로 다룰 문제이지 이론적으로 접근할 필요는 거의 없습니다.

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  3. 맨위에나온 (1)번식말인데 -가아니라 플러스 아니에요?? 책에서는 플러스로 나오던데

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    1. 부호는 선택의 문제입니다. $q(x)$가 있기 때문에 앞의 부호를 (+)로 하든지 (-)로 하든지 관계 없습니다.

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  4. "미분방정식 이론은 규칙도 별로 없고 거의 중구난방으로 해법이 등장하는데" ㅋㅋㅋ. 정리 정말 디테일하게 해주셨네요 감사드려요

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  5. 고체역학을 전공하는 학생입니다.
    스트룸리우빌과 그린함수를 찾다보니 이 블로그로 경로가 수렴하더라구요.

    너무 깔끔하고 심도깊은 설명에 감탄했습니다.
    가슴 깊이 감사드리며, 자주 애용할 것을 약속드립니다.

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    1. 김호범님, 방문 감사합니다. ^^
      제대로 된 스트룸-리우빌 이론 자료를 찾기 힘들어 제가 다시 증명한 것을 소개한 것입니다. 많은 지도 바랍니다.

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  6. 진짜 죄송한데요... 여기 글이랑 좀 상관 없긴한데 레포트하다가 여기 블로그를 알게 되었는데요..ㅠㅠ sympathetic Oscillation에 대해 알려주실수 있으시나요?ㅠㅠ 이게 뭔지 찾아야되는데 아무리 검색해봐도 안나와서 공명진동, 공진진동 막 이렇게 찾아봤는데 도저히 나오질 않네요 ㅠㅠ

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  7. 저도 처음 들어보는데요, 주류 물리학 이론은 아닌 것 같네요. 구글에 검색 결과가 6700개 정도 밖에 없네요.
    "교감 진동"으로 한 번 검색해보세요.

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  8. 푸리에 배우고있는 공대생입니다. 설명이 너무 좋으네요. 이정도 설명할 수준까지 되려면 얼마나 공부해야하는지 궁금하네요.. 아무튼 좋은설명 잘 읽었습니다~~

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    1. 꾸준히 지속적으로 하시면 됩니다. ^^

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  9. 안녕하세요 글 정말 잘 읽었습니다. 공업수학 수업을 듣다가 이해가 안되서 스트룸리우빌을 검색해 보다가 이 글을 읽었는데요~ 저희 수업시간에 직교성에 대해 배울 때 노름값이라는 게 나오는데 이게 뭔지 잘 모르겠어서요 ㅜㅜ 번거로우시겠지만 설명해 주시면 정말 감사드릴 것 같아요 ㅜㅜ

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    1. 직교성에는 규준(norm)보다는 내적(inner product)이 적당할 것 같은데요...
      아마 자기 자신에 대한 내적을 규준으로 정의할 수는 있을 것입니다. 밑의 수식처럼요.

      $\left \| f(x) \right \| = \int_a^b f(x)\cdot f(x)~dx$

      하지만 규준은 거리 개념을 내포하면 되기 때문에 여러 가지로 정의할 수 있습니다.

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  10. 3번식에서 d^2y / dx^2 을 dy^2 / dx^2으로 잘못 표시한것 아니신가요~

    아까 답변 정말 감사했습니다!

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    1. 다시 한 번 감사드립니다, 삽살이님. 하루에 오타를 2개나 찾으셨네요. ^^

      혹시 틀린 것이 있는 지 계속 검토해주세요.

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  11. 기초 질문입니다. (재가 하는 질문이 대부분 그렇지만요 ㅋㅋㅋ T.T)
    1. 식(5) L와 D를 특별히 지칭해서 읽거나 명칭하는 용어가 있나요?
    2-1. 식(6)에서 α와 β는 고유치 λ와 관련이 있는것인가요?
    2-1-1. α와 β는 상수도 될 수 있고 함수도 될수 있는 것인가요?
    2-2. 식(6)은 위 식(5)의 변형된 형태가 되는 건가요?
    아니면 조건으로서 따로 주어지게 되는건가요?
    2-3. 법선 경계 조건(normal boundary condition)에서 α = β = 0인데, α ≠ 0 β ≠ 0 일 수 있는건가요?

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    답글
    1. 죄송요. 미분기호를 빼먹었네요.
      2-3. 법선 경계 조건(normal boundary condition)에서 α = β = 0인데, α' ≠ 0 β' ≠ 0 일 수 있는건가요?

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    2. 1. 그냥 "연산자 L", "연산자 D"로 읽습니다.
      2. 식 (6)은 경계 조건입니다. 그래서, $\alpha, \beta$, $\alpha', \beta'$는 상수가 되어야 합니다.
      3. 전자파로 생각하면 전기장에 대한 금속이 말씀하신 경계 조건이 됩니다. 즉, 전기장값 자체는 금속면에서 0인데 법선 성분은 0이 아닙니다.

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    3. 감사드립니다.
      거북이님은 정말 잘 꼬시시는 거 같습니다.
      "스투름-리우빌 미분 방정식만 이해하고 있으면 공학 분야에 나오는 대부분의 미분 방정식을 두려움없이 대할 수 있다."
      아 이건만 이해하면 많은 부분들을 이해하는데 틀을 마련할 수 있겠구나. 라고 생각 했는데, 전체적으로 이해는 것보다 무슨내용이 있는지 쭉 보니, 왜 그게 어려운지 알거 같습니다.
      ㅋㅋㅋㅋㅋ
      암튼 언제나 이렇게 답을 주시니, 깊은 감사를 드립니다.
      메리크리스마스요.

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    4. 그래서 스투름과 리우빌이 천재인 것이지요!
      아무 생각 없이 보면 미분 방정식 중에서도 진짜 잠 오는 방정식중 하나가 스투름-리우빌 미분 방정식인데요, 푸리에 급수와 연결하면 새로운 길이 열립니다. ^^

      즐거운 성탄 보내십시오, 곰유님.

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  12. 1. 식(6) α와 β가 상수인데, α ≠ 0 β ≠ 0 있는건가요? 즉 함수 일 수도 있는거 아닌가요?

    2. 옥에티 ㅋㅋㅋ
    식(7)와(8)사이 증명 설명에서,
    psi_m ==> ψ_m

    3. 식(8)에서 D ψ_m(x)은 D(ψ_m(x))로 생각하고, 식(5)의 정의를 사용하면 되는거 맞지요?
    어떻게 해야 할지 몰라 이렇게 해서 해보니 식(8)이 되는거 같아서요.

    4. 식(11)은 식(6)경계조건과 관련이 있는건가요?
    4-1. 식(6)의 초기 경계 조건은 어디에서 오건가요? 모든 경계조건은 식(6)과 같은 조건이 되는 건가요?

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    답글
    1. 또 미분 표시를 빼먹었네요. 같은 질문이 될 수 있을 것도 같은데요.
      1. 식(6) α와 β가 상수인데, α' ≠ 0 β' ≠ 0 있는건가요? 즉 함수 일 수도 있는거 아닌가요?

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    2. 1. $x=a,b$로 고정했기 때문에 함수가 될 수는 없습니다.

      2. 지적 정말 감사합니다, 곰유님. 수정했습니다. ^^

      3. 예, 맞습니다.

      4. 예, 경계 조건이 고정되었기 때문에 관련 행렬식이 0이 됩니다.
      식 (6)은 우리가 만나는 경계 조건을 일반화한 식입니다.

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    3. 1. 스투름-리우빌 이론에서는 접선경계조건과 법선경계조건만 가능한건가요?
      1-1. 만일 그렇다면, 둘중에 하나가 해당 가능 하다고 하면,
      α, β, α′, β′와 상관 없이 W(ψm(a), ψn(a))와 W(ψm(b), ψn(b))는 0이 될거 같습니다.
      W(ψm(a), ψn(a)) = ψm(a) dψn(a)/dx - dψm(a)/dx ψn(a)
      접선경계조건이라면, ψm(a) = ψn(a) = 0, 이므로 0 일거 같고,
      법선경계조건이라면, dψn(a)/dx = dψm(a)/dx = 0, 이므로 0 일거 같습니다.

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    4. 식 (6)처럼만 표기되면 어떤 조건이든지 가능합니다.
      예를 들면 증명은 더 까다롭지만 주기 경계 조건도 가능하고요.

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  13. 어려운 문제를 검색하면 항상 이 블로그로 인도됩니다. 대단하시 실력에 늘 감탄합니다. 저희 교수님께서 Liouville equation의 물리적 의미를 물어보시네요... 우문 같습니다만, 좀 간단히 설명해 주실 수는 없으신지요?

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    1. 리우빌 방정식은 잘 쓰지 않기 때문에 답변이 틀릴 수도 있습니다. ^^

      물리학에서는 입자의 초기 위상(위치와 속도)을 알면 그 다음 상태를 항상 결정론적으로 정할 수 있습니다. 하지만 입자가 매우 많아지면 상태 계산이 불가능해집니다. 그래서, 통계 역학처럼 입자 상태 예측을 확률적으로 취급해야 합니다. 이와 같이 결정론적 특성을 확률론적 특성으로 바꾼 경우 입자 집단이 가져야 하는(or 움직여야 하는) 확률적 특성을 정의한 식이 리우빌 방정식입니다.

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  14. 저기 글 윗 부분에 법선 경계조건 설명에서 양쪽경계점을 벗어난 특성을 정한다는게 무슨 말인가요?

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    1. 본문에 설명을 약간 추가했습니다. ^^

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  15. 대에박...푸리에 시리즈와 스톰 리비에 방정식 연결고리가 헷갈렸는데 머리가 맑아지는 기분이네요 감사합니다

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    1. "대에박" 칭찬 감사드립니다, 전준구님. ^^

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  16. 원래 댓글은 안다는데 글의 수준이 대단하네요
    도움이 많이 되었습니다 감사합니다ㅎ

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    1. 댓글까지 다시고, 감사드립니다, 익명님. ^^

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  17. 저는 공대라서 이 이론에 대해서 대충 배운거 같은데요
    근데 고유함수는 직교성이 있잖아요
    근데 왜 내적할때 가중함수를 넣는거죠?? 그러면 직교성이 없는거 아닌가요??
    그리고 예제 풀어보면 r(x)=x인 경우도 있는데 그러면 직교성이 없는건가요.... 모르겠네요 ㅜ.ㅜ

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    1. 1. 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현하는 고유치를 정의하려면 가중치 함수가 필요합니다.

      2. 또한, 직교성을 만족하려면 가중치 함수가 있어야 합니다. 다만 데카르트 좌표계는 $r(x) = 1$이므로 없는 것과 마찬가지지요. 쉽게 보면 가중치 함수는 고유 함수가 정의된 좌표계의 성질을 내포한 함수라 할 수 있습니다.

      3. 원론적으로는 가중치 함수에 아무 값이나 넣어도 되지만, 원래 순서는 우리가 미분 방정식을 유도하고 이 해를 예측하기 위해 스투름-리우빌 이론을 적용하는 것입니다. 그래서, 풀고자 하는 미분 방정식에 해당하는 가중치 함수는 정해져 있다고 봐도 됩니다.

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  18. 존경합니다.
    많은 도움을 받았습니다.

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    1. 존경까지야... 도움 받았다니 기분이 좋네요, 익명님. ^^

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  19. 답글
    1. 스투름-리우빌 이론은 정말 대단합니다. 우리가 왜 수학에 관심을 가져야 하는지를 알려주는 훌륭한 이론입니다. ^^

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  20. Sturm-Liouville에서 Uxx+Uyy=0 이며, 경계조건에서 u(0,y)=f1(y), u(a,y)=f2(y), uy(x,0)=g1(x), uy(x,b)=g2(x) 이면 어떻게 풀어야 될까요? 중첩법으로 이용하여 4가지로 분류해서 풀어보려고 했으나 안 풀리는 부분이 있어서 답답한 마음에 댓글을 답니다.

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    1. 질문에 있는 것처럼 일반해와 특수해로 푸는 것이 맞습니다. 특수해 부분의 경계 조건($f$ or $g$로 표기)이 복잡하므로, 이 부분을 푸리에 급수와 같은 형태로 표현을 바꾼 후 풀어보세요. 풀이에 성공하기를 빕니다. ^^

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  21. 음... 전파거북이님. 스트룸 리우빌에서 고유치 람다가 상수잖아요. 그러면 피카르드 반복법을 하면 n+1개의 상수가 생기는 거 아닌가요...ㅠㅠ 헷갈리네요.

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    1. 스투름-리우빌 미분 방정식은 2차입니다. 그래서, 해의 개수는 2개가 나옵니다. 고유치가 상수인 것하고는 관계가 없습니다.

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  22. 으음;;; 글보는데 이상한 광고가 지워지지 않습니다 ㅜㅜ

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  23. 감사합니다.
    잘보고갑니다.

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    1. 추석 연휴에도 열공 중이시네요, 익명님. ^^

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  24. 감사합니다. 5번 정도 정독하니까 어느 정도 이해가 가네요. 좀 더 공부하고, 다시 오겠습니다.

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    1. 저 궁금한게 있는데요. 스투름 리우빌이 결국 말하고자하는건 [p(x)y']'+[q(x)+$lambda r(x)]y=0 꼴로 표현가능한 이차 상미분방정식 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 (여기서 P(x)=0이어야 하겠죠?)를 $lambda=-v^2, 0, v^2 (v>0)이 세가지 경우의 일반해로 나눠서 풀 수 있다는 것을 말하는거맞죠? 문제풀이를 보면 p(x), q(x), r(x)를 그냥 구하지 않고 처음부터 $lambda의 경우의 수를 세가지로 나눠서 풀더라고요. 앞부분의 O.D.E에서는 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 꼴을 맞춰주고, 그 꼴에 따라 해를 구하는 방식이 나뉘었던 걸로 기억이 나서요.

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    2. 아이고 $lambda$가 그대로 나와버렸네요

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    3. P(x)=0이 아니어도 되네요!!

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    4. 후.. 드디어 이해했습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이래서 스투름리우빌 방정식이 거대하다는 거였군요.. 이렇게 따지면 앞부분에서 배운 상미분방정식을 거진 다 포함하네요.

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    5. 익명님, 주님, 열공하셨네요. ^^

      제가 이해하는 스투름-리우빌 이론의 중요성은 푸리에 급수를 확장하는 것입니다. 성공적이었던 푸리에 급수를 좀 더 세부적으로 이해하고, 이를 더 다양한 미분 방정식으로 확장하기 위한 방법이 스투름-리우빌 이론입니다.

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  25. 식 11. 에서 말한 의미없는 경계조건은 아예 존재하질 않나요, 아니면 존재하지만 식 (8)에서 나온 식을 쓸 수가 없으므로 (경계조건이 의미가 없으므로 함수가 하나로 결정이 안됨) 그냥 무시하는 건가요?

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    1. 모든 계수가 0이 되어 버리면 식 (6)의 경계 조건식이 모두 0이 되어 경계 조건이 없는 것과 같습니다. 그래서 의미가 없는 것입니다.

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    2. 그렇군요. 제가 왜 궁금했었냐면,

      wronsikian을 0이 아니게하는 a가 존재하면 그 점에서 유일성이 어떻게 유지되나 싶었는데, 생각해보니 이미 앞에서 선형 상미분 방정식의 유일성과 존재성을 이미 증명 했었네요 OTL..

      감사합니다 ㅎㅎ

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    3. 질문 있습니다 ㅠㅠ
      식 20에서 const가 어떻게 나온지 알려 주실 수 있으신가요 ㅠㅠ


      항상 감사합니다!

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    4. 이것도 궁금하네요 ㅠ

      1.
      아벨의 정리를 풀어쓰자면, ∀x: wronskian[ѱ_m(x),ѱ_n(x)] = C/p(x) = C' 이렇게 되는데, wronskian이 상수가 되려면 p(x)는 상수가 되어야 하는데 왜 꼭 그래야 하는 걸까요. 아, 이게 아무 점 a에 대한 이야기인가요?

      2.
      해의 유일성이 살짝 막히네요 ㅠ
      "식 (11)에 의해 x=a에서 함수 행렬식이 0이므로 x가 정의된 전체 구간에서 식 (20) 첫째줄이 성립한다."
      이 구간이 [a,b] 까지인가요, 아니면 실수 전체인가요?

      http://www.math.ubc.ca/~gustaf/M316/M257_316_2012_Lecture_28.pdf

      Appendix 30.4에 자기 수반성을 부분적분법으로 구하는데, SL 조건(전파거북이님 글에서는 일반화된 경계조건 (6))을 만족하는 두 함수 u,v(여기선 ѱ_m,ѱ_n)가 주어질 경우, 자기 수반성이 성립한다고 하네요.

      아벨의 정리는 당연히 맞을테니, 만약 C' =/= 0일 경우, 의미없는 경계조건을 형성하는 점들이 있을텐데, 이게 걸리네요(∃x: wronskian[ѱ_m(x),ѱ_n(x)] =/=0).

      x가 정의된 모든 구간이 실수 전체라면, 그 구간 내 어떤 점을 찍든 행렬식 = 0이 나와할텐데,
      거기서 살짝 의구심이 드네요..

      다시말하자면, 모든 점에서 SL 조건이 만족된다는 건가요? 으아 이게 a,b에서는 어떻게 정의되는지 알 것 같은데, 다른 모든 점에서 어떻게 적용되는지 모르겠어요 ㅠㅠ

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    5. 1. 식 (20)은 식 (11)로부터 증명됩니다. 식 (20) 아래에 있는 글을 한 번 더 고민해보세요.

      2. p(x)는 상수일 필요는 없습니다. 주어진 미분 방정식에 따라 함수가 될 수 있습니다.

      3. 본문에서 $a$는 경계 조건을 표현하는 점입니다.

      4. 위 증명에서 $x$의 구간은 $[a, b]$이므로 $x$의 범위는 유한합니다. $x$의 범위를 무한으로 확장하면, 고유 함수는 이산적이지 않고 연속이 되어야 합니다.

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    6. 감사합니다 전파거북이님! 덕분에 고지가 조금씩이나마 보이네요 ㅎㅎ
      식 8-1에서 수열이 항상 수렴하는걸 어떻게 알 수 있나요?

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    7. $x$가 취할 수 있는 구간은 유한합니다.

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    8. 감사합니다! 휴. 드디어 다 봤네요! 이제 드디어 완비성으로 갈 수 있게 됐습니다. 퀘스트를 깬 느낌이 나네요!
      좋은 하루 보내세요 전파거북이님!

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    9. 축하합니다. 이재님도 좋은 하루 되세요. ^^

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  26. 오랜만에 들어와서 다시 보는데, 8-1 증명에 있어 x(n)이 특정점으로 수렴한다는게,
    set A: {x|xn, n is integer}, 그리고 set A는 [a,b]의 부분집합 이라고 하면, inf(set A), sup(set A)가 존재하고 bound 되므로 반으로 잘라서 nested loop으로 찾아가면 수렴하는 xn을 찾을 수 있다고 보면 되겠죠?

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    1. 영점을 순서대로 추적하면 정의역이 유한하기 때문에 어느 점에 수렴해야 합니다.위 문장은 이걸 바탕으로 증명하고 있습니다.

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    2. 그냥 a에서 b까지 세어 나가면 b 전에는 수렴점이 있다고 생각하는게 맞겠죠? 무한개니까 골고루 퍼져 있다고 가정해도 b에서 멈추게 되니까..

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    3. 맞습니다. 정의역이 유한하다는 것이 핵심입니다.

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    4. 감사합니다 ㅎㅎ

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  27. 전파거북이님 론스키안이 0이면 서로 종속적인 함수이잖아요. 자기수반성을 만족하면 종속적인 함수인 거구요.해의 유일성에서도 상수배 만큼차이나고요. 근데 어째서 진동정리에서는 고유치가 동일한 독립함수들을 가정하는 건가요?

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    1. 1. 자기 수반성은 경계 조건이 같기 때문에 성립하는 것입니다.

      2. 진동 정리에 나오는 고유치는 서로 다릅니다. 같은 고유치를 다루고 있지 않습니다.

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  28. 다른 글들은 정상적으로 출력되는데 비해, 스투름-리우빌 게시물에 대해서는 모든 이미지와 수식이 깨져서 나옵니다. 미분 방정식을 모두 보려고 하는데 이런 문제가 ㅠㅠ 확인 부탁드리겠습니다~

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    1. 제쪽은 잘 나오는 것 보니까, 아마 구글 블로거의 문제 같습니다. ㅠㅠ

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  29. 기초적일 것 같은 질문입니다. 식 (3)에서 2번째 식의 right hand side에 서 m(x)p(x)dy/dx라는 부분에 왜 p(x)가 갑자기 나오는지 궁금합니다.

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    1. P(x)가 미분 연산자를 대신한다고 보는건가요?

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    2. 아래에 있는 "적분 인자"를 먼저 보고 오세요. 식 (1)과 (2)는 다르게 보이지만 동일한 미분 방정식이라는 것을 증명한 부분이 식 (3)입니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/11/1-solution-of-first-order-linear.html

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  30. 아프켄으로 수리물리하다가 물리포기할뻔한 물리학도입니다. 포스트에 감동받아서 처음으로 글 남겨봅니다 감사합니다

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 저도 스트룸-리우빌 이론을 볼 때마다 감명받습니다.

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  31. 학교에서 Sturm liouville방정식의 고유값에 대한 고유함수끼리 직교성을 가진다는 걸 알았습니다. 한편, 어떤 함수든 벡터공간처럼 직교함수를 통해 표현할 수 있다는 것두요. 궁금한 건 직교성을 가지는 건 sturm liouville의 해인데, 왜 특정 함수를 미분방정식의 해로 나타내는지 모르겠습니다.
    또한, 미분 방정식을 sturm liouville방정식으로 나타내는 이유는 가중치 함수를 찾기 위해선가요??

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    1. 1. 미분 방정식의 해를 연구해서 나온 것이 특정 함수입니다.

      2. 식 (2) 증명에도 있듯이 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있는 것이 식 (1)입니다. 식 (1)은 여러 수학 정리 증명에 유용합니다.

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  32. 전파거북이님. 오랜만에 들어와서 글을 남기네요. Rolle's Theorem에 대한 질문인데요. 제가 확실하게 잘 이해했나 확인해주실 수 있으신가요 ㅠㅠ

    식 (26) Rolle's theorem 에서-

    만약, x0과 x1이 Ψ1(x)의 두 연속적인 영점들이고 그 사이에 Ψ2(x)의 영점이 존재하지 않는다면 구간 [x0,x1]ϵξ 에서 적절한 일반화된 경계조건을 찾을 수 있으므로(구간 안에 있는 모든 두 점에 대해 일반화된 경계 조건을 찾을 수 있으므로) W[Ψ1(ξ),Ψ2(ξ)] = 0이 됩니다.

    W[Ψ1(ξ),Ψ2(ξ)]=0이면 식(26)은 0이 되고, 구간 내 영점이 없을 경우 d/dx(Ψ1(x)/Ψ2(x))=d/dx(c)=0 으로 두 함수는 종속적이지만, 만약 Ψ2(ξ)=0이 되는 Ψ2(ξ)의 영점이 존재한다면 Ψ2(ξ)의 영점에서 d/dx(Ψ1(x)/Ψ2(x))=d/dx(c)=0의 역이 성립하므로 두 함수는 독립이 됩니다.



    이 정도면 될까요?

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    1. 아래가 더 분명한 서술입니다.

      1. $\psi_2(x)$의 영점이 해당 구간에 없기 때문에 함수 행렬식이 0입니다.

      2. 함수 행렬식이 0이라면 $\psi_1(x), \psi_2(x)$가 종속이 되는데, 이는 조건에 위배됩니다.

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    2. 감사합니다. 항상 배우고 돌아갑니다

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  33. 항상 감사드립니다. 전파거북이 님의 멋진 설명 덕분에 저처럼 멍청한 공대생도 무언가를 조금이나마 이해하게 되었습니다. 한가지 질문이 있습니다. 이 부분이 이해가 되질 않는데요..
    10. 의 증명에 있어서 람다_n+1 = 람다_n + 1 은 9.를 이용한 것인데요, 9에 의하면 프사이_n+1의 하나 이상의 영점이 프사이_n의 영점 사이에 있어야 할 것이라고 생각됩니다. 그러면 N(람다_n+1) >= N(람다_n) + 1 은 확실히 맞겠습니다만, 어떻게 해서 부등호가 아닌 등호가 성립하게 되는 것인가요?

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    1. Unknown님, 겸손하시네요. ^^

      Unknown님이 말씀하신 것처럼 비교 정리를 이용하면 등호가 아닌 부등호가 될 수도 있습니다
      하지만 비교 정리에서 중요한 것은 어떤 고유 함수의 영점 사이에 다른 고유치를 가진 고유 함수의 영점이 반드시 존재한다는 것입니다.

      이를 이용하면 두 영점($A_m$) 사이에 하나를 초과하는 영점($B_m$)이 있다면, $B_m$ 사이에 다른 고유치를 가진 영점($C_m$)이 있으며 이 영점 개수는 $B_m$보다 하나 적을 수 있습니다. 이를 순서대로 정렬하면 $N(A_m) < N(C_m) < N(B_m)$이므로, 진동 정리에서는 등호가 성립해야 함을 증명할 수 있습니다. (즉 $A_m$ 다음에 $B_m$이 아닌 $C_m$을 찾았어야 순서가 맞습니다.)

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  34. 멍청한 질문일지 모르지만 한가지 질문드리고싶습니다.
    25식에서 8.1 을 증명할때 수렴점 x_c가 경계면 위에는 존재할수없는건가요?
    그런경우에는 피카르의 반복법을 사용하지 못하는거 아닌가요?

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    1. 경계 조건에 의해 경계점 특성은 정확히 규정됩니다. 이게 이론 유도 위한 전제입니다.

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  35. 전파거북이님 도대체 뭐하시는 분인가요;; 교수님이신가요;; 깊은 학식에 정말 경의를 표합니다.
    궁금한게 있는데 스투름-리우빌 미분방정식으로 표현되는 모든 2계 미분방정식의 경우 해를 이용하여 특정 함수의 급수전개가 가능한 이유는 방정식의 해로 나타나는 함수의 orthonogality와 특정함수의 Dirichlet 조건으로 알고 있는데 스투룸-리우빌 방정식의 가중치 함수가 constant 한 경우가 이에 해당되는 건가요?

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    1. 스투름-리우빌 이론은 더 근본적입니다. 미분 방정식이 2차 선형 상미분 형태이고, 경계 조건이 잘 정의된다면, 고유 함수의 무한 급수 전개는 완전하다는 것입니다. 직교성은 부수적으로 얻어지는 성질입니다. (물론 직교성은 완비성과 밀접한 관계가 있습니다.)

      푸리에 급수가 가진 완비성의 본바탕을 탐구하여, 모든 2차 선형 상미분 방정식의 해가 완비성을 만족함을 수학적으로 명확하게 증명한 것이 스투름-리우빌 이론입니다.

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