2011년 11월 16일 수요일

스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스튀름리우빌 이론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 푸리에 급수의 시작


[그림 1] 미분 방정식으로 해석한 공기의 흐름(출처: wikipedia.org)

미분 방정식(differential equation) 이론에 등장하는 프로베니우스 방법(Frobenius method)이 단순하면서도 참신하다면 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)은 거대하다. 미분 방정식 이론은 규칙도 별로 없고 거의 중구난방으로 해법이 등장하는게 일반적이지만, 모든 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation)의 해를 예측할 수 있는 스튀름–리우빌 이론은 단순하며 아름답기까지 하다. 이렇게 아름다운 이론이 사람 머리 속에서 나왔다는 사실이 믿어지지 않는다. 열심히 공부해서 스튀름–리우빌 이론의 참맛을 함께 느껴보자. 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)은 아래처럼 표현된다.

                        (1)

여기서 $\lambda$는 상수, $p(x), q(x), r(x)$는 실수인 함수(real function)로 가정한다. 함수 $p(x)$는 미분 가능해야 하고[$\because$ 식 (1)을 보면 $p(x)$가 미분 안에 있다.] $q(x)$는 특별한 제약이 없다. 또한 밀도 함수(density function) 혹은 가중치 함수(weighting function)인 $r(x)$는 전체 구간에서 항상 $0$보다 크다고 가정한다. $r(x) > 0$인 가정을 한 이유는 식 (3.1) 때문이다. 식 (1)은 2계 선형 상미분 방정식치고는 모양이 이상하지만 두번 미분이 있는 2계 미분 방정식임은 분명하다. 한가지 드는 의문은 식 (1)이 모든 2계 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있는가이다. 신기하게도 식 (1)은 식 (2)에 제시한 2계 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있다. 보통 적분 인자(integrating factor)를 이용해서 이런 특성을 증명한다.

                       (2)

                       (3)

여기서 $m(x)$는 적분 인자이다. 식 (3)을 식 (2)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

                       (4)

즉, 식 (1)에 있는 $p(x)$는 적분 인자 $m(x)$를 표현한다. 뛰어난 수학자인 스Jacques Charles François Sturm(1803–1855)과 리우빌Joseph Liouville(1809–1882)이 일반적인 식 (2) 대신에 특수한 식 (1)을 고민한 이유는 무엇일까? 사실 스튀름–리우빌 미분 방정식만 이해하고 있으면 공학 분야에 나오는 대부분의 미분 방정식을 두려움없이 대할 수 있다. 스튀름–리우빌 이론을 모른 채 학부과정을 졸업한다는 말은 수학 분야를 포기했다는 뜻이다. 그 만큼 스튀름–리우빌 이론은 중요하다. 스튀름–리우빌 이론의 위대한 점은 미분 방정식을 풀지 않고 해답의 특성을 알 수 있음이다. 얼마나 대단한가 풀지 않고 답의 특성을 안다니... 공학 분야에 쓰이는 대부분의 미분 방정식은 스튀름–리우빌 미분 방정식 형태이기 때문에 거의 모든 공학 분야 미분 방정식의 해 특성을 스튀름–리우빌 이론을 통해 이해할 수 있다.
연산자(operator)에 기반해서 미분 방정식인 식 (1)을 다음처럼 간결하게 표현할 수도 있다.

                        (5)

식 (5)의 넷째줄은 아주 재미있는 개념을 포함하고 있다. 페이저(phasor) 개념처럼 생각한다면 연산자 $\mathfrak D$는 $\lambda r(x)$와 같다. 그래서, 상수인 $\lambda$는 식 (1)의 고유치(eigenvalue)라고 부른다. 식 (1)처럼 고유치는 가중치 함수와 밀접하게 연결되어 있다.[고유치는 상수여서 $\lambda$값 자체는 여러 개 있을 수 있다. 하지만, 가중치 함수는 함수이므로 미분 방정식이 정해지면 하나로 딱 결정된다.] 다시 말하면, 고유치와 가중치 함수는 주어진 미분 방정식의 특성을 내포하고 있는 스칼라값과 함수가 된다.
[그림 2] 미분 방정식의 경계 조건(출처: wikipedia.org)

또한 미분 방정식이 제대로 구성되기 위해서는 초기 조건(initial condition)이 필요하니 다음과 같은 일반화된 조건을 도입한다.

                        (6)

사실 식 (6)은 어떤 함수의 초기값을 설정한다는 의미보다 양쪽 끝점의 값[$x$ = $a$와 $x$ = $b$]을 고정한다는 뜻이므로, [그림 2]처럼 미분 방정식의 경계 조건(boundary condition)이라 부를 수 있다. 그래서 식 (6)을 이라 부른다. 혹은 기여자 경계 조건이 식 (6)처럼 정의된 미분 방정식은 정칙 스튀름–리우빌 미분 방정식(regular Sturm–Liouville DE)이라 한다. 일반화된 식 (6)은 정칙 경계 조건(regular boundary condition) 혹은 제3형 경계 조건(third-type boundary condition)이라 한다. 기여자 이름을 따서 로뎅 경계 조건(Rodin boundary condition)이라 할 수도 있고, 물리학에서는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)[5], 복사 조건(radiation condition) 등으로도 부른다.
식 (6)에서 $\alpha'$ = $\beta'$ = $0$이면 $y(a)$ = $y(b)$ = $0$이 된다.[물론 $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$] 이 경우는 양쪽 경계점에서의 값을 정하므로 접선 경계 조건(tangential boundary condition)이 된다. 수학자 디리클레Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805–1859) 이름을 따서 디리클레 경계 조건(Dirichlet boundary condition)이라고도 한다. 혹은 식 (6)에서 $\alpha$ = $\beta$ = $0$이면 $y'(a)$ = $y'(b)$ = $0$이 성립한다.[물론 $\alpha' \ne 0$, $\beta' \ne 0$] 이 경우는 양쪽 경계점을 벗어나는 특성을 정하므로[∵ 경계점의 미분이 $0$이므로 $y(a), y(b)$는 $0$이 되지 않고 경계점 바깥으로 계속 뻗어갈 수 있다. 즉 기울기만 같다면 경계점 근방의 함수값은 어떤 값이든 가능하다.] 법선 경계 조건(normal boundary condition)이라 한다. 다른 말로 수학자 노이만Carl Neumann(1832–1925) 이름을 붙여서 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)이라 부르기도 한다. 접선 및 법선 경계 조건이 모두 다 부여된 경우는 코쉬 경계 조건(Cauchy boundary condition)이란 명칭을 쓴다. 음파(音波, acoustic wave)를 사용하는 응용에서는 좀더 직관적으로 경계 조건을 표현한다. 소리를 흡수하는 연성 표면(軟性表面, soft surface)에서 속도 $v$가 0이 되는 연성 경계 조건(soft boundary condition) $v$ = $0$은 디리클레 경계 조건과 동일하다. 비슷하게 소리를 튕기는 경성 표면(硬性表面, hard surface)은 속도의 미분이 0이 되는 경성 경계 조건(hard boundary condition) $\partial v / \partial n$ = $0$을 사용한다. 이 경성 경계 조건은 노이만 경계 조건과 같은 뜻이다. 전자파에 쓰이는 연성과 경성 경계 조건은 PEC(완전 전기 도체, perfect electric conductor)가 기준이다[6]. PEC 표면에서 전기장의 접선 성분 $E_t$는 0이 되므로[$E_t$ = $0$], 연성 경계 조건은 접선 경계 조건이다. 반면에 접선 자기장 $H_t$는 표면에 수직인 방향으로 변화가 없어서[$\partial H_t / \partial n$ = $0$], 법선 경계 조건이 바로 경성 경계 조건이다.
스튀름–리우빌 이론을 전개하기 위해 고유 함수를 정의한다. 먼저 고유치 $\lambda_m$이 주어진 경우 식 (1)을 만족하는 해를 $\psi_m(x)$라 한다. 그러면 $\psi_m(x)$는 고유 함수(eigenfunction)가 된다.


   1. 자기 수반성(self-adjointness)   

                       (1.1)

[증명]
자기 수반성(自己隨伴性, self-adjointness)은 식 (1.1)처럼 미분 연산자(differential operator) $\mathfrak D$ 주위의 함수[$\psi_m$와 $\psi_n$]를 서로 바꾸어도 동등한 관계가 성립함이다. 먼저 미분 규칙을 이용해 다음 특성을 얻는다.

            (1.2)

여기서 $W(u, v)$는 다음처럼 정의되는 함수 행렬식(Wronskian)이다.

                       (1.3)

식 (1.2)는 라그랑주의 항등식(Lagrange's identity)이라 불리며, 식 (1.2)를 적분한 식은 그린의 공식(Green's formula)이라 명한다. 이에 따라 식 (1.2)를 $a$에서 $b$까지 적분해서 그린의 공식을 유도한다.

                       (1.4)
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식 (1.4)의 첫째식이 성립하는 이유를 이해하려면 $x$ = $a$에 대해 아래 행렬(matrix)을 고려해야 한다.

                       (1.5)

식 (1.5)의 행렬식(determinant)이 $0$이 아니면, 당연히 역행렬(inverse matrix)을 구할 수 있어서 $\alpha$ = $\alpha'$ = $0$이 된다. 하지만 이런 경계 조건은 의미가 없으므로, 행렬식은 반드시 $0$이 되어야 한다. 점 $x$ = $b$에 대해서도 마찬가지의 유도를 할 수 있다.


   2. 직교성(orthogonality)   

                       (2.1)

[증명]

         (2.2)
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고유 함수 $\psi_m(x)$로 무한 급수를 만들기 때문에, 적분 $\int_a^b [\psi_m(x)]^2 r(x)\,dx$는 유한하도록 $r(x)$가 선택되어야 한다. 이 적분이 존재한다는 전제로 $r(x)$는 특정한 위치에서 발산할 수도 있다.[예를 들어, 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)을 확인한다. 함수 $r(x)$가 발산하더라도 스튀름–리우빌 이론은 잘 성립한다.]
식 (2.1)의 직교성(直交性, orthogonality)은 무척 낯이 익다. 이 방식은 바로 푸리에 급수(Fourier series)에서 썼던 기법이다. 기록에는 없지만 스튀름이 스튀름–리우빌 이론을 발전시킨 이유가 푸리에 급수에 있을 것이다.[∵ 스튀름과 리우빌은 푸리에가 교수로 있었던 프랑스 이공과대학(École Polytechnique)과 관계가 깊다. 스튀름은 푸리에의 조수였다가 이공과대학의 교수가 되었다. 리우빌은 이공과대학을 졸업하고 그 대학 교수가 되었다.] 삼각 함수(trigonometric function)로 구성된 푸리에 급수가 왜 이리 성공적인가? 삼각 함수가 특별해서 이럴까? 아니면 푸리에 급수 자체가 특별한가? 스튀름은 스스로 이 답을 찾았다. 바로 식 (1)의 미분 방정식이 답이었다. 삼각 함수는 $p(x)$ = $1$, $q(x)$ = $0$, $r(x)$ = $1$인 경우의 해가 되어 삼각 함수는 이 미분 방정식의 고유 함수가 된다. 따라서, 푸리에 급수의 모든 성질이 당연히 성립하게 된다. 다른 말로 하면 푸리에 급수의 일반화가 스튀름–리우빌 이론이다.


   3. 고유치는 실수(realness of eigenvalue)   

경계 조건이 고정된 경우, 스튀름–리우빌 미분 방정식의 고유치는 항상 실수이다.

[증명]
증명을 위해 고유 함수 $\psi_m$의 켤레 복소수(complex conjugate) $\psi_m^*$도 경계 조건을 만족한다고 가정한다.[∵ $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 복소수일 수 있기 때문이다.] 그러면 고유 함수 $\psi_m^*$에 대한 고유치는 $\lambda_m^*$이며 관련된 미분 방정식은 아래처럼 표현된다.

                       (3.1)

여기서 $(\cdot)^*$는 켤레 복소수, $p(x), q(x), r(x)$는 실수인 함수(real function)이다. 또한 $r(x) > 0$이라 가정하기 때문에 식 (3.1)의 적분은 항상 $0$보다 크다.
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위 증명에서 $\psi_m^*$가 만족해야 하는 경계 조건이 있다. 이를 상수 $\alpha, \alpha'$ 관점에서 써본다. 먼저 식 (6)의 첫째식에 켤레 복소수를 취하면 다음과 같다.

                       (3.2)

여기서 $\Im[\cdot]$은 복소수의 허수부이다. 식 (3.2)의 최종 결과는 무척이나 복잡하다. 그래서 일반성은 떨어지지만 편리하므로 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$을 실수로 가정해버린다. 그러면 식 (2.1)의 직교성을 켤레 복소수 관점으로 간편하게 쓸 수 있다.

                       (3.3)

하지만 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$를 실수라고만 가정하면 전자파 문제에 등장하는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)[5]을 다룰 때 문제가 있으므로, 필요한 경우에만 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$를 실수라고 가정하며 본문에도 명기할 것이다.


   4. 아벨의 항등식(Abel's identity): 함수 행렬식은 상수(constant Wronskian)  

                       (4.1)

여기서 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$는 실수이다.

[증명]
식 (1.2)와 식 (2.2)를 연립하면 다음을 얻는다.

                   (4.2)

식 (4.2)에 식 (3.1)의 결과(혹은 고유치는 실수라는 결과)를 대입하고 적분하면 식 (4.1)이 얻어진다.
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                     (4.3)

식 (4.3)처럼 함수 행렬식을 구성할 때 켤레 복소수를 제외하고 $\psi_m, \psi_n$만 사용하면 $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 실수라는 가정은 필요 없어진다.[∵ 켤레 복소수 연산을 사용하지 않았기 때문에 $m$ = $n$인 경우 당연히 $\lambda_m$ = $\lambda_n$] 즉, $\alpha, \alpha', \beta, \beta'$가 복소수라도 식 (4.3)은 성립한다.


   5. 해의 유일성(uniqueness of solutions)    [1]

고유치가 동일하면 경계 조건을 만족하는 고유 함수들은 상수배만 차이난다.

[증명]
동일한 고유치 $\lambda$에 대해 서로 다른 고유 함수 $\psi_1, \psi_2$가 존재한다고 가정한다. 고유치가 동일하기 때문에 식 (4.3)에 있는 아벨의 항등식을 사용할 수 있다.

                       (5.1)

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식 (5.1)에서 함수 행렬식이 $0$이 되는 이유는 식 (1.5)로부터 분명하다. 식 (1.5)에 의해 $x$ = $a$에서 함수 행렬식이 $0$이므로 $x$가 정의된 전체 구간에서 식 (5.1)의 첫째줄이 성립한다. 그러면 함수 행렬식을 풀어 식 (5.1)의 최종 결과를 얻을 수 있다. 다시 말해 고유치와 고유 함수는 식 (5.1)에 의해 일대일 대응이 되므로 고유치를 이용해서 고유 함수를 손쉽게 표현할 수 있다.


   6. 두번째 해(the second solution)    [1]

                       (6.1)

여기서 $\psi_1$은 이미 알고 있는 첫번째 해이며 $\psi_2$는 두번째 해이다.

[증명]
$\psi_1, \psi_2$의 경계 조건이 같다면 식 (5.1)과 같은 결론이 얻어진다. 두번째 해에 대한 경계 조건이 주어지지 않으면 식 (4.3)부터 출발해 답을 구해야 한다.

                       (6.2)
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식 (6.1)을 조금 더 간단하게 표기할 수도 있다.

                  (6.3)

여기서 $P(x)$는 식 (2)처럼 정의하며, $p(x)$는 식 (2)의 적분 인자이다.


   7. 레일리 몫(Rayleigh quotient)   

      (7.1)

[증명]
다음과 같은 정의를 이용해서 식 (5)에 부분 적분(部分積分, integration by parts)을 적용하면 쉽게 증명된다.

                       (7.2)
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식 (7.2)는 벡터의 내적(inner product)을 확장한 함수상 내적(inner product on functions)의 정의이다. 식 (7.1)의 레일리 몫은 고유치를 추정할 때 유용하게 사용될 수 있다. 예를 들어 고유치가 $0$인 경우는 $q(x)$ = $0$, $\psi_m'(x)$ = $0$이다. 여기서 $\psi_m'(x)$ = $0$은 $\psi_m(x)$가 상수라는 조건이다. 또한 고유치가 $0$보다 항상 크려면, 식 (7.1)의 분자는 항상 양수가 되어야 한다.


[그림 8.1] 동일한 고유치를 가진 고유 함수의 움직임(출처: wikipedia.org)

   8. 스튀름의 분리 정리(Sturm's separation theorem)    [2]

(8a) 고유 함수의 영점(zero)은 유한하다.
(8b) 고유 함수의 영점은 단순근(simple root)이다.
(8c) 동일한 고유치를 가진 서로 독립인 고유 함수를 $\psi_1, \psi_2$라 한다. $\psi_1$의 영점 사이에는 $\psi_2$의 영점이 반드시 하나만 존재한다.

[명제 (8a)의 증명]
고유 함수의 영점이 무한하다고 가정한다. 그러면 어떤 수열(數列, sequence) $\{x_n\}$이 무한히 존재해서 $\psi(x_n)$ = $0$을 만족해야 한다. 또한 $n$이 커질 때 $\{x_n\}$의 수렴점을 $x_c$라 정의한다.[$\because$ $x$는 구간 $[a, b]$ 내에 존재해야 하므로 발산할 수 없다.] 결과적으로 다음이 항상 성립한다.

                       (8.1)

점 $x$ = $x_c$를 시점으로 피카르의 반복법(Picard's iteration method)을 적용하면 $\psi(x)$ = $0$이 나온다. 이 해는 의미없기 때문에 고유 함수의 영점은 유한해야 한다.

[명제 (8b)의 증명]
영점 부근에서 $\psi(x)$ = $c(x-x_n)$처럼 움직이면 단순근이라 한다. 여기서 $c$는 상수이다. 만약 $\psi(x)$ = $c(x-x_n)^2$이라면, $x$ = $x_n$에서의 미분값이 $0$이 된다. 명제 (8a) 증명처럼 $x$ = $x_n$을 시작으로 피카르의 반복법을 적용하면 $\psi(x)$ = $0$이 나온다. 이 해는 의미없기 때문에 고유 함수의 영점은 단순근이어야 한다.

[명제 (8c)의 증명]
명제 (8c)는 [그림 8.1]을 보면 명확하다. 빨간색 함수의 영점 사이에 초록색 함수의 영점이 반드시 존재한다. 증명을 위해 $\psi_1$의 영점을 $x_0$과 $x_1$[$x_0 < x_1$]이라 한다. 고유 함수 $\psi_2$는 구간 $[x_0, x_1]$에서 영점이 없다고 생각한다. 그러면 함수 $\psi_1/\psi_2$는 롤의 정리(Rolle's theorem)에 의해 다음 성질을 가진다.

                       (8.2)

여기서 $\xi$는 구간 $[x_0, x_1]$ 사이에 있는 어떤 값이며 분모를 구성하는 $\psi_2$는 $[x_0, x_1]$에서 영점이 없기 때문에 함수 $\psi_1/\psi_2$는 잘 정의된다. 이 경우 식 (8.2)의 둘째식이 성립하기 때문에 $\psi_1, \psi_2$는 서로 종속 관계여야 하나 조건에서는 서로 독립이므로 $\psi_2$는 구간 $[x_0, x_1]$에서 영점을 가져야 한다. 만약 $\psi_2$가 구간 $[x_0, x_1]$에서 두개의 영점을 가진다면 식 (8.2)와 유사한 논증에 의해 모순이 발생한다. 따라서 $\psi_2$는 반드시 하나의 영점만 가져야 한다.[∵ $\psi_2$의 두 영점 사이에서는 $\psi_1$이 영점을 가지지 않으므로 식 (8.2)에 적용한 동일한 논리를 $\psi_1$에 적용하면 모순을 얻을 수 있다.]
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스튀름의 분리 정리에서 영점에 집중한 이유는 고유 함수의 진동(振動, oscillation) 특성을 볼 수 있기 때문이다. 고유 함수의 진동은 고유치와 밀접한 관계를 가진다.


[그림 9.1] 함수의 영점(출처: wikipedia.org)

   9. 스튀름의 비교 정리(Sturm's comparison theorem)   

만약 $\lambda_2 > \lambda_1$이면 $\psi_1$의 영점 사이에 $\psi_2$의 영점이 적어도 하나 이상 존재한다. 여기서 고유치와 고유 함수는 $(\lambda_1, \psi_1)$$(\lambda_2, \psi_2)$와 같은 쌍을 이루며 $p(x)$는 $\psi_1$의 영점 사이에서 부호를 바꾸지 않는다. 즉 고유치가 크면 고유 함수도 더 빨리 진동한다.

[증명]
스튀름의 분리 정리가 동일한 고유치에 대한 정리라면 비교 정리는 서로 다른 고유치에 대한 정리이다. 증명 방법은 분리 정리와 매우 유사하다. 식 (4.2)를 약간 변형한 다음식부터 출발해본다.

                       (9.1)

고유 함수 $\psi_1$의 영점을 $x_0$과 $x_1$[$x_0 < x_1$]이라 한다. 스튀름 분리 정리 (8b)의 단순근 특성을 보여주는 [그림 9.1]처럼 영점 사이에서는 ($+$)이거나 ($-$)이므로 편하게 $(x_0, x_1)$ 사이에서 $\psi_1$은 ($+$)라 가정한다.[$\because$ 단순근이므로 영점 근처에서는 $x$축을 지나는 직선처럼 생각할 수 있다.] $\psi_2$는 영점이 없으므로 편하게 $(x_0, x_1)$에서 ($+$)라 가정한다. 그러면 식 (9.1)의 우변은 항상 $0$보다 크다. 즉, $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$은 구간 $(x_0, x_1)$에서 항상 증가하고 있다. 또한 $p(x)$가 구간 $(x_0, x_1)$에서 항상 0보다 크면 다음이 성립해야 한다.

                       (9.2)

그런데 $x$ = $x_0$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 $0$보다 큰 상태에서 항상 증가하고 있는데 $x$ = $x_1$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 $0$보다 작으면 모순이다. 그래서, $\psi_2$는 $(x_0, x_1)$에서 반드시 영점을 가져야 한다.
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스튀름의 비교 정리를 거꾸로 생각해보면 재미있다. 고유 함수 $\psi_2$가 $\psi_1$보다 빨리 변하므로 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점이 없을 수도 있다. 진짜 그런지 식 (9.2)처럼 생각해본다. 논의를 위해 $\psi_2$의 영점은 $\chi_0$과 $\chi_1$[$\chi_0 < \chi_1$], 영점 사이에서 $\psi_1, \psi_2$는 항상 ($+$)라고 가정한다.

                    (9.3)

식 (9.1)에 의해 $x$ = $\chi_0$에서 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$는 항상 증가하고 있다. 하지만 식 (9.2)와 다르게 ($-$)에서 증가하고 있으므로 $x$ = $\chi_1$에서 ($+$)가 될 수도 있다. 예를 들어 $\lambda_2$와 $\lambda_1$이 너무 비슷하면 식 (9.1)에 의해 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$의 기울기는 거의 $0$이다. 즉, 식 (9.3)과는 모순이 되어 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점이 반드시 있어야 한다. 이런 특성은 스튀름의 분리 정리와 동치이다. $\lambda_2$가 $\lambda_1$보다 매우 큰 경우는 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$의 기울기가 굉장히 크기 때문에 모순이 아니므로 $\psi_2$의 영점 사이에 $\psi_1$의 영점은 없다.

휴, 지금까지 상당히 먼 길을 왔다. 별 의미가 없을 것 같은 영점을 집요하게 고민하는 이유는 영점의 특성이 고유치 분포를 보여주기 때문이다. 고유치는 고유 함수와 일대일로 연결되어 있으므로 영점의 특성은 고유 함수의 분포를 정확히 보여준다. 이 부분이 스튀름–리우빌 이론의 핵심이다. 평범한 공학 수학책에는 없지만 수준 높은 수학책에는 스튀름의 분리와 비교 정리의 증명을 볼 수 있다. 하지만 책을 보더라도 왜 스튀름이 이 명제를 증명했는지, 어디에 쓰이는지 등은 알기 어렵다. 아마도 수학자는 구질구질한 설명을 싫어하기 때문일 것이다. 행간을 알고 싶은 사람은 이해될 때까지 수학 정리 증명을 읽고 또 읽어야 한다. 그래서, 수학자들은 독한놈을 좋아한다. 순한 놈은 나가떨어지지만 독한 놈은 끝까지 간다. 이런 성향이 강했던 독일 괴팅겐[정확한 발음은 괴팅엔이나 우리 전통에 따라 괴팅겐으로 표기] 대학교의 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855) 교수는 학생에게 인기가 아주 없었다. 가우스가 주로 썼던 말이 잘 아는 바와 같이, 분명하므로[가우스에게 분명한 내용이 우리에게 그렇지 않을 확률이 99.9999...%] 등이었다는 풍문을 보면, 학생에게 친절한 설명을 해주지는 않았을 것이다. 하지만 학생이 가야 할 학자의 길을 가우스는 죽을 때까지 묵묵히 보여주었다. 이런 스승의 지독함과 고지식함을 갖추고 꿋꿋하게 연구해간 베셀(?), 데데킨트, 디리클레, 리만, 칸토르 등의 가우스 제자들은 수학책에 나올 정도의 굵직한 수학자가 되었다.
다음으로 스튀름–리우빌 이론이 만든 아름다운 정리인 스튀름의 진동 정리를 증명한다.


   10. 스튀름의 진동 정리(Sturm's oscillation theorem)   

정칙 경계 조건(regular boundary condition)을 만족하는 스튀름–리우빌 미분 방정식의 고유치는 다음 관계를 만족한다.

                       (10.1)

                      (10.2)

여기서 $N(\lambda)$는 고유치 $\lambda$의 영점 개수이다.

[증명]
정칙 경계 조건은 식 (6)에 있는 조건이다. 증명을 간단하게 하기 위해 $\psi(a)$ = $\psi(b)$ = $0$이라 가정한다. 또한 $\lambda_n$의 영점은 $a < x_0 < x_1 < x_2 \cdots < x_m < b$와 같이 구성된다고 생각한다. 그러면, 스튀름의 비교 정리에 의해 $\lambda_n$보다 큰 $\lambda_{n+1}$은 $\lambda_n$의 영점 사이에서 반드시 영점을 가져야 한다. $\lambda_{n+1}$의 영점의 개수를 헤아려보면 $\lambda_n$의 영점 개수보다 $1$이 크다. 그래서 식 (10.1)이 반드시 성립해야 한다. 식 (10.2)를 증명하기 위해 영점 개수의 특성을 본다. 식 (10.1)에 의해 고유치만 커진다면 영점 개수는 계속 커질 수 있다. 구간 $(a, b)$의 영점은 무한대로 많을 수 있기 때문에[많더라도 가산 집합(可算集合, countable set)이다.] 고유치도 계속 커져 무한대로 발산한다. 하지만 거꾸로 영점을 줄여가면 언젠가는 $N(\lambda)$ = $0$이 된다. 즉, 영점 개수가 하한선을 가지기 때문에 이 값이 고유치가 가질 수 있는 하한선이 된다. 따라서 고유치는 가장 작은 값에서부터 시작해서 계속 커져가게 된다.
지금까지 증명한 부분은 $\psi(a)$ = $\psi(b)$ = $0$인 경우이다. 식 (6)의 조건이 되면 어떻게 될까? 이 경우 증명 과정은 $x$ = $a, b$에 있는 끝점을 제외하고는 동일하다. 점 $x$ = $a$에서의 증명을 위해 비교 정리와 유사한 논법을 사용한다. 먼저 $\psi(a) \ne 0$이라 가정하고 $x$ = $a$와 가장 가까운 $\psi_1$의 영점을 $x_0$라 한다. 구간 $(a, x_0)$ 사이에서 $\psi_1$은 ($+$), $\psi_2$는 영점없이 ($+$)라 정한다. 하지만 식 (6)이 성립하므로 $x$ = $a$에서 $W(\psi_2, \psi_1)$ = $0$이 된다. 그러면 식 (9.2)와 유사하게 $x$ = $a$에서 $0$인 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$가 $x$ = $x_0$에서는 ($-$)가 되어야 한다. 하지만 $p(x)W(\psi_2, \psi_1)$는 증가하고 있으므로 모순이다. 따라서, $\psi_2$는 구간 $(a, x_0)$ 사이에 반드시 영점을 가져야 한다. 점 $x$ = $b$에서도 마찬가지이므로 증명이 완결된다.
______________________________

스튀름의 진동 정리에서 고유치 $\lambda_n$의 첨자 $n$이 계속 커질 때, 두 고유치의 차 $\epsilon_n$ = $\lambda_{n+1} - \lambda_n$은 $0$이 될 수 없다. 즉, $\lim_{n \to \infty} \epsilon_n$ $\ne$ $0$이 되어야 한다. 왜냐하면 고유치가 어떤 한 값 $\lambda_\omega$로 수렴하면, 이 값에 해당하는 고유 함수 $\psi_\omega (x)$는 $n$에 관계없이 동일해지기 때문이다. 이로 인해 각 고유 함수는 식 (2.1)에 증명한 직교성을 만족할 수 없어서 논리적 오류가 생긴다. 이 논리를 수학적으로 더 견고하게 만들기 위해, 고유 함수의 차 $d_n(x)$ = $\psi_{n+1}(x) - \psi_n(x)$를 정의해서 다음처럼 함수상 내적을 계산한다.

                      (10.3)

식 (10.3)에 따라 $n$이 다르면, 고유 함수 $\psi_n(x)$는 다른 고유 함수와 같을 수 없다. 추가적으로 $\lambda_{n+1}$과 $\psi_{n+1}(x)$를 $\lambda_{n}$과 $\psi_{n}(x)$의 관점으로 써서 식 (5)에 대입해서 다음 결과를 얻는다.

                      (10.4)

만약 $n$가 매우 커질 때 $\epsilon_n$이 $0$으로 수렴하면 $d_n$은 $\psi_{n+1}(x)$가 되어서 모순이 생긴다.

                      (10.5)

따라서 $\lim_{n \to \infty} \epsilon_n$ = $0$은 절대 성립할 수 없다.


   11. 정의역 비율 조정(domain scaling)   

정의역 구간을 동일한 비율로 확대하면, 확대된 미분 방정식의 고유치는 구간의 길이에 반비례하여 원래의 고유치보다 줄어든다. 반대로 정의역 구간을 축소하면, 고유치는 이전보다 더 커진다.

[증명]
정의역 $[a, b]$를 확대하기 위한 함수 관계는 $\tilde{x}$ = $\mu x$라고 한다. 여기서 $1$보다 큰 $\mu$는 정의역 구간을 확대한 비율이다. 식 $x$ = $\tilde{x}/\mu$를 식 (1)에 대입해서 정리한다.

                      (11.1)

여기서 $\mu > 1$, 정의역은 $[a, b]$에서 $[\mu a, \mu b]$로 확대된다. 식 (11.1)을 식 (1)처럼 다시 쓴다.

                      (11.2)

여기서 $\widetilde{p}(\tilde{x})$ = $p(x)$, $\widetilde{q}(\tilde{x})$ = $q(x)/\mu^2$, $\widetilde{r}(\tilde{x})$ = $r(x)$, $\widetilde{\psi}_m(\tilde{x})$ = $\psi_m(x)$이다. 따라서 원래 고유치 $\lambda_m$은 확대 비율 $\mu$에 반비례하여 $\widetilde{\lambda}_m$ = $\lambda_m / \mu^2$으로 축소된다. 
______________________________

스튀름–리우빌 미분 방정식의 정의역 비율 조정에 의해, 정의역 구간을 계속 늘려가면 고유치의 간격은 계속 줄어든다. 결국 정의역이 무한대로 커지면, 이산적인 식 (10.2)와 다르게 고유치는 연속적으로 변하게 된다.


[참고문헌]
[3] J. Lützen, "Sturm and Liouville's work on ordinary linear differential equations. The emergence of Sturm–Liouville theory," Archive for History of Exact Sciences, vol. 29, no. 4, pp. 309–376, 1984.
[4] C. A. Swanson (Ed.), Chapter 1. Sturm-Type Theorems for Second Order Ordinary Equations, Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations, New York, USA: Academic Press, 1968.
[5] T. B. A. Senior, "Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces," Appl. Sci. Res., B, vol. 8, no. 1, pp. 418–436, Dec. 1960.
[6] P.-S. Kildal, "Artificially soft and hard surfaces in electromagnetics,"IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 38, no. 10, pp. 1537–1544, Oct. 1990.

[다음 읽을거리]
1. 고유 함수의 완비성
2. 베셀의 미분 방정식
3. 르장드르의 미분 방정식
4. 고유치가 복소수인 스튀름–리우빌 이론

댓글 153개 :

  1. 직접 쓰신글인지 궁금합니다.

    수학전공학생을 위한 글인가요?

    공학도인데 편미방에 대해 관심이 많습니다.

    관련 자료나 url 추천 해주시면 감사하겠습니다..

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    1. 직접 쓴 글입니다.

      위 글은 수학도를 위한 글은 아닙니다. 그렇게 하려면 더 엄밀하게 용어들을 정리하고 군더더기를 더 많이 붙여야 합니다.

      단지 공학도를 위해 푸리에 급수를 밑바닥까지 철저하게 이해하자는 의도로 기술한 것입니다.

      편미분방정식의 존재성은 아직 아무도 증명을 못했습니다.
      그래서 각 편미분방정식에 대한 접근법이 그때그때 다릅니다.
      위에 있는 참고문헌 [2]도 볼 만합니다.

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    2. 감사합니다.

      이런내용의 한국어 포스팅이 있을줄은 상상도 못했습니다.

      설명이 군더더기 없이 아주 깔끔한데 혹시 교수님이신가요?

      괜히 궁금해지네요..ㅎㅎ

      블로그 글 열심히 정독하겠습니다..^^

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  2. 대단하십니다 덕분에조금이나마이해를했습니다 제가 공학도라 100퍼센트이해하기엔 기타수학적지식이 부족하네요
    제가배우는 공업수학책에는 이분야에대해 정칙과 특이 sturm liouville문제로 나누어 설명하는데 정칙의경우에 y"+람다y=0 꼴밖에안나와있고 특이의경우에 bessel과 legendre방정식의 가중함수에대한 직교성만 검토하고 끝이네요 ㅜ 공학생수준에서 어느정도깊이까지 이분야에대해 파고들어야할지 감이안잡히네요 아무튼 글 잘읽엇습니다

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    1. 방문 감사합니다.

      물리학까지 확장하더라도 베셀과 르장드르 미분방정식 정도면 충분합니다. 이게 원통좌표계와 구좌표계의 기저함수가 됩니다. 이것보다 더 복잡한 내용은 수치계산으로 다룰 문제이지 이론적으로 접근할 필요는 거의 없습니다.

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  3. 맨위에나온 (1)번식말인데 -가아니라 플러스 아니에요?? 책에서는 플러스로 나오던데

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    1. 부호는 선택의 문제입니다. $q(x)$가 있기 때문에 앞의 부호를 (+)로 하든지 (-)로 하든지 관계 없습니다.

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  4. "미분방정식 이론은 규칙도 별로 없고 거의 중구난방으로 해법이 등장하는데" ㅋㅋㅋ. 정리 정말 디테일하게 해주셨네요 감사드려요

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  5. 고체역학을 전공하는 학생입니다.
    스트룸리우빌과 그린함수를 찾다보니 이 블로그로 경로가 수렴하더라구요.

    너무 깔끔하고 심도깊은 설명에 감탄했습니다.
    가슴 깊이 감사드리며, 자주 애용할 것을 약속드립니다.

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    1. 김호범님, 방문 감사합니다. ^^
      제대로 된 스트룸-리우빌 이론 자료를 찾기 힘들어 제가 다시 증명한 것을 소개한 것입니다. 많은 지도 바랍니다.

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  6. 진짜 죄송한데요... 여기 글이랑 좀 상관 없긴한데 레포트하다가 여기 블로그를 알게 되었는데요..ㅠㅠ sympathetic Oscillation에 대해 알려주실수 있으시나요?ㅠㅠ 이게 뭔지 찾아야되는데 아무리 검색해봐도 안나와서 공명진동, 공진진동 막 이렇게 찾아봤는데 도저히 나오질 않네요 ㅠㅠ

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  7. 저도 처음 들어보는데요, 주류 물리학 이론은 아닌 것 같네요. 구글에 검색 결과가 6700개 정도 밖에 없네요.
    "교감 진동"으로 한 번 검색해보세요.

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  8. 푸리에 배우고있는 공대생입니다. 설명이 너무 좋으네요. 이정도 설명할 수준까지 되려면 얼마나 공부해야하는지 궁금하네요.. 아무튼 좋은설명 잘 읽었습니다~~

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  9. 안녕하세요 글 정말 잘 읽었습니다. 공업수학 수업을 듣다가 이해가 안되서 스트룸리우빌을 검색해 보다가 이 글을 읽었는데요~ 저희 수업시간에 직교성에 대해 배울 때 노름값이라는 게 나오는데 이게 뭔지 잘 모르겠어서요 ㅜㅜ 번거로우시겠지만 설명해 주시면 정말 감사드릴 것 같아요 ㅜㅜ

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    1. 직교성에는 규준(norm)보다는 내적(inner product)이 적당할 것 같은데요...
      아마 자기 자신에 대한 내적을 규준으로 정의할 수는 있을 것입니다. 밑의 수식처럼요.

      $\left \| f(x) \right \| = \int_a^b f(x)\cdot f(x)~dx$

      하지만 규준은 거리 개념을 내포하면 되기 때문에 여러 가지로 정의할 수 있습니다.

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  10. 3번식에서 d^2y / dx^2 을 dy^2 / dx^2으로 잘못 표시한것 아니신가요~

    아까 답변 정말 감사했습니다!

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    1. 다시 한 번 감사드립니다, 삽살이님. 하루에 오타를 2개나 찾으셨네요. ^^

      혹시 틀린 것이 있는 지 계속 검토해주세요.

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  11. 기초 질문입니다. (재가 하는 질문이 대부분 그렇지만요 ㅋㅋㅋ T.T)
    1. 식(5) L와 D를 특별히 지칭해서 읽거나 명칭하는 용어가 있나요?
    2-1. 식(6)에서 α와 β는 고유치 λ와 관련이 있는것인가요?
    2-1-1. α와 β는 상수도 될 수 있고 함수도 될수 있는 것인가요?
    2-2. 식(6)은 위 식(5)의 변형된 형태가 되는 건가요?
    아니면 조건으로서 따로 주어지게 되는건가요?
    2-3. 법선 경계 조건(normal boundary condition)에서 α = β = 0인데, α ≠ 0 β ≠ 0 일 수 있는건가요?

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    답글
    1. 죄송요. 미분기호를 빼먹었네요.
      2-3. 법선 경계 조건(normal boundary condition)에서 α = β = 0인데, α' ≠ 0 β' ≠ 0 일 수 있는건가요?

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    2. 1. 그냥 "연산자 L", "연산자 D"로 읽습니다.
      2. 식 (6)은 경계 조건입니다. 그래서, $\alpha, \beta$, $\alpha', \beta'$는 상수가 되어야 합니다.
      3. 전자파로 생각하면 전기장에 대한 금속이 말씀하신 경계 조건이 됩니다. 즉, 전기장값 자체는 금속면에서 0인데 법선 성분은 0이 아닙니다.

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    3. 감사드립니다.
      거북이님은 정말 잘 꼬시시는 거 같습니다.
      "스투름-리우빌 미분 방정식만 이해하고 있으면 공학 분야에 나오는 대부분의 미분 방정식을 두려움없이 대할 수 있다."
      아 이건만 이해하면 많은 부분들을 이해하는데 틀을 마련할 수 있겠구나. 라고 생각 했는데, 전체적으로 이해는 것보다 무슨내용이 있는지 쭉 보니, 왜 그게 어려운지 알거 같습니다.
      ㅋㅋㅋㅋㅋ
      암튼 언제나 이렇게 답을 주시니, 깊은 감사를 드립니다.
      메리크리스마스요.

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    4. 그래서 스투름과 리우빌이 천재인 것이지요!
      아무 생각 없이 보면 미분 방정식 중에서도 진짜 잠 오는 방정식중 하나가 스투름-리우빌 미분 방정식인데요, 푸리에 급수와 연결하면 새로운 길이 열립니다. ^^

      즐거운 성탄 보내십시오, 곰유님.

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  12. 1. 식(6) α와 β가 상수인데, α ≠ 0 β ≠ 0 있는건가요? 즉 함수 일 수도 있는거 아닌가요?

    2. 옥에티 ㅋㅋㅋ
    식(7)와(8)사이 증명 설명에서,
    psi_m ==> ψ_m

    3. 식(8)에서 D ψ_m(x)은 D(ψ_m(x))로 생각하고, 식(5)의 정의를 사용하면 되는거 맞지요?
    어떻게 해야 할지 몰라 이렇게 해서 해보니 식(8)이 되는거 같아서요.

    4. 식(11)은 식(6)경계조건과 관련이 있는건가요?
    4-1. 식(6)의 초기 경계 조건은 어디에서 오건가요? 모든 경계조건은 식(6)과 같은 조건이 되는 건가요?

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    답글
    1. 또 미분 표시를 빼먹었네요. 같은 질문이 될 수 있을 것도 같은데요.
      1. 식(6) α와 β가 상수인데, α' ≠ 0 β' ≠ 0 있는건가요? 즉 함수 일 수도 있는거 아닌가요?

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    2. 1. $x=a,b$로 고정했기 때문에 함수가 될 수는 없습니다.

      2. 지적 정말 감사합니다, 곰유님. 수정했습니다. ^^

      3. 예, 맞습니다.

      4. 예, 경계 조건이 고정되었기 때문에 관련 행렬식이 0이 됩니다.
      식 (6)은 우리가 만나는 경계 조건을 일반화한 식입니다.

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    3. 1. 스투름-리우빌 이론에서는 접선경계조건과 법선경계조건만 가능한건가요?
      1-1. 만일 그렇다면, 둘중에 하나가 해당 가능 하다고 하면,
      α, β, α′, β′와 상관 없이 W(ψm(a), ψn(a))와 W(ψm(b), ψn(b))는 0이 될거 같습니다.
      W(ψm(a), ψn(a)) = ψm(a) dψn(a)/dx - dψm(a)/dx ψn(a)
      접선경계조건이라면, ψm(a) = ψn(a) = 0, 이므로 0 일거 같고,
      법선경계조건이라면, dψn(a)/dx = dψm(a)/dx = 0, 이므로 0 일거 같습니다.

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    4. 식 (6)처럼만 표기되면 어떤 조건이든지 가능합니다.
      예를 들면 증명은 더 까다롭지만 주기 경계 조건도 가능하고요.

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  13. 어려운 문제를 검색하면 항상 이 블로그로 인도됩니다. 대단하시 실력에 늘 감탄합니다. 저희 교수님께서 Liouville equation의 물리적 의미를 물어보시네요... 우문 같습니다만, 좀 간단히 설명해 주실 수는 없으신지요?

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    1. 리우빌 방정식은 잘 쓰지 않기 때문에 답변이 틀릴 수도 있습니다. ^^

      물리학에서는 입자의 초기 위상(위치와 속도)을 알면 그 다음 상태를 항상 결정론적으로 정할 수 있습니다. 하지만 입자가 매우 많아지면 상태 계산이 불가능해집니다. 그래서, 통계 역학처럼 입자 상태 예측을 확률적으로 취급해야 합니다. 이와 같이 결정론적 특성을 확률론적 특성으로 바꾼 경우 입자 집단이 가져야 하는(or 움직여야 하는) 확률적 특성을 정의한 식이 리우빌 방정식입니다.

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  14. 저기 글 윗 부분에 법선 경계조건 설명에서 양쪽경계점을 벗어난 특성을 정한다는게 무슨 말인가요?

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  15. 대에박...푸리에 시리즈와 스톰 리비에 방정식 연결고리가 헷갈렸는데 머리가 맑아지는 기분이네요 감사합니다

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    1. "대에박" 칭찬 감사드립니다, 전준구님. ^^

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  16. 원래 댓글은 안다는데 글의 수준이 대단하네요
    도움이 많이 되었습니다 감사합니다ㅎ

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    1. 댓글까지 다시고, 감사드립니다, 익명님. ^^

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  17. 저는 공대라서 이 이론에 대해서 대충 배운거 같은데요
    근데 고유함수는 직교성이 있잖아요
    근데 왜 내적할때 가중함수를 넣는거죠?? 그러면 직교성이 없는거 아닌가요??
    그리고 예제 풀어보면 r(x)=x인 경우도 있는데 그러면 직교성이 없는건가요.... 모르겠네요 ㅜ.ㅜ

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    1. 1. 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현하는 고유치를 정의하려면 가중치 함수가 필요합니다.

      2. 또한, 직교성을 만족하려면 가중치 함수가 있어야 합니다. 다만 데카르트 좌표계는 $r(x) = 1$이므로 없는 것과 마찬가지지요. 쉽게 보면 가중치 함수는 고유 함수가 정의된 좌표계의 성질을 내포한 함수라 할 수 있습니다.

      3. 원론적으로는 가중치 함수에 아무 값이나 넣어도 되지만, 원래 순서는 우리가 미분 방정식을 유도하고 이 해를 예측하기 위해 스투름-리우빌 이론을 적용하는 것입니다. 그래서, 풀고자 하는 미분 방정식에 해당하는 가중치 함수는 정해져 있다고 봐도 됩니다.

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  18. 존경합니다.
    많은 도움을 받았습니다.

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    답글
    1. 존경까지야... 도움 받았다니 기분이 좋네요, 익명님. ^^

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  19. 답글
    1. 스투름-리우빌 이론은 정말 대단합니다. 우리가 왜 수학에 관심을 가져야 하는지를 알려주는 훌륭한 이론입니다. ^^

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  20. Sturm-Liouville에서 Uxx+Uyy=0 이며, 경계조건에서 u(0,y)=f1(y), u(a,y)=f2(y), uy(x,0)=g1(x), uy(x,b)=g2(x) 이면 어떻게 풀어야 될까요? 중첩법으로 이용하여 4가지로 분류해서 풀어보려고 했으나 안 풀리는 부분이 있어서 답답한 마음에 댓글을 답니다.

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    답글
    1. 질문에 있는 것처럼 일반해와 특수해로 푸는 것이 맞습니다. 특수해 부분의 경계 조건($f$ or $g$로 표기)이 복잡하므로, 이 부분을 푸리에 급수와 같은 형태로 표현을 바꾼 후 풀어보세요. 풀이에 성공하기를 빕니다. ^^

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  21. 음... 전파거북이님. 스트룸 리우빌에서 고유치 람다가 상수잖아요. 그러면 피카르드 반복법을 하면 n+1개의 상수가 생기는 거 아닌가요...ㅠㅠ 헷갈리네요.

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    1. 스투름-리우빌 미분 방정식은 2차입니다. 그래서, 해의 개수는 2개가 나옵니다. 고유치가 상수인 것하고는 관계가 없습니다.

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  22. 으음;;; 글보는데 이상한 광고가 지워지지 않습니다 ㅜㅜ

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  23. 감사합니다.
    잘보고갑니다.

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    1. 추석 연휴에도 열공 중이시네요, 익명님. ^^

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  24. 감사합니다. 5번 정도 정독하니까 어느 정도 이해가 가네요. 좀 더 공부하고, 다시 오겠습니다.

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    1. 저 궁금한게 있는데요. 스투름 리우빌이 결국 말하고자하는건 [p(x)y']'+[q(x)+$lambda r(x)]y=0 꼴로 표현가능한 이차 상미분방정식 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 (여기서 P(x)=0이어야 하겠죠?)를 $lambda=-v^2, 0, v^2 (v>0)이 세가지 경우의 일반해로 나눠서 풀 수 있다는 것을 말하는거맞죠? 문제풀이를 보면 p(x), q(x), r(x)를 그냥 구하지 않고 처음부터 $lambda의 경우의 수를 세가지로 나눠서 풀더라고요. 앞부분의 O.D.E에서는 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 꼴을 맞춰주고, 그 꼴에 따라 해를 구하는 방식이 나뉘었던 걸로 기억이 나서요.

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    2. 아이고 $lambda$가 그대로 나와버렸네요

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    3. P(x)=0이 아니어도 되네요!!

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    4. 후.. 드디어 이해했습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이래서 스투름리우빌 방정식이 거대하다는 거였군요.. 이렇게 따지면 앞부분에서 배운 상미분방정식을 거진 다 포함하네요.

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    5. 익명님, 주님, 열공하셨네요. ^^

      제가 이해하는 스투름-리우빌 이론의 중요성은 푸리에 급수를 확장하는 것입니다. 성공적이었던 푸리에 급수를 좀 더 세부적으로 이해하고, 이를 더 다양한 미분 방정식으로 확장하기 위한 방법이 스투름-리우빌 이론입니다.

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  25. 식 11. 에서 말한 의미없는 경계조건은 아예 존재하질 않나요, 아니면 존재하지만 식 (8)에서 나온 식을 쓸 수가 없으므로 (경계조건이 의미가 없으므로 함수가 하나로 결정이 안됨) 그냥 무시하는 건가요?

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    1. 모든 계수가 0이 되어 버리면 식 (6)의 경계 조건식이 모두 0이 되어 경계 조건이 없는 것과 같습니다. 그래서 의미가 없는 것입니다.

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    2. 그렇군요. 제가 왜 궁금했었냐면,

      wronsikian을 0이 아니게하는 a가 존재하면 그 점에서 유일성이 어떻게 유지되나 싶었는데, 생각해보니 이미 앞에서 선형 상미분 방정식의 유일성과 존재성을 이미 증명 했었네요 OTL..

      감사합니다 ㅎㅎ

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    3. 질문 있습니다 ㅠㅠ
      식 20에서 const가 어떻게 나온지 알려 주실 수 있으신가요 ㅠㅠ


      항상 감사합니다!

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    4. 이것도 궁금하네요 ㅠ

      1.
      아벨의 정리를 풀어쓰자면, ∀x: wronskian[ѱ_m(x),ѱ_n(x)] = C/p(x) = C' 이렇게 되는데, wronskian이 상수가 되려면 p(x)는 상수가 되어야 하는데 왜 꼭 그래야 하는 걸까요. 아, 이게 아무 점 a에 대한 이야기인가요?

      2.
      해의 유일성이 살짝 막히네요 ㅠ
      "식 (11)에 의해 x=a에서 함수 행렬식이 0이므로 x가 정의된 전체 구간에서 식 (20) 첫째줄이 성립한다."
      이 구간이 [a,b] 까지인가요, 아니면 실수 전체인가요?

      http://www.math.ubc.ca/~gustaf/M316/M257_316_2012_Lecture_28.pdf

      Appendix 30.4에 자기 수반성을 부분적분법으로 구하는데, SL 조건(전파거북이님 글에서는 일반화된 경계조건 (6))을 만족하는 두 함수 u,v(여기선 ѱ_m,ѱ_n)가 주어질 경우, 자기 수반성이 성립한다고 하네요.

      아벨의 정리는 당연히 맞을테니, 만약 C' =/= 0일 경우, 의미없는 경계조건을 형성하는 점들이 있을텐데, 이게 걸리네요(∃x: wronskian[ѱ_m(x),ѱ_n(x)] =/=0).

      x가 정의된 모든 구간이 실수 전체라면, 그 구간 내 어떤 점을 찍든 행렬식 = 0이 나와할텐데,
      거기서 살짝 의구심이 드네요..

      다시말하자면, 모든 점에서 SL 조건이 만족된다는 건가요? 으아 이게 a,b에서는 어떻게 정의되는지 알 것 같은데, 다른 모든 점에서 어떻게 적용되는지 모르겠어요 ㅠㅠ

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    5. 1. 식 (20)은 식 (11)로부터 증명됩니다. 식 (20) 아래에 있는 글을 한 번 더 고민해보세요.

      2. p(x)는 상수일 필요는 없습니다. 주어진 미분 방정식에 따라 함수가 될 수 있습니다.

      3. 본문에서 $a$는 경계 조건을 표현하는 점입니다.

      4. 위 증명에서 $x$의 구간은 $[a, b]$이므로 $x$의 범위는 유한합니다. $x$의 범위를 무한으로 확장하면, 고유 함수는 이산적이지 않고 연속이 되어야 합니다.

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    6. 감사합니다 전파거북이님! 덕분에 고지가 조금씩이나마 보이네요 ㅎㅎ
      식 8-1에서 수열이 항상 수렴하는걸 어떻게 알 수 있나요?

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    7. $x$가 취할 수 있는 구간은 유한합니다.

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    8. 감사합니다! 휴. 드디어 다 봤네요! 이제 드디어 완비성으로 갈 수 있게 됐습니다. 퀘스트를 깬 느낌이 나네요!
      좋은 하루 보내세요 전파거북이님!

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    9. 축하합니다. 이재님도 좋은 하루 되세요. ^^

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  26. 오랜만에 들어와서 다시 보는데, 8-1 증명에 있어 x(n)이 특정점으로 수렴한다는게,
    set A: {x|xn, n is integer}, 그리고 set A는 [a,b]의 부분집합 이라고 하면, inf(set A), sup(set A)가 존재하고 bound 되므로 반으로 잘라서 nested loop으로 찾아가면 수렴하는 xn을 찾을 수 있다고 보면 되겠죠?

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    1. 영점을 순서대로 추적하면 정의역이 유한하기 때문에 어느 점에 수렴해야 합니다.위 문장은 이걸 바탕으로 증명하고 있습니다.

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    2. 그냥 a에서 b까지 세어 나가면 b 전에는 수렴점이 있다고 생각하는게 맞겠죠? 무한개니까 골고루 퍼져 있다고 가정해도 b에서 멈추게 되니까..

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    3. 맞습니다. 정의역이 유한하다는 것이 핵심입니다.

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    4. 감사합니다 ㅎㅎ

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  27. 전파거북이님 론스키안이 0이면 서로 종속적인 함수이잖아요. 자기수반성을 만족하면 종속적인 함수인 거구요.해의 유일성에서도 상수배 만큼차이나고요. 근데 어째서 진동정리에서는 고유치가 동일한 독립함수들을 가정하는 건가요?

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    1. 1. 자기 수반성은 경계 조건이 같기 때문에 성립하는 것입니다.

      2. 진동 정리에 나오는 고유치는 서로 다릅니다. 같은 고유치를 다루고 있지 않습니다.

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  28. 다른 글들은 정상적으로 출력되는데 비해, 스투름-리우빌 게시물에 대해서는 모든 이미지와 수식이 깨져서 나옵니다. 미분 방정식을 모두 보려고 하는데 이런 문제가 ㅠㅠ 확인 부탁드리겠습니다~

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    1. 제쪽은 잘 나오는 것 보니까, 아마 구글 블로거의 문제 같습니다. ㅠㅠ

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  29. 기초적일 것 같은 질문입니다. 식 (3)에서 2번째 식의 right hand side에 서 m(x)p(x)dy/dx라는 부분에 왜 p(x)가 갑자기 나오는지 궁금합니다.

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    1. P(x)가 미분 연산자를 대신한다고 보는건가요?

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    2. 아래에 있는 "적분 인자"를 먼저 보고 오세요. 식 (1)과 (2)는 다르게 보이지만 동일한 미분 방정식이라는 것을 증명한 부분이 식 (3)입니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/11/1-solution-of-first-order-linear.html

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  30. 아프켄으로 수리물리하다가 물리포기할뻔한 물리학도입니다. 포스트에 감동받아서 처음으로 글 남겨봅니다 감사합니다

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 저도 스트룸-리우빌 이론을 볼 때마다 감명받습니다.

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  31. 학교에서 Sturm liouville방정식의 고유값에 대한 고유함수끼리 직교성을 가진다는 걸 알았습니다. 한편, 어떤 함수든 벡터공간처럼 직교함수를 통해 표현할 수 있다는 것두요. 궁금한 건 직교성을 가지는 건 sturm liouville의 해인데, 왜 특정 함수를 미분방정식의 해로 나타내는지 모르겠습니다.
    또한, 미분 방정식을 sturm liouville방정식으로 나타내는 이유는 가중치 함수를 찾기 위해선가요??

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    1. 1. 미분 방정식의 해를 연구해서 나온 것이 특정 함수입니다.

      2. 식 (2) 증명에도 있듯이 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현할 수 있는 것이 식 (1)입니다. 식 (1)은 여러 수학 정리 증명에 유용합니다.

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  32. 전파거북이님. 오랜만에 들어와서 글을 남기네요. Rolle's Theorem에 대한 질문인데요. 제가 확실하게 잘 이해했나 확인해주실 수 있으신가요 ㅠㅠ

    식 (26) Rolle's theorem 에서-

    만약, x0과 x1이 Ψ1(x)의 두 연속적인 영점들이고 그 사이에 Ψ2(x)의 영점이 존재하지 않는다면 구간 [x0,x1]ϵξ 에서 적절한 일반화된 경계조건을 찾을 수 있으므로(구간 안에 있는 모든 두 점에 대해 일반화된 경계 조건을 찾을 수 있으므로) W[Ψ1(ξ),Ψ2(ξ)] = 0이 됩니다.

    W[Ψ1(ξ),Ψ2(ξ)]=0이면 식(26)은 0이 되고, 구간 내 영점이 없을 경우 d/dx(Ψ1(x)/Ψ2(x))=d/dx(c)=0 으로 두 함수는 종속적이지만, 만약 Ψ2(ξ)=0이 되는 Ψ2(ξ)의 영점이 존재한다면 Ψ2(ξ)의 영점에서 d/dx(Ψ1(x)/Ψ2(x))=d/dx(c)=0의 역이 성립하므로 두 함수는 독립이 됩니다.



    이 정도면 될까요?

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    1. 아래가 더 분명한 서술입니다.

      1. $\psi_2(x)$의 영점이 해당 구간에 없기 때문에 함수 행렬식이 0입니다.

      2. 함수 행렬식이 0이라면 $\psi_1(x), \psi_2(x)$가 종속이 되는데, 이는 조건에 위배됩니다.

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    2. 감사합니다. 항상 배우고 돌아갑니다

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  33. 항상 감사드립니다. 전파거북이 님의 멋진 설명 덕분에 저처럼 멍청한 공대생도 무언가를 조금이나마 이해하게 되었습니다. 한가지 질문이 있습니다. 이 부분이 이해가 되질 않는데요..
    10. 의 증명에 있어서 람다_n+1 = 람다_n + 1 은 9.를 이용한 것인데요, 9에 의하면 프사이_n+1의 하나 이상의 영점이 프사이_n의 영점 사이에 있어야 할 것이라고 생각됩니다. 그러면 N(람다_n+1) >= N(람다_n) + 1 은 확실히 맞겠습니다만, 어떻게 해서 부등호가 아닌 등호가 성립하게 되는 것인가요?

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    1. Unknown님, 겸손하시네요. ^^

      Unknown님이 말씀하신 것처럼 비교 정리를 이용하면 등호가 아닌 부등호가 될 수도 있습니다
      하지만 비교 정리에서 중요한 것은 어떤 고유 함수의 영점 사이에 다른 고유치를 가진 고유 함수의 영점이 반드시 존재한다는 것입니다.

      이를 이용하면 두 영점($A_m$) 사이에 하나를 초과하는 영점($B_m$)이 있다면, $B_m$ 사이에 다른 고유치를 가진 영점($C_m$)이 있으며 이 영점 개수는 $B_m$보다 하나 적을 수 있습니다. 이를 순서대로 정렬하면 $N(A_m) < N(C_m) < N(B_m)$이므로, 진동 정리에서는 등호가 성립해야 함을 증명할 수 있습니다. (즉 $A_m$ 다음에 $B_m$이 아닌 $C_m$을 찾았어야 순서가 맞습니다.)

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  34. 멍청한 질문일지 모르지만 한가지 질문드리고싶습니다.
    25식에서 8.1 을 증명할때 수렴점 x_c가 경계면 위에는 존재할수없는건가요?
    그런경우에는 피카르의 반복법을 사용하지 못하는거 아닌가요?

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    1. 경계 조건에 의해 경계점 특성은 정확히 규정됩니다. 이게 이론 유도 위한 전제입니다.

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  35. 전파거북이님 도대체 뭐하시는 분인가요;; 교수님이신가요;; 깊은 학식에 정말 경의를 표합니다.
    궁금한게 있는데 스투름-리우빌 미분방정식으로 표현되는 모든 2계 미분방정식의 경우 해를 이용하여 특정 함수의 급수전개가 가능한 이유는 방정식의 해로 나타나는 함수의 orthonogality와 특정함수의 Dirichlet 조건으로 알고 있는데 스투룸-리우빌 방정식의 가중치 함수가 constant 한 경우가 이에 해당되는 건가요?

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    1. 스투름-리우빌 이론은 더 근본적입니다. 미분 방정식이 2차 선형 상미분 형태이고, 경계 조건이 잘 정의된다면, 고유 함수의 무한 급수 전개는 완전하다는 것입니다. 직교성은 부수적으로 얻어지는 성질입니다. (물론 직교성은 완비성과 밀접한 관계가 있습니다.)

      푸리에 급수가 가진 완비성의 본바탕을 탐구하여, 모든 2차 선형 상미분 방정식의 해가 완비성을 만족함을 수학적으로 명확하게 증명한 것이 스투름-리우빌 이론입니다.

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  36. 공업수학을 공부하다가 여기까지 왔습니다 ㅠㅠ 질문 한가지 드려도 될까요? 베셀방정식을 스투룸 리우빌 방정식 form으로 만들다 보면 r(x)=1/x가 나오는데, 정작 베셀함수의 직교성을 보이는 적분식은 x*J_n(x)*J_m(x)이 되잖아요. 결론적인 식을 보면 r(x)=x가 되야할텐데 왜 이렇게 뒤집혀서 나오는지 알 수 있을까요? 부탁드립니다 ㅠㅠ

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    1. 아래 링크 마지막에 관련 내용 있어요. 참고바래요, Unknown님. ^^

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

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  37. 선생님...
    경계점의 미분이 0이므로 y(a),y(b)y(a),y(b)는 0이 되지 않고 경계점 바깥으로 계속 뻗어갈 수 있다.) 에서 경계점 바깥으로 뻗는다는 의미가.. 무엇인지 이해가 안갑니다..
    경계점에서 0으로 수렴해야 되는데 이건 안되서 뻗어 나갈수있다. 결국 0인지점은 따로 있다 이말씀인가요?

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    1. 익명님, 선생님 아니에요. ^^
      경계점에서 함수값이 0으로 한정되지 않고 미분값만 고정된다는 뜻입니다. 미분값만 정해지면 되므로, 기울기가 같은 한 경계점 근방의 함수값은 어떤 값이든 가능해요.

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    2. 감사합니다. ^^ 존경의 뜻을 담아 그렇게 호칭을 말했는데 다음에는 더 정중하게 달겠습니다.

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    3. 익명님, 존경의 뜻을 담을 필요 없어요. 전파거북이라고 부르면 됩니다. :)

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    4. 전파 거북님 그럼 하나만 더 질문 드리겠습니다. 직교성에서는 고유치가 다르다고 했고, 아벨의 정리에서는 고유치가 같다고 했는데, 이것은 각 해당 정리에 만족하는 조건을 주기 위해서 그렇게 설정한 것인가요. 따라서 각 고유치가 그런 조건을 만족할때 해당 정리가 성립한다 이렇게 이해 해도 될까요?

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    5. 맞습니다. 고유치가 다르면 직교성이 성립하고, 고유치가 같으면 아벨 정리가 성립합니다.

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  38. 안녕하세요! 저는 물리학과 학부생인데 그리피스 책으로 Time-independent Equation을 공부하다가 질문드립니다.
    Time-independent Equation의 (infnite) Eigen-Solution set이 L^2 공간의 원소를 모두 생성함을 보이는 것이 목적입니다.
    따라서 선수과정인 이 페이지를 보고 있는데 finite 한 [a,b]에서 구간을 실수 전체로 어떻게 확장해야하는지 감이 잘 오지 않아서 질문드립니다.
    물리학도로서 a,b 자리에 그냥 -∞,∞를 넣고 싶은 마음은 굴뚝같지만 경계조건을 쓸때부터
    y(-∞)=y'(-∞)=0.. 로 넘어가는 것은 수학적으로 옳지 않은 것 같습니다. 어떻게 하면 위 내용을 깔끔하게 [-∞,∞]로 확장이 가능한지 가르침을 부탁드립니다!

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    1. 아 (-∞,∞) 네요ㅋㅋ

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    2. 아래 예시를 보면 충분히 이해하실 거에요. 다만 유한 범위를 무한 범위로 늘린다고 관련 변환이 단순하게 얻어지지는 않아요. 수렴성을 포함한 무한 적분의 특성을 복소 함수론 등으로 증명해야 해요.
      ---
      1. 푸리에 변환(Fourier transform): https://ghebook.blogspot.kr/2012/08/fourier-transform.html
      2. 한켈 변환(Hankel transform): https://ghebook.blogspot.kr/2013/02/hankel-transform.html

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    3. 감사합니다!!!!! 읽다 보니 무한 범위의 경우 복소함수론이 들어가야 한다는 것이 와닿네요..

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  39. 안녕하세요 전파거북이님. 수리물리 공부하다가 찾아보게 되었습니다.
    글 초반부에 모든 2계 선형 미방은 스투름-리우빌 문제로 변형가능하다고 나와있는데, 2계 미방이라하면 lamda 값은 상수로 고정되어있는 경우가 아닌가요? 차라리 2계 선형 미방에 대한 eigenvalue 문제는 모두 스투름-리우빌 문제로 변형가능하다고 이해하는 것이 맞지 않나 궁금합니다.

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    1. 고유치가 미분 방정식을 숫자 하나로 표현해 구별하기 위한 좋은 기법이기는 하지만, 기본은 모든 2차 선형 상미분 방정식을 스투름-리우빌 이론으로 분석하는 거예요. 그래서, 식 (1)은 고유치가 있는 특별한 미분 방정식이지만 사실 일반적인 상미분 방정식인 식
      (2)와 등가라는 게 결론이에요.

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  40. 안녕하세요 좋은 글 잘 감사히 읽었습니다.
    저는 열역학을 공부하고 있는 학생입니다. 수업시간에 교수님께서 separation of variables 를 사용가능한지 살펴보기 위해서는 sturm-liouville 을 알아야한다고 설명하시고 그냥 넘어가셨네요ㅠㅠ
    그래서 관련 자료를 찾다보니, 이게 어떤 조건이 아니라 미분방정식의 일종이라는 것을 깨닫고 약간 혼란스러워졌습니다. 혹시 separation of variables 를 사용할 수 있는 근거와 sturm-liouville theory에 어떤 연관이 있는지 알려주실 수 있나요?

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    1. 안녕하세요, Je Woo Lee님. ^^

      변수 분리법과 스투름-리우빌 이론은 연관성이 있지만, 변수 분리법의 적용 여부를 보기 위한 잣대는 스투름-리우빌 이론과 큰 연관성은 없는 것 같네요.
      오히려 변수 분리법은 직교 좌표계 특성과 밀접히 연결되어 있어요. 어떤 함수를 적절한 직교 좌표계에서 표현할 수 있다면, 변수 분리를 통해 연립 편미분 방정식을 개별 상미분 방정식으로 각각 분리할 수 있어요. 이 상미분 방정식은 대부분 스투름-리우빌 이론으로 해를 구할 수 있고요.

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    2. 아하 그러면 한 다리 건너서 쓸모가 있을 뿐, 직접적인 잣대가 되지는 않는다고 이해하면 되겠군요! 감사합니다!!

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  41. 항상 큰도움 받고 있습니다, 전파거북이님.
    질문하나 드려도 될까요 ~ Sturm's oscillation theorem 에 관한 질문입니다.
    정리에서 고유값을 순서대로 나열할때 인접한 고유값들의 영점의 갯수가 하나씩 커진다는 것이고, 그 증명과정에서 간단한 증명을 위해 가정한 영점 (a < x0 < x1 ... < xm < b --- 인접한 두 고유값중 작은 고윳값에 대한 영점 ) 사이사이에 존재할 큰 고윳값에 대한 영점을 카운트 하는 방식으로 증명하신것이라고 이해하고 있습니다.

    하지만 비교정리에 의하면 큰 고유값을 가지는 고유함수의 영점 사이에 작은 고유값의 고유함수의 영점이 적어도 하나 이상 존재한다는 것이지 단 하나 존재한다는게 아닌것으로 생각됩니다.

    처음엔 이를 비교정리를 거꾸로 생각하는 과정에서 힌트를 얻었다고 생각해서, 비슷한 고유값을 가질때 마치 스투름의 분리정리 처럼 하나의 값을 가지는것으로 이해 할 수 있지 않을까 고민했지만 비슷한 고윳값이라는 표현에 모호함을 느껴 더이상 진행을 할 수 없었습니다. 혹시 이 내용에 대해서 알려주실수 있으신가요 ~?

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    1. Jeongbeom님, 예전에 답했던 댓글(2016년 12월 15일 오후 5:18)을 보시면 해결이 될 것 같아요.

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  42. 푸리에급수의 직교성은 그냥 직접 계산해보면 돼서 괜찮은데, 열전달 공부하다가 무차원기법으로 구한 급수해의 계수구할때 직교성이 이해가 안돼서, 보다 일반화된 스텀-리부에?를 복습하러 왔습니다.
    처음엔 연산자가 익숙하지 않아서 이해가 잘 안됐는데, 계속 보다보니 알겠네요! 수식도 깔끔해서 기억하기도 좋고, 연산자 앞으로 애용해야겠어요 ㅎㅎ
    좋은글 감사합니다~

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    1. 직교성을 이해한 다음에 완비성으로 꼭 넘어가세요. 푸리에 급수의 완비성이 더 핵심입니다.

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  43. 안녕하십니까. 항상 블로그 포스팅에 도움을 많이 받고 있는 전공생입니다.
    다름이 아니라 양자역학을 공부하다가... Schrodinger's Equation이 Strum-Liouville equation과 수학적으로 같은 형태라고 하던데... 어떤 의미가 내포되어 있는지 혹시 알고 계십니까?

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    1. 안녕하세요, 익명님. ^^ 슈뢰딩거 방정식은 기본적으로 파동 방정식이기 때문에 슈뢰딩거 방정식의 모든 해는 스투름-리우빌 이론으로 설명 가능합니다. (다만 변수 분리 조건, 포텐셜 특성 등을 봐야 되겠지만요.)
      문제 풀이에 편리한 좌표계를 먼저 설정한 후 슈뢰딩거 방정식을 변형해 보면 식 (1)의 미분 방정식 범주에 들어감을 확인할 수 있어요.

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  44. 안녕하세요. 항상 많은 도움을 받고 있습니다.
    혹시 (28)에서 두 식의 부호가 다른 것 (or x_0과 x_1에서 psi_1의 미분값이 다른 것)은 (x_0,x_1)에서 psi_1이 영점을 가지지 않고 (+)값을 가지며 영점 근처에서 단순근이기 때문인가요? 아니면 다른 수학적인 이유가 있나요??

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    1. 맞습니다. 단순근임을 증명해야 해서 명제 (8b)가 있어요.

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  45. 5. 의 해의 유일성을 보면 고유치가 동일할 때 경계조건을 만족하는 고유함수들은 상수배만큼 차이나서 독립일 수 없는데

    (8c) 동일한 고유치를 가진 서로 독립인 고유 함수를 ψ1,ψ2라 하자. ψ1의 영점 사이에는 ψ2의 영점이 반드시 하나만 존재한다.

    위 조건의 경우에는 동일한 고유치를 가짐에도 서로 독립이 가능하다고 하는데 혹시 이게 경계조건 유무의 차이인가요?

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    1. 맞습니다. 경계 조건까지 같다면 고유 함수는 서로 독립일 수 없어요.
      경계 조건이 다르기 때문에 독립인 고유 함수가 2개 있어요. 이 경우의 영점 분포 조건이 명제 (8c)입니다.

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    2. 감사합니다. 질문이 더 있는데요.

      고유함수의 완비성을 증명할 때 람다를 무한으로 보내는 방법을 쓰셨는데 8-(a)와 모순되는 게 아닌가요?


      그리고, 8-(c)는 이후 정리에서는 굳이 쓰이지 않는 건가요?

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    3. 1. 좋은 질문입니다. 고유치가 계속 커지기는 하지만 이전 고유치보다 영점이 하나만 많아요. 그래서 명제 (8a)와 모순되지는 않아요.

      2. 명제 (8c)는 두번째 해의 영점 특성만 설명하기 때문에 다른 정리 증명에 쓰이지는 않아요.

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    4. 감사합니다.

      그렇다면 고유치가 무한으로 갈 경우, 고유함수열이 0으로 수렴한다고 봐도 될까요? 텀이 0으로 수렴한다고 하면 직관적으로 summation이 진동하지 않을테니까 완비성과 좀 맞아떨어지는 부분이 있는 것 같네요.

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    5. 다시 생각해봤는데 많이 헷갈리네요.

      푸리에 급수도 고유함수 sum으로 나타낸 해인데.. 함수 자체가 0으로 수렴하진 않으니까요.. 람다가 무한으로 가야 완비성이 증명이 되는데, 람다가 무한으로 갈 경우 고유함수가 0이되는 게 헷갈리네요;; 고유치가 영점이 +1씩 늘어나는 게, 페아노 공리계로 정의한 자연수 집합과 비슷한 거 같은데. 람다가 무한으로 가면 영점의 집합과 자연수 집합 둘의 cardinality가 같지 않을까요.

      그러면 무한으로 갔을 때 고유함수가 8-(a)에 따라서 0이 되어야 하는데, 이 부분이 헷갈리네요;;

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    6. 하나 더 여쭤보자면, finite set의 합집합은 finite인데, 만약 고유함수의 영점이 유한이다 -> 그러면 고유함수 집합이 가질 수 있는 영점들의 합집합은 유한입니다. 그러면 lamda도 무한으로 못 가고 finite 해야 하는데 이 부분이 너무 헷갈리네요;;

      혹시 제가 잘못 이해하고 있는 게 있다면 알려주시면 감사드리겠습니다.

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    7. 익명님이 고민하시는 지점이 집합론의 출발점입니다. 칸토르도 푸리에 급수를 확장한 삼각 함수 급수의 영점에서 무한에 대한 고민을 시작했어요.

      간단히 말하면 우리 논의에서 무한대는 없어요. 논의에 사용하는 고유치는 유한합니다. 현재 고려한 고유치보다 약간 큰 고유치는 영점을 하나 더 가집니다. 이 과정은 계속 반복될 수 있어요. 이게 완비성 증명의 중요한 시작점이에요.
      영점 개수가 계속 커지면 결국 무한대까지 가지만, 우리 논의에서 고유치는 커질 뿐 무한대 고유치를 직접 다루지는 않아요.

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    8. 감사합니다. 왠지 알 것 같기도 한데 아마.. 기분탓이겠죠..;; 더 깊은 곳이 있어보이지만 지금 시점에서 제가 좀 더 깊게 팔 수는 없어서.. 일단 무한대에 대한 논의는 없지만 영점이 하나가 더 커지는 과정(operation)의 존재만으로 완비성 증명이 가능하다는 것까지만 가져가겠습니다. 감사합니다!

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  46. 열전달 듣는데 갑자기 교수님이 ppt에도 없는 내용을 막 해주시는 바람에 추가 이해가 필요해서 검색해보니 아주 좋은 글을 읽게 되었습니다. 댓글 안 달 수가 없어서 달고갑니다~

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    1. 보시고 그냥 가셔도 돼요~~ 댓글 감사해요, 익명님. ^^

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  47. 항상 잘보고 갑니다. 사소하긴 하지만 식(5)의 두번째줄에 [D-lambda r(x)]y=0 에서 y가 대괄호 밖에 있는게 잘 이해가 되지 않아서 댓글 남겨봅니다.

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    1. 연산자 $\mathfrak{D}$와 함수 $y$를 분리해서 연산차를 숫자처럼 쓰니까 처음에는 이상해 보이기는 합니다. 하지만 이런 관점이 연산 미적분학(operational calculus)의 중요한 특징입니다. 연산자를 숫자처럼 취급해 편하게 표기하자는 생각으로 식 (5)처럼 적었어요.
      연산 미적분학의 대표적인 예가 라플라스 변환이나 페이저입니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/10/phasor.html

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  48. 안녕하세요. 궁금한 것이 있습니다. associated Legendre equation 같이 식에 eigenvalue로 삼을(?)만한 상수가 2개가 있는 식은 어떻게 생각해야 하나요? n(n+1)로 표현되는 상수와 m^2으로 표현되는 상수가 있는데 둘중 무엇을 eigenvalue로 삼아야 할지 모르겠어요. 책에서는 n(n+1)을 eigenvalue로 생각하고 나머지 q(x)와 weight function을 결정했는데 반대로는 안될까요?

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    1. 한가지 더 질문있습니다. y''+y=0과 같이 미지 상수 없이 모든것이 명시된 미분방정식 같은 경우는 스텀 리우빌 꼴에서 eigenvalue가 정해진 것으로 보면 되나요?

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    2. 1. 식 (1) 조건만 모두 만족하면, 어떤 경우든 고유치가 될 수 있어요. 아래 링크의 마지막 부분을 보세요. 베셀의 미분 방정식은 두 가지 방법으로 고유치를 정의할 수 있어요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html

      버금 르장드르 함수(associated Legendre function)를 $P_n^m (x)$라 하면, 특이점 때문에 고유치는 $n$만 될 수 있어요. 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2013/02/legendres-differential-equation.html

      2. $y'' + y$ = 0인 미분 방정식도 마찬가지입니다. 식 (1)로 고유치를 정하면 됩니다. 예를 들어 고유치는 1이나 0이 될 수 있어요.

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  49. 안녕하세요. 전파거북이님. 궁금한게 있습니다. (7)~(10) 과정에서 선형 독립인 미분방정식의 두 해를 가지고 논리를 전개했다면 론스키안이 항상 0이 아닐텐고 그러면 경계조건과 상충되는 결과가 나오는것 같다는 생각이 듭니다. 그리고 실제로 self-adjoint form ODE의 론스키안을 직접 계산해보니 W(x)=c/p(x) 꼴로 나왔습니다. 그러면 p(x)W(x)의 곱이 상수가 되서 식 (10)이 만족이 되는데요. 이러면 경계조건을 이야기 하지 않고 론스키안만 가지고 자기수반성을 정의할 수 있을것 같아 보이는데 무엇이 문제인가요??

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    1. 그렇게 되지 않습니다. 반드시 경계 조건이 고정되어야 합니다. 식 (13)을 이용해 식 (17)을 증명합니다.

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    2. 2차 선형 미분방정식의 선형 독립인 해가 2개가 나오니까 식(11)에서 n=m인 경우의 론스키안이 0이 안될수도 있지 않을까 생각했거든요. 그럼 식 (11)이 성립한다는 것은 정규 경계조건을 만족하면 각 고유값에 대응하는 선형 독립인 고유함수는 1개가 되는 건가요?

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    3. 맞습니다. 고유치와 경계 조건이 모두 같으면, 두 고유 함수는 서로 종속입니다. 식 (20)을 참고하세요.

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  50. 안녕하세요 좋은 글 감사드립니다.
    2번의 직교성에서 '두 함수의 선형 독립과 직교의 차이에 대해 설명' 하려면 어떻게 풀어야 할까요 ? 답변 주시면 정말 감사하겠습니다.

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    1. 함수들의 선형 독립성은 식 (9)에 나온 함수 행렬식으로 판정합니다. 아래 링크도 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/10/ordinary-differential-equation.html

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  51. 거북이님 안녕하세요. 2016년 10월 27일에 댓글을 남겼던 공돌이입니다. 5년이나 지난 뒤에 다시 댓글을 또 한번 다네요. 지난 5년간 이것 저것 수학을 공부하다가 다시 한번 미분방정식 공부에 도전했고 이제서야 스트룸 리우빌 문제가 말하는 것이 무엇인지 조금이나마 이해할 수 있게 되었습니다. 지금 보니까 거북이님이 쓰신 글이 정말 정교하고, 어지간한 해외 자료들보다도 더 가치있는 글이라는 것을 알겠습니다. 많은 가르침을 주셔서 감사합니다. 공부에 많은 도움이 됩니다.

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    1. 재방문 감사합니다, 공돌이님. 계속 함께 전진하시죠~~

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  52. 안녕하세요. 전파거북이님. 질문이 있습니다.
    진동정리에서 고유치가 발산함을 증명할 때 영점이 무한히 많아질 수 있기 때문에 고유치가 발산한다고 하셨는데요. 고유치가 이전 값보다 크기만 하면 되니까 영점이 무한히 생겨도 고유치가 어느 한 값으로 수렴할 수도 있지 않나요? 고유값의 간격이 점점 줄어드는 식으로 말이죠.

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    1. 정말 좋은 질문입니다, 익명님 ^^
      스투름의 진동 정리 밑에 설명을 더 붙였어요.

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  53. 안녕하세요. 전파거북이님.
    먼저 공학도로써 정말 필요하지만 평소 찾아보기 힘들었던 이론들이나 이해하기 힘들었던 수학들을 정말 자세하고 알기 쉽게 정리해주셔서 정말 감사합니다.

    실은 질문이 있어서 이렇게 댓글을 남깁니다.
    저는 사실 진동이론에 관심이 많아 진동관련 공부를 하고 정리하던 와중에 Sturm-Liouville의 미분방정식이 필연적으로 등장하는것을 알게 되었습니다.
    그런데 Sturm-Liouville 이론의 행렬 버전이 수학적으로 소개된바 있을까요 ?
    가령, p(x), q(x), r(x)-> nXn matrix, y(x) -> nX1
    혹시 있다면 기존 scalar function으로 정의되던 Sturm-Liouville의 미분방정식의 모든 특성들이 행렬버전에도 모두 성립할까요?
    여기 페이지가 가장 설명도 잘되어 있고, 정말 많이 찾아보았지만 그런 경우는 찾지못해 이렇게 댓글로 남깁니다. 답글 달아주시면 정말 감사하겠습니다!

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    1. 반갑습니다, 거루님 ^^

      미분 방정식으로 행렬을 만들려면, 행렬 만드는 방법을 먼저 생각하셔야 합니다.
      예를 들면, 고유 함수는 완비성이 성립해서 푸리에 급수처럼 임의의 함수 $f(x)$를 고유 함수의 무한 급수로 만들 수 있어요.
      이 무한 급수의 계수를 벡터의 성분이라 가정해서 행렬 방정식을 만들 수 있어요. 전자파 분야에서 이런 방식은 모드 정합법(mode-matching technique)이라 불러요.

      그래서 행렬 생성 방법이 결정나지 않으면 스튀름-리우빌 이론과 비슷할지 안할지는 몰라요.
      위에서 말한 모드 정합법의 경우에는 스튀름-리우빌 이론과 완전히 같지는 않지만 고유 함수와 고유치 특성이 비슷해요.
      - 고유치(위상 상수, phase constant)가 실수
      - 고유 함수(모드의 전자기장 분포)는 서로 직교
      - 모드의 선형 결합으로 모든 전자기장 표현 가능(완비성)

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    2. 답변 감사합니다.

      제가 설명이 짧았네요.. 일단 미분방정식의 형태는 p(x)는 x를 변수로 하는 강성행렬(stiffness matrix)고, r(x)는 질량행렬(mass matrix) 로 표현 됩니다. 두 행렬은 모두 대칭이고, positive definite matrix 입니다.
      positive definite matrix인 것이 p(x)>0, r(x)>0 인 것에 주목을 했고 이러한 성질들을 이용해서 고유치 실수(대칭행렬), 주어진 경계조건에 대해서 고유 모드가 직교임은 수학적으로 보이긴했는데, 완비성을 보이는 것은 쉽지 않더라고요..

      일단 모드 정합법에 대해서 공부한 이후에 추가 질문이 생기면 다시 답변 달도록 하겠습니다!

      답변 정말 감사합니다!

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    3. 무한 급수의 완비성 증명은 어떤 경우든 매우 어려워요. 아래 링크도 참고해서 잘 증명하시길 바래요 ^^
      - 완비성 증명을 위해서는 고유치가 무한하다는 증명이 필요합니다.
      - 이것만 되면 아래 링크와 같은 방식을 써서 완비성을 증명할 수도 있을 겁니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/12/completeness-of-eigenfunctions.html

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    4. 네 정말 감사합니다! 꼭 증명해보도록 하겠습니다~!

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    5. 전파거북이님! 하나 더 궁금한점이 생겨서 이렇게 댓글 남깁니다.

      10. 스튀름 진동정리 증명(영점을 이용하여 고유치가 무한히 증가하며 존재)
      n번째 고유치에 해당하는 함수 f_n의 영점이 예를들어 n개라 가정하면 n+1번째 고유치에 해당하는 함수 f_n+1의 영점은 적어도 n+1개이고, 구간내 영점은 무한히 존재하기 때문에 고유치 또한 무한히 커지면서 무한개 존재할 수 있다. 이렇게 이해됩니다.
      하지만 존재할 수 있는 것을 보인것과 존재 한다는 것은 다른게 아닌가 하여 이렇게 질문을 남깁니다.
      가령 미분방정식을 만족하는 함수가 유한히 존재한다면 위 조건을 만족하면서도 고유치 또한 유한히 존재하는것 아닐까요 ? 아니면 혹시 6번의 두번째 해가 미분방정식을 만족하는 함수가 무한하다는 것을 보인 것인가요 ?

      답변부탁드립니다! 감사합니다!

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    6. 1. 고유 함수와 고유치는 서로 일대일로 대응합니다. 만약 고유 함수가 유한하면 고유치도 그 개수만큼만 있어요.
      또한 유한 차원 조건은 직교성으로 쉽게 분석 가능해서 완비성이 자명해요. 그래서 논의의 초점은 무한 차원에 있어요.

      2. 고유치가 같은 조건으로 얻은 두번째 해는 첫번째 해와 경계 조건이 달라요. 여기서 2계 미분 방정식이라서 가능한 해는 2개만 있어요.

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    7. 답변 감사합니다!
      추가 질문해도될까요 ㅠ

      유한차원의 경우는 예를 들면 n 자유도 진동계에서의 모드해석으로 이해가 됩니다. 차원을 무한히 늘리면 일반적으로 진동모드가 함수로써 형태가 나타나고 고유함수(고유치)가 무한히 존재한다는 것이 물리적으로는 이해는 되지만, 저 미분방정식에서 고유함수(고유치)가 무한히 존재한다는 것이 수학적으로는 잘 이해가 되지 않습니다ㅠ
      위에서 답변드린바와 같이 무한히 존재할 수 있는 조건은 갖췄지만 이것이 무한히 존재한다는것을 보장하는 것은 아니지 않나라는 생각을 했습니다.

      답변 부탁드립니다! 다시 한번 감사합니다!!

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    8. 1. 편미분 방정식을 변수 분리해서 나온 식 (1)과 같은 상미분 방정식의 고유치는 제한 조건이 없습니다.
      원하는 대로 넣을 수 있어요. 그래서 고유치가 무한대라는 걸 증명하지 않아요.

      2. 스튀름–리우빌 이론으로 분석하는 미분 방정식의 예를 보세요. 베셀이든 르장드르 미방이든지, 변수 분리해서 나올 때 조건으로 인해 고유치는 무한하다는 조건에서 시작해요.
      오히려 진동 정리에서 중요한 건, 이 고유치의 하한이 존재한다는 겁니다. 이게 완비성 증명의 시작입니다.

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