탄성에 대한 훅의 법칙(Hooke's Law of Elasticity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "탄성에 대한 훅의 법칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 뉴턴의 운동 법칙

스프링(spring)의 움직임을 물리적으로 기술할 때 사용하는 개념이 탄성에 대한 훅의 법칙(Hooke's law of elasticity)이다. 영국의 물리학자인 훅Robert Hooke(1635–1703)가 1678년훅 43세, 조선 숙종 시절에 발표한 인장력(引張力, tensile force) 혹은 탄성력(彈性力, elastic force)에 대한 법칙이 최초이다.

[그림 1] 스프링의 운동(출처: wikipedia.org)

실제 스프링이 늘어나는 현상은 매우 복잡하지만[∵ 외부 힘에 대해 스프링 내부의 수많은 원자와 전자가 인장력을 만들기 때문에] 문제를 단순화하기 위해 선형 근사(linear approximation)를 사용한다.

                       (1)

여기서 벡터 $\bar x$는 변위(displacement), $k$는 스프링 상수(spring constant)이다. 스프링 상수 $k$는 1차원에 정의된 강성(剛性, stiffness) 혹은 강성 계수(stiffness coefficient)이기도 하다. 점 $x$ = $0$인 상태는 스프링의 복원력이 작용하지 않는 정상 상태이다. 훅의 법칙을 보면 외부 힘에 의해 스프링이 당겨지게 되면[$x$방향] 이 힘과 반대 방향[$-x$방향]으로 반드시 복원력이 작용한다.

[그림 2] 외부 힘에 의한 스프링의 움직임(출처: wikipedia.org)

뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용하여 스프링의 움직임을 예측한다. 외부에서 가해지는 힘(force)을 $\bar F_{\rm in}$이라 하면 아래 미분 방정식(differential equation)이 성립한다.

                       (2)

여기서 $m$은 스프링에 매달린 물체의 질량(mass)이다. 식 (2)를 이해하기 위해 2가지 경우에 대해 식 (2)의 해를 구한다.

[외부 힘이 없는 경우: $\bar F_{\rm in}$ = $0$]

                       (3)

[증명]

미분 방정식 관점으로 식 (3)을 보면 일반해(general solution)를 구하는 문제이다. 식 (3)의 일반해를 가정해서 식 (3)을 풀면 아래와 같다.

                       (4)

여기서 $C_1$, $C_2$는 임의의 상수이다.
______________________________

상수 $C_1$, $C_2$는 초기 조건(initial condition)을 이용해서 결정해야 한다. 결정해야 하는 상수가 2개이므로 초기 조건은 2개가 필요하다.

[외부 힘이 주파수를 가진 경우]

                       (5)

[증명]

식 (5)는 일종의 미분 방정식이므로 일반해와 특수해(particular solution)를 합하여 해를 구할 수 있다. 일반해는 식 (4)와 같으므로 식 (5)의 특수해를 계산한다.

                       (6)
______________________________

식 (4)에 등장하는 $f_0$는 스프링의 공진 주파수(resonant frequency)라고 한다. 식 (6)에서 외부 힘의 주파수를 공진 주파수로 주면 스프링이 움직이는 진폭은 무한대가 된다. 즉, 외부 힘에 의해 스프링은 무한대의 에너지를 얻게 된다. 실제로는 손실이 있어 이렇게 되지 않고 손실에 의해 최대 진폭이 결정되게 된다. 최악의 경우는 가해준 공진 주파수에 의해 스프링이 끊어질 수도 있다.

스프링이 저장하는 위치 에너지(potential energy)는 아래처럼 계산한다.

                       (7)

여기서 $x$ = $0$이 위치 에너지의 기준점[$E$ = $0$]이다. 탄성 한계(elastic limit)를 넘어가는 특성까지 탄성력으로 표현하려면 식 (7)부터 출발해 일반화시킨다. 테일러 급수(Taylor series)는 모든 연속 함수를 멱급수(power series) 형태로 표현할 수 있으므로 식 (7)을 일반적으로 쓰면 다음과 같다.

                       (8)

여기서 선형 근사가 성립하는 탄성 범위(elastic range) 내에서는 $dE/dx|_{x = 0}$은 0이다. 식 (8)을 구배(gradient) 형태로 미분하면 식 (9)와 같은 탄성력을 얻을 수 있다.

     (9)

식 (9)에 제시한 일반화된 훅의 법칙을 유도하기 위해 위치 에너지를 급수 전개했다. 탄성력을 기준으로 급수 전개하지 않았던 이유는 무엇인가? 탄성력과 같은 힘은 현재 순간 순간의 특성을 동적으로 표현하지만, 에너지는 모든 동적이 상태가 종료된 정적인 특성을 표현한다. 그래서 급수 전개의 기준으로 에너지가 힘보다 더 유리하다. 탄성력을 표현할 때 위치 에너지의 미분[$dE/dx|_{x = 0}$]이 0이라고 생각했다. 이 가정은 항상 맞을까? 아니다. 위치 에너지의 미분이 0이 아니라면 중력 같은 일정한 힘이 있다는 뜻이다. 우리는 탄성력에만 관심을 집중했기 때문에 중력과 같은 일정 힘을 무시했을 뿐이다. 이와 같은 논의를 바탕으로 식 (8)을 보면 에너지의 일차 미분은 중력과 같은 일정 힘이며, 에너지의 이차 미분은 스프링 상수($k$)이다.

[다음 읽을거리]
1. 줄에 대한 파동 방정식

2. 로렌츠 진동자 모형