2011년 10월 10일 월요일

탄성에 대한 후크의 법칙(Hooke's law of elasticity)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "후크의 법칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 뉴턴의 운동 법칙


스프링(spring)의 움직임을 물리적으로 기술할 때 사용하는 법칙이 후크의 법칙이다. 영국의 물리학자인 후크(Robert Hooke)가 1678년에 발표한 인장력(引張力, tensile force) 혹은 탄성력(彈性力, elastic force)에 대한 법칙이 최초이다.
[그림 1] 스프링의 운동(출처: wikipedia.org)

실제 스프링이 늘어나는 현상은 매우 복잡하지만(∵ 외부힘에 대해 스프링 내부의 수많은 원자와 전자가 인장력을 만들기 때문에) 문제를 단순화하기 위해 선형 근사(linear approximation)를 사용한다.

                       (1)

여기서 벡터 $\bar x$는 변위(displacement), $k$는 스프링 상수(spring constant)이다. $x = 0$인 상태는 스프링의 복원력이 작용하지 않는 정상상태이다. 외부힘에 의해 스프링이 당겨지게 되면($x$ 방향) 이 힘과 반대 방향($-x$ 방향)으로 반드시 복원력이 작용한다는 것이 후크의 법칙이다.

[그림 2] 외부 힘에 의한 스프링의 움직임(출처: wikipedia.org)

뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용하여 스프링의 움직임을 예측해보자. 외부에서 가해지는 힘(force)을 $\bar F_{\rm in}$이라 하면 아래 미분 방정식(differential equation)이 성립한다.

                       (2)

여기서 $m$은 스프링에 매달린 물체의 질량(mass)이다. 식 (2)를 이해하기 위해 2가지 경우에 대해 식 (2)의 해를 구해보자.

[3. 외부힘이 없는 경우($\bar F_{\rm in} = 0$)]

                       (3)

[증명]
미분 방정식 관점으로 식 (3)을 보면 일반해(general solution)를 구하는 문제이다. 식 (3)의 일반해를 가정해서 식 (3)을 풀면 아래와 같다.

                       (4)

여기서 $C_1$, $C_2$는 임의의 상수이다.
______________________________

상수 $C_1$, $C_2$는 초기 조건(initial condition)을 이용해서 결정해야 한다. 결정해야 하는 상수가 2개이므로 초기 조건은 2개가 필요하다.

[5. 외부힘이 주파수를 가진 경우]

                       (5)

[증명]
식 (5)는 일종의 미분 방정식이므로 일반해와 특수해(particular solution)를 합하여 해를 구할 수 있다. 일반해는 식 (4)와 같으므로 식 (5)의 특수해를 구해보자.

                       (6)
______________________________

식 (4)에 등장하는 $f_0$는 스프링의 공진 주파수(resonant frequency)라고 한다. 식 (6)에서 외부힘의 주파수를 공진 주파수로 주면 스프링이 움직이는 진폭은 무한대가 된다. 즉, 외부힘에 의해 스프링은 무한대의 에너지를 얻게 된다. 실제로는 손실이 있어 이렇게 되지 않고 손실에 의해 최대 진폭이 결정되게 된다. 최악의 경우는 가해준 공진 주파수에 의해 스프링이 끊어질 수도 있다.

스프링이 저장하는 포텐셜 에너지(potential energy)는 아래로 계산된다.

                       (7)

여기서 $x = 0$이 포텐셜 에너지의 기준점($E = 0$)이다.

[다음 읽을거리]
1. 줄에 대한 파동 방정식

댓글 2개 :

  1. 질문이 있습니다. 음...정확하게 어떻게 질문해야하지..
    힘에 관해서인데 보통 저희가 힘이라고 하면 F=ma를 떠올리잖아요?
    그런데 요즘 파인만의 물리학 강의라는 책을 보고 있는데
    선형미분방정식으로 F=ma+cv+kx와 같은 식들이 나오더군요.
    여기서 ma와 cv, kx는 전혀 별개의 힘으로 봐야하나요?
    아니면 ma에서 kx나 cv가 유도가능한 것인지?
    cv는 운동량에서 유도한다고 쳐도 그게 동일한 것인지도 의문이고...
    일단 각각 뉴턴제2법칙, 저항력, 용수철의 복원력 정도로 보고 있습니다만
    이게 정확하게 이해는 잘 가지않네요.
    책을 계속 보긴 할테지만 좀 도움되는 조언을 얻을 수 있으면 좋을 것 같습니다.

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    답글
    1. 탄성력과 견인력은 실험에 기반한 경험 법칙입니다. 물질 내부를 구성하는 분자 특성을 고려해 유도할 수 있을지도 모르지만, 그 관점보다는 눈에 보이는 분명한 현상을 근사적으로
      기술한 것이 탄성력과 견인력 공식입니다.
      뉴턴의 운동 법칙은 경험 기반이기는 하지만, 이 법칙은 에너지/힘/운동량의 관계를 기술하는 더 근본적인 정의입니다.

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