2010년 7월 21일 수요일

구배(勾配, gradient)의 의미



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구배의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 완전 미분
3. 좌표계 기반 벡터
4. 적분법의 의미


이름도 좀 생소한 "구배"는 스칼라 함수의 기울기를 3차원에서 얻기 위한 연산자이다.
수학에서 연산자라 하면 미분, 적분 등이 생각나기 때문에 매우 어려울 것 같지만 기울기의 개념만 제대로 알고 있으면 구배 개념도 어렵지 않다.
구배를 수학적으로 정의하면 식 (1)이 된다.

                         (1)

여기서 삼각형이 뒤집어진 표시(∇)는 델(del: 델타(delta, Δ)와 비슷) 혹은 나블라(nabla, νάβλα: 하프와 비슷하게 생긴 고대 이스라엘과 그리스의 현악기 모양)라고 읽는다.

[그림 1] 나블라의 연주 모습(출처: wikipedia.org)

3차원에서 정의된 스칼라 함수(입력이 3차원의 점이고 출력이 스칼라인 함수)를 $x, y, z$에 대해 편미분하고 이 값을 벡터로 만든 것이 구배 연산자이다.
미분법에서 소개한 대로 미분의 의미중 하나가 기울기를 구하는 것이다. 혹은 꼭대기를 찾아가는 방향을 알려주는 것이 미분이다.
이 개념을 이해하고 있으면 식 (1)은 쉽게 이해된다.
더욱 명시적으로 보기 위해 [그림 2]을 고려하자. 위쪽에 색깔있게 표시된 것이 2차원 스칼라 함수 $f(x, y)$이다. 이 함수에 식 (1)의 구배 연산자를 적용하면 [그림 3]와 같은 기울기 특성을 구해낼 수 있다.
[그림 2] 3차원 공간에 적용한 구배 연산자
[그림 3] 2차원 공간에 투영한 기울기 특성

[그림 3]에 제시한 것처럼 구배 연산자가 만들어낸 벡터를 따라가면 함수 $f(x, y)$의 최고점에 가는 것을 볼 수 있다. 이 점은 [그림 2]와 [그림 3]을 동시에 보면 쉽게 알 수 있다.
이런 관찰을 통해 구배 연산자의 의미를 정상(꼭대기) 검출기(頂上 檢出器, peak detector)로 정할 수 있다. 즉, 임의의 스칼라 함수에 정상 검출기(or 구배 연산자)를 갖다 대면 이 함수의 꼭대기를 찾는 방향을 알려준다. 이 개념이 어려우면 [그림 3]의 그림을 다시 보자. 어떤 위치에서든지 화살표를 따라가면 정상에 갈 수 있다.
[그림 4] $f(x) = -x^2$에 정상 검출기 적용

[그림 4]는 좀더 쉽게 생각하기 위해 정상 검출기의 개념을 1차원에 적용한 것이다.
$x$가 0보다 작은 지점에서 미분하면 [그림 4]에 표시한 것처럼 미분값은 항상 양수이다. 이 미분값에 $x$의 단위 벡터(unit vector)를 곱하면 당연히 구배가 향하는 방향은 $x$축 방향(녹색 화살표)이다.
$x$가 0보다 크면 미분값은 항상 음수가 되어 구배 연산자는 $x$축의 반대 방향(빨간색 화살표)을 가리킨다.
따라서, [그림 4]을 종합적으로 보면 녹색 화살표빨간색 화살표가 가리키는 방향은 함수 $f(x)$의 꼭대기값쪽이 된다.

A line integral sums together elements along a...[그림 5] 선 적분의 개념(출처: wikipedia.org)

구배 연산자가 완전 미분과 결합하면 매우 재미있는 결과가 얻어진다.

              (2)

여기서 벡터 $d \bar l$은 선 미분소(線微分素, differential line)이다. 선 미분소는 방향을 가진 매우 작은 선분의 극한이다.
식 (2)에 제시된 것처럼 완전 미분 $df$는 스칼라 함수 $f$의 구배와 선 미분소의 내적으로 표현할 수 있다.
식 (2)를 선 적분(線積分, line integral)하면 식 (3)을 얻을 수 있다.

                         (3)

선 적분은 [그림 5]처럼 주어진 선(그림에서 파란색 곡선)을 따라 적분을 하는 것이다.
식 (3)이 의미하는 것은 적분 경로에 관계없이 공간 벡터 $\bar r_1, \bar r_2$가 결정되면 적분값이 같다는 것이다. 이 조건이 성립하면 적분 경로는 우리가 편한대로 택하면 된다.


[그림 6] 벡터 함수의 개념(출처: wikipedia.org)

식 (3)처럼 피적분 함수가 벡터 함수(입력이 3차원의 점이고 출력이 벡터인 함수)이고 내적 개념으로 적분한다는 것은 선 적분 경로를 따라 나타나는 벡터 함수의 출력 중에서 선 적분 경로의 방향과 일치하는 것(이것이 내적 개념)만 모은 것이다.
[그림 6]은 벡터 함수의 개념을 설명한다. 예를 들어 [그림 6]과 같이 구 표면상에 3차원 점이 정의되어 있고 각 점에 대해 빨간색의 벡터가 출력으로 정의되어 있으면 벡터 함수라고 한다.
만약 공간 벡터 $\bar r_2 = \bar r_1$이면(시작점과 끝점이 같으면), 식 (4)가 성립한다.

                         (4)

여기서 적분 기호에 동그라미가 있는 것은 적분의 시작점과 끝점이 같다는 의미이다. 식 (4)가 성립하면 적분 경로에 관계없이 0이 되므로 수학적으로 아름다운 결과가 된다.

구배 연산자는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다고 했다. 그러면 구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라 함수가 변하지 않는 방향(벡터 $\bar t$로 정의)이 되어야 한다. (혹은 미분 개념으로는 기울기가 0이 되는 지점이다. 이 점에서 함수값은 최대나 최소가 된다.)
내적 개념으로 접근하면 이런 특성은 식 (5)로 표현할 수 있다.

                         (5)

스칼라 함수 $f$가 변하지 않는 방향이 벡터 $\bar t$라는 것을 표현한 것이 식 (5)라는 것을 어떻게 증명할까? 어렵지 않다. 완전 미분을 적용하면 쉽게 식 (5)가 증명된다.
벡터 $\bar t$의 방향을 바꾸지 않으면서도 그 크기를 줄이기 위해 선 미분소 $dl$을 곱한다.

                         (6)

스칼라 함수 $f$의 미분소 $df$가 0이므로 이 근방에서 함수값은 변하지 않는다. 다른 말로 하면, 이 방향에 수직인 방향으로 가면 내적의 정의에 의해 함수값은 최대로 변하게 된다. 이렇게 최대로 변하는 방향이 구배 연산자가 표현하는 방향이다.

[다음 읽을거리]
1. 발산의 의미
2. 회전의 의미
3. 벡터 항등식
4. 텐서 미적분학

댓글 57개 :

  1. 구배를 gradient 라고도 읽는다고 들었습니다.

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    답글
    1. 예, 맞습니다.
      영어를 좋아하는 사람들은 '그레이디언트'라고도 하지만 저는 가능하면 한글로 쓰려고 해서 생략했습니다.

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  2. 위 내용 중에 식 5를 표현하는 내용에서요

    구배 연산자는 스칼라함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다고 했다. ==> 접선
    그러면 구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라함수가 변하지 않는 방향(벡터 t로 정의)이 되어야 한다. ==>접선에 직각인 법선
    식 5가 scalar product되어, COS 90도 = 0
    이런 의미 인가요?

    스칼라함수가 변하지 않는 방향 이란 것은 그림 2로 말하면 동그르미 모양을 의미 하는 것인가요?

    ____
    곰유

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    1. 접선과 법선이라 하기는 조금 애매한 면이 있지만 말씀하신 내용은 맞습니다.

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    2. 감사드립니다

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  3. 위 식 6에서
    = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂x)dy
    = 3df

    df가 어차피 0에 가가운 값이므로 0

    이렇게 되는거 맞지요?
    _____
    곰유

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    답글
    1. 아닙니다. 완전 미분을 참고하시면 위 결과는 $df$가 되어야 합니다.

      극한을 취하여 $df$가 0이 된다고 생각할 수 있지만 미분소(differential)는 적분을 염두에 두고 쓴다는 것을 기억하세요. ^^

      식 (6)에서 $df = 0$이 되는 것은 식 (5) 때문입니다.

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    2. 헉 T.T 다시 보아야 겠네요. 감사드립니다.

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  4. = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂x)dy
    = df
    라는게 식 (2)에 나와 있네요. (죄송 ... )

    식(6)에서 df=0이 되는 것은 식 (5) 를 증명하기 위함 일거 같은데요.
    그럼 혹시 이미 미분해서 얻은 df를 적분하면, 그림2와 같이 폐곡선 이므로, 시작점과 끝점이 같으므로 적분하면 0이 된다.

    이렇게 되는 건가요?
    _____
    전파곰







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    답글
    1. 아닙니다. 식 (5)를 가정하면 식 (6)의 결과인 $df = 0$이 얻어진다는 것입니다.
      식 (5)는 증명한 것이 아니고 논지를 전개하기 위한 가정입니다.

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    2. 아~ 관련식 에서부터 마지막까지는 머리속에서 그려지지가 않네요. T.T

      환상적인 주말 되십시오.

      _____
      전파곰

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  5. 머리속에 그림은 그려지는데, 그림을 그리다가 갑자기 좀 헷갈리기 시작하는 부분이 있습니다.
    "구배 연산자는 스칼라함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다고 했다.~" <==식(5)설명
    그런데 아래 link 그림을 예로 든다면,

    http://blog.daum.net/share_like_bear/31

    점 P에서의 법선방향이 점R인데, 오히려 최대경사는 Q입니다.
    재가 기본정의에서 무엇을 잘 간과하고 있는 걸까요?

    _____
    전파곰

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    답글
    1. 그림에 있는 스칼라 함수의 간격을 크게 그려서 그렇게 느끼는 것 뿐입니다. ^^
      우리가 다루는 것은 미분소라는 것을 기억하세요.

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    2. 처음 답변을 보고 OTL
      ( 이건 또 몬소리일까? T.T )
      한참 생각했습니다. ㅋㅋ

      아 이해가 간듯하긴 한데요. 확인차 다시 여쭙으면요. 표현이 정확하지는 않지만,
      P와 R사이에 등고선을 좀더 촘촘히 하면, 법선방향이 경사가 가장 심한 R 방향이 된다는 거지요?

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    3. 예 맞습니다. 간격을 좁히면 법선 방향쪽이 가장 짧습니다.

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    4. 감사용
      어떤분이 댓글 남기신거 처럼 저도 전파거북이님이
      "너무 행복해서 비명을 지를정도로 행복하셨으면 좋겠습니다."

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  6. 안녕하세요 잘 보고 갑니다 ^^
    질문이 있어서 그런데요... 그림4에 보면 -ㅣxㅣ 에서 절대값을 빼야 하지 않을까요?
    굳이 절대값을 붙인게 궁금합니다

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    1. 값을 명확하게 하기 위해서입니다, $|x| \ge 0$이 반드시 성립하니까요! ^^

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  7. 제가 구배에 대해 이해한것이 맞나 궁금해서 질문드립니다.

    스칼라함수를 구배하게 되면 3차원에서 기울기 벡터가 나오는데 이 기울기 벡터의 크기는 기울기의 정도를 의미하고 기울기 벡터의 방향이 최대로 변하는 정상 방향을 향한다. 이거 맞나요?

    좋은 자료 감사합니다.

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    답글
    1. 방문 감사합니다, 익명님. 제대로 이해하셨네요. ^^

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  8. 좋은 글 잘봤습니다 정말 많은 도움이 되었습니다.
    그래도.. 제가 이해한 것이 맞는지 헷갈려서 몇 가지 질문 드립니다..

    1. 위 그림3은 z=f(x,y) 로 독립변수 x와 y의 값에 따른 높이z 를 보여주기 쉽게 나타낸 것인가요? (우리가 흔히 눈으로 시각적으로만 보는 3차원.. 예를들어 산의높이라던지..)

    2. 그림3에서 독립변수 x,y의 미분소에 대한 높이z(=f)의 기울기벡터는
    del(f) = (∂f/∂x)ax + (∂f/∂y)ay 이고(여기서 ax, ay는 단위벡터)
    이 스칼라함수의 기울기벡터와 미소선분소와의 내적은 계산에 의해
    df=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy 가 되는데
    여기서 완전미분의 개념을 빌리자면, http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/exact-differential.html
    여기서의 그림1을 보면 f(x,y)에서 f(x+delta x, y+delta y) 까지 가는 길은 두가지 라고 말하셨는데 사실 무수히 많은 길이 존재하지만 단지 이해하기 편하시라고 적어주신 건지 확신이 서질 않습니다.
    만약 무수히 많은 길이 존재한다는 것이 맞다면 어느 경로를 택해도 df의 적분은 경로의 처음과 끝값에 의해서만 결정되고, 어느 경로의 df를 적분해도 처음과 끝값이 같다면 적분값이 같아진다. 그렇다면 위링크의 그림1에서 f(x,y)에서 f(x+delta x, y+delta y)를 바로 직선으로 잇는 방향이 구배의 방향이 되는 것인가요?

    3. 그리고 위의 구배연산자에서 (∂f/∂z)az를 추가한다는 것은.. 예를들어 3차원이라는 공간이 있는데 이 공간에서 무언가의 장(field)이 존재하게 될때의(눈에 보이지 않는) 그 장의 방향이 가장 크게 변하는 방향을 구하는 것인가요?

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    1. 댓글을 오늘 봤네요. 늦게 답해서 죄송합니다. ^^

      1. 맞습니다.

      2. 이해를 쉽게 하기 위한 것이 아니고 수학적으로 증명해서 말한 것입니다. 수학적으로 완전합니다.
      구배의 방향은 값이 최대로 변하는 지점이므로 $f(x, y)$와 $f(x+dx, y+dy)$를 잇는 방향인 것은 아닙니다. 값의 변화를 추적해야 합니다.

      3. 맞습니다.

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  9. 질문 있습니다
    그림 4 설명 부분을 곰곰히 생각 해봤는데요, 왜 y=-x^2을 x로 편미분을 하면 절댓값 x가 나오나요?
    -2x 아닌가요... 정말 기초적인 것을 여쭤봐서 죄송합니다..

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    1. 에고, 틀렸네요. 오류 지적 정말 감사합니다, 익명님. ^^ 바로 수정했습니다.

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  10. 쓰신글 잘 보고있습니다. 궁금한게 한가지 있는데요 식 3에서 선적분시 두개의 공간백터r1,r2가 주어지면 선벡터의 경로는 맘대로 정해도 된다고 하셨는데 그러면 그림 5는 적어도 두개의 공간벡터가 주어지면 의미가 없는게 아닌가요?

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    1. [그림 5]는 선적분을 보여주고 있을 뿐입니다. 말씀하신 대로 시작점과 끝점이 주어지면 어떤 경로로 가든지 적분값은 동일합니다.

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  11. 안녕하세요. 좋은 글 감사합니다.

    마지막 부분에 df=0이라는게 f값이 t벡터 방향으로는 값의 변화가 없다는 의미인가요??
    맞다면 t방향으로 선을 주욱 이으면 등고선 라인을 의미하는게 되네요.
    결국 t방향으로의 적분(t선상의 선적분)은 항상 0이 되네요.
    교수님 표현을 빌리자면 우아하네요

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  12. 질문있습니다.
    1. 출력이 벡터인 함수에 델 연산자를 취할경우 그러면 원본 함수의 자코비안행렬이 되는건가요?
    2. 글 내용대로라면 임의의 두 점(p1,p2)가 있다고 할 때, 경로에 상관없이 그 지점으로 가는 경로상의 화살표의 크기와 dl의 내적을 쌓아올리면 결국 두 지점의 고저차가 된다는 이야기인가요? 제가 맞게 이해한건지 잘 모르겠습니다.

    늘 좋은 글 감사드립니다.

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    1. 1. 구배 연산자는 미분을 벡터 영역으로 확대한 경우이므로 반드시 스칼라 함수에 대해 연산자를 적용해야 합니다.

      2. 맞습니다, 익명님. ^^

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  13. 날마다 배움의 기쁨을 주시네요...너무너무 감사합니다. 기회가 된다면? 꼭 한번 만나 뵙고 싶습니다.(__)

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    1. 김택중님, 방문 감사합니다. ^^ 블로그에서 계속 만나시죠. :-)

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  14. EM Turtle님
    식(4)에서 식(5)로 넘어가는 구절에서..
    "구배 연산자는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다고 했다. 그러면 구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라 함수가 변하지 않는 방향(벡터 t¯로 정의)이 되어야 한다."
    구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라 함수가 변하지 않는 방향이어야 한다는 말을 조금 더 설명해 주실 수 있으신지요?

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    1. 등고선을 생각해보세요. 높이가 변하는 방향에 수직인 방향은 높이가 동일한 방향이므로, 구배에 대한 개념과 딱 들어맞습니다.

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  15. 항상 좋은글 너무 잘 보고있습니다.
    질문있습니다.

    구배연산자가 말씀하신거와 같이 peak detector로 정의할수 있다고 하셨는데, 그럼 예를 들어서 "전계는 마이너스 그레디언트 V" 에서 전위차의 구배연산자를 사용하면 (-)에서 (+)방향이 되고 식앞에 마이너스가 있기 때문에 그 반대방향인 (+)에서 (-)방향이 되므로 전계의 방향이 (+)에서 (-)로 된다. 라고 이해를 하면 되는건가요????

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    답글
    1. 방문 감사합니다, 박권일님. ^^

      맞는 말씀입니다.
      첨언하자면 여기서의 방향은 기준 방향입니다. 구배 연산자의 기준 방향이 (-)에서 (+)방향인데, 앞에 (-)부호가 붙으면 (+)에서 (-)가 기준 방향이 됩니다.

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  16. 계속 구배 부분을 공부하다가 모르는 것이 있어 질문드립니다.

    구배 연산자가 "가장 많이 변화하는 방향"을 나타내는 벡터임은 알겠습니다.

    그런데, 왜 구배 연산자가 수학적으로"최댓값을 향하는 방향"을 취하는 지 이해가 잘 되지 않습니다. ㅠㅠ

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    답글
    1. 식 (5)가 그 증명입니다. 미분으로 따지면 기울기가 0이 되는 지점입니다.

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    2. 기울기가 0이 되는 지점은 '극점'으로 알고 있습니다.
      즉, 최댓값이 될 '가능성'이 있는 지점이 아닌가요?

      그리고 위 식 (5)에서 df=0을 만족하는 벡터 t와의 내적의 결과가 0이려면,
      최댓값의 방향으로도 갈 수 있지만,
      반대로 최솟값의 방향으로 가도 그 내적의 결과가 0이 나온다고 생각하고 있습니다. ㅠㅠ

      제가 어느 부분을 잘못 생각하고 있는지를 찾아내지 못하고 있네요.

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    3. 구배에서는 최대값이 되도록 단위 벡터의 방향을 정합니다. 예를 들면 $x$축 기준으로 기울기가 (+)라면 $+\hat x$, 기울기가 (-)라면 $-\hat x$가 됩니다. 잘 보면 단위 벡터가 향하는 방향은 모두 함수값이 커지는 방향입니다. 즉 최대 방향이 되는 것이죠.

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    4. 무슨 말씀인지 알겠습니다!! 감사합니다!! :)

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  17. 그림2 색그림이 2차원f(x,y)함수 그림입니까?

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    1. 네, 함수의 크기를 색깔로 표현한 그림입니다. 그래서 3차원으로 그렸습니다.

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  18. 요즘 전에 봤던 걸 다시 리뷰하고 있는데요, 구배에 대해 질문이 있습니다.
    옛날에 배웠을 때는 당연하다고 생각하고 넘어갔었는데, 다시 생각해보니까 헷갈리더라구요.

    왜 구배가 가장 큰 기울기를 가르킬까.. 유도 해보려고 했거든요.

    가장 쉬운 증명은 식 (2)의 df가 최대값이 될 때, 그러니까 del(f)와 dl의 방향이 같을 때인데, 순환논법 같거든요. 여기서 우리가 알 수 있는 건 dl과 del(f)의 방향이 같을 때 df가 최대값을 가진다는 거지, 결국 dl의 유닛벡터 값이 어느 방향인지, 그게 왜 최대값을 가르키는지를 다시 알아봐야 하니까요.

    혹시 n차원에서 유도한 걸 어디서 찾을 수 있을까요.

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    1. 식 (5) 주변의 문장을 참고하세요, 이재님. ^^

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  19. 두 유사한 선형의 곡선이 있을때 곡률, 구배, 높이값의 유사성을 증명하려면 어떻게 정량화 해야 할까요? 예를들면 도면상의 선형을 따서 그린것과 실제 측량한것의 유사성이요

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    1. 더 구체적으로 설명하셔야 문제를 이해할 수 있을 것 같네요. 구배는 기울기이므로 높이와는 밀접하다 볼 수 있는데요, 곡률은 원의 반지름과 관계있어 구배와 약간 거리가 있습니다.

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  20. 좋은글 감사합니다. 정말로 많은 도움이 됐습니다.
    몇가지 질문이 있습니다.

    식(5) , 식 (6)은 함수가 a지점에서 미분가능하고 극값(최대값, 최소값)을 가질 때 f의 도함수가 a점에서 0이 되는것을 구배로 표현한 것인가요?
    그리고 구배가 a지점에서 곡면이 최대로 기울어지는 방향과 힘을 보여주는 이유는 만일 z=f(x,y) 를 a점에서 전미분 했다 하면
    dz=fx(dx)+fy(dy) 이건 a점에서 f의 접평면을 나타내는걸로 아는데 이때 이 값은 f의 실제 오차를 일정범위 에서 가장 잘 표현했다고 하더라구요. 그런데 f를 구배하면, (fx,fy,-1)이 되는데 이 벡터는 접평면 dz=fx(dx)+fy(dy) 의 법선벡터로 표현되기 때문인가요?

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    1. $f(x, y)$라는 함수를 사용했기 때문에 2차원 구배입니다. 3차원이라면 $f(x, y, z)$라 정의해 구배 연산자를 적용해야 합니다.

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    2. 저..... 그.. 어떤 책에선 음함수로 본 다음 구배를 적용하던데, 그렇게 하는건 안되나요?
      예를 들자면, z=f(x,y)를
      F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 으로 두고 계산하는 책도 있더라구요.....
      아니라면 어디가 잘못됐는지 알려주실수 있을까요?
      부탁드립니다...

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    3. 둘 다 가능합니다. $z = f(x,y)$라 표현하면 일반 표면의 방정식이 됩니다. $F(x,y,z)$는 함수값까지 포함해 4차원을 표현하고요.

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  21. 선적분의 정의와 응용에 대해서도 포스팅 해 주신다면 무한히 감사드리겠습니다. m(__)m 꾸벅

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    1. 기회되면 해보겠습니다, 익명님. ^^

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  22. 안녕하세요. 수학 초짜입니다..

    글 열심히 읽어보았는데,
    구배(gradient)의 개념을 어떤 지점에서 정상(?)에 오르기 위한 지름길 방향을
    (지름길이 직선 거리를 말하는게 아니라 그 함수 상에서...)
    표시해주는 벡터라고 이해했는데요... 맞는지 모르겠네요...

    만일 정상이 두 곳이라면 어떻게 되나요 ?

    [그림 2]로 예를 들면, 파란색 부분이 빨간색 부분처럼 위로 치솟아 있고,
    그 정상 값이 빨간 부분과 같을 경우 또는 미세하게 작을 경우
    이런 경우 gradient를 구해서 2차원 평면에 투영시키면 어떤 모양으로 나올지
    잘 모르겠습니다..

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    답글
    1. 정상이 두 개인 경우도 각각의 구배를 계산해 벡터 합을 구하면 됩니다.

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