텐서 미적분학(Tensor Calculus)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "텐서 미적분학"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 행렬
2. 행렬식
3. 텐서
4. 텐서와 좌표 변환

5. 행렬 미적분학

[그림 1] 일반 좌표계의 모양(출처: wikipedia.org)

좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)을 특징으로 하는 텐서(tensor) 개념을 기반으로 벡터 미적분학(vector calculus or vector analysis)이 좌표계 불변이 되도록 해보자. 벡터 미적분학의 중요 연산자는 구배(勾配, gradient), 발산(發散, divergence), 회전(回轉, curl), 라플라시안(Laplacian)이다. 공변 벡터(共變, covariant vector) $\bar a_i$와 반변 벡터(反變, contravariant vector) $\bar a^i$를 이용해서 벡터 함수 $\bar F$를 [그림 1]과 같은 일반 좌표계(generalized or curvilinear coordinate system) $U$에서 정의하면 아래와 같다.

                       (1)

여기서 $f^i, f_i$는 각각 공변과 반변 벡터가 기저 벡터(basis vector)인 경우의 좌표값이다. 식 (2)에 제시한 계량 텐서(計量, metric tensor) $g_{ij}$를 이용하면 공변과 반변 관계를 아래와 같이 상호 변환할 수 있다.

                         (2)

                       (3)

벡터 미적분학을 텐서 관점으로 표현하려면 미분소(differential)에 대한 새로운 정의가 필요하다. 선 미분소(differential line) $ds$는 아래로 정의한다.

                         (4)

                         (5)

면적 미분소(differential area) $d\bar a$는 선 미분소 $ds$의 벡터 외적(outer product)으로 정의한다.

                         (6)

여기서 공변 벡터와 반변 벡터는 다음과 같은 벡터 외적 관계를 가진다.

                (7a)

                         (7b)

식 (6)의 면적 미분소 크기는 계량 텐서를 이용해 아래처럼 계산할 수 있다.

             (8)

식 (8)에서 $2 \times 2$ 계량 텐서가 만드는 행렬의 행렬식(determinant)이 면적 미분소에 관련되는 부분은 재미있다. 식 (8) 계산에는 아래와 같은 벡터 내적(inner product)과 외적 공식이 활용된다.

                         (9)

                         (10)

예를 들어 식 (9)를 이용하면 식 (7)의 첫째식을 계산할 수 있다.

                         (11)

부피 미분소(differential volume) $dv$의 관계식 유도는 쉽지 않다. 아래에서 단계적으로 증명한다.

[부피 미분소와 좌표 변환]

                  (12)

여기서 $\mathcal{G}$[= $|g_{ij}|$]는 계량 텐서 행렬 $g_{ij}$의 행렬식(determinant)이다.

[증명]

좌표 변환은 데카르트 좌표계 $X$에서 일반 좌표계 $U$로 일어난다. 식 (5)를 식 (12)에 대입하면 아래식을 얻는다.

                         (13)

식 (12)가 증명되기 위해서는 식 (13)에 있는 공변 벡터 $\bar a_1$, $\bar a_2$, $\bar a_3$가 구성하는 체적을 계산하면 된다. 공변 벡터 정의인 식 (14)를 변형하면 식 (15)에 있는 벡터 변환식을 얻을 수 있다.

                          (14)

                 (15)

여기서 ${\bf J}_{x,u}$는 좌표 변환의 일대일 대응 조건을 만족하는 야코비 행렬(Jacobian matrix)이다. 식 (15)의 야코비 행렬은 식 (16) 야코비 행렬의 역행렬로 정의한다.

                         (16)

행렬식의 기하학적 의미에 의해 식 (15)의 행렬식을 구하면 3차원 좌표계의 방향성 있는 부피를 구할 수 있다.

                           (17)

여기서 행렬의 곱셈은 다음 행렬식 관계를 만족한다.

                         (18)

식 (17)에서 $V_x = 1$이라 두면[예를 들어 $X$가 데카르트 좌표계이면 모든 기저 벡터(basis vector)가 서로 수직이므로 $V_x = 1$이 성립한다.] 식 (12)를 증명할 준비가 된다. 식 (17)의 야코비 행렬식(Jacobian)을 식 (3)의 계량 텐서와 연결시키기 위해 식 (19)의 행렬식을 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)를 이용해 표현한다.

                          (19)

                          (20)

식 (20)에 있는 행렬 $\bf A$는 $3\times 3$ 행렬이다. 계량 텐서 $g_{ij}$에 대해 좌표 변환을 적용한 후 얻게 되는 계량 텐서 $\widetilde{g}_{ij}$의 행렬식 $\widetilde{\mathcal{G}}$를 얻기 위해 식 (20)을 사용해보자. 그러면 야코비 행렬식 $\mathcal{J}$와 계량 텐서 행렬식 $\mathcal{G}$의 관계를 다음처럼 얻을 수 있다.

                         (21)

여기서 $\mathcal{J}_{x,u}$는 좌표계 $X, U$의 야코비 행렬식, $g_{ij}$는 좌표계 $X$의 계량 텐서, $\widetilde{g}_{ij}$는 좌표계 $U$의 계량 텐서, $\mathcal{G}$는 $X$의 계량 텐서 행렬식, $\widetilde{\mathcal{G}}$는 $U$의 계량 텐서 행렬식이다.[오른손 좌표계라 가정하면 식 (17)에 의해 $\mathcal{J}_{x,u}$ 부호는 (+)가 된다. 그래서 식 (21)의 제곱근 부호는 편의상 (+)로 택한다. 만약 왼손 좌표계라면 $\mathcal{J}_{x,u}$ 부호는 (-)가 된다.] 계량 텐서 $\widetilde{g}_{ij}$와  $g_{lm}$은 아래와 같은 좌표 변환을 가진다.

                            (22)

식 (21)의 좌표 변환을 데카르트 좌표계 $X$에서 일반 좌표계 $U$로 가는 변환으로 적용하면 데카르트 좌표계의 계량 텐서는 크로네커 델타(Kronecker delta)이므로 데카르트 좌표계 계량텐서의 행렬식은 1이 되어 식 (12)가 증명된다. 식 (21)은 계량 텐서 뿐만 아니라 모든 2차 텐서에 적용되는 유용한 공식이다. 식 (21)이 성립하기 때문에 식 (16)을 확인하기 위해 야코비 행렬식을 계산할 필요는 없고 계량 텐서의 행렬식이 0인가 여부를 따지면 된다. $X$가 데카르트 좌표계가 아니면 어떻게 되는가? 이 문제를 풀기 위해 다음처럼 식 (17)과 (21)을 종합해보자.

                          (23)

식 (23)은 기저 벡터가 이루는 체적이 계량 텐서의 제곱근과 같음을 의미한다. 즉, 체적과 계량 텐서 제곱근 비율은 항상 1이다.[∵ 데카르트 좌표계에서 $V_x = 1$, $\mathcal{G} = 1$이 항상 성립하므로 임의의 좌표계에서 체적과 계량 텐서 제곱근의 비율은 항상 1이 된다.]

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식 (12) 혹은 (23)은 완전 미분(exact differential)과 좌표 변환만을 이용해서 더 쉽게 증명할 수도 있다. 이상의 개념을 바탕으로 벡터 미적분학의 중요 연산자를 일반 좌표계로 확장해보자.

[구배 연산자의 일반화]

                          (24)

[증명]

구배 연산자는 데카르트 좌표계에서 다음 형태를 가진다.

                         (25)

식 (24)에 완전 미분 관계식을 적용하면 다음을 증명할 수 있다.

                         (26)

여기서 반변 벡터는 아래처럼 정의한다.

                         (27)

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발산과 회전 연산자도 식 (26)처럼 증명하면 될 것 같지만 전혀 그렇지 않다. 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955) 같은 천재가 나는 수학에 재능이 없다는 고백을 할 정도로 복잡한 수학이 텐서 미적분학이다. 텐서 미적분학은 이제부터 시작한다. 포기하지 말라! 참고 견디면 더 새로운 세상을 자유롭게 볼 수 있다.

벡터 함수 미분의 어려움을 알기 위해 식 (1)을 일반 좌표계 $U$에서 미분해 보도록 하자[1].

                        (28)

식 (28)의 우변 둘째 항은 공변 벡터의 미분이어서 식 (28)의 계산이 매우 복잡해진다. 그래서 새로운 기호를 다음처럼 정의한다.

                        (29)

식 (29)를 식 (28)에 대입하면 아래 식을 얻을 수 있다.

                        (30)

식 (30)의 우변은 반변 벡터의 공변 도함수(covariant derivative of contravariant vector)[쉽게 생각하면 공변 도함수는 방향 도함수(directional derivative)의 일반화]라고 한다. 반변 벡터의 공변 도함수를 이용해서 식 (30)을 매우 간단히 공식화할 수 있다.

                        (31)

식 (31)에 등장한 $\Gamma_{jk}^i$는 제2종 크리스토펠 기호(Christoffel symbol of the second kind)라고 한다. 제1종 크리스토펠 기호(Christoffel symbol of the first kind)는 아래처럼 정의한다.

                        (32)

공변 벡터는 3차원 공간의 기저 함수(basis function)라서 식 (31)은 분명히 잘 성립한다. 그래서 식 (31)을 완벽히 완성하려면, 제2종 크리스토펠 기호의 쉬운 표현식을 찾아야 한다. 먼저 공변과 반변 벡터를 이용해 크리스토펠 기호를 다시 정의해보자.

                        (33)

식 (33)으로부터 크리스토펠 기호의 대칭성을 증명할 수 있다.

                       (34)

식 (33)과 (34)를 이용하면 크리스토펠 기호의 표현식을 쉽게 찾을 수 있다[1].

                       (35)

                       (36)

식 (31)에 있는 공변 도함수가 텐서량이기 위해서는 좌표 불변성이 성립해야 한다[1]. 크리스토펠 기호를 사용해서 복잡하게 공변 도함수를 정의했기 때문에 좌표 불변성은 당연히 성립할 것 같다. 이 추론이 진짜 성립하는지 식 (37)을 통해 알아보도록 하자. 공변 도함수의 좌표 불변성을 유도해보면 식 (35)와 (36)이 내포하고 있는 크리스토펠 기호의 진정한 의미를 찾을 수 있다.

                       (37)

식 (37)에서 최종식의 둘째 항은 2계 미분(the second order differentiation)을 포함하고 있기 때문에 텐서가 아니다.[혹은 좌표 불변성을 만족하지 못한다. 완전 미분을 적용한 후 2계 미분을 하면 원래식과 전혀 다른 형태가 된다.] 그런데 신기하게도 제2종 크리스토펠 기호의 변환 때문에 이 항은 상쇄되어 공변 도함수는 좌표불변성을 만족한다. 즉, 식 (37)에서 최종식의 셋째 항은 다음과 같이 변환된다.

                        (38)

여기서 제2종 크리스토펠 기호[= $\Gamma_{jk}^i$]의 좌표 변환 증명은 식 (44)에 제시되어 있다. 또한 식 (38)에서 최종식의 둘째 항은 다음과 등가이다.

                       (39)

식 (38)과 (39)를 식 (37)에 대입하면 반변 벡터에 대한 공변 도함수의 최종 좌표 변환식을 얻을 수 있다[1].

                       (40)

반변 벡터에 대한 공변 도함수는 텐서 관계를 만족하므로 좌표 불변성을 가진 텐서량이 된다.

식 (38)에서 사용한 제2종 크리스토펠 기호의 좌표 변환식을 유도하기 위해 식 (22)를 기반으로 계량 텐서 미분의 좌표 변환을 고려하자[1].

                       (41)

식 (41)도 2계 미분을 포함하기 때문에 계량 텐서 미분은 텐서량이 아니다. 식 (41)의 지표를 바꾸고 계량 텐서의 대칭성을 이용하면 다음을 얻는다.

             (42)

식 (41)과 (42)를 식 (35)에 대입해서 제1종 크리스토펠 기호의 좌표 변환을 구해보자.

                   (43)

식 (43)에도 2계 미분이 있기 때문에 제1종 크리스토펠 기호는 텐서량이 아니다. 식 (36)에 식 (43)과 (22)를 대입하면 제2종 크리스토펠 기호의 좌표 변환을 구할 수 있다.

                  (44)

식 (44)에 출현한 2계 미분으로 인해 제2종 크리스토펠 기호도 텐서량은 아니다.

식 (28)과 (30)을 이용하면, 식 (46)의 오른쪽 식에 있는 공변 벡터의 공변 도함수(covariant derivative of covariant vector)를 정의할 수 있다.

                  (45)

                  (46)

식 (46)의 오른쪽 식에 표현한 공변 벡터의 공변 도함수는 텐서량이다. 왜냐하면 식 (40)에 의해 벡터 함수 $\bar F$의 미분[식 (46)에 있는 오른쪽 식의 좌변]은 텐서량이기 때문에 공변 벡터의 공변 도함수[식 (46)에 있는 오른쪽 식의 우변]도 텐서량이어야 한다. 식 (31)과 (46)으로 정의한 공변 도함수를 이용하여 일반 좌표계 $U$의 기저를 이루는 반변과 공변 벡터의 미분을 구해보자.

                  (47)

신기하게도 반변과 공변 기저 벡터의 미분은 항상 0이 된다. 미분이 0이라는 의미는 $u^j$ 방향으로 미분할 때 변동이 없다는 뜻이므로, 공변 도함수를 이용하면 일반 좌표계 $U$의 미분을 마치 데카르트 좌표계의 미분과 동일하게 할 수 있다.[∵ 데카르트 좌표계에서는 기저 벡터의 미분은 항상 0이 된다. 즉, 기저 벡터는 바뀌지 않는다.]

일반 좌표계 $U$에서도 식 (48)의 데카르트 좌표계 델(del, $\nabla$: $\Delta$와 비슷) 혹은 나블라(nabla: 이스라엘의 고대 현악기 모양)를 정의할 수 있을까? 이게 되면 구배, 발산, 회전, 라플라시안을 일반 좌표계로 쉽게 확장할 수 있다.

                  (48)

일반 좌표계로 식 (48)이 확장되려면 미분의 의미를 가지면서 좌표 불변성을 가진 텐서량이어야 한다. 그래서, 식 (31)을 바탕으로 텐서 델 혹은 나블라 연산자를 아래와 같이 두 가지 방법으로 재정의한다.

                  (49a)

                  (49b)

식 (49a)은 구배, 발산, 라플라시안 연산자를 일반화할 때 유용하게 사용할 수 있지만 회전 연산자에서는 식 (53a)처럼 문제를 발생시킨다. 그래서, 연산자 일반화에는 식 (49b)를 사용해야 한다. 식 (49)는 식 (48)처럼 철저히 연산자 입장에서 봐야 한다. 즉, 식 (49)를 현재 모양대로 계산하면 안되고 텐서 델 연산자에 함수를 적용한 후 텐서 연산으로 계산해야 한다. 좌표계를 데카르트로 정하면 식 (49a)에서 식 (48)이 자동적으로 얻어진다. 예를 들어 $\bar a^1$에 대해 계산하면 아래와 같다.

                  (50)

식 (49a)와 식 (47)의 첫째 식을 이용해 구배 연산자인 식 (24)를 다시 유도하면 아래와 같다.

                  (51a)

식 (49b)를 이용해도 식 (51a)와 동일한 결과를 얻을 수 있다.

                  (51b)

여기서 공변 도함수의 원래 정의인 식 (31)과 (46)을 고려하면 $\nabla_i \phi$는 $\partial \phi / \partial u^i$로 정의된다. 새로운 델 정의인 식 (49)를 이용하여 회전과 발산 연산자를 일반화해보자.

[회전 연산자의 일반화]

                  (52)

[증명]

회전 연산자를 일반화 시키기 위해 새로운 텐서 델 연산자 정의인 식 (49a)와 반변 벡터의 공변 도함수 정의인 식 (31)을 사용하자. 그러면 회전 연산자는 다음처럼 변형된다.

                  (53a)

식 (53a) 유도에서 텐서 델 연산자를 구성하는 반변 벡터 $\bar a^i$를 다시 공변 도함수[= $\nabla_i$]로 편미분하는 과정이 생겨서 문제가 된다. 따라서 식 (49b)와 공변 벡터의 공변 도함수 정의인 식 (46)을 이용하여 다음을 얻는다.

                  (53b)

식 (53) 증명에 아래 공변과 반변 벡터 관계를 이용하였다.

                           (54)

또한, 식 (53a)의 마지막식과 식 (53b)의 첫째식에서 공변 도함수[= $\nabla_i$]가 편미분[= $\partial / \partial u^i$]으로 바뀌는 부분을 이해하기 위해 아래 예[$k = 1$]를 보자.

                           (55)

식 (53a)와 (53b)가 정확한지 보려면 좌표 불변성을 확인해보면 된다. 먼저 식 (21)을 이용해 식 (53)에 출현한 레비-치비타 기호 $\varepsilon_{ijk}$와 계량 텐서 행렬식 $\mathcal{G}$의 나눗셈이 텐서량인지 확인해보자.

                           (56)

여기서 $\mathcal{G}$는 계량 텐서 $g_{ij}$의 행렬식,  $g_{ij}$는 좌표계 $U$의 계량 텐서, $\mathcal{\widetilde{G}}$는 계량 텐서 $\widetilde{g}_{i'j'}$의 행렬식,  $\widetilde{g}_{i'j'}$는 좌표계 $V$의 계량 텐서이다. 식 (56)을 통해 레비-치비타 기호 $\varepsilon_{ijk}$와 계량 텐서 행렬식 $\mathcal{G}$의 나눗셈은 텐서량임을 확인할 수 있다. 식 (56)은 레비-치비타 기호를 텐서로 바꾼 양이므로 새롭게 아래처럼 텐서 레비-치비타 기호로 정의하자.

                           (57)

식 (53b)의 마지막 부분도 아래처럼 텐서량이 됨을 확인할 수 있다.

                           (58)

따라서, 식 (53b)는 좌표 불변성이 있으므로 회전 연산자를 텐서적으로 확장한 형태가 된다. 하지만 식 (53a)는 $u^i$에 대한 편미분 속에 $\mathcal{G}$이 있으므로 텐서량이 되지 못한다. 그래서, 식 (53a)는 좌표 불변성이 없으므로 회전 연산자의 확장형이 될 수 없다.

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[발산 연산자의 일반화: 포스–바일 공식(Voss–Weyl formula)]

                           (59)

[증명]

발산 연산자를 새로운 텐서 델 정의인 식 (49a) 관점으로 쓰면 아래와 같다.

                           (60a)

식 (49b)를 이용해도 위와 동일한 결과를 얻을 수 있다.

                           (60b)

식 (60)의 마지막식을 변형해 최종 결과인 식 (59)로 만들기는 단순하지 않다 [1]. 먼저 식 (60)에 있는 제2종 크리스토펠 기호를 간략화 해보자.

                           (61)

 반변과 공변 계량 텐서는 아래와 같은 역행렬 관계를 가진다.

                         (62)

또한, 역행렬은 행렬식(determinant)과 여인자(cofactor)를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.

                       (63)

식 (61)–(63)을 식 (60)에 대입해 제2종 크리스토펠 기호가 있는 항만 정리하면 다음을 얻는다.

                       (64)

여기서 ${\rm cof}(\cdot­)$는 여인자이다. 식 (64)를 간략화하기 위해 행렬식의 미분을 계산해보자[1].

                       (65)

여기서 첫째줄은 완전 미분을 이용한 지표 $i,j$에 대한 이중 합(double sum)을 뜻한다. 식 (65) 유도에는 아래에 제시한 행렬식의 정의를 사용하였다.

                       (66)

식 (65) 증명에서 계량 텐서 $g_{ik}$는 $g_{ij}$와 같을 수도 연관이 없을 수도 있다. 그래서, 식 (65)의 마지막식에 크로네커 델타 $\delta_{kj}$가 출현한다. 또한, 여인자 ${\rm cof}(g_{ik})$는 $g_{ij}$와 절대 같을 수가 없다.[∵ ${\rm cof}(g_{ik})$는 $i$행을 제외하고 계산한 행렬식이기 때문에 $g_{ij}$를 포함하지 않는다.] 식 (65)를 식 (64)에 대입하여 식 (60)을 계산하면 식 (59)가 증명된다.

                       (67)

식 (65)는 야코비 공식(Jacobi's formula)으로 알려진 행렬식 미분에 대한 매우 유명한 공식이다.

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지금까지 증명한 발산 연산자의 일반화는 회전이나 구배 연산자 일반화와는 비교가 되지 않을 정도로 유도 과정이 매우 난해하다. 하지만 최종 결과는 매우 단순해서 아름답다. 식 (59)의 이름은 포스–바일 공식(Voss–Weyl formula)이다. 공식 이름에 들어가 있는 포스Aurel Edmund Voss(1845–1931)는 텐서의 초기 기여자 중 한 명이다.

[라플라시안의 일반화]

                       (68)

[증명]

                       (69)
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험난한 과정이지만 좌표 불변성 기반의 텐서를 이용하여 일반 좌표계에서 구배, 발산, 회전, 라플라시안을 사용할 수 있게 되었다. 즉, 일반 좌표계에서 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)과 같은 미분 방정식을 표현할 수 있다. 여기서 다룬 개념을 좀더 확장하면 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)이 심혈을 기울여 제안한 일반 상대성 이론(general theory of relativity)의 핵심부에 도달할 수 있다[2], [3]. 수학적으로 보면 텐서는 좌표계 표현을 위한 고상한 표기법일 뿐이지만 이런 좌표 변환에 물리적 개념을 결합하면 매우 값어치 있는 결과를 만들어낼 수 있다. 텐서를 이용한 결과물 중 대표적인 이론은 중력장을 이해하기 위한 일반 상대성 이론이다. 최근에 나온 투명 망토(invisibility cloak) 개념도 아인슈타인이 제안한 개념에서 크게 벗어나지 않는다.

[참고문헌]

[1] D. A. Clarke, A Primer on Tensor Calculus, 2011.
[2] E. Bertschinger, Introduction to Tensor Calculus for General Relativity, Massachusetts Institute of Technology, 1999.
[3] J. H. Heinbockel, Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, 2001.

[다음 읽을거리]
1. 직교 좌표계 텐서 미적분학
2. 텐서를 이용한 맥스웰 방정식
3. 변환 전자기학