2010년 7월 12일 월요일

완전 미분(完全微分, exact differential)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "완전 미분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미


미분적분학에 필수적으로 등장하는 완전 미분이라는 개념은 미적분 입문자에게는 이해하기 생소한 개념이다. 여기서 함수 $f$의 미분소(微分素, differential) $df$가 존재할 때를 완전 미분이라 하고 $df$가 존재하지 않으면 불완전 미분(inexact differential)이라 한다.
굳이 "완전"이라는 표현을 쓴 것은 이 함수 미분소 $df$를 식 (1)과 같이 선적분(線積分, line integral)했을 때 경로에 관계없이(or 경로를 마음대로 택하더라도) 시작점($\bar r_{\rm begin}$)과 끝점($\bar r_{\rm end}$)의 함수값에만 전체 적분값이 영향을 받기 때문이다. 이런 특성은 수학자들이 좋아하는 완전한 특성인 것이다.

                         (1)

이 완전 미분 개념은 전기장(電氣場, electric field)을 이용하여 전압(電壓, voltage)을 정의할 때 유용하게 쓰인다.

[그림 1] 완전 미분의 기하학적 의미

독립 변수가 $x$처럼 한 개인 경우는 $df = A(x)dx$라 했을 때 $A(x) = df/dx$가 성립하여 당연히 완전 미분이 된다. 즉, 일변수 함수인 경우는 모든 미분이 필연적으로 완전 미분이 된다.
하지만 독립 변수가 $x, y$처럼 두 개인 경우는 생각을 좀 더 해야 한다.
먼저 쉽게 생각하기 위해 차분(差分, difference) $\Delta f$를 생각하자. 그러면 식 (2)가 성립한다.

           (2)

식 (2)의 공식을 기하학적으로 표현한 것이 [그림 1]이다. 갈색은 $x$에 대한 변화이며 녹색은 $y$에 대한 변화이다. $f(x, y)$에서 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 가는 변화율 $\Delta f$는 $x$와 $y$ 변화율로 표현할 수 있는 것을 [그림 1]에서 확인할 수 있다.
즉, $f(x, y)$는 그림상 원점에 위치해 있고 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$는 대각선 위치에 있으므로 원점에서 대각선점으로 가는 방법은 갈색($x$축 변화율)을 거쳐 녹색($y$축 변화율)으로 가는 방법과 녹색($y$축 변화율)을 거쳐 갈색($x$축 변화율)으로 가는 방법이 있다.
이 두 가지 방법은 동일한 점 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 연결되어 있다. 또한, [그림 1]과 식 (2)가 표현하는 것처럼 $x$축 변화율과 $y$축 변화율의 합으로 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$를 표현할 수 있다.
식 (2)에서 차분값 $\Delta x, \Delta y$가 0으로 가는 극한을 취하면

                         (3)

여기서 $\partial$는 편미분(偏微分, partial differentiation)을 나타내는 기호이며 $d$를 둥글게 썼다고 해서 "둥근(round)"이라고 읽는다. 식 (3)을 고려하면 $A(x, y)$와 $B(x, y)$는 다음 조건식 (4)를 만족해야 한다.

                         (4)

식 (4) 조건은 식 (3)과 같은 완전 미분이 되기 위한 조건임을 다음처럼 증명할 수 있다.

[5. 완전 미분의 조건]
함수 $A(x, y)$와 $B(x, y)$가 완전 미분을 만족할 조건은 다음과 같다.

                 (5)

[증명]
식 (5)의 좌변이 우변이 되기 위한 충분 조건임은 쉽게 증명 가능하므로, 필요 조건 부분을 유도하자. 함수 $A(x, y)$는 임의로 설정 가능하므로, 다음처럼 함수 $B(x, y)$를 구하자.

                         (6)

여기서 $C(y)$는 $x$에 대한 적분의 상수항이며, 일변수이므로 완전 미분이 된다. 따라서, 식 (6)의 결과를 조건에 대입하면 완전 미분이 되는 것을 알 수 있다.
______________________________

식 (3)을 이용하여 독립변수가 $N$개인 함수에 대한 완전 미분은 식 (7)로 정의할 수 있다.

                         (7)

식 (5)의 증명 방법을 발전시키면 좌표 변환(座標變換, coordinate transformation) 관점의 완전 미분 공식을 만들어 낼 수 있다.
예를 들어, 아래와 같은 $(x', y')$에서 $(x, y)$로 가는 2차원 좌표 변환을 고려하자.

                      (8)

이 경우 함수 $f$의 편미분은 아래로 표현할 수 있다.

                         (9)

왜 식 (9)가 성립하는지에 대한 증명은 식 (2)와 매우 비슷하다. 예를 들어 식 (9)의 첫번째 편미분을 증명해보자.

                         (10)

식 (8)에서 $x+\Delta x$는 좌표계 $(x', y')$ 관점에서 아래로 표현할 수 있다.

                         (11)

식 (9)를 식 (10)에 대입한 후 식 (2)의 개념을 쓰면 식 (9)의 첫번째 편미분을 식 (12)를 통해 얻을 수 있다.

   (12)

식 (9)을 좀더 멋있게 표현하려면 행렬(行列, matrix)을 도입하면 된다.

                         (13)

식 (13)에서 $(x, y)$로 표현된 미분식을 $(x', y')$ 미분식으로 표현해 주는 행렬을 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 부른다.

사실 완전 미분의 개념은 좌표계에만 국한될 필요는 없다. 함수 $f(x)$를 새로운 변수 $a_1, a_2, \cdots, a_N$으로 치환하면 함수 $f(x)$의 미분은 아래로 정의할 수 있다.

                      (14)

식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다.

                  (15)

식 (15)로 표현된 완전 미분 방정식은 완전 미분 개념을 이용해 해를 매우 쉽게 구할 수 있다.

                      (16)

[다음 읽을거리]
1. 구배의 의미
2. 패러데이의 전자기 유도 법칙
3. 복소 함수론의 이해
4. 텐서와 좌표 변환

댓글 24개 :

  1. 수식이 잘못되지 않았나 조심스레 질문해보아요..
    f=f(x,y)이고 x=x(x',y')일때
    라운드f/라운드x'=라운드f/라운드x X 라운드x/라운드x' 아닐까요?;

    위에질문 다시 수정해요~^^

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    1. 댓글 감사합니다. ^^

      다시 한 번 봤는데 수식 (7)은 문제가 없습니다.
      (x, y)로 표현된 미분을 (x', y')의 미분으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

      질문하신 식은 식 (7)의 반대식입니다. 즉, (x', y')로 표현된 미분을 (x, y)에 대한 미분으로 바꿀 수도 있습니다. 이 부분은 야코비 행렬의 행렬식이 0만 아니면 서로 가역적입니다.

      혹시 식 (6)을 꺼림직하게 생각하실 수도 있어 수식을 약간 바꾸었습니다.

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    2. 후아..ㅎㅎ 댓글 남겨놓고 몇개월 후에 다시와제 제가 남겨논 철없던 댓글을 확인하네요; 이제는 거북이님 글 보면 깔끔하게 이해되는 제 자신을 보면서 참 열심히 공부했다는 생각이 들어 뿌듯하기도 해요 ㅎㅎ 감사해요^^

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    3. 다시 방문해 주신 거네요. 감사합니다. ^^ 열심히 공부하세요.

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  2. 기초적인 질문인데요.

    1. 각각 미분해서 더하는 것은 vector 합성과 같은 거 같은데요.
    편미분은 vertor나 좌표를 복소수로평면에서만 가능한건가요?

    2. 식 3에서 식 4가 왜 만족해야 하는건가요?

    ____
    곰유

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    1. 1. 식 (2)를 이야기하신 것이면 단순한 더하기 빼기입니다. 복잡한 내용은 필요없습니다.

      2. 식 (4)의 가장 우변을 보면 바로 보일 것입니다. 편미분 $x, y$를 바꾼 것 뿐이라 반드시 같아야 합니다.

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    2. 너무 기초적인 것인거 같은데, ... T.T

      편미분 x,y를 바꾼 것 뿐이라 반드시 같아야 합니다. <--무슨 말씀이신지 몰라서요.ㅠ.ㅠ

      ∂(round)

      2-1. ∂^2 은 편미분을 한번 더하는 것을 의미 하는 건가요?
      ∂∂f = (∂^2)f 인건가요?
      2-2. 한번 해보았는, 맞는 지 좀 봐주시면, ...

      식 3에서

      A(x,y) = ∂f/∂x
      B(x,y) = ∂f/∂y

      라고 하고, 각각 편미분을 한번씩 더하면

      ∂A(x,y)/∂y = ∂∂f/∂x∂y
      ∂B(x,y)/∂x = ∂∂f/∂x∂y

      이렇게 해서 식 4가 되어야 되는 건가요?
      ____
      곰유

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    3. 밑도 끝도 없이 보면서 상상한거라, ... .

      1. [그림 1] 완전 미분의 기학학적 의미에서 보면,
      1-1. 우선 갈색으고 가고 녹색으로 가는 경로를 하나 선택하면요.
      마치 x로 한번 미분하고 것(x')을 ,
      이것을 다시 y로 한번 한번 더 미분 한거(y[x']')와 더한거,
      x'+y[x']' 마치 vector 합으로 보이고,

      1-2. x축위의 갈색(x')와 y축위 녹색(y')을 vector 합해서 한거 같이 보여서요.
      x'+y'

      그래서 이게 vector 기반 or 복수수기반 좌표계에서만 성립을 되는 것이 아닐까?
      하는 상상을 해보았는데, 아닌가 보네요.

      ____
      곰유

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    4. 그렇게 볼 수도 있겠네요. ^^ 하지만 기반은 더하기 빼기입니다.

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  3. 혹시 7번식 우측 각항에 1/2이 붙어야 하지 않나요?

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    1. 붙으면 안됩니다. 완전 미분인 식 (2) 관점으로 쓴 것이라서요.

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  4. 긴글 재미있게 봤습니다.
    하나 재밌는 점은 텐서의 one form과 위의 식(5)이 유사하군요.
    같은 건가요?

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    1. 방문 감사합니다, 이준화님. ^^
      비슷하기는 하지만 텐서 관점에서 일차 형식(one-form)과 완전 미분은 다릅니다. 텐서의 일차 형식은 공변 벡터로 사용합니다.

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  5. silly question 하나 할께요. 완전미분방정식에서 df=0 (즉,f가 상수)일 때만 가능한가요 ? f가 상수가 아니면 어떻게 되는 것인가요 ?

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    1. 완전 미분은 $df = 0$ 여부와는 관계 없습니다. 함수 $f$의 미분이 $df$로 표현될 수 있으면 완전 미분입니다.

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  6. 미분방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 이 있습니다.

    이 방정식이 완전미분방정식이 되기위한 조건이 ∂M/∂y=∂N/∂x 임을 알고있습니다.

    그리고 이 방정식을 푸는 과정에서
    M(x,y)에 대해 du/dx=M(x,y)를 만족시키는 이변수함수 u가 존재한다.
    N(x,y)에 대해 du/dy=N(x,y) 를 만족시키는 이변수함수 u가 존재한다.
    라고 처음에 가정을 합니다.

    그렇게 되면 미분방정식은 ∂u/∂x + ∂u/∂y=0 이 됩니다.
    제가 궁금한 것은 ∂M/∂y=∂N/∂x 이 조건을 만족하면

    du=∂u/∂x + ∂u/∂y=0라고 할 수 있는데 완미방 조건을 만족하는 것이랑 du가 생기는 것이랑 무슨 상관있는지 궁금합니다. 그리고 저 조건의 실질적인 뜻을 알고싶습니다. 이변수함수를 x에 대해서 편미분하고 y에 대해서 편미분한 식이랑 이변수함수를 y에 대해서 편미분하고 x에대해서 편미분한 식이 같다는 말은

    순서를 달리해서 미분했다 이말인데 순서를 달리해서 미분하는게 du가 존재할 조건이랑 무슨 상관이있는지 모르겠습니다.

    제가 궁금한 것은
    1. 왜 완전미분 방정식이여야지 du 가 존재하느냐입니다. 왜 완전미분방정식이여야지
    du=∂u/∂x + ∂u/∂y=0으로 놓고풀수있수있는 것이냐입니다. 그리고 그 완전미분방정식이 되기위한 조건의 실질적인 뜻을 알고싶습니다! 표면적인뜻은 편미분하는 순서를 달리했다는 것인데 실질적인 뜻이 궁금하며 또한 du가 존재하는 것이랑 무슨 상관관계가있는지 궁금합니다.

    2. 방정식을 푸는 과정에서 du/dx=M(x,y)이면 u=인테그랄M(x,y)dx+k(y)=C(상수)라고 놓지않습니까?
    근데 u함수가 상수함수이면 애초부터 du/dx와 du/dy가 0이 되는 것아닙니까???

    정말 좋은 게시물들 감사히 잘읽고있습니다.
    저도 전파거북이님 처럼 다른 사람에게 도움을 줄수있는 사람이되고싶습니다!
    답변해주시면 정말 감사하겠습니다.

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    답글
    1. 익명님, 내용을 일부 추가한다고 댓글에 시간이 걸렸습니다.

      0. 일단 완전 미분을 이해하고 싶으면 [그림 1]과 같은 기하학적 의미를 생각해야 합니다.

      1. 완전 미분이란 단어에 너무 몰입하지 마세요. 수학적으로 조건이 너무 아름다워 완전하다란 말을 붙인 것 뿐입니다. 즉, 식 (3)과 같은 조건을 완전 미분이라 부르고, 기하학적으로는 함수가 [그림 1]처럼 변했다는 것입니다.

      2. 새로 추가한 식 (6)을 보세요. ^^

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  7. 복소해석학 관련해서 찾아보다가 들어오게되었습니다. 다른 글들도 읽어봤고 최근에 댓글 쓰시는 것도 보고 존경하는 마음으로 댓글씁니다.
    저는 올해 수학교육괴에 진학하게된 새내기입니다. 수학을 정말 좋아하고 또 빠른 시일내에 교사가 되는 것을 바라서 조기졸업 후 임용합격이라는 어떻게보면 지나친 목표를 가지고 있습니다. 대학 수학 내용의 난해함이나 어려움에대한 두려움도 있지만 새로운 것을 배울 생각에 굉장히 설레는 마음도 가득합니다. 이런 저에게 수학공부법이나 마음가짐에대해 간단한 조언을 부탁드려도 될까요?

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    1. 새내기가 복소 해석학을 보시려면 어려우실 수도 있는데, 대단하시네요, 조은상님. ^^

      수학을 좋아하신다니 좋은 수학 교사가 되실 것 같습니다. 열심히 공부하셔서 학생들에게 희망을 주는 교사가 되길 바랍니다.
      수학 공부법은 특별한 것이 있을까요? 열심히 하는 수밖에요. 다만 수학 공부하는 목표가 좀더 고상해야 하지 않을까요. 점수 따기보다는 수학의 즐거움과 위대함을 이해하는 쪽에 더 중심이 가야 한다고 생각합니다.

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    2. 오... 정말 감사합니다. 이렇게 답글까지 달아주셔서 저는 정말 감동받았습니다. 수학의 위대함을 조금이나마 더 이해하도록 열심히 노력해야겠습니다. 앞으로 자주들리겠습니다. 이번 한 해는 항상 좋은일만 가득하시길 바랍니다..!

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  8. 좋은글 감사합니다.
    한가지 궁금한게 있습니다.
    식(3) df=A(x,y)dx+B(x,y)dy 에서 dx,dy는 미분소 인가요?? 아니면 단지 x와y의 적당한 증분 인가요??

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    1. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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