2010년 7월 12일 월요일

완전 미분(完全微分, Exact Differential)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "완전 미분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


미분적분학에 필수적으로 등장하는 완전 미분(完全微分, exact differential)이라는 개념은 미적분 입문자에게는 이해하기 생소한 개념이다. 여기서 함수 $f$의 미분소(微分素, differential) $df$가 존재할 때를 완전 미분이라 하고 $df$가 존재하지 않으면 불완전 미분(inexact differential)이라 한다. 굳이 완전이라는 표현을 쓴 이유는 함수 미분소 $df$를 식 (1)과 같이 선 적분(線積分, line integral)했을 때 경로에 관계없이[혹은 경로를 마음대로 택하더라도] 시작점($\bar r_{\rm begin}$)과 끝점($\bar r_{\rm end}$)의 함수값에만 전체 적분값이 영향을 받기 때문이다. 이런 특성은 수학자가 좋아하는 완전한 특성이다.

                         (1)

이 완전 미분 개념은 전기장(電氣場, electric field)을 이용하여 전압(電壓, voltage)을 정의할 때 유용하게 쓰인다.

[그림 1] 완전 미분의 기하학적 의미

독립 변수가 $x$처럼 한 개인 경우는 $df = A(x)dx$라 했을 때 $A(x) = df/dx$가 성립하여 당연히 완전 미분이 된다. 즉, 일변수 함수인 경우는 모든 미분이 필연적으로 완전 미분이 된다. 하지만 독립 변수가 $x, y$처럼 두 개인 경우는 생각을 좀 더 해야 한다. 먼저 쉽게 생각하기 위해 차분(差分, difference) $\Delta f$를 생각하자. 그러면 식 (2)가 성립한다.

           (2)

식 (2)의 공식을 기하학적으로 표현하면 [그림 1]이 된다. 갈색은 $x$에 대한 변화이며 녹색은 $y$에 대한 변화이다. $f(x, y)$에서 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 가는 변화율 $\Delta f$는 $x$와 $y$ 변화율로 표현할 수 있음을 [그림 1]에서 확인할 수 있다. 즉, $f(x, y)$는 그림상 원점에 위치해 있고 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$는 대각선 위치에 있으므로 원점에서 대각선점으로 가는 방법은 갈색[$x$축 변화율]을 거쳐 녹색[$y$축 변화율]으로 가는 방법과 녹색[$y$축 변화율]을 거쳐 갈색[$x$축 변화율]으로 가는 방법이 있다. 이 두 가지 방법은 동일한 점 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$로 연결되어 있다. 또한, [그림 1]과 식 (2)처럼 $x$축 변화율과 $y$축 변화율의 합으로 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)$를 표현할 수 있다. 식 (2)에서 차분값 $\Delta x, \Delta y$가 0으로 가는 극한을 취하면

                         (3)

여기서 $\partial$는 편미분(偏微分, partial differentiation)을 나타내는 기호이며 $d$를 둥글게 썼다고 해서 둥근(round)이라고 읽는다. 식 (3)을 고려하면 $A(x, y)$와 $B(x, y)$는 다음 조건식 (4)를 만족해야 한다.

                         (4)

예를 들어 $A(x, y) = y,~B(x, y) = x$는 완전 미분 조건을 만족하므로 $f(x, y) = xy + C$로 쓸 수 있다. 반면 $A(x, y) = y^2,~B(x, y) = x^2$라면 단일 $f(x, y)$로 표현하는 건 불가능하므로, $df$가 존재하지 않아서 불완전 미분이 된다.
식 (4) 조건은 식 (3)과 같은 완전 미분이 되기 위한 조건임을 다음처럼 증명할 수 있다.

[완전 미분의 조건]
함수 $A(x, y)$와 $B(x, y)$가 완전 미분을 만족할 조건은 다음과 같다.

                 (5)

[증명]
식 (5)의 좌변이 우변이 되기 위한 충분 조건임은 쉽게 증명 가능하므로, 필요 조건 부분을 유도하자. 함수 $A(x, y)$는 임의로 설정 가능하므로, 다음처럼 함수 $B(x, y)$를 구하자.

                         (6)

여기서 $C(y)$는 $x$에 대한 적분의 상수항이며, 일변수이므로 완전 미분이 된다. 따라서, 식 (6)의 결과를 조건에 대입하면 완전 미분이 됨을 알 수 있다.
______________________________

식 (3)을 이용하여 독립 변수가 $N$개인 함수에 대한 완전 미분은 아래처럼 정의할 수 있다.

                         (7)

식 (5)의 증명 방법을 발전시키면 좌표 변환(座標變換, coordinate transformation) 관점의 완전 미분 공식을 만들어 낼 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 $(x', y')$에서 $(x, y)$ 혹은 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 2차원 좌표 변환을 고려한다.

                      (8)

이 경우 함수 $f$의 편미분은 다음과 같이 표현된다.

                         (9)

식 (9)가 성립하는 이유는 식 (2)와 매우 비슷하다. 예를 들어 식 (9)의 첫번째 편미분을 증명해본다.

                         (10)

식 (8)에서 $x+\Delta x$는 좌표계 $(x', y')$ 관점에서 표현할 수 있다.

                         (11)

식 (9)를 식 (10)에 대입한 후 식 (2)의 개념을 쓰면, 식 (12)를 통해 식 (9)의 첫번째 편미분을 유도한다.

   (12)

식 (9)을 좀더 멋있게 표현하려면 행렬(行列, matrix) 개념을 도입하면 된다.

                         (13)

식 (13)에서 $(x', y')$로 표현된 편미분식을 $(x, y)$에 대한 편미분식으로 바꾸는 행렬은 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 한다. 식 (13)에 있는 야코비 행렬은 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 좌표 변환에 사용한다. 왜냐하면 식 (13)의 야코비 행렬을 만들 때 좌표 성분 $x' = x'(x, y)$와 $y' = y'(x, y)$를 $x$와 $y$에 대해 편미분하기 때문이다. 야코비 행렬의 역행렬이 존재하면,[혹은 행렬식이 $0$이 아니면] 좌표 변환되는 방향이 $(x', y')$에서 $(x, y)$로 바뀔 수 있다.
사실 완전 미분의 개념은 좌표계에만 국한될 필요는 없다. 함수 $f(x)$를 새로운 변수 $a_1, a_2, \cdots, a_N$으로 치환하면 함수 $f(x)$의 미분은 아래로 정의할 수 있다.

                      (14)

식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다.

                  (15)

식 (15)로 표현된 완전 미분 방정식은 완전 미분 개념을 이용해 해를 매우 쉽게 구할 수 있다.

                      (16)

완전 미분의 기하학적 의미를 보여주는 [그림 1]을 불완전 미분까지 확장해보자. 불완전 미분인 경우, 식 (4)에 의해 $A(x, y)$와 $B(x, y)$를 생성하는 원시 함수(primitive function)는 서로 다르다. 서로 다른 원시 함수를 각각 $f(x, y)$, $g(x, y)$라 하자. 그러면 식 (2)를 다음처럼 쓸 수 있다.

                      (17)

함수 $f$와 $g$는 서로 같지 않기 때문에, $(x, y)$에서 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$로 가는 적분 경로를 따라 이동할 때 필연적으로 $\epsilon$만큼의 불연속이 생긴다. 이로 인해 [그림 1]처럼 적분 경로가 매끈하게 이어지지 않고 $\epsilon$만큼의 단차(step)가 불연속 미분의 중간 경로에 생긴다.

[다음 읽을거리]

댓글 67개 :

  1. 수식이 잘못되지 않았나 조심스레 질문해보아요..
    f=f(x,y)이고 x=x(x',y')일때
    라운드f/라운드x'=라운드f/라운드x X 라운드x/라운드x' 아닐까요?;

    위에질문 다시 수정해요~^^

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    1. 댓글 감사합니다. ^^

      다시 한 번 봤는데 수식 (7)은 문제가 없습니다.
      (x, y)로 표현된 미분을 (x', y')의 미분으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

      질문하신 식은 식 (7)의 반대식입니다. 즉, (x', y')로 표현된 미분을 (x, y)에 대한 미분으로 바꿀 수도 있습니다. 이 부분은 야코비 행렬의 행렬식이 0만 아니면 서로 가역적입니다.

      혹시 식 (6)을 꺼림직하게 생각하실 수도 있어 수식을 약간 바꾸었습니다.

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    2. 후아..ㅎㅎ 댓글 남겨놓고 몇개월 후에 다시와제 제가 남겨논 철없던 댓글을 확인하네요; 이제는 거북이님 글 보면 깔끔하게 이해되는 제 자신을 보면서 참 열심히 공부했다는 생각이 들어 뿌듯하기도 해요 ㅎㅎ 감사해요^^

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    3. 다시 방문해 주신 거네요. 감사합니다. ^^ 열심히 공부하세요.

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  2. 기초적인 질문인데요.

    1. 각각 미분해서 더하는 것은 vector 합성과 같은 거 같은데요.
    편미분은 vertor나 좌표를 복소수로평면에서만 가능한건가요?

    2. 식 3에서 식 4가 왜 만족해야 하는건가요?

    ____
    곰유

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    1. 1. 식 (2)를 이야기하신 것이면 단순한 더하기 빼기입니다. 복잡한 내용은 필요없습니다.

      2. 식 (4)의 가장 우변을 보면 바로 보일 것입니다. 편미분 $x, y$를 바꾼 것 뿐이라 반드시 같아야 합니다.

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    2. 너무 기초적인 것인거 같은데, ... T.T

      편미분 x,y를 바꾼 것 뿐이라 반드시 같아야 합니다. <--무슨 말씀이신지 몰라서요.ㅠ.ㅠ

      ∂(round)

      2-1. ∂^2 은 편미분을 한번 더하는 것을 의미 하는 건가요?
      ∂∂f = (∂^2)f 인건가요?
      2-2. 한번 해보았는, 맞는 지 좀 봐주시면, ...

      식 3에서

      A(x,y) = ∂f/∂x
      B(x,y) = ∂f/∂y

      라고 하고, 각각 편미분을 한번씩 더하면

      ∂A(x,y)/∂y = ∂∂f/∂x∂y
      ∂B(x,y)/∂x = ∂∂f/∂x∂y

      이렇게 해서 식 4가 되어야 되는 건가요?
      ____
      곰유

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    3. 밑도 끝도 없이 보면서 상상한거라, ... .

      1. [그림 1] 완전 미분의 기학학적 의미에서 보면,
      1-1. 우선 갈색으고 가고 녹색으로 가는 경로를 하나 선택하면요.
      마치 x로 한번 미분하고 것(x')을 ,
      이것을 다시 y로 한번 한번 더 미분 한거(y[x']')와 더한거,
      x'+y[x']' 마치 vector 합으로 보이고,

      1-2. x축위의 갈색(x')와 y축위 녹색(y')을 vector 합해서 한거 같이 보여서요.
      x'+y'

      그래서 이게 vector 기반 or 복수수기반 좌표계에서만 성립을 되는 것이 아닐까?
      하는 상상을 해보았는데, 아닌가 보네요.

      ____
      곰유

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    4. 그렇게 볼 수도 있겠네요. ^^ 하지만 기반은 더하기 빼기입니다.

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  3. 혹시 7번식 우측 각항에 1/2이 붙어야 하지 않나요?

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    1. 붙으면 안됩니다. 완전 미분인 식 (2) 관점으로 쓴 것이라서요.

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  4. 긴글 재미있게 봤습니다.
    하나 재밌는 점은 텐서의 one form과 위의 식(5)이 유사하군요.
    같은 건가요?

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    1. 방문 감사합니다, 이준화님. ^^
      비슷하기는 하지만 텐서 관점에서 일차 형식(one-form)과 완전 미분은 다릅니다. 텐서의 일차 형식은 공변 벡터로 사용합니다.

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  5. silly question 하나 할께요. 완전미분방정식에서 df=0 (즉,f가 상수)일 때만 가능한가요 ? f가 상수가 아니면 어떻게 되는 것인가요 ?

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    1. 완전 미분은 $df = 0$ 여부와는 관계 없습니다. 함수 $f$의 미분이 $df$로 표현될 수 있으면 완전 미분입니다.

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  6. 미분방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 이 있습니다.

    이 방정식이 완전미분방정식이 되기위한 조건이 ∂M/∂y=∂N/∂x 임을 알고있습니다.

    그리고 이 방정식을 푸는 과정에서
    M(x,y)에 대해 du/dx=M(x,y)를 만족시키는 이변수함수 u가 존재한다.
    N(x,y)에 대해 du/dy=N(x,y) 를 만족시키는 이변수함수 u가 존재한다.
    라고 처음에 가정을 합니다.

    그렇게 되면 미분방정식은 ∂u/∂x + ∂u/∂y=0 이 됩니다.
    제가 궁금한 것은 ∂M/∂y=∂N/∂x 이 조건을 만족하면

    du=∂u/∂x + ∂u/∂y=0라고 할 수 있는데 완미방 조건을 만족하는 것이랑 du가 생기는 것이랑 무슨 상관있는지 궁금합니다. 그리고 저 조건의 실질적인 뜻을 알고싶습니다. 이변수함수를 x에 대해서 편미분하고 y에 대해서 편미분한 식이랑 이변수함수를 y에 대해서 편미분하고 x에대해서 편미분한 식이 같다는 말은

    순서를 달리해서 미분했다 이말인데 순서를 달리해서 미분하는게 du가 존재할 조건이랑 무슨 상관이있는지 모르겠습니다.

    제가 궁금한 것은
    1. 왜 완전미분 방정식이여야지 du 가 존재하느냐입니다. 왜 완전미분방정식이여야지
    du=∂u/∂x + ∂u/∂y=0으로 놓고풀수있수있는 것이냐입니다. 그리고 그 완전미분방정식이 되기위한 조건의 실질적인 뜻을 알고싶습니다! 표면적인뜻은 편미분하는 순서를 달리했다는 것인데 실질적인 뜻이 궁금하며 또한 du가 존재하는 것이랑 무슨 상관관계가있는지 궁금합니다.

    2. 방정식을 푸는 과정에서 du/dx=M(x,y)이면 u=인테그랄M(x,y)dx+k(y)=C(상수)라고 놓지않습니까?
    근데 u함수가 상수함수이면 애초부터 du/dx와 du/dy가 0이 되는 것아닙니까???

    정말 좋은 게시물들 감사히 잘읽고있습니다.
    저도 전파거북이님 처럼 다른 사람에게 도움을 줄수있는 사람이되고싶습니다!
    답변해주시면 정말 감사하겠습니다.

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    답글
    1. 익명님, 내용을 일부 추가한다고 댓글에 시간이 걸렸습니다.

      0. 일단 완전 미분을 이해하고 싶으면 [그림 1]과 같은 기하학적 의미를 생각해야 합니다.

      1. 완전 미분이란 단어에 너무 몰입하지 마세요. 수학적으로 조건이 너무 아름다워 완전하다란 말을 붙인 것 뿐입니다. 즉, 식 (3)과 같은 조건을 완전 미분이라 부르고, 기하학적으로는 함수가 [그림 1]처럼 변했다는 것입니다.

      2. 새로 추가한 식 (6)을 보세요. ^^

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  7. 복소해석학 관련해서 찾아보다가 들어오게되었습니다. 다른 글들도 읽어봤고 최근에 댓글 쓰시는 것도 보고 존경하는 마음으로 댓글씁니다.
    저는 올해 수학교육괴에 진학하게된 새내기입니다. 수학을 정말 좋아하고 또 빠른 시일내에 교사가 되는 것을 바라서 조기졸업 후 임용합격이라는 어떻게보면 지나친 목표를 가지고 있습니다. 대학 수학 내용의 난해함이나 어려움에대한 두려움도 있지만 새로운 것을 배울 생각에 굉장히 설레는 마음도 가득합니다. 이런 저에게 수학공부법이나 마음가짐에대해 간단한 조언을 부탁드려도 될까요?

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    답글
    1. 새내기가 복소 해석학을 보시려면 어려우실 수도 있는데, 대단하시네요, 조은상님. ^^

      수학을 좋아하신다니 좋은 수학 교사가 되실 것 같습니다. 열심히 공부하셔서 학생들에게 희망을 주는 교사가 되길 바랍니다.
      수학 공부법은 특별한 것이 있을까요? 열심히 하는 수밖에요. 다만 수학 공부하는 목표가 좀더 고상해야 하지 않을까요. 점수 따기보다는 수학의 즐거움과 위대함을 이해하는 쪽에 더 중심이 가야 한다고 생각합니다.

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    2. 오... 정말 감사합니다. 이렇게 답글까지 달아주셔서 저는 정말 감동받았습니다. 수학의 위대함을 조금이나마 더 이해하도록 열심히 노력해야겠습니다. 앞으로 자주들리겠습니다. 이번 한 해는 항상 좋은일만 가득하시길 바랍니다..!

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  8. 좋은글 감사합니다.
    한가지 궁금한게 있습니다.
    식(3) df=A(x,y)dx+B(x,y)dy 에서 dx,dy는 미분소 인가요?? 아니면 단지 x와y의 적당한 증분 인가요??

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  9. 부산에서 대학 다니는 학생입니다. 정말 이 블로그에서 큰도움 얻고 갑니다 . 진심으로 감사합니다

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    1. 반갑습니다, 익명님. ^^ 멀리서 오셨네요.

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  10. 완전미분의 개념에 대해 확실히 잡는데 많이 헷갈리네요
    대충 개념은 알듯말듯한데, 설명해놓는데마다 명쾌한 구석이 없어요 ㅋ

    공부하다보니, 완전미분방정식에 접근하는 방법이 두가지가 있던데
    하나는 U(x.y)=상수인 경우를 완전미분방정식의 조건으로 특정하던데요
    왜냐면 U(x,y)가 상수면 dU=0이므로 0=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy이 된다는 논리같구요

    또하나는 임의의 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0이 있는데 P(x,y)와 Q(x,y)의 관계가 P(x,y)/dy=Q(x,y)/dx 라면 완전미분방정식이란 개념인데
    사실 이 의미를 생각해보면 P(x,y)와 Q(x,y)가 어떤 함수(U(x,y))의 x축 y축 편미분일때를 말하는거잖아요?
    미분방정식 자체가 어떤 모함수로부터 편미분으로 만들어진 '전미분=dU=0' 식은 무조건 완전미분 방정식이 된다는거죠?

    포스팅에서 쓰신 내용중에 'df가 존재하는것이 완전미분 방정식이다'라고 쓰셨는데
    df라는게 미분소(극히 작은 수의 개념) 이니까 미분소인 df가 '존재'한다라는 것은 df가 결국 0이다 라는 뜻으로 이해해도 되는것인가요?

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    1. 1. 완전 미분은 [그림 1]이 매우 중요해요. 수식적 이해보다는 $df$의 기하학적 설명인 [그림 1]을 보세요.

      2. 완전 미분 방정식: 맞습니다.

      3. 미분소는 0이 아닙니다. 0에 한없이 가까이 다가가는 극한입니다.

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  11. 식 (8)에서 (x',y')에서 (x,y)로 가는 2차원 좌표 변환을 나타내는 것이 x=x(x',y')라고 하셨는데..
    잘 이해가 안되는데 어떤 의미인지 좀 더 설명해주실 수 있으실까요????

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    1. (성분 독립은 고려해야 하지만) 2차원 좌표 변환은 쉽게 2변수 함수로 생각할 수 있습니다. 즉 $x',~y'$가 주어졌을 때, $x',~y'$를 연산해 정의한 함수값을 $x = x(x', y')$로 정의할 수 있어요.

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  12. 2차원 좌표변환이라는거를 왜 하는거에요? 다른 사이트에서는 벡터함수의 도함수를 구하는거다라고 나와있는데 무슨말인지 모르겠어요.

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    1. 예를 들면 기준이 되는 좌표계 $(x', y')$에서 새로운 좌표계 $(x, y)$로 바꿀 때 좌표 변환을 사용합니다. 이때 $(x', y')$ 특성만 잘 연구하면, 좌표 변환 개념을 이용해 $(x, y)$ 특성도 유추할 수 있어요.

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  13. 이렇게 아낌없이 자신의 지식을 공유해주셔서 참으로 감사합니다. 님의 글이 언제나 도움이 되고 있습니다. 마치 수학 사전 같습니다.

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    1. 방문과 칭찬 모두 감사드립니다, 이기주님. ^^

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    2. 일변수함수에서 모든미분은 완전미분이라고 나와있는데 이변수함수에서는 모든 미분이 완전미분이 아닌가요? 불완전미분이라는것은 즉 df가 존재안한다는것은 어떤 경우인가요? 불완전미분은 어떤경우인지알고싶습니다

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    3. 식 (4)를 만족해야 완전 미분이고, 아니면 불완전입니다. 어떤 함수 $f(x, y)$로 만드는 미분은 항상 완전 미분이지만, 식 (3)에 제시한 $A dx + B dy$에서 $A$와 $B$가 임의라면 완전 미분이 안 될 수도 있어요. 예를 들어 $A = y,~B = x$는 완전 미분을 만들 수 있어요. $A = y^2,~B = x^2$은 완전 미분이 안됩니다.

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    4. df가 존재안한다는것을(불완전미분을) 시각적으로는 표현을 못하나요?

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    5. 본문 마지막에 내용을 조금 추가했어요. 참고하세요, Unknown님. :)

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  14. 우와, 설명이 명쾌합니다. 일반 대학도서에는 자세하게 설명되지 않은 경우가 많은데 이번 증명을 깔끔하게 할 수 있는 것은 장시간 동안의 독자적인 검토와 연구 덕택입니다. 내용을 블로그명처럼 느리고 세밀하게 이해해야 기억이 상당히 오래가고 응용력이 발달되는데 도움이 됩니다. 참고로 미분적분학을 제대로 학습해야 후회하지 않습니다. 제 경험담이지만 미분적분학 점수는 잘 나왔을지 몰라도 수식의 의미를 제대로 파악하지 못한다면 전기자기학에 전혀 손을 댈 수 없는 일이 발생합니다. 아마 전기과 혹은 물리학과에서 전기자기학이 무척 어려운 과목이라고 생각되는 것이 미분적분학 학습을 대충해서 그런게 아닌가 싶습니다. 아무튼 도움이 되는 식입니다. 모든 내용이 괜히 등장하는 것이 아닌 것 같습니다. 증명이 있기에 공식이 탄생하는 것입니다.

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    답글
    1. 방문과 칭찬에 감사드립니다, avect3님. ^^

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  15. 완전 미분이 어느 방향으로 가도 같은 f의 증가를 가진다는 큰 의미는 알겠는데...(3)을 고려하면 (4)가 왜 충족되야하는지 모르겠어요..

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    답글
    1. 그니까 5증명은 논리상으로만 이해되고 직관적으로는 이해할수없다는 그런,,

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    2. [그림 1]을 보세요. 경로가 오른쪽에서 위쪽으로 가나, 위쪽에서 오른쪽으로 가나 만나는 점은 동일합니다.

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  16. 식 (13) 바로 아래에서
    "(x,y) 로 표현된 미분식을 (x′,y′) 미분식으로 표현해 주는 행렬을 야코비 행렬(Jacobian matrix)"
    이라 한다고 하셨는데, 식을 보면 반대로
    우변의 (x', y')로 표현된 미분식을 야코비 행렬을 적용해서 좌변의 (x,y)로 표현해 주는 행렬이 아닌가요?

    항상 좋은 글 정말 감사합니다!

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    답글
    1. 지적 감사합니다, 익명님 ^^ 표현이 애매한 부분을 다시 고쳤어요.

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    2. 답글 감사합니다! 그런데 제가 이해를 잘 못해서 수정하신 내용에서 다시 여쭤볼게 있습니다.

      식 (13)에서 (x′,y′)로 표현된 편미분식을 (x,y)에 대한 미분식으로 표현해 주는 행렬을 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 부른다. 식 (13)에 있는 야코비 행렬은 (x,y)에서 (x′,y′)로 가는 좌표 변환에 사용한다. 이는 식 (13)의 야코비 행렬을 만들 때 좌표 성분 x′=x′(x,y)와 y′=y′(x,y)를 x와 y에 대해 편미분하기 때문이다.

      또한 텐서와 좌표변환(https://ghebook.blogspot.com/2011/06/tensor-coordinate-transformation.html)에서도 야코비 행렬을 (x,y)에서 (x', y')로의 편미분식 변환으로 알려주셨습니다.

      그런데
      (x', y')로 표현된 편미분식을 x와 y에 대해 편미분해서 (x, y)로 표현된 편미분식으로의 변환을 야코비 행렬이라고 하신 것으로 이해했는데, 야코비 행렬이 (x,y)에서 (x',y')로 가는 변환이 아니라 반대로 (x', y')에서 (x, y)로의 변환이 아닌가요?
      제가 반대로 이해하고 있는건가요?

      크게 중요하지 않은 내용으로 귀찮게 해드려서 죄송합니다. 글 정말 잘 보고 있습니다! 감사합니다

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    3. 질문은 언제든 환영입니다.
      식 (13)의 예시가 미분소(differential)라면 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 변환이 더 잘 보였을 겁니다. 하지만 미분소가 분모에 들어가는 편미분 형태라서 변화 자체는 반대가 됩니다.
      하지만 미분소든 편미분이든 야코비 행렬은 동일합니다. 식 (13)에 정의한 야코비 행렬은 $(x, y)$에서 $(x', y')$로 가는 좌표 변환을 표현합니다.

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  17. 식 12로 식 9의 첫번째 식을 얻는 과정이 헷갈립니다. 아마 (x,y)로 표현된 f를 (x',y')으로 변경 시킨후, 함성함수로 표현된 f 형태에서 편도함수 형태가 잘 보이지 않는다는 부분에서 제가 힘들어 하는 것 같습니다. 어떻게 하면 식 12로 식 9의 첫번째 줄 식을 얻을 수 있을까요? 식 12로 식 9를 확인하는 과정에서 좌표변환만 정확히 하면 편도함수의 형태가 보이는 건가요? 좌표변환으로 인해 편도함수의 형태가 잘 보이지 않아 질문 드립니다.

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    1. Unknown님, 아래 항목을 한 번 확인해보세요.
      - 접근법은 식 (2)와 거의 비슷해요. 식 (12)의 둘째식을 정리하면 식 (12)의 첫째식이 나와요.
      - $\Delta x'$가 변할 때 $\Delta x$가 얼만큼 변할지 몰라요. 그래서 식 (11)처럼 정의했어요. 이로 인해 차분 $\Delta x$를 $\Delta x'$ 기준으로 바꿀 수 있어요.

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  18. 이제야 (2)의 개념이 어떻게 쓰였는지 보이네요. 꼼꼼히 읽지 않아서 2의 식을 그대로 가져오는 건 줄 알았어요. 역시 느림의 미학

    그런데 (12)의 두번째 식 맨 앞부분의 함성함수의 편도함수" (f[x(x'+델타x',y'),y] - f(x,y))/델타x' "에서 f[x(x'+델타x',y'),y]의 죄표y를 (x',y')좌표계로 표현하게 되면 f[x(x'+델타x',y'),y(x'+델타x',y')]이 된다고 생각해도 될까요???

    한가지 더 질문이 있는데 (9) 첫번째 줄을 증명하기 위해서 (11)로 정의 한거니, 만약 x+델타x = x(x'+델타x', y')으로 (11)을 정의 하면 9의 식을 증명하는게 아닌거죠? x+델타x = x(x'+델타x', y')은 다른데에서 의미가 생기는 것인가요?

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    1. 1. 아닙니다. 식 (12)의 목적은 $x$에 대한 편미분을 $(x', y')$의 편미분으로 표현하기입니다. 그래서 좌표 성분 $y$는 계속 고정입니다.

      2. 식 (11)에서 미분소 $\Delta x$를 만들 수 있는 성분은 $x', y'$ 모두 가능해요. 좌표 변환이 어떻게 구성될지 알 수 없기 때문에, 말씀하신 관계로 표현하면 일반적이지 않아요. 그래서 (11)처럼 표현합니다.

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  19. y가 고정되어야 하네요. 아직 명확하지 않아서 제가 잘못 생각했었습니다.
    x',y'가 Δx를 만들 수 있다는 게 마치 이변수 함수 z=f(x,y)처럼 역할하는 것 같네요. 그런데 혹시 (11)첫번째 부분에서 자꾸 제가 이상하게 해석해요. 어떻게 접근하면 괜찮을까요
    (f[x(x'+ Δx',y'),y] - f(x,y))/Δx'을 (Δf/Δx)×(Δx/Δx')으로 생각하고 극한을 적용하면 (라운드f/라운드x)×(라운드x/라운드x')가 되고, 그 뒤에 곱해져 있던 Δx'/Δx는 라운드x'/라운드x이 되어 서로 약분하면 라운드f/라운드x로 되요...

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    1. 그렇게 되지 않아요. 식 (11)을 다시 한 번 보세요. 식 (11)의 시작점은 식 (10)입니다.

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  20. 물리공부하다가 입자의 미소위치 변화에 따른 온도함수 변화 [T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)]/루트(dx^2+dy^2+dz^2)를 편미분을 이용하는 이유를 몰랐는데 거북님 덕분에 이해가 되었네요 왜 대부분의 글에 편미분을 이용할 수 있다는 것을 정확한 증명 없이 사용할 수 있다라고만 하는지 모르겠네요 암튼 너무나도 감사드립니다. 정말 궁금했었는데 겨우 증명법을 찾았네요

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    1. 거북님 위에 감사하다고 글을 적은 익명입니다. 궁금증이 생겨서 그런데 2번에서 함수f(x,y,z)에 대한 차분을 이용하여 편미분이 가능하다는 증명법을 아신다면 알려주실수 있을까요 2번에는 공간 평면 xy에 대한 함수f(x,y)에 대한 증명법인데 일반적인 물리 이용에는 3차원 공간에 대한 편미분을 이용하므로 그에 대한 증명법이 궁금합니다.

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    2. 쫌만 고민하면 되는 거였는데 괜한 질문을 했네요 해결했습니다 ㅎㅎ

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    3. 축하드립니다, 익명님. ^^ 혼자 해결하는 게 가장 좋아요.

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  21. 위에 온도예시를 들면서 질문한 익명입니다.
    궁금증이 생겨서 질문하게 되었는데요 공간 좌표(x,y,z)에 입자가 있다고 했을때 이 입자가 미소적인 이동을 하여 공간좌표(x+dx,y+dy,z+dz)만큼 이동하였을때의 온도 미소 변화 dT가 각축에 대한 편미분과 그 축에 해당하는 미소 거리를 더한 것으로 표현 되는 것으로 전파거북님이 올리신 게시글의 2번의 차분 증명법으로 이해를 했는데요 입자가 (x,y,z)좌표에서 이동 할 수 있는 방향이 구의 형태로 즉 모든 방향으로 이동가능한데 모든 방향에 대한 고려를 하려면 x,y,z에 대한 각축에 대한 편미분시 좌미분과 우미분의 값이 같아야 입자가 (x,y,z)좌표에서 미소 이동을 하였을때 모든 방향에 대해 미분값이 같다는 것이 되어 방향을 고려하지 않아도 미소 이동시 모든 방향에 대한 미소 온도 변화를 표현할 수 있게 되는 것인지 궁금합니다.

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    1. 위에 온도 변화를 잘못 적었네요
      각축에 대한 편미분과 그 축에 해당하는 미소 이동거리의 곱의 합입니다.

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    2. 익명님, 완전 미분을 적용하려면 편미분이 존재해야 합니다. 편미분이 존재한다는 가정 하에서 2차원은 식 (2)가 성립해야 하고요, 3차원은 말씀하신 공식으로 만들면 됩니다.

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    3. 답변 정말 감사드립니다~
      궁금한게 있는데요 위에 질문 처럼 특정 위치에서 미소만큼 이동할때 특정 위치를 기준으로 어떤 방향으로 이동할지 모르더라도 3번식을 사용가능한 이유가 편미분이 가능하다는 조건이 있어서 인건가요 ?? 즉 각축에 대한 편미분의 좌미분과 우미분이 같다는 것이 각축의 양의 방향과 음의 방향의 편미분값이 똑같이 수렴한다는 것이니까 모든방향에 대하여 편미분의 값은 같다라고 판단할 수 있을까요??

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    4. 기하학적으로 이해하려면 [그림 1]을 보세요. 2차원에서 왼쪽 아래 점에서 오른쪽 위 점까지 가는 길은 $x, y$축으로 분해할 수 있어요. 다만 표면이 [그림 1]처럼 연속이 되어야 어느 길로 가든지 경로에 관계없이 같아요.

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  22. 전파거북님 매번 친절한 답변 감사드립니다~

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  23. 글 감사히 잘 보았습니다.

    다변수 함수의 전미분을 해당 함수의 gradient와 연관지어 생각할 때
    어떤 의미를 발견할 수 있을까 고민하고 있었는데
    완전 미분의 기하학적 관점을 보인 그림1을 보고 의미를 생각해보는데 큰 도움이 되었습니다.

    다만 불완전 미분이라는 생소한 개념을 접했고, 그것이 무엇을 의미하는지 얼추 감은 오나,
    불완전 미분과 관련된 식 (17)에 대해서 좀 더 궁금한 것이 생겨 질문 남깁니다.

    [1]
    만약에 x축 방향으로 접근하지 않고 y축 방향으로 먼저 접근할 경우

    [{g(x, y+△y) - g(x, y)}/△y]*△y + [{f(x+△x, y+△y) - f(x, y+△y)}/△x]*△x
    = f(x+△x, y+△y) - g(x, y) + g(x, y+△y) - f(x, y+△y)

    식이 성립하는게 맞는 것인가요?

    [2]
    만약 [1]이 맞다면,

    f(x+△x, y+△y) - g(x, y) = g(x+△x, y+△y) - f(x, y)
    g(x, y+△y) - f(x, y+△y) = f(x+△x, y) - g(x+△x, y) = e

    으로 이해할 수 있을까요? 아니면 불완전 미분의 경우 저 둘은 서로 다른가요?

    즉 불완전 미분의 경우 x축이나 y축 중 어느 방향을 먼저 선택하여 접근하는지에 따라 편차와 결과가 달라지나요?

    말씀하신대로 A(x, y)와 B(x, y)에 각각 y^2, x^2를 넣어
    f(x, y) = y^2, g(x, y) = x^2로 생각하고 접근하면
    x, y의 좌표값에 따라 둘의 결과가 달라질 것 같고...

    또 각각의 경우 f(x, y)에서는 x가, g(x, y)에서는 y가 없어 결국 f(x)와 g(y)가 되는 것이 아닌가...
    하는 생각도 들고요...

    [2]에 대한 제 생각은 일단 x축 → y축으로 접근하는 것과 y축 → x축 방향으로 접근하는 것이
    각각 편차와 결과에 차이가 있는 것 같습니다만,
    답변 달아주시면 답변을 보고 필요하다면 혼자 고민을 좀 더 해보겠습니다.

    감사합니다.

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    1. 안녕하세요, 익명님. ^^

      1. [1]은 맞습니다.

      2. 함수 $f, g$가 다르다는 가정만 있어서, [1]은 식 (17)과 같을 이유가 없어요.

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  24. 식(8) 바로 위에보면 (x',y') 에서 (x,y)로 가는 2차원변환을 고려한다고했는데 식 13 바로 밑에는 같은 식을 행렬로 표현했을 뿐인데
    야코비행렬은 (x,y)에서 (x',y')으로 가는 행렬이라고 되어있는데 뭔가 헷갈리네요. 야코비행렬의 우변 두번째 행렬이 x',y' 에 대해 변화율을 나타내고 있는데 그러면 x',y' 차원이고 야코비 행렬에 의해 좌변에 x,y 에 대해 편미분한 x,y 차원으로 가는게 아닌가요? 헷갈리네요..

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    1. 카테시안에서 원통으로 갈 때 x=rcos y=rsin 에서 r에 대해 미분 한거 1행에 cos sin 세타에 대해 미분한거 2행에 -rsin rcos 하고
      행렬식 구하면 r 이 되어서 X 좌표계에서 원통으로 갈 때 크기 r 이 곱해지는 거 잖아요? 그럼 r 이랑 세타에 대해 미분한거니까
      처음 (x,y) 좌표계에서 (x',y') 좌표계(r, theta)로 좌표변환 한거고 이 예에서는 라운드x/라운드x' 을 한거고 위에서는 반대이므로
      (x',y') 좌표계에서 (x, y) 좌표계로의 변환이라고 보는게 맞지 않나요. 이 블로그 텐서와 좌표변환에서 식(10) 아래 9번째 줄에 X를 U에 대해 미분했으므로 X에서 U로 가는 좌표변환이라고도 나와있습니다

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    2. 식 (8)에는 양뱡향에 대한 좌표 변환이 모두 있어요. 그래서 필요에 따라 좌표 변환되는 방향을 선택할 수 있어요.
      본문에도 이 내용을 추가했어요.

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