구배(勾配, Gradient)의 의미

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구배의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 완전 미분
3. 좌표계 기반 벡터
4. 적분법의 의미
5. 벡터 미적분학

이름도 좀 생소한 구배(勾配, gradient)는 스칼라 함수의 기울기를 3차원에서 얻기 위한 연산자이다. 수학에서 연산자라 하면 미분, 적분 등이 생각나기 때문에 매우 어려울 것 같지만 기울기의 개념만 제대로 알고 있으면 구배 개념도 어렵지 않다. 구배를 수학적으로 정의하면 식 (1)이 된다.

                          (1a)

                         (1b)

여기서 삼각형이 뒤집어진 표시 $\nabla$는 델(del: 델타 Δ와 비슷) 혹은 나블라(νάβλα, nabla: 하프와 비슷하게 생긴 고대 이스라엘과 그리스의 현악기 모양)라고 읽는다.

[그림 1] 나블라의 연주 모습(출처: wikipedia.org)

3차원에서 정의된 스칼라 함수[입력이 3차원의 점이고 출력이 스칼라인 함수]를 $x, y, z$에 대해 편미분하고 이 값을 벡터로 만들면 구배 연산자이다. 미분법에서 소개한 대로 미분의 의미 중 하나가 기울기 구하기이다. 혹은 꼭대기를 찾아가는 방향을 알려주는 연산이 미분이다. 이 개념을 이해하고 있으면 식 (1)은 쉽게 이해된다. 더욱 명시적으로 보기 위해 [그림 2]을 고려한다. 위쪽에 색깔로 표현한 그림이 독립 변수가 2차원인 스칼라 함수 $f(x, y)$이다. 이 함수에 식 (1)의 구배 연산자를 적용하면 [그림 3]와 같은 기울기 특성을 구해낼 수 있다.

[그림 2] 3차원 공간에 적용한 구배 연산자

[그림 3] 2차원 공간에 투영한 기울기 특성

[그림 3]처럼 구배 연산자가 만들어낸 벡터를 따라가면 함수 $f(x, y)$의 최고점에 감을 볼 수 있다. 이 점은 [그림 2]와 [그림 3]을 동시에 보면 쉽게 알 수 있다. 이런 관찰을 통해 구배 연산자의 의미를 정상[꼭대기] 검출기(頂上 檢出器, peak detector)로 정할 수 있다. 즉, 임의의 스칼라 함수에 정상 검출기[혹은 구배 연산자]를 갖다 대면 이 함수의 꼭대기를 찾는 방향을 알려준다. 이 개념이 어려우면 [그림 3]의 그림을 다시 본다. 어떤 위치에서든지 화살표를 따라가면 정상에 갈 수 있다.

[그림 4] $f(x)$ = $-x^2$에 정상 검출기 적용

좀더 쉽게 생각하기 위해 정상 검출기의 개념을 1차원에 적용하면 [그림 4]와 같다. $x$가 $0$보다 작은 지점에서 미분하면 [그림 4]처럼 미분값은 항상 양수이다. 이 미분값에 $x$의 단위 벡터(unit vector)를 곱하면 당연히 구배가 향하는 방향은 $x$축 방향[녹색 화살표]이다. $x$가 $0$보다 크면 미분값은 항상 음수가 되어 구배 연산자는 $x$축의 반대 방향[빨간색 화살표]을 가리킨다. 따라서, [그림 4]을 종합적으로 보면 녹색 화살표와 빨간색 화살표가 가리키는 방향은 함수 $f(x)$의 꼭대기 쪽이 된다.

[그림 5] 선 적분의 개념(출처: wikipedia.org)

구배 연산자가 완전 미분과 결합되면 매우 재미있는 결과가 얻어진다.

              (2)

여기서 벡터 $d \bar l$은 선 미분소(線微分素, differential line)이다. 선 미분소는 방향을 가진 매우 작은 선분의 극한이다. 식 (2)처럼 완전 미분 $df$는 스칼라 함수 $f$의 구배와 선 미분소의 내적으로 표현할 수 있다. 식 (2)를 선 적분(線積分, line integral)하면 식 (3)을 얻을 수 있다.

                         (3)

선 적분은 [그림 5]처럼 주어진 선[그림 5에서 파란색 곡선]을 따라 적분 하기이다. 식 (3)는 적분 경로에 관계없이 공간 벡터 $\bar r_1, \bar r_2$가 결정되면 적분값이 같음을 의미한다. 이 조건이 성립하면 적분 경로는 우리가 편한대로 택하면 된다.

[그림 6] 벡터 함수의 개념(출처: wikipedia.org)

식 (3)처럼 피적분 함수가 벡터 함수[입력이 3차원의 점이고 출력이 벡터인 함수]이고 내적 개념으로 적분하는 방식은 선 적분 경로를 따라 나타나는 벡터 함수의 출력 중에서 선 적분 경로의 방향과 일치하는 성분[바로 내적 개념]만 모으는 적분이다. [그림 6]은 벡터 함수의 개념을 설명한다. 예를 들어 [그림 6]과 같이 구 표면상에 3차원 점이 정의되어 있고 각 점에 대해 빨간색 벡터가 출력으로 정의되어 있으면 벡터 함수라고 한다.

만약 공간 벡터 $\bar r_2$ = $\bar r_1$이면[시작점과 끝점이 같으면], 식 (4)가 성립한다.

                          (4)

여기서 적분 기호에 동그라미가 있는 기호는 적분의 시작점과 끝점이 같다는 의미이다. 식 (4)가 성립하면 적분 경로에 관계없이 $0$이 되므로 수학적으로 아름다운 결과가 된다.

구배 연산자는 스칼라 함수가 최대로 변하는 방향을 보여준다. 그러면 구배가 표현하는 방향에 수직인 방향은 스칼라 함수가 변하지 않는 방향[벡터 $\bar t$로 정의]이 되어야 한다.[혹은 미분 개념으로는 기울기가 $0$이 되는 지점이다. 이 점에서 함수값은 최대나 최소가 된다.] 내적 개념으로 접근하면 이런 특성은 식 (5)로 표현할 수 있다.

                         (5)

스칼라 함수 $f$가 변하지 않는 방향이 벡터 $\bar t$임을 표현한 식 (5)를 어떻게 증명할까? 어렵지 않다. 완전 미분을 적용하면 쉽게 식 (5)가 증명된다. 벡터 $\bar t$의 방향을 바꾸지 않으면서도 그 크기를 줄이기 위해 선 미분소 $dl$을 곱한다.

                         (6)

스칼라 함수 $f$의 미분소 $df$가 $0$이므로 이 근방에서 함수값은 변하지 않는다. 다른 말로 하면, 이 방향에 수직인 방향으로 가면 내적의 정의에 의해 함수값은 최대로 변하게 된다. 이렇게 최대로 변하는 방향이 구배 연산자가 표현하는 방향이다.

[다음 읽을거리]
1. 발산의 의미
2. 회전의 의미
3. 벡터 항등식
4. 텐서 미적분학