2010년 10월 18일 월요일

정말 유용한 페이저(phasor) 개념


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "페이저 개념"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 페이저의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)

공과대학에 입학해서 처음 배우는 수학은 미분적분학이다. 그 다음으로 미분 방정식(微分方程式, differential equation)을 배우게 된다. "어렵다. 포기하고 싶다."는 생각도 들지만 "수학과도 아닌데 도대체 왜 배우지!"라는 마음도 가지게 된다.
당연하다. 미분 방정식은 쉽지 않다. 그럴듯한 책제목으로 독자들을 현혹하기도 하지만 학문 특히 수학에는 왕도가 없기 때문에 미분 방정식을 쉽게 배울 수 있는 방법은 없다.
미분 방정식 문제를 많이 풀어보고 미분 방정식의 수학적 기반을 고민하고... 이런 고행으로 내공을 더해가야 전문가가 될 수 있다.
특히나 공학도를 힘들게 하는 것은 이 미분 방정식 이론이 대부분의 시스템 설계에 사용된다는 것이다.
그래서, 미분 방정식을 배우는 공학도들은 웃는 얼굴을 하기가 힘들다.
이런 상황에서 우리를 미분 방정식에서 해방시키는 놀라운 개념을 배우게 된다.
바로 페이저(phasor) 개념이다. 페이저는 미분 방정식을 쓰지 않고 미분 방정식을 풀게 해주는 재미있는 도구이다.
페이저라는 도구를 만든 사람은 수학을 싫어했던 공학자 헤비사이드(Oliver Heaviside)이다. (역설적이게도 헤비사이드의 논문은 수학식으로 도배되어 있다)
헤비사이드는 누구나 알고 있는 식 (1)을 주의깊게 살펴보았다.

                                  (1)

여기서 $\omega$($= 2 \pi f = 2 \pi /T$)는 각주파수(角周波數, angular frequency)이며 $f$는 주파수(frequency)이다. 주파수(단위: Hz)는 [그림 2]처럼 1초에 특정 동작이 반복되는 회수이다. 각주파수(단위: rad/s)는 [그림 3]처럼 1초 동안 회전하는 각도를 라디안(radian, 아래 [그림 4] 참고)으로 나타낸 것이다. 예를 들어 1초에 한바퀴를 돌면 $2 \pi$(= $360^\circ$)이므로 각주파수는 $2\pi$ [rad/s]이 된다.
[그림 2] 주파수의 개념(출처: wikipedia.org)

       
[그림 3] 각주파수의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 4] 라디안의 정의(출처: wikipedia.org)

수학 연산을 고려하지 않고 다소 무식하게 식 (1)을 보면 $d/dt \equiv j \omega$라고 착각할 수 있다.
이거 말이 되는건가? 하지만 이것은 아주 위대한 착각이다. 이 성질을 이용하여 미분 방정식 개념을 사용하지 않고 대수적으로만 미분 방정식을 풀 수 있기 때문이다.
예를 들면 식 (1)의 좌변은 미분식이지만 우변은 복소수 기반의 대수식이기 때문에 미분식을 복소수로 해결할 수 있는 것이다. 즉, 미분해야 하는 것을 복소수 곱셈으로 계산할 수 있는 것이다. 이 개념을 확장하면 AC(교류, 交流, Alternating Current) 회로 이론페이저 기반 맥스웰 방정식 등을 얻을 수 있다.

미분 연산자를 숫자로 대체하는 기법은 어디서 많이 본 것 같지 않은가? 바로 라플라스 변환(Laplace transform)이 이 개념을 사용하고 있다. 라플라스 변환은 미분 방정식을 대수적으로 해결하는 매우 유용한 방법(연산자 미분적분학: operator calculus)이다. 헤비사이드가 이런 라플라스 변환을 베낀 것은 아니고 라플라스 변환의 창안자가 헤비사이드이다. 하지만 헤비사이드가 사용한 적분식은 대(大)수학자 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 이미 제안한 것이라 이름을 라플라스 변환으로 붙였다.
미분 연산자의 숫자 대체 기법이 잘 이해가지 않더라도 너무 실망하지 마라. 헤비사이드가 이 방법을 제안했을 때 당대 수학자들의 맹공을 받았다. 수학적으로 엄밀하지 않고 대수적으로 미분 방정식을 해결할 수 있는지 계속 의심을 많이 받았다. 하지만 헤비사이드는 개의치 않고 자기만의 방법을 계속 만들어갔다. 후에 브롬위치(Thomas John I'Anson Bromwich)가 라플라스 역변환(inverse Laplace transform)이 존재함을 복소 함수론(complex analysis)으로 증명하여 라플라스 변환은 수학 이론의 반열에 들게 된다.

또다른 측면에서 한가지 의문이 든다. 모든 시간 변화 함수를 $\exp(j \omega t)$ 형태로 표현할 수 있는가? 이런 $\exp(j \omega t)$ 접근법의 타당성은 푸리에 급수(Fourier series) 혹은 푸리에 변환(Fourier transform)과 밀접하게 관련되어 있다.

지수 함 $\exp(j \omega t)$를 기하학적으로 표현한 것이 [그림 1]이다. $\omega$는 $2 \pi \cdot f$이므로 1초에 $f$개 만큼의 한바퀴 회전($2 \pi$ or $360^\circ$)이 얻어진다. 이 모양을 [그림 1]이 정확하게 보여주고 있다.
또한, 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하면 지수 함수를 삼각 함수로 바꿀 수 있다.

                         (2)

그래서, [그림 1]은 이 복소 지수 함수(complex exponential function)가 삼각 함수 중에서 코사인(cosine)으로 바뀌는 모습을 보여준다. 식 (2)에서 실수부(real part)만 택하면 다음 페이저(phasor) 관계를 정의할 수 있다.

   

                   (3)

여기서 $A$는 전압(voltage)의 진폭(amplitude), $\phi$는 전압의 위상(phase), $\Re(\cdot)$은 복소수의 실수부(real part)를 얻는 함수이다. 식 (3)에서 알파벳을 굵게 표시한 $\bf V$가 페이저가 된다. 페이저는 크기(amplitude or magnitude)와 위상(phase)으로만 구성이 되고 $\exp(j \omega t)$는 생략한다. 또한 $v(t)$를 정의하기 위해 식 (3)처럼 페이저의 실수부를 택한 것은 큰 의미없다. (or 페이저의 허수부($v(t) = \Im[Ae^{j(\omega t + \phi)}] = A \sin(\omega t + \phi)$)를 택하더라도 전혀 문제없다.) 많은 연구자들이 페이저의 실수부를 택해 시간영역 전압을 정의하고 있으므로 식 (3)은 그냥 대세에 따른 것이다.

[그림 5] 페이저 합의 특성(출처: wikipedia.org)

페이저의 사칙 연산은 복소수를 이용하여 쉽게 정의할 수 있다.

                         (4)

                         (5)

                  (6)

식 (6)은 식 (2)를 이용하여 지수 함수삼각 함수로 분해한 후 크기와 위상을 구하면 증명할 수 있다.
페이저의 빼기는 식 (6) 공식과 비슷하다. 단지 $A_2 \to -A_2$로 바꾸면 빼기 공식을 쉽게 얻을 수 있다.

페이저의 유용성은 평균 AC 전력(average AC power)을 계산할 때도 나타난다. 식 (3)을 이용하여 전압과 전류 페이저를 아래로 정의하자.

                         (7)

                         (8)

전기 전력 정의 및 식 (7)과 (8)을 이용해서 평균 AC 전력을 계산하면 매우 단순화된 결과를 얻을 수 있다.

        (9)

여기서 $A_v, A_i$는 전압(voltage)과 전류(current)의 진폭을 나타내는 실수(real number)이며 세째식에 있는 $(\cdot­)^*$는 켤레 복소수(complex conjugate)를 의미한다. 페이저 정의인 식 (7)과 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용해 식 (9)의 세째식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

                           (10)

식 (9)를 보면 순시 전력(瞬時電力, instantaneous power)은 시간 변동 성분을 갖지만(∵ 시간에 따라 전압과 전류가 변하므로) 평균 전력(平均電力, average power)은 상수인 것을 볼 수 있다. 그래서, 회로 이론 전력 계산은 순시 전력이 아닌 평균 전력을 주로 사용하게 된다.
평균 전력의 유용성은 식 (11)에 제시한 전압과 전류의 위상차 관점에서도 생각할 수 있다.

                         (11)

식 (11)에 나타나는 코사인 함수는 보통 역율(力率, power factor)이라 부른다. 역율이 1이 되면(전압과 전류의 위상차가 0이면) 최대 평균 전력이 나타나고 역율이 0이면(전압과 전류의 위상차가 90도 혹은 270도가 되면) 평균 전력도 0이 된다.
왜 이런 현상이 나타나는가 하면 식 (9)에서도 알 수 있듯이 순시 전력(= $v(t)\cdot i(t)$)을 평균했기 때문이다. 전압과 전류의 위상이 맞지 않으면 주기동안 전력을 소모(+ 부호)하기도 하고 생산(- 부호)하기도 한다. 따라서 주기에 걸쳐 이런 기여도를 합치면 위상이 맞지 않아 전력이 줄어들게 된다.
식 (9)와 (11)을 보면 평균 전력을 정의할 때 항상 전류의 켤레 복소수를 취한다. 전압의 켤레 복소수를 취하면 답이 틀리는가? 아니다. 틀리는 것은 없다. 하지만, 이것은 약속이기 때문에 전체이론에서 일관되게 사용해야한다. 비슷한 예를 볼 수 있는 것이 포인팅의 정리(Poynting's theorem)이다.
굳이 식 (9)와 (11)처럼 평균 전력을 정의한 이유를 찾는다면 페이저 관점의 옴 법칙(Ohm's law) 때문이라 말할 수 있다.

                                  (12)

                         (13)

식 (13)에 있는 옴의 법칙으로 인해 전압위상은 전류 위상을 기준으로 정한다. 평균 전력을 구하기 위해 식 (13)에 전류의 켤레 복소수를 곱하면 전류 위상이 약분되므로 쉽게 평균 전력을 구할 수 있다.
[그림 6] 신호의 위상차(출처: wikipedia.org)

쉽게 얘기하면 평균 AC 전력을 정의할 때 전류의 켤레 복소수를 취한 이유는 전압과 전류 위상이 얼마나 일치하는지 찾기 위해서이다. 신호간의 위상(or 모양)이 얼마나 차이나는지 알려주는 것이 [그림 6]의 위상차(位相差, phase difference)이다. 즉, 켤레 복소수를 취하면 전압과 전류의 위상차를 전류 위상을 기준으로 빼서 아래와 같이 계산할 수 있다. 위상차(= $\phi_v - \phi_i$)가 없는 경우가 전력을 최대로 소비할 수 있는 경우이다.

                         (14)

여기서 식 (14) 결과의 실수부는 유효 전력(effective power), 허수부는 무효 전력(reactive power)이다. 식 (14) 결과의 절대값은 피상 전력(apparent power)이라 한다.
식 (14)에서 위상이 같으면(or 동위상(in phase)이면 or $\phi_v = \phi_i$) 전력(= 전압과 전류의 곱)은 항상 양(+)이다. (∵ 신호의 크기를 나타내는 $A_v, A_i$는 항상 양이기 때문에) 반대위상(out of phase)이면 전압과 전류의 부호가 반대이므로 전력은 음(-)이 된다. 전력이 음이 된다는 것은 전력을 소비하지 않고 생산한다는 뜻이다.
위상이 직교 위상(quadrature phase: $\phi_v = \phi_i \pm \pi/2$)이면 전력은 식 (14)의 마지막식처럼 순허수가 된다. 순허수 전력의 의미를 알려면 직교위상 관계식($\phi_v = \phi_i \pm \pi/2$)을 식 (9)에 대입하면 된다. 페이저는 식 (3)의 정의처럼 실제신호를 편하게 표현하기 위해 사용한다. 위상이 90도만큼 차이나게 되면 식 (3)에서 코사인 함수는 사인 함수로 바뀐다. 즉, 평균 전력을 계산할 때는 식 (15)처럼 코사인과 사인 함수의 곱을 적분해야 한다. 최종결과는 식 (11)에 있는 역율이다. 이 값은 분명히 0이므로 순허수 전력은 평균 전력에 기여할 수 없다.

                         (15)

물론 순허수 전력의 순시 전력이 항상 0이란 것은 아니다. (∵ 전류와 전압이 존재하기 때문에) 한주기에 대해 적분한 평균 전력이 0인 것이다.

[다음 읽을거리]
1. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
2. 페이저를 이용한 임피던스 정의

댓글 140개 :

  1. 글 내용이 저에게 큰 도움이 되어주었습니다.
    감사합니다.

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  2. 도움이 되셨다니 저의 큰 기쁨입니다.

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  3. 회로이론 공부에 많은 도움이 됩니다 고맙습니다!!!

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  4. 맞습니다. 페이저의 기본원리를 이해하고 있으면 교류 회로이론도 산수에 불과합니다.

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  5. 물리적인 설명을 해주시고
    그림을 통해 설명해 주셔서 정말 많은 도움을 받고 있습니다

    혹시 cylindrical좌표계에서 acceleration식의 유도가 어떻게 되었는지 참고 할 수 있는 자료가 있는지 궁금합니다.
    공부하다가 궁금해서 유도를 했는데
    cartesian좌표계에서는 쉽게 유도가 되는데
    cylindrical에서는 쉽게 유도가 안되더군요~~
    혹시 도움이 될만한 자료가 있으면 부탁드리겠습니다
    읽어주셔서 감사합니다~^^

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  6. 감사합니다.
    원통좌표계에서 가속도를 유도하려면 공업수학책에 나오는 "벡터의 미분"을 보면 될겁니다.
    유도가 잘 안된다면 아마 단위벡터도 미분해야 되는데 안 해서 그럴 수도 있습니다. 일반적으로 ρ과 φ축 단위벡터는 미분하면 0이 되지 않습니다. x, y축 단위벡터는 당연히 0이 되지만.

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  7. 확실히 움직이는 그림들이 이해하는 부분에 엄청난 도움이 되네요! 잘보고 갑니다!

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  8. 감사합니다. 움직이는 그림은 제가 그린 것이 아니니 위키피디아가 대단하지요.

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  9. 감사합니다 페이저 이해에 많은 도움이 됩니다.

    식(9)의 두번째에서 세번째 줄로 넘어가는 과정이
    잘이해가 되지 않습니다.
    1/4이 곱해진것과 *의 의미를 알고싶습니다

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  10. 도움이 되도록 본문내용을 더 구체적으로 수정했습니다. 1/4이 곱해진 이유는 cos이 오일러 공식에 의해 exp이 되면서 1/2이 생겨서 그렇습니다. 전압때문에 1/2, 전류때문에 1/2...
    *는 켤레복소수입니다.

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  11. 인터넷 검색을 하다 이렇게 유용한 분을 알게되서 좋았습니다. 그런데

    (9)번식 4번째에서 5번째로 넘어가는 단계가 이해가 되지 않습니다.

    어떻게 1/2T 와 나머지 부분이 어떻게 사라지는 건가요..?

    알고싶습니다..

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  12. 칭찬 감사합니다.

    식 (9) 네째줄에서 다섯째줄 넘어갈 때는 z + conj(z) = 2Re(z)를 썼습니다.

    다섯째줄에서 여섯째줄 넘어갈 때는 VI*는 시간에 대해 상수이고 exp(j2ωt)는 한주기에 대해 적분하면 0이 되는 성질을 이용했습니다.

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  13. 모르는 사람인 저에게 이렇게 정성껏 답변을

    해주셔서 감사합니다.

    한가지 더 궁금한건..

    (VI*)* = V*I

    VI* + V*I = 2Re(VI*) 라는 말씀인건가요..?

    그럼 2Re(V*I) 도 맞는 말인가요?

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  14. 뭘요, 대단한 것도 아닌데요.

    맞습니다. 2Re(V*I) = 2Re(VI*). 둘다 말이 됩니다.

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  15. 모든 회로이론 책에는 VI* 봤었습니다.
    VI*를 사용하는 이유가 있을까요.?
    회로이론을 공부하는 학생의 푸념이였습니다..ㅎ

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  16. 아래 댓글에서 관련내용을 토론했습니다. 참고로 보세요.

    http://ghebook.blogspot.com/2011/06/definition-of-impedance-using-phasor.html

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  17. 전파거북이님! ㅎㅎ
    좋은 글을 많이 써주셔서 항상 도움이 많이 되어 고맙습니다
    그런데 한가지 질문이 있습니다 ㅎ
    페이저라는 것은 비선형 시스템에선 사용할 수 없나요?
    회로이론책에선 정현파 함수이고, 선형 시스템일때 사용할 수 있다고 하는데
    정현파가 아닐때는 사용하지 못하는 이유를 알겠는데 비선형일때 사용하지 못하는 이유는 아직 모르겠습니다 ㅠ
    알려주세요 ㅎㅎ

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  18. 아 질문이 조금 잘못된 거 같습니다 ㅎ
    회로의 소자들이 R,L,C 즉 선형 소자인 선형 시스템에서 입력의 주파수와 응답의 주파수가 같지 않습니까?
    그런데 페이저를 비선형 시스템에서도 사용할 수 있는 것인가요?ㅎ

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  19. 감사합니다. ^.^

    정현파가 아닌 시간함수도 푸리에 급수(주기파)나 푸리에 변환(비주기파)를 통해 정현파의 무한급수나 정현파의 무한적분으로 표현할 수 있어 어떤 시간함수든 페이저로 풀어낼 수 있습니다. 그래서, 우리가 회로이론시간에 페이저를 공부하는 것이지요.

    선형시스템/비선형시스템에 대한 부분은 페이저 문제가 아니고 회로이론이 문제입니다. 페이저로 표현할 수 있는가 하는 문제는 푸리에 변환이 되는가 하는 문제와 동일합니다. 비선형이더라도 푸리에 변환은 됩니다. 그런데, 선형이 아니면 풀 수 없는 경우가 생깁니다. (예를 들어, 5차 대수방정식 이상은 일반적으로 안 풀립니다.) 즉, 모든 선형문제는 행렬이론으로 풀 수 있는 반면 모든 비선형문제를 풀려면 반드시 근사기법인 수치해석을 써야합니다.

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  20. 아...ㅎㅎㅎ 아직은 배운것이 적어 이해하기 조금 어려운 부분이 있지만 ㅎ 그래도 좋은 것을 또 하나 알아가네요 ㅎㅎ
    고맙습니다~^^
    전파거북이님의 글이 지금도 공부하고 있을 많은 전기공학도들에게 도움이 되었으면 하는 바람입니다^^

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  21. 질문이 하나가 더 있었네요.

    비선형시스템은 회로이론 자체를 쓸 수 없기 때문에 페이저를 쓰는 것 자체가 의미가 없습니다. 다만 그냥 바로 문제를 풀기는 어렵기 때문에 시간영역을 주파수영역으로 바꾸는 의미(이게 푸리에 변환이죠)를 부여할 수는 있습니다.

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  22. 안녕하세요 전파거북이님

    다름이 아니라 또 질문이 생기게 되었습니다.

    식 (3) 에서 페이져의 Vexp^j(theta) 라고 정의가 되어있는데도,

    식 (9) 에서는 cos(theta) = (1/2)(exp^ -------) 이라는 정의를 사용해서

    전개한 이유를 알 수 있을까요?

    식 (9)에서 식 (3) 의 정의가 어떻게 사용이 되는 건가요??

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  23. 식 (9)에서 식 (3)의 정의를 바로 대입하면 더 앞으로 나가기가 힘듭니다. 혹은 일반적으로 Re(z1)×Re(z2) = Re(z1×z2)가 되지 않기 때문에 식 (3)을 쓰기는 곤란합니다.
    그래서 오일러의 공식을 이용해 식 (9)를 전개한 것입니다.

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  24. 군대를 다녀오고 전기공학도 3학년 복학한 학생입니다.
    덕분에 좋은정보 많이 알아갑니다. 감사합니다.

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  25. 재미있는 경험하셨겠군요. 학교가 더 좋아보이겠습니다.
    격려 감사합니다.

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  26. 공부하는데 유용한 블로그를 알게되서 참 기쁘네요!
    아직 배운 학문이 깊지 않아서 잘 이해가 가지 않아서 질문을 할까 합니다ㅠㅠ
    평균AC전력을 구할 때 식을 유도하다 보면
    VI*가 나오는데 어째서 VI가 아니라 VI*인지 잘 모르겠습니다..
    댓글로도 잘 설명해주셨지만 더 알기 쉽게 설명해 주실 수 있을까요?

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    답글
    1. 페이저의 개념으로 설명해 주셨지만 벡터의 개념으로도 설명할 수 있습니다.(원리는 같으니까요.)

      VI*는 유효전력이라고 생각할 수가 있지요?

      복소전력은 전압과 전류의 곱인데
      전압과 전류의 같은방향 성분이 유효전력, 다른방향 성분이 무효전력입니다.

      V=a+jb;I=c+jd라고 했을 때
      VI*을 계산하면 ac+bd+j(bc-ad)로 계산이 됩니다.

      여기서 ac+bd가 유효전력인데 어디서 많이 본 듯한 느낌이죠.
      벡터에서 보셨을겁니다.

      V를 벡터라고 했을 때, a, c가 x방향, b, d가 y방향 성분이라고 하면
      V dot I = ac+bd가 됩니다..
      즉 I의 V방향에 대한 성분을 뽑아낸 것 = 같은방향 성분으로 분리한 것이 됩니다..
      이것이 유효전력입니다.

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    2. 새로운 관점이네요. 댓글 감사합니다. ^^

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    3. 전기공학도인데 Maxwell stress tensor를 공부하다가 이해하게(?)되었습니다..

      블로그 꾸준히 정독하고 있습니다.
      감사합니다.

      혹시 Maxwell Stress Tensor에 대한 자료나
      Poisson's equation, Laplace's equation과 Fourier series를 이용한 Field analysis에 관한 도서 아는 것 있으시면 추천해주시면 감사하겠습니다.

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    4. 로렌츠님, 기초적인 수준을 넘어가면 논문보다 좋은 책은 거의 없습니다. 맥스웰 응력 텐서(Maxwell stress tensor)를 공부할 정도면 기초 수준이 아니니 원하시는 책을 찾기는 어려울겁니다.

      라플라스 방정식과 푸리에 급수를 이용한 전자장 풀이법은 전자파 분야에서 모드 정합법(mode-matching method or mode-matching technique)이라 부릅니다. 모드 정합법으로 검색하시면 많은 자료를 보실 수 있을 것입니다. 그중 모드 정합법이 기초적인 수준으로 소개된 책은 그나마 아래 책이 괜찮습니다. 더 높은 수준은 논문 보셔야 합니다.

      Numerical Techniques in Electromagnetics by Matthew N.O. Sadiku

      http://www.amazon.com/Numerical-Techniques-Electromagnetics-Matthew-Sadiku/dp/0849342325

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    5. 감사합니다.

      저도 논문이 최고의 레퍼런스라고 생각하여 저의 연구분야에 관한 최신 저널들도 빠짐없이 구독하고 있는데 논문만 봐서는 수식이 이해가 안되어 책을 찾고 있습니다.

      정확히는 경계조건을 적용하여 2-d 혹은 3-d 자기장을 analytical method로 푸는 것입니다.
      기존의 솔루션들은 해의 분포방향에 대해 무한대의 길이를 가정하고 접근하게 되는데 최신 저널들을 보게되면 분포방향에 대해 유한한 길이의 해석영역을 제한하고 있습니다..

      예를 들어, 2-d 경계조건에 관한 문제들은 해의 분포 방향이 x방향이면 경계조건 또한 x에 대한 경계 즉, y=a 에서의 수평경계조건이 주어지는데 수직경계조건도 포함된 문제의 솔루션을 구하고자 하는것이 제 목표입니다..(관련 논문이 소수 나와있습니다.)

      전기공학 안에서는 접근 방법이 한정적일것 같아 전파나 물리 혹은 재료쪽 학문에 조예가 깊으신 분에게 조언을 구하고자 하여 질문 드렸습니다.(다른 학문에는 이미 그 해법이 일반화 되어 있을수도 있을 것 같아서요..)

      답변 감사합니다.!


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    6. 경계 조건이 고정되기만 하면 푸리에 급수와 같은 모드 정합법으로 해결 가능합니다. 하지만 말씀하신 내용을 보면 닫힌 경계 조건에서 열린 경계 조건으로 가는 것 같네요. 이렇게 되면 문제가 매우 복잡해져서 푸리에 급수처럼 계수를 정하는 정도가 아니고 함수 방정식을 풀어야 해서 매우 어렵습니다.

      고민을 통해 좋은 결과 얻기를 바랍니다. ^^

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    7. 오랜만에 블로그를 보다가 제가 쓴 덧글을 보았네요. 부끄럽습니다..ㅋㅋ

      위에 질문드렸던 문제는 제가 풀지는 못했지만 후배가 결국 풀었습니다.

      후배가 풀자마자 급하게 국내학술대회에서 발표했는데 사람들이 가라(?)가 아니냐고 하더라고요. 심지어 세션 체어까지요.

      전파거북이님께 조언을 구해 mode matching method 관련 논문을 검색하고 스터디해서 해결하는 데 도움이 되었던 것 같습니다. 감사합니다.

      바쁘지 않으시면 가끔 포스팅 해주셨으면 좋겠습니다.

      전공적인 지식을 얻을 수 있는 국내 유일무이한 블로그라고 생각하거든요..ㅋㅋ

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    8. 아주 예전 답변이 도움되었다니 기쁘네요, 로렌츠님. ^^ 힘내서 글을 더 써봐야죠!

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  27. 댓글 감사합니다. 본문내용을 좀 추가했습니다.

    VI로 하면 전압과 전류의 위상차가 나오지 않습니다. 차이이기 때문에 빼기가 되어야 해서 VI*를 사용합니다. 켤레복소수를 취하면 위상의 부호가 바뀝니다.

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  28. 전파거북이님 감사합니다^^ 많은 도움 되었습니다~

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    1. 저도 댓글 통해 많이 배웁니다. ^^ 감사합니다.

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  29. 저..제가 처음 통신공학을 배우는데 페이저가 이해가안되서 돌아다니면서 이 사이트를 찾앗는데요..
    식 (1)의 좌변은 미분식이지만 우변은 복소수 기반의 대수식이기 때문에 미분식을 복소수로 해결할 수 있는 것이다
    라고 말씀하셧는데..
    그냥 이 식을 외우면 되는것인가요.. 아니면;;
    왼쪽 미분식이 오른쪽 복소수기반의 대수식이 되는지 이해해야되나여..어떻게 이해하죵..

    그리구 ㅠ 식3번에..그냥 외워야되나요..
    아니면 왜 이게 이렇게 됫는지 과정을 알아야되나요.. 알아야한다면,.. 아무리 머리굴려도 왜 Acos(wt+세타) 가 그다음형태로 되고 그다음형태가 되는지..이해를못하겟어요 ㅜ

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    1. 1. 식 (1)은 단순한 미분공식입니다. 지수함수의 미분을 이용하면 식 (1)이 쉽게 증명됩니다. 문제는 식 (1)의 유도가 아니고 식 (1)의 결과 분석입니다.
      수학과정인 미분연산자 d/dt와 숫자인 복소수 jω는 같을 수가 없지요! 하지만 본문에서 "위대한 착각"이라 표현했듯이 d/dt ≡ jω라고 그냥 생각해봅시다. 그러면 미분하지 않고 복소수 jω만 곱해서 계산할 수 있습니다.

      조금이라도 이해를 돕기 위해 본문을 수정했습니다.

      2. 식 (3)은 식 (2)를 이용해 증명할 수 있습니다. 본문에 수식을 조금 더 추가했습니다.

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    2. 와.. 초보적인 저에게도 이렇게나 본문을바꿔서 신경써주시니 진짜 감사드려요..
      구글아이디가 없지만.. 답글을하고싶어서 아이디를만들었습니당...ㅎ
      그 식1번..완전초보적인건데 ㅠ 까먹고있엇어요 감사드리구요
      식 3번 수정해주신거 정말감사드려용..
      그 imaginary부분은 복수수의 허수부분이라 빼는거 같군요..
      감사드려용 ㅠ 시험범위가 푸리에 변환까지인데 열심히읽고 시험기간이 아닌날에도 사이트들어오면서 많을걸 배우겠습니당..
      아마 푸리에급수랑 변환에도 질문할거같아요..ㅎ

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    3. 뭘요! 고평열님이 해주시는 조언이 본문의 품질을 향상시킵니다.
      감사합니다. 언제든 필요하면 질문하세요.

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  30. 안녕하십니까. phase shift를 공부하는 학생입니다.

    AM 신호에 대해 demodulation 후 위상을 파악하고 싶습니다.

    위상을 알아내기 위해 페이저로 표현을 해야할 것 같습니다만 AM 신호의 real part에서 바로 진폭과 위상을 분리해내면 되는 건가요? 아니면 AM 신호에 대해 푸리에 변환을 한 후 phase를 분리해내야 하나요?

    푸리에 변환이 시간에 대한 함수를 주파수에 대한 함수로 바꾸어 준다는 의미로 알고 있습니다. 또다른 의미를 가지고 있을까요?

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    답글
    1. AM 신호 복조 후의 위상을 계산한다니 동기식 복조(synchronous demodulation)를 하고 있는 모양이네요.
      위상을 검출하려면 AM 신호에 cos(.) 함수를 곱한 후 기저대역 신호의 위상을 봐야 합니다. 수신기 최종단의 위상(= φm + Δφ)은 전갈(message)의 위상(φm)과 송신기와 수신기 LO(Local Oscillator)의 위상차(Δφ = φt - φr)의 합입니다.
      이건 너무 단순해서 푸리에 변환까지 쓸 것은 없습니다. 삼각함수의 합과 차를 계산하면 됩니다.

      푸리에 변환은 현재 보고 있는 영역을 전혀 새로운 다른 영역에서 보는 기법입니다. 수학적으로 이 두 영역의 특성은 동일합니다.
      자세한 내용은 아래를 참고하세요.
      http://ghebook.blogspot.kr/2012/08/fourier-transform.html

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  31. 전파거북이님 궁금한 점이 있습니다.

    "페이저는 크기(amplitude or magnitude)와 위상(phase)으로만 구성이 되고 exp(jωt)는 생략한다."

    (3)번식에서 왜 실수부분만 고려하고 허수부분은 고려하지 않는 지 알고 싶습니다.

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    답글
    1. 원론적으로는 허수부를 고려해도 문제없습니다. 단순한 선택의 문제입니다.

      하지만 대부분 실수부만 택하고 있으니 대세를 따라야지요. ^^

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  32. 공업수학을 풀다가 모르는 부분때문에 페이저 검색중 여기오게되었네요..

    근데도 문제를 못풀겠어여...

    살려주세요..ㅠㅠㅠ

    x=2cos(2t-45º)
    y=d^2x/dt^2+3dx/dt+2x+∫xdt y=?

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    답글
    1. 답은 아는데..과정을 잘 몰라서 ㅠㅠㅠ

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    2. 그냥 $x$를 미분과 적분을 해도 되고 굳이 페이저로 풀어야 한다면 다음 관계 고려하세요.

      $$x = 2\cos (2t-\pi/4) =\Re[{\bf X}] ~~\Rightarrow~~{\bf X} = 2 e^{j(2t-\pi/4)}$$

      그러면 식 (1)처럼 페이저를 정의할 수 있습니다.

      $$\frac{d}{dt} \equiv 2j,~\int (\cdot)~dt \equiv \frac{1}{2j}$$

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    3. 전파거북님 귀찮게 해드려서 죄송한데요. 위 풀이를 조금더 전개해 주실수 없을까요?

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    4. 아래 수식 참고하세요.

      ${\bf Y} = (2j)^2 {\bf X} + 3(2j){\bf X} + 2{\bf X} + \frac{1}{2j}{\bf X}$

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  33. 감사합니다.

    정말 공학도에게는 빛과 소금 같은 글이군요!

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    1. 빛과 소금까지야... oTL

      시간날 때마다 조금씩 내용을 추가하고 있습니다.

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  34. 핸드폰으로 봐서 그런지 기호들이 깨져서 보이네요

    컴퓨터로 다시봐야겠어요 잘보고가요

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    1. 네 방문 감사합니다. 핸드폰으로 볼 때는 데스크탑 모드로 봐야 수식이 안깨집니다.

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  35. 정말 글 잘 읽었습니다 그런데 문득 궁금한게 생겼는데 오일러정리를 생각해보면 예를들어 e^(-j2t)=1/(e^j2t)=1/(cos2t+jsin2t)...식(A)이고
    또 e^j(-2t)로 봐서 = cos(-2t)+jsin(-2t)...식(B) 가 되어서
    (A)=(B)로 볼 수 있나요?

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    답글
    1. 익명님, 계산해 보시면 동일하다는 것을 볼 수 있습니다.
      예를 들면 $\frac{\cos (2t) - i \sin (2t)}{\cos^2 (2t) + \sin^2 (2t)} = \cos (2t) - i \sin (2t)$.

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    2. 아.. 되게 멍청했네요 제가..ㅜ 귀찮게 해서 죄송하구요 정말 좋은 글 감사합니다

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  36. 어째 봉사가 길을 더듬다가, 여기까지 왔는데, 사이트를 보고 참 고맙고 놀랐습니다.
    공들이신 흔적이 너무 보기 좋습니다.

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    답글
    1. 너무 과한 칭찬이네요, 익명님. 감사합니다. ^^

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  37. 이제 2학년 페이저를 처음 배운 전기공학과 학생입니다ㅎㅎ 페이저가 많이 이해가 안가서 찾다가 이 사이트를 알고 너무 기뻤습니다. 여러가지 궁금하고, 호기심을 자극하는 내용이 많았어요~ 아직 2학년이라 전기공학에서 뭘 많이 쓰는지 잘 몰랐는데 도움이 많이 되었습니다ㅎㅎ
    그런데... 페이저에서 궁금한게 있습니다. (3)번식에서 Re와 e^(jwt)를 없앤게 페이저의 정의인가요..?
    허수로 선택해도 되면 Acos(wt+세타)의 페이저랑 Ajsin(wt+세타)의 페이저는 같은건가요..?
    뭔가 생각하면 할수록 제가 이해가 안되는게 뭐였는지 모르게 되네요...ㅠㅠㅠ

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    1. 페이저에서 실제 파형을 빼낼 때 실수로 선택할 수도 있고 허수로 선택할 수도 있습니다.
      어떤 경우는 위상 특성은 그대로 나옵니다.
      이건 어디까지나 선택의 문제입니다. 하지만 모두들 실수로 선택하니까 대세를 따라야지요. ^^

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  38. 일반 기업에서 재직중인 직장인 입니다. 전기쪽 기술사 공부를 하기전, 전기전자에 관한 이론을 확립하기 위해 찾다가 전파거북이님 사이트를 찾게 되었습니다.
    책으로 소장하고 싶을 정도로 설명 및 참고자료가 잘되어 있어 감탄하고 있습니다.
    너무너무 감사드립니다. 항상 좋은 지식 나누어 주시길 바랍니다.

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    답글
    1. 익명님, 대단하시네요. 직장에 다니면서 공부까지 하시고. ^^
      틈나는 대로 지식을 계속 나누겠습니다. 감사합니다.

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  39. 안녕하세요 항상 전파거북이님을 응원하고있는 1인입니다.
    제가 벡터와 페이저사이에 혼란이 생겨서 질문드립니다.
    페이저도 크기와 방향 즉 벡터로 생각할 수 있는것 같은데
    벡터의 곱은 90도 차이가나면 0이 되는 반면에
    페이저의 곱은 0이 되지 않습니다
    어떤 부분에서 혼란이 오는지 감을 못잡겠습니다
    도와주세요 ㅠㅠ

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    답글
    1. 칭찬 감사합니다, Donghun Shim님. ^^

      말씀하신 대로 페이저는 벡터적 성질을 가지고 있습니다. 이는 페이저를 구성하는 복소수의 성질입니다. 또한, 벡터의 내적 성질중 하나는 두 벡터가 수직이면 벡터곱이 0이 되는 것입니다.
      복소수는 대충 보면 이런 성질이 보이지 않지만(∵ 0이 아닌 두 복소수를 곱해서 0이 되지는 않지요.) 벡터가 나온 근본을 보세요. 아래 있는 사원수(복소수의 3차원 확장)가 답을 제시하고 있습니다. 벡터 내적은 사원수를 곱한 경우의 실수부와 관련되어 있습니다. 다시 말하면 사원수 곱셈 결과를 발췌해 정의한 연산이 벡터 내적입니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/quarternion.html

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  40. 안녕하세요.
    전자공학과를 전공으로 공부하고 있는 학생입니다
    회로이론및 실험 수강중 모르는 부분에 대해서 검색하다가 블로그를 방문하게 되었는데
    굉장히 자세히 설명되어 있어서 너무 감사할 따름입니다.

    한가지 궁금한점에 대해서 질문해도 될지 모르지만
    실례를 무릅쓰고 질문올립니다
    RL회로에서 L_(Staedy State)(t)의 풀이 마지막즈음에

    Vm * e^(jΦ) / (R+jωL) = Vm *e^(jΦ) [√(R^2 + ω^2 * L^2) * e^(j*tan^(-1)(ωL/R))]
    가 맞는지 아니면 틀린지..
    맞다면 [√(R^2 + ω^2 * L^2) * e^(j*tan^(-1)(ωL/R))] 이부분을
    √(R^2 + ω^2 * L^2)∠tan^(-1)(ωL/R) 바꿔써도 무방한지 알려주시면 정말 감사하겠습니다.

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    1. 맞습니다. 더 잘 표현하려면 앞쪽에 있는 위상($\phi$)까지 함께 더해서(or 나눗셈이면 빼서) 표현하는 것이 좋습니다.

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  41. 우와~~ 회로이론 공부하고있는 대학생입니다^,^ 솔직히 회전페이저-정현파의 관계를 글로만 읽어선 이해 못했는데 검색하다가 이런 글을 보게됐네요~~ 글 써주셔서 감사합니다!!!!

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    1. 뭘요, 익명님. ^^ 공부 열심히 하셔서 좋은 회로 이론가가 되시길. :-)

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  42. 전파거북님 회로이론을 공부하는 학생인데 전체적인 맥락에서 자꾸 헷갈리는게 있어서 질문드려요. 전압원이 코사인이나 사인함수로 들어올 때, 복소 지수 함수로 바꿔서 미분방정식을 풀잖아요. 그리고 소자에 걸리는 전압값을 구할 땐 다시 복소지수함수의 실수부를 취해서 구하고요. 그런데 왜 인덕터나 커패시터등의 회로소자들의 임피던스를 구할 때, 전압이나 전류의 값을 복소 함수의 형태로 가정하여 임피던스를 구하는데 이게 유효한지 궁금해요. 실제 들어오는 값은 코사인이나 사인함수인데. 아니면 애초에 제가 들어오는 값들이 코사인 사인이라고 가정한거가 잘못된건가요?

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    1. 아 잘못말했어요. 수정해서 회로소자 임피던스를 구하잖아요. 이 때 들어오는 값을 복소 지수 함수의 형태로 가정하고 푸는데 실제 우리가 넣는 값은 사인이나 코사인의 함수 잖아요. 그럼 이 복소지수함수의 실수부를 취하지 않고 인덕터나 커패시터의 phase 분석을 하는게 유효한가요? 질문 내용이 헷갈리시더라도 이해좀 부탁드려요 ㅜ

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    2. 질문이 좀 헷갈리기는 하네요, 익명님. ^^

      페이저라는 거창한 이름은 붙였지만 그 목적은 미분 방정식을 풀기 위해 도입한 것입니다.
      이 과정은 식 (1)로 단순화할 수 있습니다. 사인이나 코사인 함수는 미분하면 함수 형태가 바뀌므로 편하게 계산하기 위해 복소 지수 함수를 도입합니다. 실제로는 사인/코사인 함수를 써야 하나, 복소수의 실수부만 택하면 사인/코사인 함수 사용 결과와 같으므로 페이저를 쓰는 것입니다.

      페이저 사용할 때는 굳이 결과를 다시 실수값으로 바꾸지 않습니다. 페이저값 자체에 이미 진폭과 위상 정보가 들어가 있기 때문에.

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    3. 아 정말 감사합니다 페이저 자체에 위상과 진폭이 있기 때문에 굳이 안바꿔도 되는군요

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  43. 물리학과 학생입니다. 전자기학 공부하는데 매우 도움이 됬어요 고마워요!

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    1. kyungmo Park님, 도움이 되었다니 다행이네요. ^^

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  44. 덕분에 제대로 알고 가요!!!

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  45. 좋은 내용 감사합니다.

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    1. 익명님들, 방문과 댓글 모두 감사드립니다. ^^

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  46. 좋은 글 감사합니다. 유익한 내용이었습니다. 그런데 궁금한 내용 있어서 그 부분을 댓글로 여쭤 볼려고 합니다.

    본문에 '모든 시간 변화 함수를 exp(jωt) 형태로 표현할 수 있는가? 이런 exp(jωt) 접근법의 타당성은 푸리에 급수(Fourier series) 혹은 푸리에 변환(Fourier transform)과 밀접하게 관련되어 있다.' 라는 부분이 있습니다.

    이 부분에 대해서 이해가 잘 안가서 그러는데 모든 시간 변화 함수가 exp(jwt)로 어떻게 표현이 가능한지에 대해서 여쭤 봐도 되겠습니까?

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    1. 질문하신 부분이 바로 이해가 되는 것이 이상한 것입니다. 푸리에 급수의 완비성 증명 없이는 복소 지수 함수로 모든 시간 변화 함수를 표현할 수 있다는 것은 증명되지 않습니다. 이 부분은 리만 적분의 의미와도 관계있습니다. 시간되실 때 아래 링크의 내용을 계속 읽으면 이해가 될 것입니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html

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  47. 본문중 '수학 연산을 고려하지 않고 다소 무식하게 식 (1)을 보면 d/dt≡jω 라고 착각할 수 있다.
    이거 말이 되는건가? 하지만 이것은 아주 위대한 착각이다'라는 부분이 있었습니다.

    이것을 착각이라고 표현한 이유가 있나요? 예를 들어 안맞는 경우가 있다던지....

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    1. $j \omega$는 복소수인 숫자이지만, $d/dt$는 미분 연산자입니다. 숫자와 연산자는 같을 수 없기 때문에 위대한 착각이라 표현한 것입니다.

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    2. 친절한 답변에 감사 드립니다.

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  48. 덕분에 많은 지식 알아갑니다. 감사합니다. 혹시 교수님이신가요?

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  49. 울 교수님들 보다 더 잘 설명해쥬신다;;; 천재같아요 공학도인데 정말 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

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    1. 칭찬 감사합니다, 춘님. ^^ 교수님 수업도 열심히 들으세요.

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  50. 안녕하세요 전파거북이님ㅎㅎ
    아까 퓨리에 글에 여쭤보고 여기서도 하나 더 여쭤보려구요..ㅠㅠ
    Phasor signal Trigonometric signal의 연관 관계는 무엇이고 어떻게 이들을 응용할수 있을까요??ㅠㅠ
    이해력이 부족하여 댓글로 여쭤보는거 이해해주세요 ㅠㅠ

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    1. 익명님, 질문하신 용어는 많이 쓰이는 것 같지는 않네요? 어떤 응용에 쓰이는 용어인가요?

      이름만 보면 페이저 신호는 신호 구성 성분이 페이저로 느껴지고, 삼각 신호는 삼각 함수로 표현된 것 같네요.

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  51. 안녕하세요! 전기전자공학을 공부하면서 전파거북이님의 글에 많은 도움을 받고 있습니다.
    질문이 있는데,
    식 (6)의 첫번째 줄 A_3*e^(phi_3)이라 쓰신 것은 A_3*e^j(phi_3)을 의미하신 것인가요? 그렇지 않다면 저렇게 표기하신 이유는 무엇인가요?

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    1. 지적 정말 감사합니다, 익명님. ^^ 몇 년 동안 틀려있던 것을 익명님이 알려주셨네요. 수정했습니다.

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  52. 안녕하세요. 전파거북이님의 블로그를 안지 얼마되지않은 학생입니다. 인터넷을 하면서 이 블로그를 찾은것을 보람되게 느낄정도로 게시글을 열심히 보고 배우려고 노력하고있습니다. 다만 한가지 조금 염려되는것이 언제 글들이 삭제될지도 모른다는 불안에..ㅜㅜ 아직 어린나이기에 더 배우고싶은것이 많지만 시간이 좀 오래걸린다는게 문제라.. 되도록 블로그를 오랫동안 유지해주십사 부탁드립니다 ㅠㅠ

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    1. 방문 감사합니다, 칭찬도 힘이 되고요, 익명님. ^^
      구글이 블로그 서비스를 종료하지 않는 한 절대 글을 삭제하지 않습니다. 지식을 서로 공유하자고 쓴 글입니다. 안심하고 보세요.

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  53. 안녕하세요 전파거북이님
    저는 물리학과 학부생이고 올려두신 포스트들 항상 감사하고 많은 도움 받고있습니다. 먼저 감사하다는 인사드립니다
    다름이아니라 페이저 개념을 사용하지 않고 L Circuit을 풀었을때 v = V × sin(wt)로 두면 i = V/wL × sin(wt - pi/2) 를 얻고 유도 리액턴스는 X = jwL라고 하는데 이부분이 이해가 가질 않습니다. 분명 페이저 개념을 쓰면 맞지만, 단순계산으로는 위상차가 있기때문에 저 결과가 나오지 않을것 같은데 제가 착각하고 있는 부분이 있는지요? 너무 답답해서 질문드립니다. 답변 주시면 정말 감사하겠습니다...
    오늘도 좋은 하루되시길 바라며

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    1. 익명님, 방문 감사합니다. ^^

      리액턴스 개념은 페이저에서 나온 것이라서, 미분 방정식으로만 풀 때는 리액턴스를 쓰면 앞뒤가 맞지 않습니다. 유도 리액턴스가 나온 원래 방정식인 $\phi = L i$를 써서 풀어야 합니다.

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  54. 거북님 빠른 답변 정말 감사합니다.^^
    아마 페이저에 대한 기초 지식 없이 너무 성급하게 배우려고 한 것 같습니다 부끄럽네요ㅎㅎ...

    좋은 하루되세요~~

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  55. 거북님 안녕하십니까ㅎㅎ 고3 물2수능을 준비하는 학생입니다..ㅎㅎ 부끄럽지만 급하게 개념을 습득하다보니 이해가안가는부분도있는데요
    고등교육과정에서 교류회로 부분을 페이저개념을 이용하여 이해를돕고자한다면 쉽게이해가 가능할까요??
    대학 물리 관련학과를 두고있습니다!! ㅎㅎ 글읽어주셔서 감사합니다

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    1. 네, 익명님, 페이저를 이용하면 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
      원래 미분 방정식으로 풀어야 하는 것을 초등 개념으로 수행할 수 있는 것이 페이저입니다.

      좋은 결과 있기를 바랄게요, 익명님. ^^

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  56. 전파 거북님 안녕하세요. 궁금한 점이 있어서 이렇게 글을 올립니다.

    예를 들어 AC source에 대한 RLC회로를 분석할 때, phasor라는 개념을 사용하게 되고 회로의 input 이나 output을 취할 때는 크기와 위상에 대한 정보만 있으면 되므로 실수부나 허수부 중 아무거나 하나 취하면 되는거지 않습니까. 그런데 예를 들어 제가 회로 input값을 cos파형(실수부)라고 했을 때, 회로 input phasor와 회로 임피던스 phasor를 계산하여 output을 도출하는 과정에서는 회로 input의 실수부와 실제 사용하지 않는 허수부 모두를 계산과정에서 쓰는게 되는데, 이 과정이 유효한지 궁금합니다. 제가 이해하고 있는 것이 맞는 것인지 헷갈리네요. 틀렸다면 부연설명을 부탁드리고. 만약 맞다면 이 계산과정을 이해하려면 어느 부분 공부가 선행되야하는지 가르쳐주시면 정말 감사할거같습니다.

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    1. 페이저는 식 (1)에 있는 것처럼 미분 방정식을 편하게 해결하기 위한 도구입니다.
      질문처럼 회로 입력이 실수가 들어오면 페이저로 계산한 후 답의 실수부를 취하면 됩니다. 당연히 중간 과정에는 실수부와 허수부 계산이 동시에 들어갑니다. 이걸 실수부만 계산하면 일반적으로는 맞지 않게 됩니다.
      페이저를 잘 이해하려면 질문에 예를 드신 RLC 회로를 미분 방정식으로도 풀어보고, 페이저로도 풀어보면 페이저의 도입과 사용 과정 전체를 잘 이해할 수 있습니다.

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  57. 안녕하세요 전파거북이님, 전자전기공학을 전공하고 있는 학부생입니다. 이번 학기에 교류회로와 전자장, 물리전자등의 과목을 수강하게 되었는데 생소한 페이저 개념에 대한 정보를 찾던 중 전파거북이님의 블로그까지 들어오게 되었는데 정말 많은 도움이 된 것 같습니다. 페이저 뿐 아니라 제가 허술하게 공부했던 복소수에 대한 글까지 볼 수 있어 정말 감사하게 생각하고 있습니다! 좋은 글 보러 종종 들르겠습니다 ^^

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    1. 방문 감사합니다, 익명님. ^^ 종종 놀러오세요.

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  58. 본페이지는 exp(jwt)의 시간약속을 사용하고 있다고 하셨는데..

    이게 어떤 의미인지 잘 모르겠습니다. 이렇게 명시하신 이유는 원래의 시간약속과는 다른 시간약속을 사용하고 있기 때문이겠지요..원래의 시간약속은 바로 생각하기에, cos(wt)에서의 t를 말하는것 같습니다.

    여기서 exp(jwt)의 시간약속을 사용한다는 의미가 어떤 것인지요?

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    1. 혹시 exp(jwt)의 시간약속을 사용한다는 의미가

      어떤 함수가 있을때 그 함수가 cos 함수, 즉 정현 함수 형태로 변하는 경우를 이야기하는 것인가요?

      그러니까 y=3*t 이런 함수는 exp(jwt)의 시간약속을 사용하지 않는 것이고

      y=E(r)cos(wt+theta) 이런 함수는 exp(jwt)의 시간약속을 사용하는 것인지요?

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    2. 아래 링크 초반부를 보시면 이해하실 것입니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

      간단하게 생각하면 $\Re[ e^{-i \omega t} ] = \cos (\omega t)$, $\Re[ e^{j \omega t} ] = \cos (\omega t)$가 성립하기 때문에, 둘 중 적당한 하나를 택하면 됩니다.

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  59. 전파 거북이님 진심으로 감사합니다. 컴퓨터 공학과 석사 과정을 밟고 있는 학생인데요. 공학중에 전류의 교류 성질에 대해서 공부하던중 페이져 이론을 조사하다 우연히 이 사이트를 알게 되었는데 설명이 너무 잘되어 있어서 감동받았습니다 . 앞으로도 자주 이용 할것같은데 잘 부탁드립니다 ^^;

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    1. 방문 감사해요, 익명님. ^^ 자주 놀러오세요.

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  60. 식 (6)의
    두 번째 줄에서
    +...[A_1*sin(phi_1) + A_2*sin(phi_2)]에서 대괄호 전체에 제곱 표시가 빠진 것인가요??

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    1. 오타가 있었네요. 지적 정말 감사합니다, CHK님. ^^

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  61. 안녕하세요 전파거북이님. 포스트 잘 보고 있습니다. 실례가 안된다면 in phase, quadrature component에 대해 간단하게 설명 부탁드려도 될까요? 어디서부터 접근해야할지 좀 막막해서 말씀드립니다 ㅜ

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    1. 사인/코사인 함수와 유사합니다. 비슷하지만 위상이 90도만큼 차이나는 성분입니다. ^^

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  62. 안녕하세요. 혹시 "exp(jωt) 시간 약속"이 무엇인지 다룬 포스트가 따로 있나요?

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    1. 아 댓글 중에서 찾았습니다.

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    2. 시간 약속은 파동을 고려할 때 의미가 있습니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

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  63. 안녕하세요 전파거북이님 좋은글 매우 잘보고있습니다. 글을 다보고 생긴 질문이 몇가지 있습니다.

    1. 페이저란 결국 계산을 간단하게 하기 위하여 도입한거고 그 과정은

    time domain(직교좌표) -> frequency domain(극좌표) 로 변환하여 계산하는건가요?

    2. 일반좌표계가 아닌 복소좌표계의 단위원 exp(jwt)를 사용한 이유는 복소수가 회전(각주파수)와 관련있기 때문인가요?

    3.RLC 회로에서 허수가 가지는 물리적 의미가 궁금합니다. 대충 아는 바로는 에너지소자의 충전,방전되는 에너지양으로 알고 있는데 맞나요?

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    1. 반갑습니다, 익명님. ^^

      1. 맞습니다. 영역을 복소수로 바꾸는 것입니다.

      2. 정확히는 푸리에 변환 때문입니다. 임의의 신호를 복소 지수 함수의 합(혹은 적분)으로 표현할 수 있는가란 질문에 '예'라고 답을 하는 것이 푸리에 변환입니다.

      3. 전압과 전류의 위상 차이를 표현합니다. 같은 위상이면 실수겠지만, 위상이 달라지면 복소수가 되어야 합니다. 만약 위상이 90도 차이나면, 순허수가 되고, 이때는 손실 없는 에너지 저장이나 방출을 뜻합니다.

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    2. 전파거북이님 빠른 답변 감사합니다.

      덕분에 많이 깨우치고 갑니다.

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  64. 너무 좋은 글 감사합니다.

    막 전기기사 준비한다고 보고 있지만 이해가 쉽진 않네요. 더 열심히 다른 포스트까지 다 보겠습니다^^

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    1. 좋은 결과 있기를 바랍니다, Shinjae님. ^^

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  65. 전과하느라 수강신청이 꼬여서 고생하고 있는데 정말 감사합니다. 다른 포스트들도 큰 도움이 되네요.

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    1. 큰 결심하셨네요, 박희승님. ^^ 열심히 해서 좋은 결과 있기를 바래요.

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  66. 입체 그림을 보니 직관적으로 바로 눈에 보이네요!
    감사합니다!

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    1. 저의 지론도 수학과 물리학을 시각적으로 이해하기입니다. ^^

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  67. 안녕하세요 전자공학 전공중인 학부생입니다.
    궁금한게 있는데 p=vi 가 순시 전력인데 이를 페이저변환 후 P=VI를 적용시킨후 다시 이를 역페이저 시키면 원래 순시전력 p=vi가 나오는지 궁금합니다.
    제가 해보면 v=Vmcos(wt+(0v-0i)) i=Imcos(wt)라 가정하고 두식을 해보면
    p=vi 를 그냥 한경우 상수+cos 식이 나오고 페이저로 바꾸고 푼뒤 다시 역 페이저를 취한경우
    p=그냥 cos 식만 나와서요...
    페이저변환은 복잡한 계산을 편리하게 해주는 도구라 배워 삼각함수 계산을 피하기 위해 해봤는데
    의견을 듣고 싶습니다.

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    1. 페이저로 표현한 전력은 두 신호의 위상 차이만 고려하므로 순시 전력과 차이를 가집니다. 서로 같지 않습니다.

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  68. 정말 유익한 글들을 잘 보고있습니다. 정말 감사합니다.
    글을 보다가 한가지 궁금한 점이 생겼습니다.
    댓글에도 비슷한 내용이 있지만 d/dt≡jω를 정의하여 사용한다고 하셨는데
    정확하게 수학적인 계산을 통해서 d/dt≡jω가 나온것이 아닌데 저렇게 정의하여
    사용해도 되는 자세한 수학적인 근거를 알고싶습니다.

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    1. 식 (1)이 그 근거입니다. 함수가 지수 형태라면 미분을 대수적으로 취급할 수 있습니다.

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  69. 교류의 전력중 유효 전력은 전력의 평균값으로 나오는데, 무효 전력은 어떠한 식에 의해서 유도된 것인가요 아니면 피상 전력과 유효 전력의 복소 평면 상의 관계에 의해서 나온건가요?

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    1. 식 (14)의 실수부가 유효 전력(effective power), 허수부가 무효 전력(reactive power)입니다.

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  70. 감사합니다. 큰 도움이 되었습니다. 앞으로도 이 블로그를 자주 애용하게 될 것 같습니다 ㅎㅎ

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  71. 위의 내용이 아직 모두 머리속에 잘 정리가 되지 않았지만 제게 많은 도움이 되었습니다. 그리고 질문은 댓글로만 가능한가요? 메일로도 가능한지 질문드립니다.

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    1. james님, 이메일도 가능합니다만 가능하면 댓글로 해주세요. ^^

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    2. 질문드립니다. 어떤 주기를 갖는 시간함수에 대해 exp(jωt)의 무한 급수로 나타낸다면 이 함수는 즉 각각의 다른 주파수의 무한한 페이저의 합이 되는 것인가요? 아니면 이 함수를 하나의 페이저로 취급하여 페이저의 연산이 가능한 것인지 궁금합니다. 만일 그렇다면 어떻게 무한급수를 하나의 페이저로 취급이 가능한지 정말 궁금합니다.

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    3. 페이저 개념의 수학적 기반은 푸리에 급수입니다. 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html

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  72. 안녕하세요. 매번 지식에 감탄하면서 글들을 보고 있습니다. 질문이 하나 있는데요. 식(4)또는 식(5)의 페이저 연산이 정현파에서 무엇을 의미하는지 잘 모르겠어서요. 식(4)같은 경우 두 정현파 cos(wt+@1), cos(wt+@2)의 곱이라고 생각할 경우 실제 두 정현파의 곱으로 인한 결과는 0.5×(cos(2wt+@1+@2)+dc)이 되서 페이저의 곱 연산 결과 cos(wt+@1+@2)와 다른데 페이저의 곱이 어떤 의미를 갖는지 궁금합니다.

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    1. 식 (9)를 한 번 보세요. 정현파를 서로 곱하면 2배수 주파수 성분이 추가로 생기지만 평균 전력 관점에서는 의미가 없기 때문에, 페이저 곱으로 처리하더라도 괜찮습니다.

      페이저 곱은 복소수 연산이기 때문에, 전체 위상이 각 항의 위상만큼 회전합니다. 이게 회로와 통신에서는 중요한 의미를 갖습니다.

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    2. 답변 감사합니다.

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