2011년 6월 10일 금요일

페이저를 이용한 임피던스 정의(definition of impedance using phasor)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "임피던스 정의"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전압
2. 전류
3. 저항
4. 커패시터
6. 정말 유용한 페이저 개념

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Magnets and Electromagnets 그림을 누르면 시작됩니다.
[수치해석: AC 회로 이론(phet.colorado.edu)]

전압(voltage), 전류(electric current), 저항(resistor), 커패시터(capacitor), 인덕터(inductor) 개념을 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 관점에서 완벽하게 증명했기 때문에 교류(交流, AC: Alternating Current) 회로 이론을 정립할 단계에 와있다.
교류 회로 이론의 필수적인 개념은 임피던스(impedance)이다. 임피던스의 원래 뜻은 '저항(resistance)'과 매우 유사하다. 어떤 물체의 진행을 방해한다는 의미로 임피던스를 쓸 수 있다. 즉, 저항과 너무 비슷하기 때문에 이 용어를 한글로 번역하지 않고 영어 그대로 사용한다. 그렇더라도 헷갈리지는 말자. 저항 ≡ 임피던스인 것을 기억하자.
굳이 저항과 임피던스를 구별하자면 저항은 DC(Direct Current) 저항이며 임피던스는 AC 저항이다. 그래서, 임피던스는 저항의 개념을 AC까지 확장한 개념인 것이다.
저항($R$), 커패시터($C$), 인덕터($L$)를 지배하는 공식을 전압과 전류 관점으로 쓰면 다음과 같다.

                          (1)

임피던스를 정하기 위해 페이저(phasor)를 도입하자. 페이저는 다음과 같이 정의한다.

                                  (2)

                   (3)

식 (2)와 (3)을 이용해서 식 (1)의 미분기호를 $d/dt \equiv j \omega$로 바꾸면 다음을 얻는다.

                                  (4)

신기하게도 식 (2)를 이용하면 식 (4)와 같이 저항($R$), 커패시터($C$), 인덕터($L$) 종류와는 관계없이 AC에 대해 옴 법칙(Ohm's law)을 다음과 같이 일반화할 수 있다.

                                  (5)

페이저를 도입했기 때문에 임피던스는 복소수(complex number, 수학에서 복소수는 보통 $z$로 표기)로 표기한다. 그래서, 임피던스를 나타내는 문자는 $Z$를 사용한다.
임피던스 개념을 최초로 제안한 사람은 페이저의 창안자인 헤비사이드(Oliver Heaviside)이다. 헤비사이드는 은둔의 과학자답게 우리에게는 잘 알려져 있지 않지만 평생을 혼자 조용하게 연구하면서 페이저(phasor), 교류 회로 이론(AC circuit theory), 라플라스 변환(Laplace transform), 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 전송선 이론(transmission line theory), 전리층(ionosphere), 도파관(waveguide), 포인팅의 정리(Poynting's theorem) 등의 개념을 최초로 제안하고 심도있게 발전시켰다. 현재 우리가 배우는 것의 대부분은 사실 헤비사이드의 머리에서 나왔다. 고등학교만 나온 헤비사이드를 이런 수준의 과학자로 만든 것은 맥스웰(James Clerk Maxwell)의 책[1]이었다. 1873년에 읽은 맥스웰의 책에 감동받은 헤비사이드는 자신의 인생을 전자파에 바치기로 결심하였다. 얼마 뒤 회사까지 그만두고 부모님의 집에서 결혼도 하지 않은 채 평생을 전자파 연구에 매진했다.

                         (6)

                         (7)

임피던스 개념을 사용하면 커패시터와 인덕터를 이용해 일반화한 식 (6)의 KCL(Kirchhoff Current Law)과 식 (7)의 KVL(Kirchhoff Voltage Law)을 DC와 유사하게 아래와 같이 표현할 수 있다.

                         (8)

임피던스를 이용해 일반화 시킨 식 (8)의 AC 회로용 KCL과 KVL을 이용하면 직렬과 병렬 회로의 등가 임피던스(equivalent impedance)를 쉽게 계산할 수 있다.
[그림 1] 직렬로 된 임피던스(출처: wikipedia.org)
[그림 2] 병렬로 된 임피던스(출처: wikipedia.org)

저항(resistor), 커패시터(capacitor), 인덕터(inductor)에 대한 등가 임피던스 유도를 참고하면 직렬과 병렬에 대한 등가 임피던스를 식 (9)와 (10)처럼 증명할 수 있다.

                         (9)

                         (10)

임피던스가 복소수인 것의 의미를 생각해 보자. [그림 3]과 같이 임피던스는 복소수이기 때문에 크기(magnitude)와 위상(phase)을 가진다.

 [그림 3] 임피던스의 복소평면 표현(출처: wikipedia.org)

임피던스의 크기가 의미하는 것은 전류 흐름을 방해하는 정도인 저항(resistance)을 뜻한다. 식 (4)에도 제시되어 있듯이 저항, 커패시터, 인덕터는 항상 저항을 가진다.
그 다음으로 중요한 것이 위상이다. 식 (5)를 크기와 위상으로 다시 표현하면 아래와 같다.

                         (11)

임피던스의 위상이 의미하는 것은 전류 위상에 비해 전압 위상이 차이나는 정도이다. 페이저 관점에서 전압과 전류의 위상은 임피던스의 위상만큼 차이가 나게 된다.
이를 이해하기 위해 [표 1]을 살펴보자.

[표 1] 주파수별 임피던스의 변화

저항 소자는 주파수가 아무리 바뀌어도 임피던스의 변화가 없다. 하지만, 인덕터와 커패시터는 식 (4)에 의해 주파수별로 임피던스 특성이 바뀌게 된다. 인덕터의 경우 주파수가 0(DC)으로 가면 단락(短絡, short)으로 작용해 임피던스가 없지만 주파수가 매우 커지면 거의 개방(開放, open)처럼 행동해 임피던스가 무한대(or 전류가 흐를 수 없는 상태)가 된다. 커패시터는 주파수가 0(DC)일 때는 개방이었다가 주파수가 높아질수록 단락과 유사한 상태가 된다.
또한, 관심있게 봐야하는 것은 임피던스의 위상이다. 식 (4)를 참고하면 저항은 위상 차이를 만들어내지 못하지만 인덕터는 $j$(=90˚)만큼 커패시터는 $-j$(=-90˚ or 270˚)만큼의 위상 차이를 만들어낸다. 즉, 전류 위상을 0˚이라 가정하면 저항의 전압 위상은 0˚, 인덕터의 전압 위상은 90˚, 커패시터의 전압 위상은 -90˚이 된다.

AC 회로 이론에서는 새로운 개념들이 쏟아져 나오게 된다. 영어를 쓰는 미국인에게는 자명한 내용이지만 영어가 외국어인 우리에게는 외워야할 대상이다. 어쩌겠나 헤비사이드가 한국 사람이 아닌 것을.

                         (12)

임피던스는 복소수기 때문에 실수부($R$)와 허수부($X$)로 나눌 수 있다. 임피던스의 실수부는 전류 흐름을 방해하는 저항(resistance)을 의미하고 허수부는 에너지 저장과 관련된 리액턴스(reactance)를 뜻한다. 식 (4)에서 임피던스가 허수를 가질 수 있는 소자는 커패시터와 인덕터이다. 커패시터와 인덕터는 에너지를 전기와 자기 형태로 저장하는 소자이다. 그런데, 에너지 저장과 리액턴스는 무슨 관계인가? 리액턴스를 굳이 한글로 번역하면 '반발 비율' 혹은 '반응 비율'이다. 스프링(spring)과 같은 물건은 외부에서 힘을 주면 에너지를 저장했다가 다시 튕기는(or 반발하는) 능력이 있다. 마찬가지로 커패시터와 인덕터도 외부에서 전압이나 전류가 가해지면 에너지를 저장했다가 반드시 에너지를 방출하는 반발을 한다. 이런 의미에서 임피던스의 허수부는 리액턴스라는 이름이 붙어있다.
임피던스의 역수는 어드미턴스(admittance)라고 한다. 어드미턴스를 한글로 번역하면 '허용 비율'이다. 즉, 전류를 잘 흐를 수 있도록 허용하는 비율이라는 의미이다. 어드미턴스의 실수부($G$)는 컨덕턴스(coductance), 허수부($B$)는 서셉턴스(susceptance)라고 한다. 이를 각각 한글로 번역하면 컨덕턴스는 전도 비율, 서셉턴스는 허가 비율이 된다. 서셉턴스라는 말이 생긴 이유는 리액턴스(반발 비율)의 역수를 허락 비율(permittance)로 표현하면서부터이다. 반발과 허락을 영어로 표현하면 reactance, susceptance가 되니 영어로 생각하면 이런 복잡한 용어를 쉽게 외울 수 있다.

[참고문헌]
[1] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol. 1 and vol. 2, 1873.

[다음 읽을거리]
1. 전송선 이론
2. 전압해와 전류해의 유일성
Enhanced by Zemanta

댓글 53개 :

  1. 대박 입니다. 이런 뜻이었군요 ㅠㅠ 감사합니다

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  2. 안녕하세요? 항상 감사하게 생각하며 읽고 있습니다.
    위상각 개념에서 전류위상각이 기준이 되는 이유가 있을까요?

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  3. ^.^ 전류위상이 기준이 될 특별한 이유는 없습니다. 다만 모든 이론에서 일관되게만 적용하면 됩니다. 페이저를 이용해 전력을 정의할 때도 V×I*를 통해 전류위상이 기준이 됩니다. 포인팅의 정리에서도 E×H*를 통해 자기장위상을 기준으로 사용합니다.
    우리 선배들이 전류위상을 기준으로 한 이유를 굳이 유추하자면 옴의 법칙때문입니다. DC에서는 V = IR, AC에서는 식 (11)처럼 V = IZ가 되어 전류위상을 기준으로 전압위상을 정의하는 것이 자연스럽습니다.

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  4. 그렇군요~^^ 감사합니다!

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  5. 감사합니다 수업을 들어도 무슨말인지 전혀 이해가 안갔는데 이글을 보고나니 어떤개념인지 머릿속에 정리가되네요. 이글말고도 다른글들도 감사하게 생각하며 보고있습니다 행복한하루 되세요 ^^

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  6. ^.^ 도움이 되었다니 저도 기쁘네요.

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  7. 안녕하세요. 최근에 이 블로그를 알게되서, 도움을 많이 받고 있습니다.
    질문이 있는데요.
    커패시터에서 주파수가 0 (DC)일 때, 개방상태가 되어서, current가 흐르지 못한다고 하셨는데요.
    공식만 보고, current가 흐르지 못하는지는 알겠습니다.
    물리적인 현상으로는 어떻게 이해를 해야할지 모르겠습니다. 왜 주파수가 0이면, 커페시터는 dc current를 흐르지 못하게 하나요?

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  8. 감사합니다.

    DC에서 커패시터에 전류가 흐르지 못하는 이유는 회로가 끊겨져 있기 때문입니다. 끊겨져있어서 커패시터 양끝에 정전용량이 허용하는 만큼 전하가 쌓일 수는 있지만(Q = CV) 전하가 흐르는 것은 아니기 때문에(V의 시간변화가 없는 게 DC) 전류가 생길 수 없습니다.

    AC에서는 커패시터 양끝에 쌓인 전하가 변화하는 V에 따라 충전/방전되기 때문에 전류가 흐를 수 있습니다.

    또한, 커패시터 내부에 생기는 현상을 설명하는 것이 맥스웰이 제안한 변위전류입니다. 도선에는 전류가 흐르고 있고 커패시터 내부에는 전류가 없는 것은 이상합니다. 그래서 연속성을 맞추어주기 위해 등장한 것이 변위전류입니다. 도선의 전도전류가 커패시터 내부에서는 변위전류로 바뀝니다.

    이 부분은 이해가 잘 안되더라도 너무 걱정하지 마세요. 맥스웰이 변위전류를 주장했을 때 정신나갔다는 소리를 들었습니다. 지금은 누구나 받아들이지만 당대 학자들도 거부했던 개념입니다.

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  9. 답변 감사합니다 ^^

    변위전류에 대해서 이해해볼려고, 위키피디아를 읽어봤는데요 ㅎ

    이 변위전류라는 것이 전하가 커패시터를 통해서 흘러서가 아니라, time-varying electric field 라고 하더군요. 즉, AC current가 커패시터를 통해 흐른다는 말은, electric field(inside the capacitor) 가 시간에 따라, 변하는 것을 말하는거구요.

    또한, 이 time-varying electric field 는, 전파거북이님께서 말씀하신 것 처럼, 커패시터 양끝에 쌓인 전하가 충전과 방전을 반복하기 때문에 발생하는거구요.
    제가 맞게 해석했는지는 모르겠네요 ㅎㅎ;

    쫌 어리석은 질문일런지는 모르겠지만, 그렇다면 DC 에서는 electric field가 변하지 않는 반면, AC 에서는 Electric field가 시간변화가 있다는 건데, 왜 이것을 보고, 전류가 흐른다, 안흐른다고 말하나요? (또한, 이 외에, 다른 이유가 있다면)

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  10. 변위전류에 대해서는 아래에도 설명이 있습니다.

    http://ghebook.blogspot.com/2010/09/maxwells-equations.html

    위에 말씀하신 내용은 다 맞습니다. 커패시터 양끝에 전하가 충전/방전되기 때문에 쿨롱의 법칙에 의해 시간적으로 전기장이 커지거나 작아집니다.

    DC는 말그대로 시간변화가 없다는 말이므로 전기장(or 전하)이 시간적으로 변하면 안됩니다. 그러니 커패시터에는 전류를 흐릴 수가 없지요.

    쿨롱의 법칙(or 가우스 정리)을 보면 전기장의 원천이 전하이기 때문에 전기장이 시간적으로 변한다는 말은 전하가 시간적으로 변한다는 말과 같습니다. 전하가 시간적으로 변하면 당연히 전류가 되지요.

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  11. 쓸데없는 얘기지만 헤비사이드 정말 대단한 사람이었군요. 이력도 특이하고, 은둔의 과학자라 진짜 멋지네ㅎㅎ

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  12. 헤비사이드 본인도 자신의 재능에 놀랐을겁니다. 맥스웰에 감복해서 시작한 전자파 연구지만 나중에는 맥스웰을 넘어서서 자신만의 이론으로 발전시켰습니다.

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  13. 대단하세요~ 푸리에 급수 때문에 왔다가 여기까지 왔네요.... 대학원까지 졸업했는데...
    기억이 안나서...머리가 돌인가 봅니다...ㅎㅎ 거북님의 지식에 한없이..저 스스로 부끄럽네요..
    대단하세요.^^ 좋은자료를 통해서 다시 공부해야겠습니다.^^

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    1. 칭찬 감사합니다.

      누구든 계속 공부하지 않으면 잊어 먹게됩니다. 익명님만 특별히 돌(?)인 것은 아닙니다. 저도 기억 안날 때가 많습니다.

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  14. 와... 큰 감동 받고 갑니다..

    이런 깊은 concept이 있었군요..

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    1. 죄송하지만 나중이라도 시간나실때

      filter와 cutoff frequency부분 강의도 올려주실 수 있나요?!

      너무 감동받아서요 ㅎㅎ

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    2. 감사합니다 ^^

      개인적으로 밥이라도 한끼 사드리고 싶네요...ㅎㅎ

      개념간의 연결고리가 잘 이어진거 같은 기분입니다..!!!

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    3. 방문하신 것만으로도 밥 한 끼 산 것이지요...
      익명님도 좋은 정보 많이 공유해 주세요.

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  15. 헤비사이드가 아마 에너지 구하는 오퍼레이터도 만들었던 거 같은데...이런 괴물들은 왜 있는 걸까요 ㅠㅠ

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    1. 헤비사이드가 만든 에너지 연산자는 어떤 것이지요? 처음 들어봅니다.
      에너지와 비슷한 전력에 대한 공식은 포인팅 정리입니다. 이름은 포인팅으로 되어 있지만 헤비사이드가 최초로 제안했습니다.

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    2. 앗;;해밀토니안이었는데 착각했어요. 헤비사이드도 하도 많이 나와서 헷갈렸네요....

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  16. '정말 유용한 페이저(phasor) 개념' 이란 글에서 d/dt ≡jw 라는 생각은 위대한착각이라고 쓰셨는데 여기선 어떻게된건가요;;

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    1. 익명님, 임피던스에 쓴 페이저도 혁명적인 개념입니다. 임피던스는 회로 연구자를 미분 방정식에서 해방시킨 또하나의 위대한 착각입니다. ^^

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  17. 컨패시턴스와 저항이 병렬로 연결되어있을때에 등가 임피던스를 구하면
    R/(1+jwC)의 형태가 나오게 됩니다. 그때 이것을 A+jB의 형태로 바꾸는 방법이 궁금합니다.ㅜㅜ
    가르쳐 주실수 있을까요??

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    1. 단순한 복소수 나눗셈입니다. 분모, 분자에 켤레 복소수를 곱해서 정리하세요.

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  18. 좋은글 감사합니다. 궁금한게 있어서 질문 드려요.
    인덕터는 지상역률(전압이 전류보다 위상이 90도 앞선다고 배웠습니다)
    따라서 사인파로 그려보면 전압과 전류의 최대값에 90도만큼의 위상차가 나타남을 확인할수 있습니다.
    그런데 Vm= Z * Im 으로 이용해서 Z임피던스를 구하는데 이부분이 이해가 안되네요 .
    전압과 전류의 각 최대값에서 위상차가 존재하므로 동시에 최대값이 존재할수 없는것 아닌가요???

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    1. 최대값이 아니더라도 신호의 모든 시간대에서 위상차가 존재합니다. 이걸 쉽게 보여주는게 페이저(phasor)입니다.

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  19. 전기전자전파공학부에 재학중인 학생입니다. 기초가 부족해서 고생하는...
    전력계산에 관한 글을보다가 이것저것 보고갑니다.. 존경스럽습니다. 소름돋았네요. 진짜 대단...그런데 블로그에 원래 자유게시판이나 글쓰는공간이 따로없고 이렇게 댓글이 다인가요? 더 소통하고싶은데 ㅠㅠ
    구글아이디만있었는대 글남기려고 새로가입했네요..

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    1. 방문 감사합니다, junhee choi님. ^^
      쉬엄쉬엄하세요, 공부의 길은 매우 길어요. 끝까지 버티는 사람이 결국은 이깁니다. 열공 :-)

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  20. 존경 합니다.... 정말로

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    1. 존경까지야... 방문 감사합니다, 익명님. ^^

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  21. 복소수의 개념에서 같은 복소수에 대해 페이저는 위상 지연으로 설명되고 임피던스에서는 에너지 저장 개념으로 설명이 되는데 둘 과의 연관성을 알고 싶습니다.^^

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    1. 저랑은 이해의 관점이 약간 다른 것 같습니다, 익명님. ^^
      익명님의 질문과 아래 내용을 비교해주세요.
      - 페이저: 교류를 표현하기 위한 손쉬운 기법
      - 임피던스: 페이저를 이용해 교류의 전기 저항을 표현하는 기법

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  22. 필요한 부분을 읽고있는데 교과서보다 더 좋은거같아요...즐겨찾기해놓고 자주 읽어봐야겠습니다.
    궁금한게 있는데
    페이저는 jwt 부분을 생략하고 jθ 만을 쓰는데
    jwt는 주파수정보가 있는 부분인데 이거는 일정한(고정된) 값이라서 쓰질 않는건가요??

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    1. 네, 맞습니다. 주파수는 정해져 있고, 시간(t)은 미분하더라도 지수항에 머물러 전체가 고정되었다고 생각하면 됩니다.

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  23. 안녕하세요, 요즘 group delay, group velocity에 대해 공부하는 중인데 해결이 잘 안되어... 전파거북이 님이 갑자기 떠올라 블로그를 찾았습니다. 위 키워드로 검색하니 이 페이지가 뜨는데 delay에 대한 내용은 아니지만 질문을 남겨보고 싶습니다.

    일반적으로 phase, group delay나 velocity는 positive값을 갖는데 meta material과 같은 음의 refractive index를 갖는 물질(구조)에서는 negative값을 갖을 수 있는데, 이를 해석하면 input pulse가 들어가기 전 output pulse가 나온다는 말인데 이해가 잘 안됩니다.

    ref. Dolling, Gunnar, et al. "Simultaneous negative phase and group velocity of light in a metamaterial." Science 312.5775 (2006): 892-894.

    답변 기다리겠습니다. 편하실 때 답변좀 부탁드리겠습니다. 감사합니다.

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    1. 인과성이 성립하지 않는다면 무언가 틀린 것입니다.
      우리가 다루는 신호는 주기적이어서 마치 입력 전에 출력이 나오는 것처럼 보이지만 아닙니다. 출력이 먼저 나온 것 같지만 이건 현재 입력이 아니라 이전 입력의 출력이므로 인과성은 잘 성립합니다.

      위상 속도, 군속도 등의 특성은 메타물질에서 다양하게 변할 수 있기 때문에 정의에 맞도록만 사용해야 합니다. 확대 해석하면 오류가 생길 수 있습니다.

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  24. 안녕하세요. 공부하는 대학생입니다. 최근에 전파 거북이님 블로그를 알게 되어서 큰 도움이 되었습니다.
    고맙다는 인사말을 하고 싶었어요. 감사합니다.

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    1. 도움이 되었다니 다행이네요, 익명님. ^^ 방문 감사합니다.

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  25. 공학도인데 항상 보고 공부하는데.. 실력이 많이 부족함을 느끼네요. 많이 유익합니다. 감사합니다

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    1. 처음부터 잘 하는 사람은 극히 드물어요. 참고 끝까지 가는 사람이 전문가가 된다고 믿습니다. ^^

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  26. 안녕하세요

    식1-1의 양변을 미분하면 식 1-2가 되신다고 하셨는데

    왜 자속밀도를 미분하면 전압이 되나요? 잘 이해가 안되서 그러는데

    관련 게시글이나 이론을 알려주시거나 설명좀 부탁드릴게요

    그리고 유익한글 감사합니다.

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    1. 그게 바로 이해가 되면 안됩니다. ㅠㅠ 아래 패러데이 법칙을 꼼꼼하게 보세요, 익명님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/faradays-law-of-electromagnetic.html

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  27. 선배님 안녕하세요. 뒤늦게 공학 공부를 하고 있는 학생입니다. 선배님의 간단한 프로필을 보니 멘토역활을 하신다고 적혀있던데, 선배님에게 메일로 따로 여쭤볼 말이 있습니다. 혹시 가능할까요? 그냥 공대생으로서의 고민을 말씀드리고 조언 받고 싶어서요.
    저의 메일은 frespiritdun@naver.com입니다. 항상 글 잘 읽고 있습니다. 정말 감사합니다.

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    1. 답변 가능하면 회신은 합니다만 너무 큰 기대는 마세요. ^^
      공대생의 고민은 교수님이나 혹은 얼굴 보면서 교감할 수 있는 선배가 더 적절할 것 같네요.

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  28. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    1. 아닙니다. 특성 임피던스도 복소수가 될 수 있습니다. 이름에 임피던스가 붙어 있지만, 특성 임피던스는 일반 임피던스와 완전히 다른 개념입니다. 이와 관련된 개념은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/08/characteristic-impedance.html

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    2. 거북님 블로그에서 공부 좀 더하고 질문드리려고 질문을 일단 삭제했습니다^^

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  29. 복소 임피던스에서 임피던스의 크기가 빗변의 길이가 되는 것은 복소수의 수학적 특징때문인가요?? 아니면 물리, 공학적인 이유가 우연히 복소수의 특징과 일치한 것인가요??

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    답글
    1. 미분 방정식을 간단히 계산하기 위해 복소수를 도입한 것이 페이저입니다. 이 페이저 특성 때문에 말씀하신 성질이 생깁니다.

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