2011년 6월 9일 목요일

자기장의 에너지(energy of magnetic field)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기장의 에너지"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
5. 인덕터
6. 전기장의 에너지


자기(磁氣, magnetism)가 가진 에너($W = q­V$)를 기반으로 자기장(magnetic field)의 에너지를 유도하기 위해 에너지 축적에 필요한 일(work)의 미분(differential)을 생각해보자.

                       (1)

여기서 $V$는 전력(起電力, electromotive force)과 관련된 전압(기전력과 크기는 같고 반대부호)이다. 식 (1)을 시간 미분으로 나누면 자기로 축적되는 전력(electric power)을 식 (2)와 같이 얻을 수 있다.

                       (2)

여기서 $q = 0$이라 가정하였다. 전류(electric current)가 흐르지 않으면 자기장이 생기지 않기 때문에 자속(magnetic flux)이 0이 되므로 $q = 0$이란 가정은 타당하다. $q \ne 0$인 경우는 전기장의 에너지(energy of electric field)를 고려해야 한다.
명확히 증명했던 식 (3)을 이용하면 자기장의 묶음인 자속(magnetic flux)은 인덕턴스(inductance)와 전류(current)의 곱으로 표현할 수 있다.

                       (3)

따라서, 식 (2)로부터 인덕터 내부에 축적되는 자기 에너지(magnetic energy)는 아래로 표현할 수 있다.

                       (4)

식 (4)를 자속 밀도(magnetic flux density)자기장(magnetic field)으로 표현하기 위해 아래식을 생각한다.

                                   (5)

                                   (6)

식 (5)와 (6)을 식 (4)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                         (7)

여기서 에너지를 구하기 위한 부피는 [그림 1]의 오른쪽과 같이 열린 표면적(open surface)을 자기장의 주회 적분(周回積分, circuital integral) 방향으로 무한히 모은 것이다.

[그림 1] 닫힌 표면적(왼쪽)과 열린 표면적(오른쪽)(출처: wikipedia.org)

식 (7)을 유도하기 위해 다음의 벡터 항등식(vector identity)을 사용하였다.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 다음 항등식을 얻는다.

             (9)

면적 미분소 $d\bar a$와 선 미분소 $d \bar l$은 임의로 잡을 수 있기 때문에 자속 밀도와 동일한 방향으로 $d\bar l$을 잡거나 자기장과 동일한 방향으로 $d \bar a$를 잡으면 식 (9)의 우변 마지막 항을 0으로 만들 수 있다.
식 (7)로부터 자기장의 에너지 밀도(energy density)[J/㎥]를 아래로 정의할 수 있다.

                         (10)

식 (4)와 (10)을 상호비교하면 재미있는 점을 찾을 수 있다. 솔레노이드(solenoid)와 같은 인덕터(inductor) 근처에만 존재한다고 생각했던 자기 에너지가 실제로는 전공간에 흩어져 있다는 사실 말이다. 거꾸로 이야기하면 자기장이 있으면 근처에 인덕터가 없더라도 자기 에너지가 반드시 존재한다는 것이다.

여러 개의 자기장이 존재하면 저장 에너지는 어떻게 될까? 식 (4)는 일반식이므로 두 개의 전류 $I_1, I_2$가 존재한다고 가정하자. 그러면 전체 저장 에너지는 다음과 같다.

                         (11)

여기서 $M$은 전류 $I_1, I_2$ 사이에 존재하는 상호 인덕턴스(mutual inductance)이다. 신기하게도 상호 인턱턴스 $L_{12}$와 $L_{21}$은 서로 같다. 이는 노이만 공식(Neumann formula)으로부터 다음과 같이 쉽게 증명된다.

                         (12)

식 (11)에서 보는 바와 같이 전류간에 상호 작용이 없다면 전류 각각을 계산한 에너지와 등가 인덕턴스(equivalent inductance)를 이용해 계산한 에너지는 서로 같아야 한다.
인덕터가 [그림 2]와 같이 직렬로 구성되면 등가 인덕턴스는 식 (13)과 같이 표현된다.

[그림 2] 직렬로 된 인덕턴스(출처: wikipedia.org)

                         (13)

[그림 2]와 같은 구조에 저장되는 에너지는 상호 작용이 없는 경우 다음과 같다.

                         (14)

식 (14)에서 인덕턴스가 서로 다르다면 직렬조건에 의해 다음처럼 증명된다.

                   (15)

[그림 3]과 같은 병렬 구조의 등가 인덕턴스는 식 (16)과 같다.
[그림 3] 병렬로 된 인덕턴스(출처: wikipedia.org)

                         (16)

이 경우 상호 작용이 없는 자기장의 저장 에너지는 다음과 같다.

                        (17)

두 인덕턴스가 서로 다른 경우는 병렬조건에 의해 다음처럼 증명된다.

                       (18)

식 (18)에서 전압이 같으면 자속이 같다는 것은 패러데이의 전자기 유도 법칙(Faraday's law of electromagnetic induction)으로부터 쉽게 증명된다.

상호 작용이 존재하면 식 (14), (17)은 정확한 식이 아니다. 반드시 식 (12)로 표시되는 상호 인덕턴스를 고려해야한다. 상호 인덕턴스는 전류가 흐르는 방향에 따라 (+) 혹은 (-) 값을 가질 수 있으므로 저장 에너지는 커질 수도 있고 작아질 수도 있다.

[그림 4] 상하로 구성된 인덕터

공간상에 두 개의 인덕터만 있는 경우 인덕터들의 상호 작용을 생각해보자.
[그림 4]처럼 상하로 구성되면 비오-사바르 법칙(Biot-Savart's law)에 의해 서로 잡아당기는 인력이 작용해야한다. (∵ 1과 2의 전류 방향이 같기 때문에 인력이 작용한다. 혹은 자석을 생각하면 N극은 S극을 당기고 S극은 N극을 당기기 때문이다.) 그런데, 이 인력은 시간변동이 없는 정자장(靜磁場, magnetostatics)인 경우에만 맞다. 왜냐하면, 시간에 대한 변동이 존재하면 전자기유도 법칙(law of electromagnetic induction)에 의해 반대방향 기전력(起電力, emf: electromotive force)이 계속 발생하기 때문이다. 예를 들어 [그림 4]의 두 인덕터가 비오-사바르 법칙에 의해 가까이 접근하면 자기장이 커지므로 렌츠의 법칙에 의해 반대방향 전류가 생겨서 지속적으로 인력이 약해진다. (너무 빠르게 접근하면 인력에 반하는 척력이 작용할 수도 있다.)
$r$이 매우 크면 1과 2 인덕터 사이에 상호 작용은 없으므로 저장 에너지는 식 (14)처럼 표현된다. 2번 인덕터가 1번쪽으로 움직이면 1과 2 인덕터가 느끼는 자기장이 커지기 때문에 렌츠의 법칙(Lentz's law)에 의해 자기장을 줄이는 방향으로 기전력이 생긴다. 즉, 1과 2의 전류가 줄어드는 것이다. 이 줄어든 전류만큼이 식 (11)에 표현된 상호 인덕턴스 형태의 에너지로 저장된다. (식 (12)를 이용해 [그림 4]의 구조를 계산하면 $M > 0$이 된다.) 인덕터가 더 가까이 가면 전류가 더 줄어들면서 상호 인덕턴스는 커지게 된다.

                    (19)

이를 수식으로 표현한 것이 식 (19)이다. 인덕터가 움직이다가 $r$ 지점에서 멈추었다고 가정하면 운동 에너지(kinetic energy)는 0이므로 에너지 보존법칙에 의해 식 (19)가 반드시 성립해야한다. (∵ 자기장의 저장 에너지는 사실 포텐셜 에너지(potential energy)이다.) 에너지의 유입이나 유출이 없는 상태에서 식 (19)가 성립하려면 무한대에서의 전류가 $r$ 지점 전류보다 반드시 커야한다.

[그림 5] 좌우로 구성된 인덕터

[그림 5]처럼 좌우로 구성되면 인덕터들에 생기는 상호 작용은 어떻게 될까? 일단 비오-사바르 법칙에 의해 인덕터들은 서로 밀어내는 척력이 작용한다. (∵ 1과 2의 전류 방향이 다르기 때문에 척력이 작용한다. 혹은 자석을 생각하면 N극은 N극을 밀고 S극은 S극을 밀기 때문이다.) 식 (12)를 이용해 [그림 5]의 구조를 계산하면 $M < 0$이 된다.
두 인덕터들간의 거리 $r$이 커지면 인덕터가 느끼는 자기장도 커지기 때문에 전류를 줄이는 방향으로 기전력이 생긴다. 그래서, $r$이 매우 커지면 인덕터에 흐르는 전류도 줄어들게 된다.
이를 수식으로 표현한 것이 식 (20)이다.

                  (20)

저장 에너지 관점으로 상호 인덕턴스가 가질 수 있는 범위를 정하면 다음과 같다.

               (21)

어떤 경우에도 저장 에너지는 0보다 작을 수 없기 때문에(∵ 인덕터는 저항이 없는 순수 도선이므로 에너지를 소비할 수 없고 저장만 할 수 있다.) $M$은 식 (21)의 마지막줄과 같은 범위를 가져야한다. 즉, 식 (21)의 둘째줄에서 (+)를 택하고  $I_1 I_2 > 0$이라 가정하면 $M > -\sqrt{L_{11} L_{22}}$가 되어야 $W_m$이 항상 0보다 크다. 마찬가지로 $I_1 I_2$를 (-)로 택하면 $M < \sqrt{L_{11} L_{22}}$가 성립해야 한다. 따라서 이 두 가지 경우를 합치면 $|M|$은 식 (21)의 범위를 가져야 한다.

[다음 읽을거리]

댓글 23개 :

  1. 도움 많이 되었어요.. 흑흑

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  2. 여기 자료들이 너무 좋은 거 같아요 ^_^

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  3. 마지막 21번 상호인덕턴스값 범위가 어떻게 나온건지 잘 모르겠습니다. 설명좀 부탁드릴게요

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  4. 자기장이 가진 전체 저장에너지는 식 (11)로 구할 수 있습니다. 이게 식 (21)의 첫째줄입니다. 이걸 제곱식으로 정리하면 식 (21)의 둘째줄이 됩니다. 식 (12)의 정의에 따라 M은 (+) 혹은 (-)가 될 수 있으므로 식 (21)의 둘째줄에 ±가 들어가 있습니다.
    다음으로 저장에너지는 항상 0보다 크다는 조건을 이용하면 식 (21)의 마지막식이 얻어집니다.

    위의 본문설명을 더 구체적으로 바꾸었습니다.

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  5. 본문에서 저장에너지는 항상 영보다 크다고 하셨는데 왜그렇게 되는것인가요?? 그리고 선생님께서 말씀하신 저장에너지는 자기에너지를 말씀하시는 것인가요??

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    1. 철학적인 질문인데요... ^^

      저장된 에너지이기 때문에 0보다 크다고 한 것입니다. 0보다 작으면 소비되는 에너지인데 구조 상 손실이 없기 때문에 에너지가 소비될 수 없습니다.

      위에 있는 에너지는 모두 자기장의 에너지입니다.

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    2. 제가 다른 책에서 자기에너지는 항상 영보다크다는 문구를 본 것 같아서 드린질문입니다^^ 자기에너지는 항상 영보다 크다는 말이 맞는 말인가요??
      그리고 또 한가지 약간은 엉뚱한 질문인데요.. 영구자석은 에너지를 가지고 있는지 궁금합니다;;

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    3. 공간에 존재하는 자기장의 에너지이므로 0보다 항상 큽니다. 식 (10)을 보면 분명합니다.

      영구 자석도 자기장이 있으므로 식 (10)만큼 공간에 에너지를 만듭니다.

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    4. 답변 감사합니다. 제가물어본 영구자석의 에너지는 영구자석 자체가 에너지를 가지고 있는지를 여쭈어본것입니다. 추가적으로 그럼 전기에너지도 공간에 저장되는 것이므로 항상 영보다 큰가요??

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    5. 자석 외부에 자기장이 만들어지려면 에너지가 필요합니다. 이건 분명히 영구 자석에서 나온 것이지요. 그래서 영구 자석도 에너지가 있습니다.

      전기장의 에너지도 마찬가지입니다.

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    6. 그렇다면 자기장을 만드는데 에너지를 소모하기만 하고 충전되지 않는데도 자기장을 반영구적으로 만들어 낼 수있는 영구자석은 무한대의 에너지를 가지고 있는 것인가요??

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    7. 이름은 영구 자석이지만 시간이 지나면 자석 에너지가 줄어들지요. 그래서 에너지가 무한대가 되지 않습니다.

      혹은 영구 자석의 비자화(demagnetization)를 생각해 보면 됩니다. 예를 들어 영구 자석을 뜨겁게 데우거나, 교류를 가하면 영구 자석은 돌이 됩니다. 에너지가 무한하지 않다는 것이지요.

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    8. 그런데 영구자석이 만들어지는 과정을 살펴보면 자성체가 포화될 때까지 전류를 흘려준 뒤 다시 전류를 영으로 만들면 잔류자속이 남게 되는 것으로 알고 있습니다. 그런데 궁금한 것이 처음에 전류를 흘려줄 때 자성체에 에너지가 공급되고 전류를 제거하면 에너지중 일부분은 전원으로 회수되고 나머지 부분이 자성체에 남게되는 것 이라고 알고있습니다. 그런데 이렇게 자성체에 남게된 에너지는 히스테리시스 손실로 사라지는 것 아닌가요?? 선생님 말씀에 따르면 이러한 에너지가 사라지지 않고 자기장을 만드는 것인가요??

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    9. 자성체에 남은 에너지가 모두 열로 손실이 되면 영구 자석이 안되겠지요. 자기 이력 특성으로 잔류 자기장을 만들 때 일부는 열로 손실될 수 있지만 대부분은 자기장 형태로 남아야 합니다.

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    10. 답변 감사합니다. 항상 좋은 가르침 감사합니다^^

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  6. Ixd(LI)/dt 가 왜 1/2 * d(LI^2) / dt 가 되는건가요?? 1/2가 어디서 나오는건지 모르겠네요 ㅠㅠ

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    1. 괄호 안의 전류 제곱을 미분해 보세요. ^^

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  7. 궁금한게있습니다 ㅠㅠ 예를들어 자화밀도가 고르게 굳은 무한히 긴 원통의 경우에 표면속박전류가 자기장을 만들지만 H필드가 0이기 때문에 자기에너지가 없는걸로 생각됩니다. 하지만 편극의 경우, 대체전기장이 들어간 1/2D*E와 1/2E^2의 차이는 (유전상수는 생략했습니다.) 유전체의 원자를 비트는데 드는 탄성에너지로 알고있는데 자기장의 경우는 1/2B^2과 1/2H*B로 따져서 그 차이를 생각하진않나요? 원통의 경우 H*B는 0이지만 B^2이 존재하는데 그 차이가 무슨 에너지인지 궁금해서요...

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    1. 전기장과 자기장의 구성 관계식(constitutional relation)을 생각하면 쉬울 것 같습니다. 자기장의 경우, 전체 에너지는 진공 중의 자기장 에너지와 자기 쌍극자 모멘트가 가진 포텐셜 에너지의 합니다. 이때 포텐셜 에너지는 모터(motor) 원리에 나오는 내용과 동일합니다.

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  8. 안녕하세요~

    정말 정리가 잘되어 있습니다.
    책으로 내셔도 될 것 같아요.

    혹시 이번 챕터와 관련이 없을 수도 있습니다만
    서로 다른 극성의 자석끼리 당기는 힘
    혹은 같은 극성 끼리 미는 힘은 어떻게 설명 가능할까요?

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    1. 근원적으로 자기력은 실험 법칙이라 설명하는 것이 애매할 수 있습니다.
      하지만 "그 어려운 걸 자꾸 해냅니다", 아인슈타인이 상대성 이론으로요.

      자석은 근원적으로 전류입니다. 두 도선에 흐르는 전류의 인력과 척력이 자기력인데요, 전하와 같은 속도로 움직이는 관찰자에게는 이 자기력이 전기력으로 보입니다. 즉 상대성 이론에 의해 자기력은 전기력의 다른 표현이 될 수 있습니다.

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