2011년 12월 7일 수요일

프로베니우스 방법의 적용(application of Frobenius method)

 [경고] 아래 글을 읽지 않고 "프로베니우스 방법 적용"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 멱급수 기반 상미분 방정식 해법
4. 1차 선형 상미분 방정식의 해법


프로베니우스 방법(Frobenius method)은 정상적인 멱급수(power series) 방법이 통하지 않을 때 사용하는 획기적인 기법이다.

                      (1)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 식 (1)의 해를 구하려면 다음처럼 해를 가정하면 된다.

                      (2)

여기서 상수 $r$은 다음의 지표 방정식(indicial equation)을 만족해야한다.

                      (3)

식 (3)은 2차 방정식이므로 상수 $r$은 두가지 해 $r_1$과 $r_2$를 가진다. $r_1$, $r_2$에 따라 프로베니우스 방법을 적용하는 법이 달라진다. 또한, 식 (1)은 2차 선형 상미분 방정식(the second order linear ordinary differential equation: ODE)이므로 서로 다른 두가지 해를 반드시 가져야한다.
먼저 첫번째 해는 식 (2)를 이용해 쉽게 결정할 수 있다.

                      (4)

여기서 계수 $a_m$은 식 (4)를 식 (1)에 대입해 항등식 조건($x^{r+m}$의 계수가 0)을 이용해서 구한다.

두번째 해 $y_2$는 $r_2$의 특성에 따라 달라진다.

1. $r_1 \ne r_2$인 경우

$r_2$가 $r_1$과는 다르다면 두번째 해 $y_2$는 다음처럼 쉽게 표현된다.

                      (5)

하지만, $r_1, r_2$가 서로 다르더라도 $r_1 - r_2$가 정수가 되면 식 (4)와 (5)가 같은 경우가 생긴다. 이때는 식 (15)를 적용해야한다.

2. $r_1 = r_2$인 경우

선형 상미분 방정식 경우와 동일하게 두번째 해 $y_2$를 다음처럼 정해서 식 (1)에 대입하자.

                      (6)

치환을 통해 식 (1)의 미분 방정식을 식 (6)으로 단순화시킬 수 있다. 다음으로 프로베니우스 방법 증명 때와 동일하게 $x = 0$ 근방에서 $y_2$가 만족해야하는 특성을 생각해보자. 먼저 $y_1$은 코쉬-오일러 방정식(Cauchy-Euler equation)에 의해 다음을 만족해야한다.

                      (7)

여기서 $c_0$는 임의의 상수이다.
식 (7)의 특성을 식 (6)에 대입하면 $u'$에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                      (8)

여기서 $y_1 = x^{r_1}$, $a = p(0)$, $c_0$는 적분에서 얻어진 상수이다. 식 (8)의 세째식은 식 (3)의 지표 방정식이 중근을 가지기 위한 조건($[r + (a-1)/2]^2 = 0$)이다. (이상의 조건을 식 (8)의 둘째식에 대입하면 $x u'' + u' = 0$이란 미분 방정식을 얻을 수 있다. 이를 풀면 $u = c_0 \log x$란 해를 얻는다.)
그러면, $x = 0$ 근방에서 $y_2$는 다음 관계를 만족해야한다.

                      (9)

식 (9)를 그대로 식 (6)의 세째줄에 대입하기에는 너무 복잡하므로 좀 단순화해보자. 식 (9)에서 로그 함수(logarithmic function)가 나온 이유는 $x = 0$ 근방에서 행동을 규정하기 위해서였다. 식 (10)을 이용하면 식 (9)를 좀더 단순하게 표현할 수 있다.

                      (10)

즉, 식 (10)이 성립하기 때문에 식 (9)에서 $m \ge 1$ 인 경우는 $x = 0$에서 테일러 급수(Taylor series)를 전개할 수 있다.

                      (11)

즉, 식 (10) 이 성립하기 때문에 최종 결과는 식 (11)로 표현할 수 있다. 왜냐하면 $x = 0$ 근방에서는 식 (10)에 의해 $y_1(x) \cdot {\rm log}x$처럼 움직이며 $x = 0$에서 멀어지면 로그 함수의 특이점이 없어지기 때문에 테일러 급수 전개가 가능해야 한다. 이 두가지 개념을 하나로 합치면 식 (11)이 된다.

식 (11)에 식 (4)를 대입하여 테일러 급수 전개하면 두번째 해 $y_2$를 더 간단하게 표현할 수 있다.

                      (12)

여기서 계수 $d_m$을 구하기 위해서는 식 (12)를 식 (6)에 대입해서 항등식 조건을 이용한다. 재미있는 것은 식 (12)를 사용하더라도 $x = 0$ 근방에서 행동하는 방식은 식 (9)와 동일하다.

3. $r_1 - r_2 = M$인 경우

$r_1 - r_2$가 정수만큼 차이나는 경우는 식 (4)와 (5)가 같을 수 있다. (항상 이런 것은 아니다. 꼭 기억하자.) 편하게 생각하기 위해 $r_1 > r_2$라 가정해서 $M$은 항상 0보다 크다고 가정하자.

[표 1] $r_1 - r_2 = 1$인 경우의 멱급수 예시

예를 들어 [표1]처럼 $r_1 - r_2 = 1$일 때 $a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, \cdots,$ $b_0 = 1, b_1 = 0, b_2 = 2, b_3 = 3, \cdots$ 이런 식으로 계수가 얻어진다고 가정하자. $m = 0$인 경우는 $a_0$ or $b_0$ 앞에 식 (3)의 지표 방정식이 항상 곱해지고 지표 방정식은 0이 되어야 하므로 $x^r$의 계수값은 항상 0이다. (∵ 이렇게 지표 방정식이 0이 되어야 $a_0, b_0$를 임의로 택할 수 있다. 식 (18)도 참고하자.) 그러면, $r_1, r_2$는 다르지만 [표 1]에 의해 식 (4)와 (5)가 같아져 버리게 된다. 즉, 해들이 서로 독립이 되지 않는다. 그래서 이 경우는 새로운 방법을 찾아야 한다.
접근 방법은 $r_1 = r_2$인 경우와 매우 유사하다. $x = 0$ 근방에서 식 (8)을 이용하면 다음과 같은 $u$를 얻을 수 있다.

                      (13)

여기서 $a = p(0)$이다. 물론 이 결과는 당연하다. (∵ $x = 0$ 근방에서 $y_2$는 $x^{r_2}$처럼 움직여야한다.) 식 (9)와 동일한 과정을 이용하면 $y_2$는 다음과 같다.

                      (14)

그런데 식 (14)는 모양만 다르다 뿐이지 식 (5)와 동일하다. 하지만, 위에서 예로 든 $y_1 = y_2$인 경우는 $r_1 = r_2$인 경우와 동일하므로 최종해는 식 (12)와 동일한 모양을 가져야할 것이다.

                      (15)

여기서 $\eta$는 결정되어야 하는 상수이다. 식 (12)와는 다르게 상수 $\eta$가 식 (15)에 쓰인 이유는 무엇일까? $r_2$를 미분 방정식에 대입한 결과가 $y_1 \ne y_2$라면 $\eta = 0$가 되어야 한다. $y_1 = y_2$가 되면 식 (15)에서 로그항이 살아남아야 하므로 $\eta \ne 0$이 되어야한다. 이를 위해 상수 $\eta$가 필요하다.
식 (15) 증명의 엄밀성을 더하려면 식 (6)을 다시 고려해야 한다. 식 (6)을 $u'$ 관점으로 생각하면 $u'$에 대한 1차 선형 상미분 방정식(the first linear ODE)이 보인다. 1차 선형 상미분 방정식은 해법이 있으므로 $u'$는 반드시 다음식이 되어야 한다.

                      (16)

식 (4)를 식 (16)에 대입하면 다음을 얻는다.

                      (17)

식 (17)을 통해 식 (15)처럼 로그 함수가 출현하는 경우는 $m = M$인 경우이다. 물론 $c_M \ne 0$인 경우에만 로그 함수가 출현한다.
쉽게 생각하면 식 (6)에서 $y_1(x)$와 $p(x)$를 급수 전개하면 $u'(x)$가 $1/x$ 항을 가질 수 있기 때문에 로그 함수가 출현할 수 있다.

이상의 결과를 바탕으로 식 (4)와 (5)에 있는 $a_m, b_m$의 재귀 관계를 구해보자. $b_m$을 구하는 것은 $a_m$을 구하는 것과 유사하므로 $a_m$만 구해본다.

            (18)

[다음 읽을거리]
1. 베셀의 미분 방정식

댓글 55개 :

  1. 잘보고 갑니다~~ 감사합니다

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  2. 도움되었다니 기분 좋습니다. ^^

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  3. 감사합니다. 항상 잘 보고 있습니다. ^^

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  4. ^^ 월요병은 없으시지요. 관심 감사합니다.

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  5. 감사합니다! 혹시 멱함수의 한계 부분을 조금 자세히 설명해 주시면 안될까요?

    멱함수 방법과 프로베니우스 방법이 적용되는 미분방정식이 따로 있는건가요?

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    1. 아 자꾸 읽어보니 알것 같습니다 좋은 글 감사합니다!

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    2. 핵심은 x = 0에서 멱급수 전개가 안되기 때문입니다.
      아래에 있는 "멱급수 기반 상미분방정식 해법"을 읽으면 좀더 잘 이해할 수 있을 것입니다.
      http://ghebook.blogspot.com/2011/11/solution-of-ode-based-on-power-series.html

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  6. 잘보고갑니다!

    두번째 해를 구할때가 문제더군요 풀다보니 인내심도 길러지는거같고(?) ㅎㅎ

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    1. 방문 감사합니다.
      실제 문제를 풀어보면 프로베니우스의 고민을 이해할 수 있습니다. 로그함수 출현을 외울 수는 있지만 왜 존재하는 지 알려면 고민 많이 해야합니다.

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  7. 정말 잘보고 갑니다. 시험보기전 멘붕이였는데, 좋은자료 감사합니당^^*

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  8. r1-r2=M인경우에서
    m = 0인 경우는 a0 or b0 앞에 식 (3)의 지표방정식이 항상 곱해지고 지표방정식은 0이 되어야 하므로 x^r의 계수값은 항상 0이다. (∵ 이렇게 해야 a0, b0를 임의로 택할 수 있다.)
    제 식견이 부족하여, 이 문장의 의미를 정확히 모르겠습니다. 설명 좀 부탁드리겠습니다.
    요즘 이 사이트에서 많이 배우고 있습니다.

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    1. 방문 감사합니다.
      이해를 돕기 위해 [표 1]을 넣고 문장도 약간 바꾸었습니다.

      위 문장은 예를 든 것입니다. [표 1]을 보면 am, bm 멱급수가 서로 다른 것처럼 보이지만 지표방정식 때문에 같아진다는 뜻입니다. 식 (18)을 보면 지표방정식 자체가 a0, b0 앞에 있는 계수이기 때문에 이 값은 식 (3)에 의해 0이 됩니다. 그래서 없는 것과 마찬가지입니다.
      [표 1]에서 a0, b0는 0이라고 놓고 보세요. am, bm이 같아 보입니다.

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    2. 덕분에 이제 알겠습니다. 감사합니다. 대단하시네요. ^^

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    3. 이해가 되었다니 다행입니다. 익명님 덕분에 제 블로그 글도 좋아지고 있으니 저도 감사합니다. ^^

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  9. r_1=r_2 인 경우에 식 (6)을 도출하기위해 y_2=u*y_1을 식 (1)에 대입하셨는데, 식(6) 첫 항의 y_1은 왜 2차 도함수 표시가 안나는 것일까요?

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    1. 아 제가 잘 못봤습니다. 두번째 괄호항 내부에 나머지 x^2항이 들어있네요^^.
      그런데 그항에서 y_1은 1차 도함수로 표기되었을까요?ㅠㅠ

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    2. 허허... 이것도 해결했습니다. 조금더 생각해보고 질문을 드릴껄 그랬네요.. 댓글 제거가 안되는걸 이제야 깨달았습니다.ㅠ_ㅠ..

      위에 댓글단 식에서요. 실제로 대입해서 계산해보았는데 도출된 식 이외에 x*u*p*(y_1)'과 q*u*y_1항이 어디로 사라졌는지 이해가 되질 않습니다 ~

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    3. 댓글을 없애시려면 쓸 때 비밀번호를 입력해야 합니다.

      y1은 식 (1)의 해이기 때문에 xp*y1' + q*y1 = -x^2*y1''인 조건을 사용해야 합니다.

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  10. 결정근의 차가 정수일 때는 근의 일부 항이 겹치는 것이 아닙니다. 보다 작은 결정근에서 얻는 급수의 계수열의 일부 항만 얻을 수 있고, 나머지 항을 아예 구할 수 없게 됩니다.

    미분방정식 교재를 만들고 있는데 이쪽 내용이 첨자가 지저분해서 그런지 좀 짜증이 나는군요.

    결정근의 차가 정수가 아닐 때엔 각 결정근으로부터 얻는 급수해를 그대로 쓰면 된다고 배우긴 했는데, 이것이 선형독립이라는 것은 어떻게 증명할 수 있을까요?

    아마 여기 다시 들어올 일이 없을 것 같아 관심이 보다 있으시다면 jsm1423@naver.com이나 010-5104-2421로 연락해 주셨음 좋겠네요. 원하신다면 제쪽 자료를 보내 드리겠습니다.

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    1. 이상민님, 예로 든 [표 1]을 보시면 근을 구성하는 무한급수의 일부항만 겹치는 것으로 쓰여있지 않고 전체가 겹치는 것으로 표현되어 있습니다. '...'로 표현한 것은 계속 이어진다는 의미로 쓴 것입니다.

      근들의 독립성은 함수 행렬식을 만들면 알 수 있습니다. 아래 참고해 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/ordinary-differential-equation.html

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    2. 아닙니다, 어긋났습니다.

      제가 의도한 것도 뒤의 항이 모두 겹친단 의미에서 썼습니다만, 실제론 항이 겹치는 게 아니라 보다 작은 결정근에서 얻어야 하는 급수의 계수열을 아예 구할 수 없게 됩니다.

      그리고 독립성은 '나눠 통치'해 해결했네요.ㅎ

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    3. 그리고 결례지만, 혹시나 제가 말씀드린 것에 대해 더 흥미가 있으시다면 남긴 제 전화번호나 메일로 연락을 부탁드립니다.

      다시 들어올 기회가 있을 것 같진 않은데, 전파거북이 씨의 의견을 놓치긴 아깝네요.

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    4. 큰 틀에서 보면 두번째 해 y2를 동일한 방법으로 구했는 데 이게 어떤 경우는 y1과 독립이 안되는 것입니다. 즉, y2에 적당한 상수를 곱하면 y1이 되어 버리는 것이죠. 그걸 예로 든 것이 [표 1]입니다.

      지금 논의하고 있는 r1 - r2 = M인 미분방정식의 대표적인 예가 베셀의 미분방정식입니다.
      베셀 미분방정식의 지표방정식을 풀어보면 r = ±n이 나옵니다. n이 정수가 되면 두 해는 상수배 관계가 되어 독립이 되지 않아 식 (15)처럼 풀어야 합니다.
      자세한 과정은 아래에 증명되어 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

      저는 공개적인 대화를 선호합니다. ^^ 이게 다른 연구자들에게도 도움이 된다고 생각합니다.

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  11. 참, 그리고 단순히 로그항만 붙인다고 중근이거나 정수차인 두 실근일 때 문제가 해결되진 않습니다. 계수열도 r의 함수거든요.

    방금 그걸 깨닫고 책의 본문을 고치고 있습니다.

    아까 질문드렸던 건 해결했어요.

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    1. 맞습니다. ^^
      단순히 로그함수만 붙인다고 해결이 되지 않아요. 식 (12)나 (15)를 가정해서 미분방정식에 대입한 후 다시 식 (18)을 풀어야 합니다.

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  12. 식 9에서 11로 넘어갈때, x log(x) 가 테일러 급수전개가 가능하다고 하였는데 (x=0에서), 이것이 어떻게 가능한지 궁금합니다.

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    1. 식 (10) 때문에 그렇습니다. 식 (10)은 로피탈 정리를 이용하면 쉽게 증명됩니다.

      식 (10)이 성립하기 때문에 x = 0 근방에서는 y1(x)*log(x)로 움직이며 x = 0에서 멀어지면 특이점이 없기 때문에 테일러 급수가 가능해야 합니다. 이걸 표현한 것이 식 (11)입니다.

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    2. 음 x log(x)가 x=0 근방에서 값은 존재하지만 미분값이 무한대가 아닌가요? 이경우 테일러 급수가 가능한지 여부는 어떻게 판단할수 있나요?..

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    3. 아 그래도 그 무한대가 log (x)꼴이니 여기에 x가 또 곱해져서 괜찮겠군요.. 직관적으로 보면..

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    4. 말씀하신 이유 때문에 위의 식들 유도과정을 보면 x = 0 근방과 이외 영역을 구분하고 있습니다. 위에서 증명한 것처럼 x = 0 근방에서 y2(x)는 y1(x)·­log(x)처럼 움직입니다. x = 0을 벗어나면 log(x)의 특이점이 없어지므로 무한대가 되는 걱정을 하지 않고 테일러 급수 전개를 할 수 있습니다.

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  13. 감사합니다 ㅜㅜ 공업수학 불가피하게 몇일 수업 빠지게됬었는데
    이글 읽고 마치 수업듣는느낌이상을 받았습니다 ㅎㅎㅎ

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  14. 15번식 아래에보면 r2를 미분방정식에 대입하였을때 y1과 y2가 같지 않을때 상수는 0이라고 하셨는데요~ 이말이 이해가 잘 안되네요 ㅜㅜ 미분방정식이라함은 본식을 말씀하시는건가요?

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    1. 예, 식 (1)의 미분방정식을 의미합니다.
      본문 내용은 단순하게 생각하셔도 됩니다. 해가 같으면 로그 함수가 들어가야 하고 다르면 로그 함수가 없어져야 하므로 상수 $\eta$가 필요합니다.

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  15. 두 번째 해를 구할 때 저 공식을 어떤 식으로 이용해서 구하는 건가요?
    저 공식에 구한 y1을 넣고 y2를 다시 한 번 미분, 두 번 미분해서 원 식에 대입해서 구해내는 건가요?
    답변 주시면 감사하겠습니다ㅜㅜ

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    1. $y_2$ 정의인 식 (5), (12), (15)를 미분 방정식 (1)에 넣고 계수를 구해 $y_2$를 정합니다. 꽤 귀찮은 과정입니다.

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  16. indicial equation이 x^r과 x^r2가 있을때는 왜 차수가 작은 항을 선택해야하나요

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    1. 지표 방정식에서는 둘 다 구해야 합니다, 서로 다른 두가지 해를 얻기 위해.

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  17. incidal equation + 시그마항
    이경우에 incidial equation = (1)x^n+(2)x^2^(n+1)
    이렇게 이루어진 경우에 해를 (1)x^n=0 인 경우에서만 찾아서 문제를 풀더라고요
    (2)=0 이런식으로 발견해서 찾은 해는 왜 경우를 따지지 않는지궁급합니다.

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    1. 익명님, 위에 지표 방정식으로 사용한 식은 잘 이해가 안됩니다. -.-;;

      어떤 방법으로 풀든지 2차 선형 상미분 방정식이므로 독립해는 2개입니다. 해법은 선택하기 나름입니다.
      예를 들어 익명님의 식 (1)로 쉽게 풀린다면 상대적으로 복잡한 익명님의 식 (2)로 풀 필요는 없지요.

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  18. 식(15)에서 상수η 값은 어떻게 구하는지 여쭤봐도 될련지요..? 가능하다면 예시문제를 들어주시면 정말 감사할 것 같습니다. 그리구 이건 제 착각일지도 모르겠습니다만.... r1-r2=N 의 case에서 문제를 풀다보면 먼가 항상 r1,r2중에 큰 값에대해서는 해를 구하기가 간단한데 작은 값의 해는 복잡하다는 느낌을 받았습니다. 혹시 왜 그런지 아시나요...?

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    1. 상수 $\eta$는 계수 비교를 통해 결정합니다. 보통의 미분 방정식책을 보면 예제가 있어 여기서는 특별히 소개하지 않았습니다.

      미분 방정식의 풀이법은 그때 그때마다 달라지므로
      $r_1, r_2$로 해를 구할 때 무엇을 먼저 선택할 것인가 하는 것은 말 그대로 선택의 문제입니다.

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  19. 식(8) 이 이해가 가질 않아요 ,,, 조금만 풀어서 설명해 주실순 있나요?

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    1. 내용을 더 추가했습니다.
      귀찮더라도 식 (8)의 윗부분에서 제시한 내용을 식 (8)에 모두 대입하면 답이 얻어집니다. ^^

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    2. 식(11)에서 항상 b0=1 인가요? 그리고 식(12)가 어떻게 나오는지 잘 모르겠습니다...

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    3. m=0인 경우는 a0 or b0 앞에 식 (3)의 지표 방정식이 항상 곱해지고 지표 방정식은 0이 되어야 하므로 xr의 계수값은 항상 0이다. (∵ 이렇게 지표 방정식이 0이 되어야 a0,b0를 임의로 택할 수 있다. 식 (18)도 참고하자.) 그러면, r1,r2는 다르지만 [표 1]에 의해 식 (4)와 (5)가 같아져 버리게 된다. 즉, 해들이 서로 독립이 되지 않는다. 라는 말도 무슨말인지 잘 이해가 안갑니다..

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    4. - $b_0 = 1$은 예로 든 것입니다. 다른 숫자를 쓰셔도 됩니다.

      - 식 (11)을 멱급수로 표현하면 식 (12)가 됩니다.

      - $r_1, r_2$가 다르면 해가 서로 다를 것 같지만 같은 경우도 생기는 경우를 설명하고 있습니다. 단순하게 계수만 비교하고 있기 때문에 멱급수를 전개해 항별로 비교해보세요.
      아래 베셀의 미분 방정식도 한 번 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html

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  20. 식 (11) 괄호안 로그옆 power series가 왜 생겼는지 궁금하네요. 없어도 솔류션은 상관없는거 아닌가요? 알려주시면 감사하겠습니다.

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    1. 식 (9)를 봐주세요. 로그 함수에 의한 해는 $x = 0$ 근방만 표현합니다. 전체 영역으로 확대하려면 멱급수가 반드시 들어가야 합니다.

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  21. 식(9)에 b0계수를 고려해서 식(11)에서도 b0*log(x)항으로 되어야 하는 것 아닌가요? 아니면 뒤에 멱급수가 그걸 보완해주나요? 모르겠네요ㅜㅜ

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    1. 댓글에 답이 있었네요 감사합니다.

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    2. 혼자 답을 찾는 것이 가장 좋은 공부법입니다, 익명님. ^^

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  22. r이중근일때 log의등장으로x가0으로 수렴할때 수렴하는건알겠는데 그렇지않을때 n=1항부터시작으로 단순히 테일러급수로 더했는데 두식을따로 조건을달아 쓰지않고 단순이 더해도되는이유가 궁금합니당

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    답글
    1. 식 (9)와 (11)을 비교하면 계수가 바뀐 것을 볼 수 있습니다. 테일러 급수 관점에서 보면 계수에 따라 임의 함수 표현이 가능하므로, 단순히 더한 것이지만 일반적인 해를 표현할 수 있게 됩니다.

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