1계 선형 상미분 방정식의 해법(Solution of the First Order Linear Ordinary Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "1계 선형 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식

3. 완전 미분

선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation, linear ODE)은 일반적인 해법이 존재하지 않아서 각 경우마다 고민을 해서 새로운 풀이법을 찾아야 한다.

             (1)

하지만 1계(階) 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)인 경우는 일반 해법이 있다. 모든 경우에 적용되는 일반 해법의 핵심은 바로 적분 인자(integrating factor)이다. 적분 인자를 이해하기 위해서, 식 (1)의 미분 방정식에 $n$ = $1$을 대입하고 강제적으로 $m(x)$라는 함수를 곱한다.

                       (2)

우리 짐작대로 식 (2)에 곱한 $m(x)$가 적분 인자이다. 함수 $p(x)$가 주어진 경우, 미분 관계를 이용해 적분 인자를 구할 수 있다. 먼저 식 (2)의 둘째식에서 좌변만 집중하며 아래처럼 $m(x) y$의 미분을 기계적으로 구한다. 그런 다음에 강제적으로 이 두 식이 같다는 조건을 적용해서 적분 인자 $m(x)$를 결정한다.

                       (3)

식 (3)에서 구한 적분 인자 $m(x)$는 이미 정해진 함수 $p(x)$의 적분이므로, $m(x)$는 $p(x)$에 의해 딱 하나로 정해진다. 그 다음에 식 (2)의 좌변을 $m(x) y$의 미분으로 바꾼 후 단순 적분을 하면, 1계 선형 상미분 방정식의 일반해를 다음과 같은 부정적분으로 간단하게 표현할 수 있다.

                       (4)

식 (4)에 공식화한 해를 구체적으로 결정하려면, 식 (4)의 부정적분(indefinite integral)을 정적분(definite integral)해야 한다. 이때 필연적으로 나타나는 적분 상수는 초기값(initial value)이나 경계 조건(boundary condition) 등을 이용해 계산된다.

완전 미분(exact differential)을 도입해서 적분 인자 $m(x)$를 더 확장한 일반화 적분 인자(generalized integrating factor) $\mu(x, y)$를 정의할 수 있다[1].

                       (5)

여기서 $\phi(x, y)$ = $C$, $C$는 $x, y$에 대해 상수이다. 두 변수 $x, y$를 연결하는 함수 $\phi(x, y)$ = $C$가 있고 식 (5)의 첫째식이 완전 미분 방정식(exact differential equation)을 구성하므로, 일반화 적분 인자 $\mu(x, y)$는 아래처럼 항상 존재한다.

                       (6a)

                       (6b)

                       (6c)

함수 $\phi(x, y)$의 값어치는 $x, y$의 연결 관계에서 분명해진다. 원래 $y$ = $f(x)$이지만 완전 미분을 만들기 위해 $x, y$를 독립 변수로 취급한다. 다만 이 방식이 제대로 풀리려면 식 (5)만으로는 부족하고 방정식 하나가 더 있어야 $y$를 분명하게 정할 수 있다. 이때 사용되는 $x, y$의 연결 고리가 바로 $\phi(x, y)$이다. 또한 적분 인자는 유일하지 않고 무한대로 존재한다. 예를 들어, $\phi$를 입력 변수로 하는 함수 $M(\phi)$를 식 (6c)에 곱해본다.

                       (7)

우리가 $F(\phi)$를 곱하지만 $d\phi$ = $0$이라서, 실제로는 상수 함수 $F(C)$를 곱한 셈이다. 그러면 $F(\phi) \mu(x, y)$는 새로운 적분 인자 $\mu'(x, y)$로 작용한다. 따라서 우리 선택한 함수 $F(\phi)$의 임의성으로 인해 적분 인자는 유일하지 않고 무한하게 실재한다.

적분 인자가 존재한다고 해서 바로 구해진다는 뜻은 아니라서, $\mu(x, y)$에 대한 편미분 방정식(partial differential equation)이 필요하다. 완전 미분의 조건을 식 (5)의 둘째식에 적용해서 $\mu(x, y)$를 결정하기 위한 새로운 편미분 방정식을 하나 만든다.

                       (8)

만약 일반화 적분 인자를 $x$만의 함수라 생각해서 $\mu(x)$로 두면 식 (8)은 매우 간단해진다.

                       (9)

예를 들어, 식 (2)의 첫째식을 완전 미분 형태로 바꾸어서 식 (9)를 적용하면, 일반화 적분 인자 $\mu(x)$로부터 식 (3)에 유도한 적분 인자 $m(x)$가 그대로 도출된다.

                       (10)

여기서 $A(x, y)$ = $p(x) y - q(x)$, $B(x, y)$ = $1$, $m(x)$ = $\mu(x)$이다.

[참고문헌]

[1] E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1926, pp. 27–29. (방문일 2022-11-13)

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용
2. 스튀름–리우빌 이론