2011년 11월 16일 수요일

1계 선형 상미분 방정식의 해법(Solution of the First Order Linear Ordinary Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "1계 선형 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식
3. 완전 미분


선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation, linear ODE)은 일반적인 해법이 존재하지 않아서 각 경우마다 고민을 해서 새로운 풀이법을 찾아야 한다.

             (1)

하지만 1계() 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)인 경우는 일반 해법이 있다. 모든 경우에 적용되는 일반 해법의 핵심은 바로 적분 인자(integrating factor)이다. 적분 인자를 이해하기 위해서, 식 (1)의 미분 방정식에 $n$ = $1$을 대입하고 강제적으로 $m(x)$라는 함수를 곱한다.

                       (2)

우리 짐작대로 식 (2)에 곱한 $m(x)$가 적분 인자이다. 함수 $p(x)$가 주어진 경우, 미분 관계를 이용해 적분 인자를 구할 수 있다. 먼저 식 (2)의 둘째식에서 좌변만 집중하며 아래처럼 $m(x) y$의 미분을 기계적으로 구한다. 그런 다음에 강제적으로 이 두 식이 같다는 조건을 적용해서 적분 인자 $m(x)$를 결정한다.

                       (3)

식 (3)에서 구한 적분 인자 $m(x)$는 이미 정해진 함수 $p(x)$의 적분이므로, $m(x)$는 $p(x)$에 의해 딱 하나로 정해진다. 그 다음에 식 (2)의 좌변을 $m(x) y$의 미분으로 바꾼 후 단순 적분을 하면, 1계 선형 상미분 방정식의 일반해를 다음과 같은 부정적분으로 간단하게 표현할 수 있다.

                       (4)

식 (4)에 공식화한 해를 구체적으로 결정하려면, 식 (4)의 부정적분(indefinite integral)을 정적분(definite integral)해야 한다. 이때 필연적으로 나타나는 적분 상수는 초기값(initial value)이나 경계 조건(boundary condition) 등을 이용해 계산된다.
완전 미분(exact differential)을 도입해서 적분 인자 $m(x)$를 더 확장한 일반화 적분 인자(generalized integrating factor) $\mu(x, y)$를 정의할 수 있다[1].

                       (5)

여기서 $\phi(x, y)$ = $C$, $C$는 $x, y$에 대해 상수이다. 두 변수 $x, y$를 연결하는 함수 $\phi(x, y)$ = $C$가 있고 식 (5)의 첫째식이 완전 미분 방정식(exact differential equation)을 구성하므로, 일반화 적분 인자 $\mu(x, y)$는 아래처럼 항상 존재한다.

                       (6a)

                       (6b)

                       (6c)

함수 $\phi(x, y)$의 값어치는 $x, y$의 연결 관계에서 분명해진다. 원래 $y$ = $f(x)$이지만 완전 미분을 만들기 위해 $x, y$를 독립 변수로 취급한다. 다만 이 방식이 제대로 풀리려면 식 (5)만으로는 부족하고 방정식 하나가 더 있어야 $y$를 분명하게 정할 수 있다. 이때 사용되는 $x, y$의 연결 고리가 바로 $\phi(x, y)$이다. 또한 적분 인자는 유일하지 않고 무한대로 존재한다. 예를 들어, $\phi$를 입력 변수로 하는 함수 $M(\phi)$를 식 (6c)에 곱해본다.

                       (7)

우리가 $F(\phi)$를 곱하지만 $d\phi$ = $0$이라서, 실제로는 상수 함수 $F(C)$를 곱한 셈이다. 그러면 $F(\phi) \mu(x, y)$는 새로운 적분 인자 $\mu'(x, y)$로 작용한다. 따라서 우리 선택한 함수 $F(\phi)$의 임의성으로 인해 적분 인자는 유일하지 않고 무한하게 실재한다.
적분 인자가 존재한다고 해서 바로 구해진다는 뜻은 아니라서, $\mu(x, y)$에 대한 편미분 방정식(partial differential equation)이 필요하다. 완전 미분의 조건을 식 (5)의 둘째식에 적용해서 $\mu(x, y)$를 결정하기 위한 새로운 편미분 방정식을 하나 만든다.

                       (8)

만약 일반화 적분 인자를 $x$만의 함수라 생각해서 $\mu(x)$로 두면 식 (8)은 매우 간단해진다.

                       (9)

예를 들어, 식 (2)의 첫째식을 완전 미분 형태로 바꾸어서 식 (9)를 적용하면, 일반화 적분 인자 $\mu(x)$로부터 식 (3)에 유도한 적분 인자 $m(x)$가 그대로 도출된다.

                       (10)

여기서 $A(x, y)$ = $p(x) y - q(x)$, $B(x, y)$ = $1$, $m(x)$ = $\mu(x)$이다.

[참고문헌]
[1] E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1926, pp. 27–29. (방문일 2022-11-13)

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용
2. 스튀름–리우빌 이론

댓글 17개 :

  1. 전산유체실험실2013년 4월 2일 오전 12:45

    (4)식 마지막에 적분상수 C가 빠진거 같아요

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    1. 식 (4)의 부정적분 기호 $\int$는 적분하라는 뜻이므로 $\int$ 안에 적분 상수가 포함되어 있습니다. 감사합니다. ^^

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  2. 식 (3)의 두 번째 줄이 어떻게 성립하는지 잘 이해되지 않습니다.. 설명해주시면 감사하겠습니다.

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    1. 질문자입니다. 식을 식(4)의 첫 번째 줄과 같은 꼴로 만들기 위한 m(x)를 찾기 위함인가요?

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    2. 1. 단순히 좌변과 우변을 비교하면 됩니다.

      2. 본문의 주제는 모든 1차 선형 상미분 방정식은 적분 인자를 사용하면 풀린다는 것입니다.
      식 (4)에서 $m(x)$를 찾지는 않아요, 대입만 할 뿐입니다. $m(x)$는 이미 식 (3)에서 구했어요. ^^

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  3. 저도 식 (3) 의 두 번째 줄에서 왜 q에 대한 term 이 없는지 한참을 헤매다
    Integrating factor method is the idea to set m(x) satisfy d/dx(m(x)y) = m(x)q(x)
    라는 한문장을 발견했습니다 ㅜㅜㅜ
    잘 읽고 있습니다 감사합니다!

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    1. 앗차; 질문 쓴다는 것을 깜박했네요
      위의 문장처럼 처음부터 저렇게 생각하고 들어가면 (3)의 전개가 이해되는데 그렇지 않다면 좌변과 우변이 왜 같은가요? (3)의 전개를 역순으로 (let r = exp(integral(p(x)dx), r is integral factor) 만 배워서 저 등식 성립을 잘 모르겠습니다...

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    2. 문장을 좀 더 추가했습니다. 다시 한 번 보세요. ^^

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    3. 계속 보다보니 저 위의 문장도 결국 전개가 역순인 것처럼 보이네요...ㅜㅜ
      (3) 식의 두 번째 줄은 왜 첫줄과 같은 것일까요... q 는 어디로 간 것인가요?

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    4. 앗 답변이 달린 줄 몰랐습니다 감사합니다!
      다시 읽어보겠습니다!

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  4. 공수 예습하다가 이해가 안 돼서 서칭하던 중 본 글을 봤는데 정말 이해가 잘 됐습니다ㅎㅎㅎ 감사합니다!! 코로나 조심하세요ㅠㅠ

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    1. 방문 감사합니다, Unknown님 ^^ 건강 잘 챙기세요~~

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  5. 전파거북이님 베셀방정식때문에 들어왔다가 아름다운 공학 수학 전체 정독중이네요 ㅎㅎㅎ 정리가 너무 잘되어있고 고민하면서 읽게되어요. 감사합니다

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    1. 방문과 칭찬 모두 감사합니다, 밥짓님. ^^

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  6. 앞선 질문들 처럼, 저도 식 3의 2번째줄이 어떻게 성립되는 지 잘 이해가 되지 않아서 질문드립니다.
    임의의 함수 M(x)를 곱한 상태에서, d/dx(m(x)y)가 식2의 좌변과 등호관계가 성립하는 것으로 진행되는 부분이 뭔가 비어있는 것 같습니다.

    뒷 문장까지 읽었을 때, 등호관계가 성립한 상태가 아니고
    성립하기 위해서는 m(x)가 식 (3)의 최종형태가 되어야하고,
    그 m(x)를 이용해서, 일반해를 구할 수 있다는 것 같은데, 제가 이해한 방식이 의도하신 바가 맞을까요??

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    1. 익명님, 특별한 내용은 없습니다. 식 (2)처럼 계산하고 식 (3)처럼도 계산해서 두 식을 서로 비교해서 적분 인자 $m(x)$를 구할 수 있다는 뜻입니다.

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    2. 답변 감사드립니다. 정말 도움 많이 받고 있습니다.

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