2010년 9월 15일 수요일

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 전자기파의 주파수 특성(출처: wikipedia.org)

[전자기파의 주파수 범위(electromagnetic spectrum)]

실험적으로 성립된 전자기학을 이용하여 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 1864년에 전자기장에 대한 일반적인 방정식인 맥스웰 방정식을 런던 왕립학회(The Royal Society of London for the Improvement of Natural Knowledge) 발표에서 제안하였다. 이 제안을 토대로 1865년에 맥스웰 방정식에 대한 논문이 발표되었다[1]. (맥스웰 방정식과 관계된 정확한 날짜[6]: 논문 투고 - 1864년 10월 27일, 논문 공개 - 1864년 12월 8일, 논문 출판 - 1865년 1월)
1865년 논문에서 맥스웰은 전자기장에 대한 파동 방정식(波動方程式, wave equation)을 제안하였다. 이 파동 방정식으로 인해 빛도 전자기파의 일종이라고 주장하게 된다.
전기와 자기를 수학적으로 이해하기 위해 노력하던 맥스웰이 24세[2]와 30세[3]때 논문을 차례로 발표하고 기나긴 고민을 하면서 이룬 성과였다. 이 개념을 더욱 발전시켜 1873년에는 포텐셜(potential)을 기반으로 한 파동 방정식을 제시할 수 있었다[4].
원래의 맥스웰 방정식은 20개의 변수로 이루어졌으나 1884년 헤비사이드(Oliver Heaviside)의 기여로 아래 식 (9)에서 (12)와 같은 4개의 미분 방정식으로 간편하게 정리되었다.
실험을 바탕으로 맥스웰 방정식을 구성하면 아래와 같다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

                       (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                             (4: 암페어의 법칙)

"비오-사바르 법칙으로 패러데이 법칙 증명"에서 제안한대로 식 (2)와 (3)은 서로 종속적인 관계에 있다. 이 관계는 아래와 같은 벡터 항등식을 써서 증명할 수 있다.
식 (2)에 발산 연산자를 적용하면 아래와 같다.

                        (5)

식 (5)가 성립하기 때문에 자속 밀도($B$)의 발산은 시간적으로 고정되어야 한다. 이 고정값을 0이라 두면 식 (3)이 증명된다. 혹은 시간적으로 변동이 없기 때문에, 현재 자속 밀도의 발산을 측정한 결과는 태초의 자속 밀도 발산과 동일하다. 현재까지 자속 밀도 발산의 측정값은 0이므로 자속 밀도의 발산은 항상 없어야 한다.
마찬가지로 식 (4)에 발산 연산자를 적용하면 아래식이 얻어진다.

                        (6)

식 (6)에 의하면 전류 밀도($J$)의 발산은 0이 되어야 한다. 발산이 0이므로 흘러들어온 전류는 반드시 흘러나가야 한다. 이 결과는 DC(직류, 直流, Direct Current)에서는 맞으나 AC(교류, 交流, Alternating Current)에서는 틀린다. 왜냐하면 DC에서는 전류가 흐르든지 흐르지 않든지($\bar \nabla \cdot \bar J = 0$) 둘 중 하나이지만 AC에서는 커패시터(capacitor) 때문에 전류가 쌓일 수도 있다. 들어온 전류가 나가지 않고 쌓이면 발산은 0이 아니다. ($\bar \nabla \cdot \bar J \ne 0$) 따라서 식 (7)처럼 전하 보존 법칙을 이용해 식 (6)을 수정해야 한다.

                          (7)

식 (7)을 고려하면 식 (4)는 무언가 잘못된 것이 있다. 이 문제를 최초로 지적하고 수학적으로 명쾌하게 해결한 사람은 맥스웰이다[3]. 이것은 맥스웰이 30세일 때의 업적이다. 맥스웰이 변위 전류를 주창했을 때 학계의 반응은 그다지 좋지 않았다. 변위 전류 개념이 수학적으로는 명쾌하지만 물리적 실체는 없는 것으로 생각했다. 헤르츠(Heinrich Rudolf Hertz)가 1887년 전자기파의 존재를 실험적으로 증명하기 전까지 전자기장에 대한 맥스웰의 이론은 학계에서 맹렬한 비판을 받았다.
변위 전류를 포함함으로써 전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)이 결과적으로 유도되는데 전자기파에 대한 실험적 증거가 없었기 때문에 당대에는 대부분의 물리학자들이 맥스웰 이론에 비판적이었다. 하지만, 이전 물리학자들이 전기와 자기 통합에 실패한 것도 결과를 놓고 보면 변위 전류 때문이었을 정도로 변위 전류 개념은 혁명적이었다.

자, 이제 이 문제를 어떻게든 해결해야 할 것이다. 맥스웰은 전하 보존 법칙을 지키기 위해 식 (4)의 우변에 변위 전류(變位電流, displacement current) 항인 $J_d$를 강제적으로 포함시켰다. 그러면,

                          (8)

식 (8)의 마지막 결과식을 얻기 위해 식 (1)을 사용하였다. 지금 현재 시점에서 전하 보존 법칙을 고려하는 것이 당연한 것 같지만 맥스웰이 변위 전류를 제안했던 1861년은 전자(電子, electron)와 양성자(陽性子, proton)가 발견되기 훨씬 전이라 주변 물리학자들이 변위 전류를 의심했던 것은 일견 타당했다. 하지만, 모든 것이 완벽하게 준비되지 않았더라도 물리학이 가야할 길을 제시할 수 있는 사람이 전문가이지 않을까? 맥스웰은 겨우 30세였지만 그 누구보다도 물리학을 잘 이해하고 있었다.
맥스웰이 제안한 변위 전류 개념은 이름에서도 알 수 있듯이 전자파를 전달하는 매개체(지금은 거부된 개념인 에테르(ether))의 특정부분이 움직인다(변위를 일으킨다)는 가정을 하고 작명을 한 것이다. 물론 이런 개념은 특수 상대성이론으로 인해 폐기되었다.
이 변위 전류 결과를 식 (4)에 대입하면 최종적으로 수정된 맥스웰 방정식이 얻어진다.

                       (9: 쿨롱의 법칙)

                       (10: 패러데이의 법칙)

                                (11: 비오-사바르의 법칙)

                  (12: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (9)에서 (12)에 소개한 맥스웰 방정식은 완벽하기 때문에 모든 전기자기학 문제를 명확하게 해결할 수 있다. 이 말은 특수 상대성 이론(special theory of relativity)이 제시하는 세계를 제외한다면 맞는 말이다.

[그림 2] 커패시터 내부에 흐르는 변위 전류(출처: wikipedia.org)

맥스웰이 변위 전류의 필연성을 설명하기 위해 커패시터(capacitor)에 흐르는 전류를 고려했다[4]. 커패시터에 시간적으로 변동하는 전류를 흘리면 도선 자체는 끊겨있기 때문에 식 (7)에 의해 전하가 충전되거나 방전된다. 또한, 식 (1)에 의해 전하는 필연적으로 전속 밀도(電束密度, electric flux density)를 만들므로 전속 밀도의 시간적 변동이 반드시 존재한다. 전속 밀도의 시간적 변동은 변위 전류이므로 [그림 2]처럼 커패시터 내부에 변위 전류가 반드시 존재한다. 즉, 도선을 흐르는 전류가 커패시터 내부에서 없어지는 것이 아니고 변위 전류로 바뀐다는 것을 개념적으로 확실히 이해할 수 있다.
맥스웰의 천재적인 부분은 이 개념을 이용해 전자기파는 반드시 존재함을 주장한 것이다. 예를 들어 [그림 2]의 회로는 맥스웰이 살던 시대에도 실험적으로 증명가능했다. 따라서, 커패시터의 간격을 계속 늘려가더라도 전류는 계속 흐를 것이다. 커패시터 간격이 매우 크더라도 전류는 흐를 수 있기 때문에 수신부에서는 송신부에서 보낸 신호를 감지할 수 있다. 마치 안테나(antenna)처럼 동작하는 것이다. 그런데, 이것이 아무런 매개체 없이 갑자기 일어난다는 것은 이상하다. 그래서, 변위 전류, 즉 전기장과 식 (2)에 의해 전기장이 만드는 자기장이 반드시 공간에 존재해서 전기장과 자기장을 매개로 정보전달이 일어나야한다.
식 (12)에 있는 변위 전류 특성은 벡터 포텐셜($A$)을 이용해서도 증명할 수 있다.
자속 밀도의 회전은 벡터 포텐셜 정의를 이용하면 식 (13)으로 표현할 수 있다.

                          (13)

쿨롱 게이지 증명에서 식 (14)가 성립했다.

                         (14)

식 (14)에 DC 조건을 적용하면 쿨롱 게이지가 되지만 식 (7)에 있는 전하 보존 법칙을 적용하면 식 (15)와 같은 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)가 된다.

                         (15)

여기서 일반적인 물질을 가정하기 위해 $\mu, \epsilon$을 사용하였고 식 (15) 유도시 전압의 정의를 사용하였다.
로렌츠 게이지를 Lorenz gauge라고 쓴 것은 오타가 아니다. 이 게이지의 발견자는 Hendrik Antoon Lorentz가 아니라 Ludvig Lorenz이기 때문이다[5]. Lorenz의 이름이 유명 물리학자 Lorentz와 매우 비슷해서 틀린 표현이지만 보통 책에서도 Lorentz gauge라고 표시한다. 너무 유명한 사람과 이름이 비슷하면 자기 업적까지 남의 것이 되어버릴 수가 있다.
식 (15)를 식 (13)에 대입하고 벡터 포텐셜의 라플라시안 및 스칼라와 벡터 포텐셜의 전기장 정의를 사용하면 식 (16)이 얻어진다.

                        (16)

자기장과 자속 밀도 관계를 이용하면 식 (16)은 식 (12)가 된다.

발산회전의 의미를 기하학적으로 이해하고 있으면 맥스웰 방정식을 수식이 아닌 말로 표현할 수 있다. 이 수준이 되어야 전기장과 자기장에 대한 시각적인 그림을 마음속으로 그릴 수 있다.
  • 쿨롱의 법칙: 전속 밀도(electric flux density)의 원천을 검출하면 그 값은 전하 밀도(electric charge density)가 된다.
  • 패러데이의 법칙: 전기장(electric field)의 회전을 검출하면 그 값은 자속 밀도(magnetic flux density)의 시간적 감소와 같다.
  • 비오-사바르의 법칙: 자속 밀도의 원천을 검출하면 그 값은 항상 0이 된다.
  • 암페어의 법칙: 자기장(magnetic field)의 회전을 검출하면 그 값은 전류 밀도(electric current density) 그 자체 혹은 전속 밀도의 시간적 증가와 같다.

발산(divergence)과 회전(curl) 연산자를 이용하면 미분형 맥스웰 방정식(Maxwell's equations in differential form)인 식 (1)-(4)를 다음과 같은 적분형 맥스웰 방정식(Maxwell's equations in integral form)으로 쉽게 변경할 수 있다.

                                (17: 쿨롱의 법칙)

                       (18: 패러데이의 법칙)

                                (19: 비오-사바르의 법칙)

             (20)

맥스웰 방정식을 이용해 문제를 푼다고 할 때 사용하는 식은 미분형 맥스웰 방정식이다. 미분형은 기본적으로 미분 방정식이기 때문에, 경계 조건만 정확히 주어지면 모든 전자파 문제를 해결할 수 있다. 적분형 맥스웰 방정식은 적분을 포함하고 있어 식 (17)-(20)을 바로 실제 문제에 적용하기는 어렵다. 문제 영역을 좀 세분화하여 면적과 선 적분이 적용 가능하게 한 후 적분형 맥스웰 방정식을 쓰면 된다. 이렇게 하면 전자파 공식화에 적분이 포함되어 해당 영역에 평균을 취한 효과가 필연적으로 들어가기 때문에, 수치 계산 결과의 안정성이 미분형에 비해 높아진다.

[참고문헌]
[1] J. C. Maxwell, "A dynamical theory of the electromagnetic field," Phil. Trans. R. Soc. Lond., vol. 155, pp. 459–512, 1865.
[2] J. C. Maxwell, "On Faraday's Lines of Force," Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 10, 1855.
[3] J. C. Maxwell, "On physical lines of force," Philosophical Magazine and Journal of Science, 1861.
[4] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol. 1 and vol. 2, 1873.
[5] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70-71, June 2001.
[6] G. Pelosi, "A tribute to James Clerk Maxwell on the 150th anniversary of his equations (1864-2014)," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 56, no. 6, pp. 295-298, Dec. 2014.

[다음 읽을거리]
1. 전자기장 파동 방정식
2. 포텐셜 기반 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 대칭적인 맥스웰 방정식
5. 텐서를 이용한 맥스웰 방정식
6. 침투 깊이의 이해
7. 균일 평면파
8. 자기 단극자

댓글 52개 :

  1. 안녕하세요.
    전파거북이님의 블로그 잘 보고 있습니다.
    궁금한 게 있어서 질문드리고 싶은데, 전자기학 책을 보면 맥스웰 방정식을 설명하는 부분에서 convection current, conduction current, displacement current 그리고 impressed current 라는 용어들이 나오는데, 서로 차이점들을 잘 모르겠습니다. 어떻게 다른지 쉽게 설명해 주시면 안될까요?

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다. ^^

      아래가 제가 이해하는 전류의 구별법입니다.

      1. 전도전류(conduction current): 금속 내부에 흐르는 옴의 법칙을 만족하는 전류입니다. 우리가 흔히 말하는 전류가 전도전류입니다.

      2. 변위전류(displacement current): 이 용어의 기원은 맥스웰의 초기 상상에서 비롯된 것입니다. 당시는 전자파를 매개하는 에테르(ether)가 있다고 상상했고 금속에 있는 전도전류처럼 공간상에도 에테르의 특정부분이 움직여서 전류를 만든다고 생각했습니다.
      잘 아시는 것처럼 아인슈타인에 의해 에테르 개념은 부정되어 초기 개념으로 변위전류를 정의하지 않고(or 변위전류의 물리적 의미는 폐기되어) 본문에 설명한 것처럼 전도전류의 연속성을 공간으로 확장할 때 필요한 개념으로만 생각합니다.

      3. 대류전류(convection current): 전자(electron) 자체가 움직여 만드는 전류입니다. 진공관에 흐르는 전류가 대류전류입니다. 옴의 법칙을 만족하지는 않습니다.
      전자(electron)가 만든다는 관점에서 보면 대류전류는 전도전류와 헷갈릴 수 있습니다. 하지만 물리적 특성은 완전히 다릅니다. 전도전류는 전자들이 (자동차 충돌처럼) 꼬리에 꼬리를 물면서 서로 밀면서 흐릅니다. 하지만 대류전류는 전자가 외부 힘을 받아 공간상을 충돌없이 움직이면서 흐릅니다.

      4. 인가전류(impressed current): 요건 전류의 물리적 특성을 가지고 나눈 것이 아닙니다. 위에 있는 1,2,3과는 다르게 쓰입니다. 간단히 얘기하면 인가전류는 입력입니다. 송신안테나를 구동하려면 입력이 필요한데 이때 쓰이는 전류 개념이 인가전류입니다.

      이외에도 유전체 분극이 등가적으로 만드는 분극전류(polarization current)도 있습니다.

      삭제
    2. 답변 감사합니다. 궁금증이 확실하게 해결되었습니다.^^

      삭제
  2. 매번 블로그에서 많은걸 배워갑니다. 항상 감사하게 생각하고 있습니다.
    맥스웰방정식 파트를 보던 중 궁금한 부분이 있어서요.
    전류의 연속방정식을 전하보전의법칙에 의해 설명해주셨는데요,
    "전류밀도의 발산이 DC에서는 맞으나 AC에서는 맞지 않다" 이 부분에서 좀 헷갈려서요.
    Div.J=0은 흔히 알기로 키르히호프 전류법칙으로 알고 있는데요, 들어오는 전류와 나가는 전류의 합은 0이다.
    DC도 결국 전하의 이동에 의해서 전류가 흐르는 것인데 전하보전의법칙에 의해서 Div.J=0이 되면
    안되는 것 아닌가요? ㅠㅠ 물리적인 설명 좀 부탁드려도 될까요? 너무 헷갈리네요 ㅠㅠ
    왜 AC일 경우 전하보존의 법칙에 의해서 연속방정식이 성립하는지 ㅠㅠ

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다. ^^

      전류는 흐르기만 하는 것이 아니고 AC에서는 쌓이기도 합니다. 요걸 설명한 것이 전하 보존법칙입니다. 본문 내용도 좀 수정을 했습니다.

      삭제
    2. 답변 감사드립니다!

      "전하는 생성되거나 소멸되지 않고 다만 이동할 뿐이다"라는 전하보존법칙에 의해
      식(7)을 보면 시간에 따라 전하량이 감소하면 그 만큼 외부로 전류밀도가 빠져나간다(발산한다) 라고 이해가 되었습니다. 그리고 시간에 따라 전하량이 변한다는 것은 곳 AC를 말하는 것이라고 이해가 됩니다. 그렇다면 DC의 경우 시간에 따른 전하량의 변화가 없는,
      d/dt=0이기 때문에 Div. J=0이 되는 것이구요. 여기까지 제가 이해한 부분이 맞는 것인가요?
      그렇다면 AC의 경우 커패시터는 곧 전류를 흘려보내주는 source(전하)를 담고있는 그릇이라고 이해해도 될까요? AC가 커패시터에 인가되면 분극현상에 의해 전류를 흘려주게 되는데, 전하량 100C정도의 전류가 커패시터로 흘러들어간다 해도 커패시터를 통과해서 나가는 전하량은 100C이 안되는 양으로 전류가 흐르기때문에 Div.J=0이 아니다 라는 이해도 맞는것인가요?
      하나를 알면 또 다른 궁금증이 생기네요ㅠㅠ

      삭제
    3. 전하 보존법칙과 커패시터에 대한 설명은 모두 맞습니다.
      제대로 이해하고 있습니다.

      커패시터에 전류가 흘러들어갔는데 나오는 것이 그것보다 적다면 커패시터 내부에 당연히 쌓여야겠지요. 이게 전하 보존법칙이고요.

      삭제
  3. 오늘 처음 들어 왔는데 정말 좋은 자료 많아서 너무 좋아요...
    그런데 제가 지금 이제 전기에 대해서 처음 배우거든요 !!
    공부를 하려고 하니까 너무 막막하고 특히 전기자기학이랑 전기회로쪽이 막막하더라고요
    그래서 전기회로는 전기에 대한 기초 공식을 외우고 있는 대요!!

    전기자기학은 어디서부터 어떻게 공부하는것이 좋은까요??
    그리고 전기자기학을 전자기학 책으로 공부해도 되는건가요?? 교수님이 책을 전자기학을 사라고 하시더라고요?? 거북이님 부탁좀 드릴게요..ㅠㅠ

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다. ^^

      전자기학은 공학수학 기반이 되어야 합니다. 수학부터 이해해야 전자기학 배울 때 충격을 덜 받습니다.
      또 가능하면 전자기학 책을 사세요. 아까워서라도 보게 됩니다.

      삭제
  4. 질문있습니다. 맥스웰 파동방정식과 슈뢰딩거 파동방정식 둘 다 파동방정식인가요?
    맥스웰은 전자기학을 이용하였다고 하는데 슈뢰딩거와 차이점을 알수있을까요?
    파동방정식을 알아보라는 주제가 주어지면 맥스월 과 슈뢰딩거 둘 다 알아보면되는것인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 슈뢰딩거 방정식은 파동-입자의 이중성을 이용해서 유도해야 합니다. 물론 기반은 맥스웰 방정식입니다.

      파동 방정식이라면 먼저 줄의 파동을 먼저 알아봐야 합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/wave-equation-for-string.html

      삭제
  5. 1. 말씀하신 진공상태에서의 전류존재는 결국은 변위 전류를 말씀하신 것이지요?
    2. 에테르와 분극이 비슷한 것 같은데요. 개념이 어떻게 다른 건가요?
    3. 에테르라는 개념이 왜 폐기가 된건가요? 라고 문의 드려도 될까요?

    답글삭제
    답글
    1. 1. 관점에 따라 다를 수는 있지만 진공과 변위 전류는 큰 관계 없습니다.

      2. 에테르와 분극은 다릅니다. 에테르는 전자파를 전달하는 가상의 매질입니다.

      3. 에테르는 검출도 되지 않았고 이론적으로도 필요가 없어 폐기된 것입니다.

      삭제
    2. 식(16)나 식(12)의 물리적인 의미가
      자기장의 회전을 검출하면, I(DC전류) + di/dt(AC전류) 이다 라고 한다면, 좀 그런가요? 헤~

      삭제
    3. 그렇게는 안됩니다. ^^
      여기서는 일반화를 위해 시간 미분을 유지하고 있으므로 페이저를 쓰는 교류 개념과는 맞지 않습니다.

      삭제
    4. 한가지 약간 갸우퉁 하게요.
      식(16)이나 식(12)에 만일 발산을 취하면 이게 0이어야 하는건가요?
      아님 0이 아니어야 하는 건가요?

      DC에서는 0인것이 맞으나, AC에서 0이 아니어야 하기 때문에 변위 전류를 넣었는데요.
      그런데 식(8)의 유도과정을 역으로 하면 0이 되어야 할거 같기도 하구요.

      삭제
    5. 식 (16)의 좌변이 회전이므로 발산 연산자를 취하면 0이 됩니다. 그래서 우변도 0이 되어야 합니다.

      삭제
    6. 감사드립니다.

      삭제
    7. 1. 식(16)의 마지막 에서 μ 가 괄호 밖으로 나왔는데, 괄호 안에 왜 또 있는건가요?

      2. 나름 정리를 하자면요.
      자기장에서 암페어의 법칙을 유도 하는 과정에서
      쿨롱게이지를 적용하면, 정전계 조건.
      로렌즈게이지를 적용하면. 변위전류가 포함된 암페어의 법칙이 바로 유도가 될 수 있는거조?

      2-1. 게이지라는 것도 결국 미분 방정식을 풀기 위한 거라는 정도로 이해를 해도 되는 거지요?

      2-2. 게이지라는 것이 잣대이므로, 상황에 따라 맞게 선택을 할 수 있겠지만, 당연히 누군가가 증명해 놓은 벙법을 상황에 따라 맞게 선택을 해야 되는 거지요?

      삭제
    8. 1. 오타네요. 지적 정말 감사합니다. 3년 동안 틀려 있던건데 이제야 발견되었네요. ^^

      2. 게이지 개념이 나타난 것은 포텐셜을 고려하기 때문입니다. 포텐셜은 전기장이나 자기장을 바로 계산하기 번거로워 도입한 것이고요.

      게이지 선택은 누구는 맞고 누구는 틀린게 아니고 어떤 게이지를 쓰면 계산이 편하게 될 뿐입니다. 즉, 맞고 틀림의 문제가 아니고 효율의 문제입니다.

      아래 내용도 참고해 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/magnetic-field.html

      삭제
  6. 1. 지금까지 답변을 해주신 건만 해도 책한권은 될 거 같습니다. 재가 더 더 많이 정말로 감사드립니다.
    그런데 식(16) 새로 추가된 두번째줄에 vector 포텐셜이 왜 다시 나오는 건가요?
    이미 식(15)에서 벡터 포텐셜의 발산을 구한 것을 접압으로 정의를 하였고, 이를 구배한 것이 식(16)의 첫줄인데요.
    혹시 헬름홀즈의 분해 정리와 무슨 관련이 있나요?

    2. 다시 한번 감사드립니다. 이미 보긴 하였는데, 말씀하신 관점으로 다시 보고 문의 드리겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 1. 헬름홀츠 분해 정리와는 관계없고 전기장을 포텐셜로 정의하기 위한 것입니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/potential-wave-equation.html

      삭제
    2. 감사드립니다. 좀 더 보고 문의 드리겠습니다.

      삭제
    3. 1. 식 (16)을 설명하신 대로 해보았는대요.
      벡터을 시간에 대해 두번 미분한 항이 없어지지가 않는데요.
      http://blog.daum.net/share_like_bear/83
      무엇을 잘못 한 것인지, 한번 봐주실 수 있으시겠는지요?

      2. 포텐셜 기반 파동방정식은 "변위전류가 포함 암페어의 법칙"을 적용하여 유도를 한 것이던데요.

      삭제
    4. 포텐셜 기반 파동 방정식에서 식 (7)을 고려하시면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/potential-wave-equation.html

      삭제
    5. 아 감사합니다.

      삭제
  7. 식(5)와 (6) 에 대한 설명에서 앞의 맥스웰방정식에 회전연산자가 아니라 발산연산자를 적용했다고 해야할 것 같습니다. ^^

    답글삭제
    답글
    1. 지적 정말 감사합니다, 익명님. 익명님으로 인해 이 블로그 수준이 더욱 좋아졌습니다. ^^

      삭제
  8. 안녕하세요 맥스웰방정식에서 페러데이법칙과 암페어법칙이 일상생활에서 응용되는 예가 좀 있을까요? 뭐 거창한건 아니고 주변에서 흔히 볼수있는거면되요(이러면 더 어려워지려나;) 페러데이법칙은 중고등학교때 배운 전자기유도에서 비슷한 개념인것같기도한데 암페어법칙은 생소해보이는군요 페러데이법칙같은경우 변화하는 자기장이 변화하는 전기장을 유도하고 암페어법칙같은경우 변화하는 전기장이 변하하는 자기장을 만드는거라고 이해해도 되나요? 정전계 정자계에서 말입니다

    답글삭제
    답글
    1. 전기/전자 기술 중에서 말씀하신 법칙을 사용하지 않는 예가 무엇일지 생각해보세요. 거의 없습니다.

      정전장과 정자장은 시간 변화가 없는 전기장과 자기장입니다. 시간 불변 영역에서는 전기장과 자기장은 별개입니다. 연관이 없어요.

      삭제
  9. 좋은 글 잘 읽고 있습니다.

    궁금한 게 있는데 맥스웰 방정식을 이용해 주어진 e field를 가지고 h field를 구할 수 있잖아요?

    sourceless 공간에서 propagating sinusoidal e field를 생각할 때 이를 통해 h field를 구하는 과정에서 궁금한 게 있습니다. 패러데이 법칙을 이용해 curle=-db/dt를 통해 db/dt를 적분하면 h field를 구할 수 있는데 이 때 궁금한 게 적분 상수를 왜 무시하는지 궁금합니다. 여기서 나오는 적분 상수는 time independent field인데 이를 무시하던데 제 생각에는

    1. time varying field가 존재하는 공간에서 static field는 e field가 h field를 만들지도, h field가 e field를 만들지도 않기 때문에 static field가 존재하더라도 out of interest? 즉 static field는 무시.

    2. 아니면 time varying field가 존재하는 공간에는 static field가 존재할 수 없다. 즉 물리적으로나 맥스웰 방정식으로 보나 time varying field가 존재할 땐 static field가 동시에 존재하는 건 불가능하기 때문에 static field가 나오는 적분 상수는 0으로 처리한다.

    이렇게 생각이 되는데 문제는 이걸 확인할 길이 없네요. 책을 보기도 하고 교수님한테 질문도 했는데 제가 질문을 제대로 못해서 그런지 답변이 쉽게 이해가 되지 않았네요.

    결론은 왜 time varying field가 존재할 때 적분 과정에서 나오는 적분 상수인 static field는 0으로 처리하는 건가요?

    이는 transmission line에서도, 이후에 uniform plane wave에서도 같은 방식으로 처리하던데.. 답변 기다리고 있겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 맥스웰 방정식은 매질 특성이 선형인 경우 중첩의 원리가 성립하기 때문에 정전장이나 정자장을 포함하더라도 문제 없습니다.
      다만, 보통은 특정한 주파수 기준으로(예를 들면 페이저) 계산하기 때문에 정전장이나 정자장은 의미없는 해여서 생략합니다.

      삭제
    2. 하나만 더 여쭤봐도 될까요?

      1. 페이저는 모든 게(전압, 전류, wave 등) 같은 주파수에서 진동한다고 가정하고 푸는 거잖아요?

      그런데 페이저를 이용해 표현한 맥스웰 방정식을 이용해 e field가 주어졌을 때 h field를 구하면 시간 도메인에서 적분을 통해 구한 것과는 달리 적분 상수가 나오질 않잖아요? 적분을 통해 구하는 게 아니라 페이저 도메인에선 단순 사칙연산을 통해 구하기 때문에..

      페이저를 이용할 때 모든 것은 같은 주파수로 진동한다는 가정 때문에 시간 도메인과는 달리 적분 상수가 나오지 않는 건가요? 즉 페이저를 이용하는 순간 "공간에는 주어진 주파수로 진동하는 것 말고는 존재할 수 없다"라고 가정하는 것이 되나요?

      즉 페이저를 이용하면 적분 상수가 자연스럽게 안 나오게 되던데.. 페이저를 사용하는 순간 static field는 무조건 0으로 두기 때문이 아닌가 생각하는데 맞나요? 왜냐하면 같은 주파수로 진동하는 것만 존재한다 가정했기 때문에 static field는 주파수가 없는 성분이라서 자연스럽게 무시하는 거라 생각되던데..




      2. 그리고 하나만 더 여쭤봐도 될까요? 이것도 다른 페이지에 올려야 할 질문 같은데.. 페이저를 이용해 맥스웰 방정식을 표현하실 때 질문하고 싶은 게 있습니다.

      페이저를 이용하셔서 맥스웰 방정식을 표현하실 때 맥스웰 방정식에는 d, e, b, h, j, ro(전하 밀도)라는 변수들이 있잖아요? 그러면 페이저를 이용한다는 것은 이들이 모두 같은 주파수로 변하고 있다는 말이죠? 물론 위상, 크기는 다르겠지만..

      삭제
    3. 1. 페이저는 답을 복소 지수 함수로 가정해 풀고 있습니다. 그래서, 지적하신 대로 DC에 해당하는 상수항이 나오지 않습니다. 모두 특정한 주파수로 변하고 있습니다.

      2. 맞습니다.

      삭제
    4. 언제나 질문에 친절히 답변해 주셔서 감사합니다! 이 블로그에 들어올 때마다 궁금한 게 하나씩 풀리니 정말 감사할 따름입니다.

      삭제
    5. 뭘요. 틈틈이 하는 것이라 별 부담은 되지 않습니다. 궁금하면 또 질문해주세요. ^^

      삭제
  10. 위에서 질문한 익명입니다. 다른 질문 하나만 더 해도 될까요? 이건 균일 평면파에 올려야 할 거 같지만 질문이 두 글로 나눠지면 찾기가 힘들 거 같아서..

    uniform plane wave를 sourceless 공간에서 유도하는 과정에서 책을 보면 e field를 x polarized field로 가정하고 시작하더라구요. 이렇게 유도를 하면 결국 e field와 h field, 전파 방향이 서로 수직하게 나오던데..

    그런데 uniform plane wave라 하더라도 e field가 굳이 한 방향으로 polarized되어야 하나요? 책에선 polarized field를 가정하던데 굳이 이리 안 하더라도 uniform plane wave의 조건만 충족시킨다면(즉 e field, h field, 전파 방향의 직교 관계) e field가 전파함에 따라 다른 방향으로 향해도 맥스웰 방정식을 만족시킬 수 있나요? 물론 그러면 전파하는 e field와 h field의 식 자체는 복잡할 거 같지만..

    답글삭제
    답글
    1. 균일 평면파 유도에서 편파를 특정 방향으로 고정하는 것은 학생들에게 쉽게 설명하기 위해서입니다.
      말씀하신 대로 일반적으로 할 때는 편파를 임의 방향으로 놓고 계산합니다.

      삭제
  11. 안녕하세요 저는 대전에서 전파를 전공하는 학생입니다. 블로그를 보고 항상 도움을 많이 받고있습니다. 제가 공부하는 도중에 따로 문의드릴게 생기면 연락을 취하고 싶은데 이메일좀 알려주시면 안되나요? 제 이메일은 junmoonsu@naver.com 로 연락해주시면 정말 감사하겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 네, 반갑습니다, 익명님. 제 이메일은 iGhebook@gmail.com입니다. 바로 연락은 못해도 시간나면 회신은 합니다. ^^

      삭제
  12. 안녕하세요, 교양으로 물리학을 듣는 학생입니다. 좋은 자료 블로그 주소로 출처 남기고 사용합니다. 감사드립니다

    답글삭제
    답글
    1. 출처 달아주시고 마음껏 사용하세요, 익명님. ^^

      삭제
  13. 기본적인 질문좀 할게요... 제가 아직 개념을 확실히 못잡은 것 같아요.

    전기장은 점전하에 의한 전기력이 미치는 공간으로 알고있습니다.
    Ampere 법칙에 의하면, 자기장이 변하면 전기장이 생기고 전류가 흐르는 것으로 알고있는데,
    전기장과 전류는 전하가 있어야만 생길 수 있는 현상이잖아요?
    그렇다면, 만약 자기장이 존재하는 진공상태에서 자기장을 변화시켜줘도 전기장이 생기고 전류가 흐르나요?
    진공상태라는것은 전하가 없는 것인데, 어떻게 이러한 현상이 나타나는거죠?
    Ampere 법칙은, 자기장이 전하들을 움직여서 전기장이나 전류를 발생시키는 것인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 1. 맥스웰이 수정한 암페어 법칙을 보면, 전기장이 시간 변화해도 되고 전류가 있더라도 자기장은 바뀝니다. 반드시 두 항이 동시에 있을 필요는 없습니다.

      2. 진공 중에서 자기장을 바꾸려면 원천이 필요합니다. 이건 전하나 전류일 수 있습니다. 하지만 원천에서 멀어지면 도체가 없어 전류를 흘릴 수 없기 때문에 전류 = 0입니다.

      삭제
  14. 잘못적은 부분이 있어서 다시 올립니다.

    https://www.physicsforums.com/attachments/upload_2016-3-14_11-15-32-png.97342/
    도대체 어디서 잘못 유도했을까요..ㅜㅜ

    답글삭제
    답글
    1. 식 (15)에서 출발했는데, 15에서 출발해서 벡터 포텐셜로 어떻게 갈까요 ㅠ

      삭제
    2. 식 (16)을 유도하는 것인가요? 본문에 있는 내용을 따라가면 문제가 없을 것인데요.

      삭제
  15. 자꾸 지웠다가 써서 죄송합니다 ㅠ.

    아, 로렌츠 게이지에서 V -> 스칼라 포텐셜 이게 어떻게 치환 가능한지 궁금해서요..

    초기조건만 잘 주어지면 V <-> E이고, 스칼라 포텐셜은 E 뿐만 아니라 시변 A까지 있으니
    단순히 V를 스칼라 포텐셜로 치환해도 괜찮을까.. 헷갈려서 유도해보려고 했거든요.

    물론 시변 벡터 포텐셜도 단위는 V랑 같긴 한데.. 에휴, 제가 일일히 수순을 못보면 잘
    이해를 못하더라구요. 이공계 공부를 늦게 시작해서 기본기가 모자란지ㅠㅠ

    http://ghebook.blogspot.ca/2010/10/potential-wave-equation.html

    식 (7)을 스칼라 포텐셜에 대해 다시 쓰려고 해봤는데 음...ㅎ 눙물만.. 나네요 ㅠ

    답글삭제
    답글
    1. 적분 안에 있는 원천이 전하 밀도이기 때문에, 이 함수는 전기 스칼라 포텐셜($V$ 혹은 $\phi$)입니다. 조금 어렵지만 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/greens-function-of-differential.html

      삭제
    2. 뭔가 더 있었군요. 감사합니다!

      삭제
  16. 안녕하세요~ 식 (2)로부터 식 (3)을 유도하는 과정에 궁금한 점이 있어 질문드립니다. '식 (5)가 성립하기 때문에 자속 밀도의 발산은 시간적으로 고정되어야 한다.'는 부분은 확실하게 이해하고 있습니다. 왜냐하면 자속밀도의 발산이 시간에 대한 함수라면 그 결과가 0이 될 수 없을테니까요. 그래서 저는 자속밀도의 발산을 상수 C로 두었습니다.

    바로 이 부분에서 다음으로 넘어가지 못하겠습니다.

    전파거북이님께선 '이 고정값을 0이라 두면 식 (3)이 증명된다.'라고 하셨는데 상수 C가 0이 되어야만 하는 이유가 무엇인가요? 위 과정에서 상수 C가 0이 아니면 안된다는 단서는 없는 것 같아서 궁금합니다.

    뒤의 글을 계속 읽어보니 현재까지의 측정값이 0이라서 그렇다고 말한 부분이 있는데 만약 측정을 못한 (자속밀도의 발산값에 대한 아무런 정보가 없는) 상태에서 위 식을 유도하고 싶은 사람은 상수 C가 0이어야만 하는 이유를 어디서 찾을 수 있을까요?

    답글삭제
    답글
    1. 적분 상수는 현재의 측정값으로 정해야 합니다. 여러 연구자가 살펴봤지만 자기 단극자(혹은
      자기 홀극)가 있다고 해도 오류는 생기지는 않습니다. 자기 단극자에 대해서는 아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2017/05/magnetic-monopole.html

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.